2021-2022学年河北省唐山市遵化市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年河北省唐山市遵化市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42分）

1. 已知，且是锐角，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列函数关系式中属于反比例函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，圆心角，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 如图，在中，，，，的值为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在(    )

A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限

6. 车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的(    )

A. 直径 B. 周长 C. 面积 D. 半径

7. 如图，在半径为的中，弦，于点，则(    )

A.
B.
C.
D.

8. 正六边形的中心角为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若的半径为，圆心的坐标是，点的坐标是，那么点的位置为(    )

A. 在内 B. 在上 C. 在外 D. 不能确定

10. 下列四组图形中，一定相似的是(    )

A. 正方形与矩形 B. 正方形与菱形
C. 菱形与菱形 D. 正五边形与正五边形

11. 设的半径是，点到直线的距离为，与直线有公共点，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，中，，，，以点为圆心的圆与相切，则的半径为(    )
     

A.  B.  C.  D.

13. 如图，关于抛物线，下列说法错误的是(    )

A. 顶点坐标为
B. 当时，随的增大而减小
C. 开口方向向上
D. 对称轴是直线

14. 一小球被抛出后，距离地面的高度 米和飞行时间 秒满足下面函数关系式：，则小球距离地面的最大高度是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

15. 已知二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

16. 二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )
     

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共3小题，共9分）

17. 若关于的一元二次方程有一个根为，则另一个根为_______．
18. 某灯具厂从万件同批次产品中随机抽取了件进行质检，发现其中有件不合格，估计该厂这一万件产品中不合格品约为______件．
19. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在处观测到灯塔在北偏东方向上，且海里．那么该船继续航行______ 海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．

三、解答题（本大题共7小题，共69分）

20. 解方程：；
    计算：．
21. 已知反比例函数
    若它的图象位于第一、三象限，求的值；
    若它的图象在每一象限内的值随值的增大而增大，求的值．
22. 如图，是上一点，，．
    求证：∽；
    若，，，求的长．

23. 某教育局为了解七年级学生在一周参加体育锻炼的情况，随机抽样调查了某校七年级学生月份某周参加体育煅炼的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图如图，请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
    
    扇形统计图中的值为______“锻炼时间为天”的扇形所对圆心角的度数为______，该校七年级学生的总人数为______．
    补全条形统计图；
    如果全有共有七年级学生人，请你估计“锻炼时间不少于天”的人数？
24. 如图，是的直径，点为圆上一点，平分，与相交于点，．
    求证：是的切线；
    若，，求的长．

25. 如图，是的外接圆，是直径，过点作直线，过点作直线，两直线交于点，如果，的半径是
    请判断与的位置关系，并说明理由；
    求图中阴影部分的面积结果用表示．

26. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且一，．
    求抛物线的解析式及顶点的坐标；
    判断的形状，证明你的结论；
    点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标及的最小周长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
锐角．
故选：．
先求出，然后根据特殊角的三角函数值得到锐角的度数．
本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：为正比例函数，选项不符合题意．
为一次函数，选项不符合题意．
为二次函数，选项不符合题意．
为反比例函数，选项符合题意．
故选：．
根据反比例函数的定义逐项判断选项求解．
本题考查反比例函数的定义，解题关键是掌握为反比例函数．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
．
故选B．
认真观察图形，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可直接得到答案．
本题考查了圆周角定理；应用圆周角定理时，注意在同圆或等圆中这一条件，本题比较简单，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得：，
所以，
故选：．
根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出即可．
本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
利用待定系数法求出的值即可解决问题；
本题考查反比例函数图象上的点的特征、解题的关键是熟练掌握待定系数法，记住反比例函数的性质．
【解答】
解：反比例函数的图象经过点，
，
，
反比例函数的图象在第二、四象限，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的周长．
故选：．
依据圆的周长的概念，即围成圆的一周的曲线的长度就是圆的周长，即可进行选择．
考查了圆的认识，解答此题的主要依据是：圆的周长的概念．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，
，于点，
，
的半径为，
．
故选B．
连接，先利用垂径定理得出的长，再由勾股定理得出的长即可解答．
本题考查垂径定理，以及勾股定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：正六边形的中心角是：．
故选：．
据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角是：．
此题考查了正多边形的中心角．此题比较简单，注意准确掌握定义是关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
先根据两点间的距离公式计算出的长，然后比较与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．
【解答】
解：圆心的坐标是，点的坐标是，
，
点在内，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．
根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
【解答】
解：正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B.正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
C.菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；
D.正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．
故选D．  

11.【答案】 

【解析】解：的半径是，点到直线的距离为，与直线有公共点，
直线与相切或相交，
．
故选：．
利用直线与圆的位置关系判断方法，相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，进而得出答案．
此题主要考查了直线与圆的位置关系，得出直线与圆的位置关系进而得出答案是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．
首先根据题意作图，由是的切线，即可得，又由在直角中，，，，根据勾股定理求得的长，然后由，即可求得以为圆心与相切的圆的半径的长．
【解答】
解：在中，
，，，
，
，
如图：设切点为，连接，

是的切线，
，
，
，
即．
的半径为．
故选B．  

13.【答案】 

【解析】解：抛物线，
A、因为顶点坐标是，故说法正确，不符合题意；
B、当时，随的增大而增大，故说法错误，符合题意；
C、因为，开口向上，故说法正确，不符合题意；
D、因为对称轴是直线，故说法正确，不符合题意；
故选：．
根据抛物线的解析式得出顶点坐标是，对称轴是直线，根据，得出开口向上，当时，随的增大而增大，根据结论即可判断选项．
本题主要考查对二次函数的性质的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行判断是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数的最值的求法，注意运用二次函数的最值，属于基础题．由二次函数的性质，可得取得最大值．
【解答】
解：，
由二次函数的最值可得
当时，取得最大值．
故选C．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数与轴的交点问题及根据二次函数与轴的交点坐标求出一元二次方程的根，求出二次函数与轴的交点坐标是解题的关键．
关于的一元二次方程的两实数根就是二次函数为常数的图象与轴的两个交点的横坐标．因此求出二次函数为常数的图象与轴的两个交点坐标即可解答本题．
【解答】
解：二次函数的解析式是为常数，
该抛物线的对称轴是：．
又二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，
根据抛物线的对称性质知，该抛物线与轴的另一个交点的坐标是，
关于的一元二次方程的两实数根分别是：，．
故选：．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与轴的交点坐标等确定出、、的情况是解题的关键．
根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出，根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【解答】
解：二次函数图象开口方向向下，
，
对称轴为直线，
，
与轴的正半轴相交，
，
的图象经过第一、二、四象限，
反比例函数图象在第一、三象限，
只有选项图象符合．
故选：．  

17.【答案】 

【解析】解：把代入方程得方程，解得，，
而，
所以，
此时方程化为，
设方程的另一个根为，则，解得，
所以方程的另一个根为．
故答案为：．
先把代入方程得到满足条件的的值为，此时方程化为，设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得到，然后求出即可．
本题考查了一元二次方程的根，根与系数的关系．
 

18.【答案】 

【解析】解：某灯具厂从万件同批次产品中随机抽取了件进行质检，发现其中有件不合格，
不合格率为：，
估计该厂这一万件产品中不合格品为件．
故答案为：．
首先可以求出样本的不合格率，然后利用样本估计总体的思想即可求出这一万件产品中不合格品约为多少件．
此题主要考查了利用样本估计总体的思想，解题时首先求出样本的不合格率，然后利用样本估计总体的思想即可解决问题．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图，过作东西方向的垂线，设垂足为．
易知：．
在中，，，海里，
海里．
故该船继续航行海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．
故答案为．
过作东西方向的垂线，设垂足为由题易可得，在中，根据锐角三角函数的定义求出的长即可．
本题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，三角函数的定义，利用垂线段最短的性质作出辅助线是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
或，
所以，；
原式

． 

【解析】先变形得到，然后利用因式分解法解方程；
利用绝对值、特殊角的三角函数值和负整数指数幂的意义计算．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．
 

21.【答案】解：由题意，可得，
解得；
由题意，可得，
解得． 

【解析】根据反比例函数的定义与性质，得出，进而求解即可；
根据反比例函数的定义与性质，得出，进而求解即可．
本题考查了反比例函数的性质；用到的知识点为：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．也考查了反比例函数的定义．
 

22.【答案】证明：，
，
，
∽．
解：∽，
，
，，，
，
． 

【解析】由两直线平行，内错角相等，可得：，由，然后根据两角对应相等，两三角形相似，可证∽；
由相似三角形对应边成比例，可得：，然后将，，，代入即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，关键知道两角对应相等两个三角形相似及相似三角形对应边成比例．
 

23.【答案】    人 

【解析】解：，
，人，
故答案为：，，人；
锻炼时间为天的学生数：人，
补全条形统计图如图；

锻炼时间不少于天的人数约：人．
答：“锻炼时间不少于天”的学生大约有人．
根据各部分所占的百分比的和等于列式计算，即可求出的值，根据看天的人数与所占的百分比列式计算即可求出总人数；
根据所占的百分比分别求出活动时间为天、天的学生人数，然后补全统计图即可；
用总人数乘以活动时间为、、、天的人数所占的百分比的和，计算即可得解．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

24.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
，
又为的直径，
，
，
是的切线；
解：连接，
，
，
，
的长为 

【解析】根据角平分线的定义得到，根据对顶角的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，弧长的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：与相切．理由如下：
连结，，则，
是直径，
，
为等腰直角三角形，
点为的中点，
，
，
，
是半径，
为的切线；

，，
四边形为平行四边形，
，


． 

【解析】连结，根据圆周角定理得，，可判断为等腰直角三角形，所以，而，则有，然后根据切线的判定定理得到为的切线；
先由，得到四边形为平行四边形，则，然后根据梯形的面积公式和扇形的面积公式利用
进行计算即可．
本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．
 

26.【答案】解：点在抛物线上，
 ，
解得：，
抛物线的解析式为．
，
顶点的坐标为：；

当时，，．
当时，，
解得：，，
 ，
，，．
，，，
．
是直角三角形．

如图所示：连接，
点关于对称轴的对称点，交对称轴于点，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，
的值最小，即周长最小，
设直线解析式为：，则，
解得：，
故直线的解析式为：，
当时，，
，
最小周长是：． 

【解析】直接将，代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出函数顶点坐标；
分别得出，，，进而利用勾股定理的逆定理得出即可；
利用轴对称最短路线求法得出点位置，再求周长最小值．
此题主要考查了二次函数综合以及利用轴对称求最短路线和勾股定理的逆定理等知识，得出点位置是解题关键．