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2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练(新高考通用)专题2-7导数压轴大题归类-2
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这是一份2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练(新高考通用)专题2-7导数压轴大题归类-2,共66页。
题型08 “能”成立求参:正余弦型
【典例1-1】
(2017·江苏淮安·高三江苏省淮安中学阶段练习)
1.函数.
(1)求证:函数在区间内至少有一个零点;
(2)若函数在处取极值,且,使得成立,求实数的取值范围.
【典例1-2】
(2023·全国·高三专题练习)
2.已知函数f(x)=x+2﹣2csx
(1)求函数f(x)在[,]上的最值:
(2)若存在x∈(0,)使不等式f(x)≤ax成立,求实数a的取值范围
【变式1-1】
(2020·四川泸州·统考二模)
3.已知函数.
(1)求证:当x∈(0,π]时,f(x)<1;
(2)求证:当m>2时,对任意x0∈(0,π] ,存在x1∈(0,π]和x2∈(0,π](x1≠x2)使g(x1)=g(x2)=f(x0)成立.
【变式1-2】
(2023·全国·高三专题练习)
4.已知函数,.
(1)若在处的切线为,求的值;
(2)若存在,使得,求实数的取值范围.
题型09 零点型求参:常规型
【解题攻略】
【典例1-1】
零点常规型求参基础:
1.分类讨论思想与转化化归思想
2.数形结合与单调性的综合应用:一个零点,则多为所求范围内的单调函数,或者“类二次函数”切线处(极值点处)
3.注意“找点”难度,对于普通学生,可以用极限思维代替“找点思维”.
(2023上·安徽安庆·高一安庆市第二中学校考阶段练习)
5.已知函数为上的偶函数,为上的奇函数,且.
(1)求的解析式;
(2)若函数在上只有一个零点,求实数的取值范围.
【典例1-2】
(2023上·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习)
6.已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)若函数无零点,求的取值范围;
(3)设,(其中实数).若函数有且只有一个零点,求的取值范围.
【变式1-1】
(2023上·江苏南通·高三统考期中)
7.已知.
(1)试判断函数的单调性;
(2)若函数有且只有一个零点,求实数a的取值范围.
【变式1-2】
(2023·陕西汉中·校联考模拟预测)
8.已知函数.
(1)若函数在上单调递增,求的最小值;
(2)若函数有且只有一个零点,求的取值范围.
题型10 零点型求参:双零点型
【解题攻略】
利用导数解决有两个零点,求实数的取值范围问题,综合性强,难点在于要分类讨论参数的范围,进而判断函数的单调性,确定极值的正负问题,关键在于要多次构造函数,利用导数判断函数单调性.
【典例1-1】
(2023·全国·模拟预测)
9.已知函数.
(1)当时,求曲线过原点的切线的方程.
(2)若有两个零点,求实数的取值范围.
【典例1-2】
(2023·四川泸州·统考一模)
10.已知函数,且恒成立.
(1)求实数的最大值;
(2)若函数有两个零点,求实数的取值范围.
【变式1-1】
(2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测)
11.已知函数.
(1)当时,求的图象在处的切线方程;
(2)若函数有两个零点,求实数的取值范围.
【变式1-2】
(2023下·山西晋城·高三校考阶段练习)
12.已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若有两个零点,求实数的取值范围.
题型11 零点型求参:多零点综合型
【解题攻略】
三个以及三个以上零点,较复杂,综合度较大.
1.三个零点型,注意是否有容易观察出来的零点,这样可以转化为两个零点型以降低难度.
2.三个零点型,可通过讨论,研究函数是否是“类一元三次函数”型.
3.如果函数有“断点”,注意分段讨论研究.
【典例1-1】
(2021下·重庆江北·高三校考阶段练习)
13.已知函数.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)已知函数,记函数,若函数有三个零点,求实数的取值范围.
【典例1-2】
(2022上·广西钦州·高三校考阶段练习)
14.已知在区间,上的值域,.
(1)求的值;
(2)若不等式在,上恒成立,求实数的取值范围;
(3)若函数有三个零点,求实数的取值范围.
【变式1-1】
(2020·浙江·模拟预测)
15.已知函数.
(1)求函数的最值;
(2)已知函数,设函数,若函数有三个零点,求实数的取值范围.
【变式1-2】
(2022上·福建泉州·高三校考开学考试)
16.已知函数.
(1)求函数的极值点;
(2)当时,当函数恰有三个不同的零点,求实数的取值范围.
题型12 同构型求参:双变量同构
【解题攻略】
双变量同构型,较多的是含有绝对值型.
1.含绝对值型,大多数都是有单调性的,所以可以通过讨论去掉绝对值.
2.去掉绝对值,可以通过“同构”重新构造函数.
不含绝对值型,可以直接调整构造函数求解
【典例1-1】
(2019·河南郑州·统考二模)
17.已知函数.
(1)曲线在点处的切线方程为,求,的值;
(2)若,时,,都有,求的取值范围.
【典例1-2】
(2020上·河南三门峡·高二统考期末)
18.已知函数.
(Ⅰ)若在处的切线方程为,求a的值;
(Ⅱ)若,,都有恒成立,求实数a的取值范围.
【变式1-1】
(2019上·河南平顶山·高三统考阶段练习)
19.已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)设,若对任意、,且,都有,求实数的取值范围.
【变式1-2】
(2019上·河南平顶山·高三统考阶段练习)
20.已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)设,,若对任意,且,都有,求实数的取值范围.
题型13 虚设零点型求参
【解题攻略】
虚设零点转化技巧:
(1)整体代换:把超越式子(多为指数和对数式子)转化为普通的(如二次函数一次哈数等)可解式子,如比值代换等等.
(2)反代消参:反解参数代入,构造单一变量的函数.如果要求解(或者要证明)的结论与参数无关,则可以通过反解参数,用变量(零点)表示参数,然后把函数变成关于零点的单一函数,再对单一变量求导就可以解决相应的问题.
(3)留参降次(留参、消去指对等超越项):如果要求解的与参数有关,则可以通过消去超越项,建立含参数的方程或者不等式.恒等变形或者化简方向时保留参数,通过“降次”变换,一直降到不可再降为止,再结合条件,求解方程或者不等式,解的相应的参数值或者参数范围.
【典例1-1】
(2023·河南安阳·统考二模)
21.已知函数,.
(1)若曲线有两条过点的切线,求实数m的取值范围;
(2)若当时,不等式恒成立,求实数a的取值集合.
【典例1-2】
(2023·天津河北·统考一模)
22.已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性;
(3)若对任意的,都有成立,求整数的最大值.
【变式1-1】
(2023·河南安阳·统考三模)
23.已知函数.
(1)证明:曲线在处的切线经过坐标原点;
(2)记的导函数为,设,求使恒成立的的取值范围.
【变式1-2】
(2023·甘肃兰州·校考模拟预测)
24.已知函数,(,为自然对数的底数).
(1)求函数的极值;
(2)若对,恒成立,求的取值范围.
高考练场
(2024·全国·模拟预测)
25.已知函数.
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)若在上恒成立,求的取值范围.
(2023上·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习)
26.设函数.
(1)讨论在区间上的单调性;
(2)若在上恒成立,求的取值范围.
(2023·山东德州·三模)
27.已知函数,其中.
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性;
(3)若存在两个极值点的取值范围为,求的取值范围.
(2023下·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考期末)
28.已知函数
(1)若,讨论的单调性.
(2)当时,都有成立,求整数的最大值.
(2023·江苏扬州·统考模拟预测)
29.已知函数.
(1)若,求证:;
(2)当时,对任意,都有,求整数的最大值.
(2023上·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)
30.已知函数.
(1)试讨论的极值点的个数;
(2)若,且对任意的都有,求的取值范围.
(2023·福建厦门·厦门一中校考三模)
31.已知函数.
(1)若,设,讨论函数的单调性;
(2)令,若存在,使得,求的取值范围.
(2023·河南·校联考模拟预测)
32.已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若对于任意的,都存在,使得成立,试求实数的取值范围.
(2020·江西·校联考模拟预测)
33.已知函数在上单调递增,函数.
(1)求的值;
(2)若存在,使得成立,求m的取值范围.
(2024·全国·高三专题练习)
34.已知函数.
(1)当时,证明:;
(2)若函数在上只有一个零点,求实数a的取值范围.
(2022上·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习)
35.已知函数是自然对数的底数,且.
(1)若是函数在上的唯一的极值点,求实数的取值范围;
(2)若函数有两个不同的零点,求实数的取值范围.
(2021上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习)
36.已知,.
(1)讨论在区间上的单调性;
(2)若,且在上有三个零点,求实数的取值范围.
(2019·河南郑州·郑州一中校考模拟预测)
37.已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)对任意的,,,恒有,求实数的取值范围.
(2020秋·辽宁营口·高三营口市第二高级中学校考阶段练习)
38.已知函数,
(1)判断函数在区间上的单调性;
(2)若当时,恒成立,求正整数的最大值.
参考答案:
1.(1)见解析;(2)
【分析】(1)由零点存在定理进行论证;
(2)先由极值定义得,再分离参变得,转化为求函数最大值,利用导数不难得为单调减函数,因此,即得实数的取值范围.
【详解】(1)因为,
所以,从而,
,
若,则,
所以函数在区间内至少有一个零点;
若,则,
所以,
又函数在区间上连续不断,
所以由零点存在定理可知函数在区间内至少有一个零点;
综上:函数在区间内至少有一个零点;
(2)因为,
所以,
又函数在处取极值,
所以,即,
解得,
当时,,,
当时,,递增;
当时,,递减;
所以时,函数在处取的极大值,
所以,
,使得成立,
即等价于,
令,,则,
,
,
,
即(等号在和处取等),
所以在上单调递减,,
所以,
又,
所以,
所以实数的取值范围是
【点睛】方法点睛:本题考查不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化:
一般地,已知函数,
(1)若,总有成立,故;
(2)若,使得成立,故;
2.(1)f(x)min=2,f(x)max=2;(2)(1,+∞).
【分析】(1)求导后分析导数的正负再求得函数的单调性与最值即可.
(2)设,再代入,求导得的值域为,再根据的范围进行讨论,分析的最大值即可.
【详解】(1)f'(x)=1+2sinx,
当x时,由f'(x)<0得,,由f'(x)>0得,,
∴函数f(x)在[,)上单调递减,在(,]上单调递增,
∴f(x)min=f()=2,f(x)max=f()=2;
(2)存在x∈(0,)使不等式f(x)≤ax成立,即x+2﹣2csx<ax成立,
设g(x)=f(x)﹣ax=x+2﹣2csx﹣ax,则g(0)=0,g'(x)=1+2sinx﹣a,
当x∈(0,)时,1+2sinx∈(1,3),所以g'(x)∈(1﹣a,3﹣a),
由于1﹣a≥0即a≤1时,g'(x)>0,则g(x)>g(0)=0,即f(x)>ax恒成立,不满足题意,
故1﹣a<0,即a>1,此时g'(0)=1﹣a<0,
因为g'(x)=1+2sinx﹣a在(0,)上单调递增,
所以存在区间(0,t)⊆(0,),使x∈(0,t)时,g'(x)<0,
所以g(x)在(0,t)上单调递增,则当x∈(0,t)时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,
所以实数a的取值范围是(1,+∞).
【点睛】本题主要考查了利用导数求解区间上的最值问题以及分参数的讨论证明函数的不等式问题,属于难题.
3.(1)证明见解析.(2)证明见解析
【分析】(1)变换得到,设,求导得到最值得到答案.
(2)只需要求出f(x)在(0,π]上的值域,然后研究g(x)的单调性是先增后减或先减后增,同时说明每一段上的函数值范围都包含f(x)的值域即可.
【详解】(1),,即,设,
则,函数单调递减,故,即,得证.
(2)f(π)=0,当时,,故f(x)的值域为[0,1).
又因为g′(x),x∈(0,π],m>2.
令∈(0,1).显然y=mx﹣2是增函数.
∴时,g′(x)<0,g(x)递减;,g′(x)>0,g(x)递增.
此时g(x)min,(m>2).
将上式化简并令r(m)=2lnm﹣m+2﹣2ln2,m>2.
∵,∴r(m)在(2,+∞)上递减.
所以r(m)<r(2)=0,故g(x)min<0.
显然当x→0时,g(x)→+∞,即当时,g(x)递减,
且函数值取值集合包含f(x)的值域[0,1);
而g(π)=(π﹣1)m﹣2lnπ>2(π﹣1)﹣2lnπ=2(π﹣1﹣lnπ)>2(3﹣1﹣lnπ),
∵,∴,
即当x时,g(x)递增,且函数值取值集合包含f(x)的值域[0,1).
所以当m>2时,对任意x0∈(0,π],存在x1∈(0,π]和x2∈(0,π](x1≠x2)
使g(x1)=g(x2)=f(x0)成立.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等问题.考查了学生运用数学思想方法(转化与化归、数形结合、函数与方程分类讨论)解决问题的能力.同时考查了学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养.属于较难的题目.
4.(1) ;(2)
【分析】(1)因为在处的切线为,即:,所以 .
(2)通过分离参数,转化为,进而求导,判断单调性,即可得出答案.
【详解】(1)由题意得: ,又因为在处的切线为
所以,所以 .
(2)存在,使得 ,
又因为,所以.
所以在上有解.
设 ,即:在上有解在上有解.
设
所以又因为,所以 , .故
所以, ,所以在上单调递增.即在上单调递增.
又因为 ,所以,故
所以在上恒大于0.所以在上单调递增.
故
所以
【点睛】本题主要考查导数的几何意义及参变分离方法,属于难题.
5.(1),.
(2)或.
【分析】(1)利用奇偶性求,通过解方程组法可得;
(2)利用对数函数性质化简方程(去对数号),再换元设,转化为关于的方程只有一个大于0的根,然后分类讨论可得参数范围.
【详解】(1)因为,①
所以,
又因为函数为上的偶函数,为上的奇函数,
所以,②
由①②得,.
(2)若函数在上只有一个零点,
则在上只有一个根,
则在上只有一个根,
令,
则方程正根有且只有一个,
当,即或(舍)时,方程的根为,符合正根有且只有一个;
当且,即且,若正根有且只有一个,
则,解得:;
当时,方程的根为,符合正根有且只有一个;
综上所述:或.
6.(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据偶函数的定义及对数的运算即可求解;
(2)先结合(1)得到,则函数无零点等价于与无交点,进而即可求出的取值范围;
(3)依题意可得,设,,则(*),再分,,三种讨论问题等价于关于的(*)方程有唯一实根,进而即可求出的取值范围.
【详解】(1)由是偶函数,则对于,都有,
即,
即,即,即,所以,解得.
(2)结合(1)知,
所以,即,
又,则,
令,即,
因为无零点,即关于的方程无解,
即与无交点,所以,
即当时,无零点,故满足条件的的取值范围是.
(3)由函数的零点即方程的根,
而,
,
,
设,,则(*),
令,,
又,则,
①当时,则,所以问题等价于关于的(*)方程在有唯一实根;
又因为,,
则由二次函数图象可知只需且,得;
②当时,则,得,不合题设;
③当,则,所以问题等价于关于的(*)方程在时有唯一实根;
又因为,
则由二次函数图象可知只需且,无解.
综上,.
【点睛】关键点睛:本题第3小问的解决关键是熟练掌握二次函数零点的分布,从而得解.
7.(1)答案见解析
(2)或
【分析】(1)求导,讨论,两种情况,由导数得出其单调性;
(2)将的零点问题化为函数零点问题,讨论、、、,由其单调性结合零点个数得出实数a的取值范围.
【详解】(1)解:,
所以
当时,因为,所以函数在上为增函数
当时,函数在上为减函数,在上增函数
综上所述:①当时,函数为增函数;
②当时,函数在上为减函数,在上为增函数
(2)若函数有且只有一个零点,则函数有且只有一个零点,且,
由(1)知:当时,函数为增函数,此时只有一个零点,满足题意
当时,
①时,因为函数在上为减函数,所以,
因为,因为函数在上为增函数,
所以唯一,使,所以函数恰有两个零点,不满足题意
②时,因为函数在上为增函数,所以,
,
因为,函数在上为减函数,
所以唯一,使,所以函数恰有两个零点,不满足题意
③时,函数在上为减函数,在上为增函数,
所以,函数有且只有一个零点,满足题意.
综上所述:实数的取值范围为或
【点睛】关键点睛:解决第二问时,关键在于将的零点问题化为函数零点问题,借助其单调性以及零点个数得出参数的范围.
8.(1)
(2)
【分析】(1)求导,根据函数在上单调递增,可得在恒成立,进而可得出答案;
(2)函数有且只有一个零点,令,则曲线与直线的图象只有一个交点,利用导数求出函数的单调区间及极值,作出函数的大致图象,结合函数图象即可得解.
【详解】(1),
函数在上单调递增,
在恒成立,
故,得,
的最小值为;
(2),
函数有且只有一个零点,
即方程只有一个根,
令曲线与直线的图象只有一个交点,
,
令,解得或,令,解得,
在上单调递增,上单调递减,
又,,
当时,,当时,,
如图,作出函数的大致图象如下所示:
曲线与直线的图象只有一个交点,
,
即的取值范围为.
【点睛】方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:
(1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图象,然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用;
(2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;
(3)参变量分离法:由分离变量得出,将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
9.(1)
(2)
【分析】(1)根据函数解析式,求导,设出切点,写出切线方程,代入已知点,建立方程,可得答案;
(2)根据函数解析式,以分子的代数式构建新函数,求导利用分类讨论思想,结合隐零点的解题方法,可得答案.
【详解】(1)当时,.设切点为.
因为,所以,所以切线方程为.
将原点的坐标代入,可得,整理,得.
解得.故曲线过原点的切线的方程为.
(2)函数的定义域为.
令,则有两个零点等价于有两个零点.
易得.
当时,,
所以在上单调递增,则至多有一个零点,因此.
令,则,所以在上单调递增.
因为,,所以存在,使得,则.
所以当时,,即,所以在上单调递减;
当时,,即,所以在上单调递增.
因此,.
由,得,则,
故.
当时,,则在上没有零点.
当时,,则在上只有一个零点.
当时,.
因为,所以,所以.
因为,
所以在上有且只有一个零点,即在上有且只有一个零点.
易得.
设,则.
易知在上单调递增,则,
所以在上单调递增,则,
所以,所以在上有且只有一个零点,即在上有且只有一个零点.
综上可知,实数的取值范围为.
【点睛】本题的解题关键在于利用导数研究函数的单调性,结合零点存在性定理解题;在整理导数时,利用分类讨论思想以及隐零点的解题思路,可得答案.
10.(1)
(2)
【分析】(1)当时显然成立,当时利用导数说明函数的单调性,分和两种情况讨论,结合零点存在性定理说明不成立,即可求出的取值范围;
(2)求出函数的导函数,令,则,令,再分、两种情况讨论,当时令,解得,,再分、、三种情况讨论,结合函数的单调性与零点存在性定理计算可得.
【详解】(1)当时,因为,所以,则,
所以,符合题意;
当时,令,,
则,所以在上单调递减,
所以,
当时,则在上单调递减,
所以,符合题意,
当时,,
所以存在使得,所以当时,
则在上单调递增,所以,不符合题意,
综上可得的取值范围为,故的最大值为.
(2)因为,,
则
,
令,则,令,
当时则当时,当时,
即当时,当时,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以当时,所以在上至多有一个零点,不合题意;
当时令,解得,,
当,即时在上恒成立,
所以当时恒成立,
即在上单调递增,所以,不合题意;
当,即时,时,时,
所以,,即时,
当时,
所以在,上单调递增,在上单调递减,
所以,(其取不到),
因为,,
所以当,即时,,
则在上没有零点,不符合题意;
当,即时,,,
所以在和上各有一个零点,符合题意;
当,即时,当时,当时,
所以当时,当时,
所以在上单调递增,在上单调递减,
当时,所以在上至多有一个零点,不合题意;
综上可得实数的取值范围为
【点睛】方法点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
11.(1)
(2).
【分析】(1)根据切线的几何意义得到,根据点斜式可得到方程;
(2)对进行求导,然后分,和且三种情况研究其单调性,判断最值的符号,结合零点存在定理即可
【详解】(1)因为,其定义域为,
因为,所以,所以,所以
又,所以的图象在处的切线方程为,即.
(2)由题意知,且其定义域为,易知,且,
当时,在上恒成立,
所以在上单调递增,不可能有2个不同零点,不合题意;
当时,令,则,
故在上单调递减,
当时,,且,
所以当时,,即,当时,,即,所以在上单调递增,在上单调递减,
所以在处取得极大值,且,此时函数仅有一个零点,不合题意.
当且时,,
所以存在唯一的,使得,即,所以,
当时,,即;当时,,即,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,
又,所以.
设,则,
当时,;当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
于是,所以(当且仅当时等号成立),
因为,所以,所以,
又在上单调递增,在上单调递减.
①当时,由,令,显然在上单调递增,
因为,所以,又,
所以,且由可得,
令,则,可得,
所以在上,单调递减,
从而,即.
所以,从而在内必有另一个零点,
故此时有两个零点.符合题意.
②当时,所以,
因为在定义域内是单调递增函数,且当时,,
所以,此时时,时,,
设,可得.
令,
所以在上单调递减,从而,故,
从而,且当时,存在,使得,
也即当有两个零点.
综上,所求实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛:对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略:
1、通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,从而求出参数的取值范围;
2、利用可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时,一般涉及分离参数法,但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况,进行求解,若参变分离不易求解问题,就要考虑利用分类讨论法和放缩法,注意恒成立与存在性问题的区别.
12.(1)答案见解析.
(2).
【分析】(1)求出函数的导数,分和两种情况进行讨论,当时,根据导数等于0,求得根,从而再讨论根的大小,判断函数的单调性;
(2)分和,三种情况进行讨论函数的单调性,判断零点情况,当时,结合函数单调性,求得函数最小值,根据题意列出不等式求得参数范围;当时,函数只有一个零点,时,结合函数单调性,判断极值情况,说明至多只有一个零点,不符合题意,综合可得答案.
【详解】(1)由题意知,函数的定义域为,
则,
(i)当时,恒成立,
当时,,函数在上单调递减,
当时,,函数在单调递增,
(ii)当时,令,解得,或, (舍去),
当,即时,,函数在上单调递减,
当时,即,
当,或时,,函数在,上单调递减,
当时,,函数在单调递增,
当时,即,
当时,,函数在递减,
当时,,函数在单调递增,
综上所述:当时,函数在上单调递减,在单调递增,
时,函数在上单调递减,在上单调递增;
当时,函数在上单调递减,
当时,函数在,上单调递减,在单调递增.
(2)由(1)知,当时,函数在上单调递减,在单调递增,而,
令,则在成立,故在单调递减,
所以,且趋向于时,趋向于,即趋向于,
又在上恒负,且趋向于时,趋向于0,
综上,在趋向于时,趋向于,
∴函数有两个零点等价于,结合,解得 ;
当时,只有一个零点,不符合题意;
当时,函数在上单调递减,至多只有一个零点,不符合题意;
当且时,由(1)知有两个极值点,而,
又,下研究其符号:
令,则,
令,则,
当,,在递减,
当时,,在上单调递增,
故,即在上单调递减,
当趋向于0时,趋向于0,即g(x)恒负,故,
此时,至多只有一个零点,不符合题意,
综合上述,实数m的取值范围为.
【点睛】关键点点睛:利用导数解决有两个零点,求实数的取值范围问题,综合性强,难点在于要分类讨论参数的范围,进而判断函数的单调性,确定极值的正负问题,关键在于要多次构造函数,利用导数判断函数单调性.
13.(1)当时,函数在R上单调递减;
当时,函数在,上递减,在上递增;
当时函数在,上递减,在上递增.
(2).
【分析】求出导函数,得到函数的两个极值点,根据大小关系分类确定单调区间以及单调性;
分类确定和的大小,由导数求得的单调性和极值,结合函数图象,由极值的符号解不等式求得t的范围.
【详解】解:(1),
,令,得,
当时,,,故函数在R上单调递减;
当时,,故函数在,上递减,在上递增;
当时,,故函数在,上递减,在上递增.
由已知,在有且仅有一个零点,
当时,,由得,
此时有三个零点.
当时,,得,,
故函数在上递减,在上递增;,,
当时,,故在上仅有一个零点;
若函数有有三个零点,则需满足,解得;
当时,
若,则为单调函数,所以函数至多有2个零点,不合题意,舍;
若,,,故在至多有1一个零点,所以函数至多有2个零点,不合题意,舍;
,,,
当,即时,函数至多有2个零点,不合题意,舍;
当,即时,,函数恰有3个零点,符合题意;
当,即时,;
令,则,
故在单调递减,,即,
此时函数有4个零点,不合题意,舍;
综上,实数的取值范围是
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及函数的零点问题,考查运算能力,考查分类讨论思想,转化思想,属于较难题.
14.(1);(2);(3).
【分析】(1)对配方,求出对称轴,讨论若时,若时,若,由单调性可得最小值,解方程,即可得到所求的值;
(2)由题意可得,化为,令,求出的范围,求得右边函数的最小值即可得到的范围;
(3)令,可化为有3个不同的实根,令,讨论的范围和单调性,有两个不同的实数解,,已知函数有3个零点等价为,或,,记,由二次函数图象可得不等式组,解不等式可得的范围.
【详解】(1)在区间,上的值域,.
若时,的最小值为(a),
由,可得舍去),满足在区间,上的值域,;
若时,在,递减,的最小值为(3),
由(3),解得(舍去);
若,则在,递增,的最小值为(1),
由(1),解得.
综上可得,;
(2)由即,
化为,令,由可得,
则,,
记,,由单调递减,可得的最小值为,
则的取值范围是;
(3)令,可化为有3个不同的实根.
令,则,由,当时,,,且递减,
当时,,且递增,
当时,.当时,,且递增,
有两个不同的实数解,,
已知函数有3个零点等价为,或,,
记,则或,
解得或无实数解,
综上可得,的取值范围是.
【点睛】本题考查二次函数在闭区间上最值问题,注意对称轴和区间的关系,考查不等式恒成立问题解法,注意运用参数分离和构造函数法,考查函数零点问题,注意转化思想运用,考查分类讨论思想方法运用,以及运算化简能力,属于难题.
15.(1)最大值为,无最小值;(2)或.
【分析】(1)求出函数导数,判断单调性,即可求出最值;
(2)利用导数讨论的范围即可求解.
【详解】(1)∵,∴,当时,,当 时,
∴在上为增函数,在上为减函数,
所以,函数在处取得最大值为,无最小值.
(2).
①当时,须满足,∴;
②当时,,
∵,,所以方程的两根,
此时函数有三个零点,符合题意;
③当时,在上递减,上递增,上递减,
∴一定不符合;
(i)若,则,此时,
所以,函数有三个零点,符合题意;
(ⅱ)若,则,
此时.
(三部分都为正),所以,函数有四个零点,不符合题意;
④当时,单调减函数,故函数最多两个零点,不合题意;
⑤当时,函数的极大值,
所以,函数不可能有三个零点,不合题意.
综上所述,实数的取值范围是或.
【点睛】本题考查利用导数求函数最值,考查利用导数讨论函数的零点,属于较难题.
16.(1)答案见详解
(2)
【分析】(1)求导,分情况讨论原函数的单调性,进而可得极值;
(2)求导,分情况讨论原函数的单调性,注意到,并结合零点存在性定理判断在上的零点,进而求在上的零点,即可得结果.
【详解】(1)由题意可得:,且的定义域为,
当时,则当时恒成立,
故在内单调递增,即无极值点;
当时,令,解得,
故在上单调递增,在上单调递减,则有极大值点,无极小值点;
综上所述:当时,无极值点;
当时,有极大值点,无极小值点.
(2)由题意可得: ,且的定义域为,
则,
∵,构建,则的开口向下,对称轴,
当,即时,则当时恒成立,
故在内单调递减,
则在定义域内至多有一个零点,不合题意;
当,即时,设的两个零点为,不妨设,
则有:,可得,
令,则,
故在上单调递增,在上单调递减,
可得分别在内至多只有一个零点,即至多只有三个零点,
∵,故在内的零点为2,
可得,
对于,
构建,则当时恒成立,
则在上单调递增,且,
故,即,
∴在内存在零点,即,
注意到,
可得,且,
故在内存在零点,
可得有三个零点,符合题意;
综上所述:当函数恰有三个不同的零点,则实数的取值范围为.
【点睛】方法定睛:对于函数零点的个数的相关问题,利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是:
(1)构造函数,这是解决此类题的关键点和难点,并求其定义域;
(2)求导数,得单调区间和极值点;
(3)数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.
17.(1),;(2).
【分析】(1)对f(x)求导,由给定的切点、切线方程列出关于a,b的方程而得解;
(2)将给定不等式等价转化,构建新函数,利用函数单调性即可求得.
【详解】(1)由题意,,切线斜率为-1,切点,
即,得,又,,即,;
(2)当,,时,,在上单调递减,
不妨令,则,原不等式即为,
即,即,
令,则在上为单调增函数,
∴有在上恒成立,
即,,令,,,
令,,∴在上单调递减,,则,在上为单调增函数,
∴,即,综上,.
【点睛】含双变量且具有斜率意义的函数不等式恒成立问题,分离变量,构建函数是关键,再研究函数单调性是方法.
18.(Ⅰ);(Ⅱ).
【分析】(Ⅰ)求出函数的导函数,依题意可知,即可求出参数的值.
(Ⅱ)由已知在区间上是增函数,函数是减函数,不妨设,由已知得,,所以,构造函数,参变分离即可求出参数的取值范围.
【详解】(Ⅰ)求导,
在处的切线方程为,即斜率为,
,即,解得.
(Ⅱ)若,,,在区间上是增函数,函数是减函数,
不妨设,由已知,,所以,
设,,
则在区间是减函数,
在上恒成立,,
令,求导在上恒成立,
单调递减,,
所以,故.
【点睛】关键点点睛:本题考查利用导数求函数的最值,以及利用导数研究双变量不等式问题,解题的关键就是将问题转化为函数的单调性问题,结合导数不等式在区间上恒成立来求解,考查化归与转化思想,属于中等题.
19.(1)见解析;(2).
【分析】(1)求出函数的定义域和导数,然后分和两种情况讨论,分析在的符号,可得出函数的单调区间;
(2)设,由函数和在上的单调性,将不等式等价转化为,并构造函数,将问题转化为函数在上是减函数,然后由在上恒成立,结合参变量分离法可求出实数的取值范围.
【详解】(1)函数的定义域为,.
当时,恒成立,此时,函数在上单调递增;
当时,由得;由得.
此时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为;
(2)时,函数在上递增,在上递减,
不妨设,则,,
等价于,
即,令,
等价于函数在上是减函数,
,即在恒成立,
分离参数,得,
令,,在上单调递减,
,,又,故实数的取值范围为.
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间,同时也考查了利用导数研究双变量不等式,解题的关键就是将双变量不等式转化为函数单调性来处理,考查化归与转化思想,属于中等题.
20.(Ⅰ)答案不唯一,见解析;(Ⅱ) (0,2]
【分析】(1)先求出,然后讨论在定义域内导函数符号问题. 即得函数的单调区间,
(2)先根据的单调性,以及 的单调性将转化为,进一步转化为,从而得新函数在(0,1]上是减函数,即恒成立,求出参数的范围.
【详解】(Ⅰ)
当时,函数定义域为(0,+∞),恒成立,此时,函数在(0,+∞)单调递增;
当时,函数定义域为(一∞,0),恒成立,此时,函数在(一∞,0)单调递增.
(Ⅱ)时,函数定义域为(0,+∞),在(0,1]上递增,在(0,1]上递减,
不妨设,则
∴等价于
即
令
等价于函数在(0,1]上是减函数,
∴
令
即在(0,1]恒成立,分离参数,
得
令,.
∴在(0,1]递减,
∴,
又t∈[3,4],
∴,
又,故实数的取值范围为(0,2].
【点睛】(1)讨论函数单调性,可以先求出函数定义域,然后求导,研究导函数在定义域范围内的函数值符号问题.
(2)恒成立为题常注意一下几种情况的等价转化:
1. 恒成立
2. 恒成立
3.任意的都有恒成立恒成立,令,转化为(1)的情况
4. 任意的都有恒成立恒成立
本题属于第4种情况.
21.(1)
(2)
【分析】(1)设切点坐标,对函数求导,写出切线方程将点代入后根据已知条件建立不等式求解即可;
(2)构造函数对函数求导,再由不等式恒成立等价出问题,利用函数导数的单调性进行分析求解即可.
【详解】(1)设切点坐标为.
因为,
所以切线方程为,
将代入,可得.
因为曲线有两条过点的切线,
所以,解得或,
故实数的取值范围是.
(2)设,
则.
当时,,单调递增,又,
因为当时,,
当时,,
所以不恒成立.
当时,设,
则,
所以在上单调递增,
又当且时,,当时,,
故,使得,
当时,,,
当时,,.
因为,所以.
故
.
因为,所以只需.
设,则.
当时,,当时,,
所以,所以.
所以,故,
所以,,所以,
故实数a的取值集合为.
【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现,
难度相当大,主要考向有以下几点:
1、求函数的单调区间(含参数)或判断函数(含参数)的单调性;
2、求函数在某点处的切线方程,或知道切线方程求参数;
3、求函数的极值(最值);
4、求函数的零点(零点个数),或知道零点个数求参数的取值范围;
5、证明不等式;
解决方法:对函数进行求导,结合函数导数与函数的单调性等性质解决,
在证明不等式或求参数取值范围时,通常会对函数进行参变分离,构造新函数,
对新函数求导再结合导数与单调性等解决.
22.(1);
(2)递减区间是,递增区间是;
(3)3.
【分析】(1)求出函数的导数,再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
(2)利用导数求出的单调区间作答.
(3)等价变形给定的不等式,构造函数,利用导数求出函数的最小值情况作答.
【详解】(1)函数,求导得,则,而,
所以曲线在点处的切线方程是.
(2)函数的定义域是,,
当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,
所以函数的递减区间是,递增区间是.
(3),,
令,求导得,
由(2)知,在上单调递增,,,
因此存在唯一,使得,即,
当时,,即,当时,,即,
因此函数在上单调递减,在上单调递增,
于是,则,
所以整数的最大值是3.
【点睛】关键点睛:涉及不等式恒成立问题,将给定不等式等价转化,构造函数,利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
23.(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据导数的几何意义求出函数在处的切线方程即可证明;
(2)把不等式恒成立转化为求函数的最大值小于等于零恒成立,然后利用导数求出函数的最大值即可得结果.
【详解】(1)由已知得,
所以,又,
所以在处的切线方程为,
即,恒过坐标原点.
(2),定义域为,
.
当时,在上单调递增,且,故不恒成立.
当时,设,则,
则当时,在上单调递减,
又,
因为,所以,即,
由零点存在定理知在内存在唯一零点,
即,即.
当时,,于是在上单调递增,
当时,,于是在上单调递减,
所以在处取得极大值也是最大值,要使恒成立,只需.
因为,
由,解得,
故所求的的取值范围是.
【点睛】方法点睛:恒(能)成立问题的解法:
若在区间上有最值,则
(1)恒成立:;;
(2)能成立:;.
若能分离常数,即将问题转化为:(或),则
(1)恒成立:;;
(2)能成立:;.
24.(1)极大值为,无极小值
(2)
【分析】(1)求导后,根据的正负可求得的单调性,根据极值的定义可求得结果;
(2)分离变量可将问题转化为在上恒成立;求导后可令,利用导数可求得的单调性,利用零点存在定理可求得的零点,并得到的单调性,由此可求得,化简可得,由此可求得的取值范围.
【详解】(1)定义域为,,
当时,;当时,;
在上单调递增,在上单调递减,
的极大值为,无极小值.
(2)由得:,在上恒成立;
令,则;
令,则,
在上单调递增,又,,
,使得,则,
当时,;当时,;
在上单调递减,在上单调递增,;
由得:,,
,,
则实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛:本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解;本题求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式,将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题,从而利用导数求解函数最值来求得变量的取值范围.
25.(1)在上单调递增,在上单调递减
(2)
【分析】(1)已知由得,由得函数的单调性
(2)由题意可得如果在上恒成立在上恒成立,由
的单调性当时,,单调递增,当时,,单调递减的取值范围.
【详解】(1)当时,,
则,
由得,
由得,
所以在上单调递增,在上单调递减.
(2)解法一 : 当时,,故由在上恒成立,得在上恒成立.
令,
则,.
设,则.
设,则,
令,得,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
又,,,
所以存在,使得,
且当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
又,
所以当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以,
所以,即的取值范围为.
解法二 : 由在上恒成立,得,即.
下面证明当时,在上恒成立.
,
令,
要证在上恒成立,只需证在上恒成立.
,
设,
则,
令,得,
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以当时,取到极小值也是最小值,
所以,
又,,
故存在,使得,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
故当时,.
综上,的取值范围为.
【点睛】判断函数的单调性是导数的重要作用之一,而导数值的符号与函数的单调性密切相关,因此判断导函数的符号至关重要,判断导函数的符号的关键在于寻找“零点”,求解本题的关键就是多次构造函数并求导,从而得到函数的单调性,其中,在判断的零点时,用到了“隐零点”的知识,需要考生选取合适的值,根据零点存在定理找到所在的区间.
26.(1)在上单调递减
(2)
【分析】(1)求导得到,结合三角函数的性质与指数函数的性质得到,从而得解;
(2)构造函数,再求导得,从而利用导数得到在上单调递增且,分类讨论和即可得解.
【详解】(1)因为,,所以,
因为,所以,,则,,
即在恒成立,即在上单调递减.
(2)由题意,得当时,,即,即.
令,,则,
设,则,
当时,,,所以,
所以在上单调递增,则,
①当时,,则,
所以在上单调递增,所以恒成立,符合题意.
②当时,则,且由指数函数爆炸增长性质可知,当时,,
则由零点存在定理可知,必存在正实数满足,
则当时,,在上单调递减,
此时,不符合题意.
综上,的取值范围是.
【点睛】关键点睛:利用导数证明不等式时,一般需要对结论进行合适的转化,本题转化为只需证明在上的最小值大于即可,对不等式适当变形,构造函数是解决问题的第二个关键所在,一般需利用导数研究函数的单调性及最值,.
27.(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】(1)根据导数的几何意义可求出结果;
(2)求导后,分类讨论,根据导数的符号可得结果;
(3)根据存在两个极值点可得,且,根据单调性可得,将化为,利用比值代换可求出结果.
【详解】(1)当时,,定义域为,
所以,
所以,又,
所以函数在处的切线方程为,即.
(2)的定义域是,
,,
令,则.
①当或,即时,恒成立,所以在上单调递增.
②当,即时,由,得或;
由,得,
所以在和上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当时,在上单调递增;
当时,在和上单调递增,在上单调递减
(3)由(2)当时,在上单调递增,此时函数无极值;
当时,有两个极值点,即方程有两个正根,
所以,则在上是减函数.所以,
因为,
所以
,
令,则,
,
所以在上单调递减,
又,且,
所以,
由,
又在上单调递减,
所以且,所以实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛:涉及到双变量的问题一般可以利用比值代换处理,本题中,将化为后,设,化为关于的函数,再利用导数进行处理.
28.(1)答案见解析
(2)1
【分析】(1)求定义域,求导,分与两种情况,得到的单调性;
(2)变形得到,令,,只需,求导,结合隐零点得到的单调性和极值,最值情况,得到,从而求出整数的最大值.
【详解】(1),定义域为R,
且,
当时,恒成立,故在R上单调递增,
当时,令得,,此时单调递增,
令得,,此时单调递减,
综上:当时,在R上单调递增,
当时,在上单调递减,在上单调递增;
(2)由题意得,在上恒成立,
因为,所以,故,
令,,只需,
,
令,,
则在上恒成立,
故在上单调递增,
又,
故存在,使得,即,
当时,,,单调递减,
当时,,,单调递增,
故在处取得极小值,也是最小值,
,
所以,故整数的最大值为1.
【点睛】隐零点的处理思路:
第一步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,其中难点是通过合理赋值,敏锐捕捉零点存在的区间,有时还需结合函数单调性明确零点的个数;
第二步:虚设零点并确定取范围,抓住零点方程实施代换,如指数与对数互换,超越函数与简单函数的替换,利用同构思想等解决,需要注意的是,代换可能不止一次.
29.(1)证明见解析
(2)3
【分析】(1)将恒成立问题转化为最值问题,利用导数判断函数单调性进而即得;
(2)选特值,时,举反例验证结论不成立,从而得出,赋值,通过参数放缩与导数,来证明结论成立,即找到了整数的最大值.
【详解】(1)时,设,则,,
即在上恒成立,
在上单调增, 又,
即;
(2)时,当时,,所以.
下证符合.
时,当时,,所以当时,.
记,则只需证对恒成立.
,令,则在递减,
又,所以存在,使得,
则在递增,在递减;
又,所以存在使得,且,
所以在递增,在递减,又,所以对恒成立,
因为,所以符合.
综上,整数的最大值为3.
【点睛】当出现两个参数时,尽可能通过讨论或参数放缩来减少参数的个数,降低解题难度.
30.(1)答案见解析
(2)
【分析】(1)根据题意,求得,令,单调,令,求得,得到函数的单调性与最大值,进而得出答案.
(2)解法一:令,求得,得到函数的单调性,且,进而得在上单调递减,进而求得的取值范围;
解法二:由,当时,,不符合题意;当时,取得,得到有两个异号实根,分和,两种情况讨论,即可求解.
解法三:根据题意,把不等式的恒成立,转化为恒成立,令,求得,令,利用导数求得函数的单调性,得出在上单调递增,进而求得的取值范围.
【详解】(1)解:由函数的定义域为,可得,
令,即,令,则,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以,
又当时,且;且当时,,
所以当时,无极值点;
当时,有两个极值点;
当时,有1个极值点.
(2)解法一:由,可得,且,
若,即,则,使得时,,
所以在上单调递增,所以,此时与题意不符,
故,可得,
下证当时,对恒成立.
证明:令,则.
因为,所以对恒成立,
所以在上单调递减,所以,
所以,对恒成立,
所以在上单调递减,所以,所以对恒成立.
综上所述,实数的取值范围为.
解法二:由.
①当时,,不符合题意;
②当时,,
令,即,可得,且两根之积为,
所以有两个异号实根,设两根为,且,
若,当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以,此时不符合题意.
若,则,即,此时在上单调递减,
所以,符合题意.
综上所述,实数的取值范围为.
解法三:由.
若,则,满足题意;
若,则,令,则,
令,则,
因为,所以,
所以在上单调递增,所以,则在上恒成立,
所以在上单调递增,所以,
所以,即实数的取值范围为.
【点睛】方法总结:利用导数求解函数或不等式的恒成立(有解)问题的求解策略:
形如的恒成立的求解策略:
1、构造函数法:令,利用导数求得函数的单调性与最小值,只需恒成立即可;
2、参数分离法:转化为或恒成立,即或恒成立,只需利用导数求得函数的单调性与最值即可;
形如的有解的求解策略:
1、构造函数法:令,利用导数求得函数的单调性与最小值,只需恒成立即可;
2、参数分离法:转化为或恒成立,即或恒成立,只需利用导数求得函数的单调性与最值即可.
31.(1)在和上单调递减
(2)
【分析】(1)先写出,求,二次求导判断的单调性,得出,从而得出在和上单调递减,需注意单调性在各个区间上分开描述;
(2)先写出,求,讨论在上的最小值,使,解出的取值范围,最后取并集即可.
【详解】(1).
∴.
令,
则,
令,解得,
令,解得,
在上单调递增,在上单调递减.
∴,即
∴在和上单调递减.
(2)函数的定义域为,,
∴.
①当时,则,则当时,,∴函数在单调递增,
∴存在,使得的充要条件是,即,
解得;
②当时,则,则当时,,函数在上单调递减;
当时,,函数在上单调递增.
∴存在,使得的充要条件是,
而,不符合题意,应舍去.
③若时,,成立.
综上可得:的取值范围是.
【点睛】方法点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:
一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
32.(1)单调递增区间为,单调递减区间为
(2)
【分析】(1)求出导函数,由导数的正负确定单调性;
(2)利用导数求出的最小值,问题转化为不等式恒成立,再用分离参数法分离参数后转化为求函数的最大值.
【详解】(1)由题可知函数的定义域为.
因为,则.
当时,.
所以当时,,函数在上单调递减;
当时,,函数在上单调递增.
所以的单调递增区间为的单调递减区间为.
(2)因为,所以,
又,所以,故函数在上单调递增,
所以.
所以对任意的恒成立,即恒成立.
所以恒成立.
令,则.
令,则,解得.
当时,,所以函数在上单调递增;
当时,,所以函数在上单调递减.
所以.所以.
所以实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛:本题考查用导数研究函数的单调性、确定不等式恒成立问题.在含有全称量词与存在量词的命题中注意问题的转化:
(1)对于任意的,任意的,恒成立,
(2)对于任意的,存在,使得成立,
(3)存在,使得对任意的,都有成立,
(4)存在,存在,使得成立.
33.(1)(2)
【分析】(1)根据函数单调性可知导函数不小于0恒成立,转化为恒成立即可求解;
(2)构造函数,求函数导数,分类讨论,得出函数的单调性,求即可求解.
【详解】(1)∵
∵在上恒成立.
∴恒成立,即
∵,,
∴,
∴.
(2)令
∵,
∴
当时,即;
在上单调递增,
∴
∴
当时,即,
在上单调递减,
∴
∴
当时,存在使得
在上单调递减,在上单调递增
∴
∴,解得
综合上述:m的取值范围是
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,最值,分类讨论思想,不等式有解问题,属于难题.
34.(1)证明见解析;
(2).
【分析】(1)变形所证不等式,构造函数,利用导数探讨单调性推理作答.
(2)由函数零点的意义,分离参数并构造函数,再利用导数求出函数的值域作答.
【详解】(1)函数,不等式,
令函数,求导得,
当时,函数单调递减,即有函数单调递增,,
当时,,则有,因此,成立,
于是函数在上单调递增,则,即,
所以当时,不等式成立.
(2)当时,由得,令,,
求导得,令,,
求导得,即函数在上单调递减,,
于是,函数在上单调递减,,
而当时,,函数在上单调递减,其值域为,
因此函数在上的值域为,则函数在上只有一个零点,当且仅当,即,
所以a的取值范围为.
【点睛】关键点睛:涉及函数零点求参数问题,利用函数零点的意义等价变形等式,构造函数,利用导数探求新函数零点问题解决.
35.(1);
(2).
【分析】(1)求出函数的导数,得到在内无变号根或无根;设,讨论的范围,求出函数的最小值,得到关于的不等式,解出即可;
(2) ,,令,讨论的范围,去掉绝对值,结合函数的零点个数,确定出的取值范围.
【详解】(1)因为, ,
所以 ,
由题意是函数在上的唯一的极值点,
所以在上无变号根或无根,
设,则 ,
①当,且时,,,
所以在单调递增,,符合题意,
②当时,令,得,
时,,递减,时,,递增,
所以,令 ,解得,
综上所述,实数的取值范围是;
(2)由题意, ,,
令,,时,,时,,
所以在上单调递增,在单调递减,
(i)当时,, ,
所以 ,因为 ,,故,
因此在上单调递增;
(ii)当时, ,,
故,
因为,,所以,即,
又,所以,因此在上单调递减;
综上,当时,,
要使函数有两个不同的零点,则 ,
所以且,
而当且时,当时, ,
又 , ,所以 ,即在有一个零点;
当时,,
,即在内有一个零点,
综合上述可知且时,函数有两个不同的零点,
综上,实数的取值范围是.
【点睛】难点点睛:第二问根据函数的零点个数求解参数的取值范围时,要注意讨论脱掉绝对值符号;下面解答比较难的地方在于要能利用构造函数,结合零点存在定理,在保证函数有两零点的情况下求得参数范围.
36.(1),单调递增;,单调递减,单调递增;,单调递减;(2).
【分析】(1)求出函数的导数,按a的取值分类讨论值的符号即可得解;
(2)根据给定条件化简,并求出数a与b的关系式,再确定出在内有唯一零点,然后借助导数探讨即得.
【详解】(1)由求导得:,因时,,
当,即时,,当且仅当,且时取“=”,则在上单调递增,
当,即时,,当且仅当,且时取“=”,则在上单调递减,
当,即时,由得,
当时,,在上单调递减,当时,,在上单调递增,
所以,当时,在上单调递增,当时,在上单调递减,在上单调递增,当时,在上单调递减;
(2)依题意,,,
因,则有,
显然,即0,1是函数在上的两个零点,
又,而,当时,由(1)知在上单调递减,
,,则有存在唯一,使得,
当时,,当时,,因此,在是递增,在上递减,
函数在上的图象在x轴上方,即函数在上只有两个零点,与在上有三个零点矛盾,
于是得,此时,在上单调递减,在上单调递增,则,
令,,,
可得在递增,递减,,
即,
因在上有三个零点,则在上必有一个零点,
必存在,使得,
当或时,,当时,,
则在,上都递增,在上递减,
有,于是得在区间上存在唯一零点,即在上有三个零点,
从而得函数在内必有两个零点,则,解得,
所以实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛:函数零点个数判断方法:(1)直接法:直接求出f(x)=0的解;(2)图象法:作出(分析)函数f(x)的图象,观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数,作出(分析)这两个函数的图象,观察它们的公共点个数.
37.(1)见解析;(2)
【分析】(1)对参数讨论使之能确定导函数的正负,从而能确定原函数的单调性;
(2)设定两个变量的大小关系,能判断绝对值符号内的式子的正负,可以清除绝对值符号带来的障碍,
再构造新函数使所要证明的不等式为两个变量的函数值的不等关系,则利用其单调性可得解.
【详解】解:(1)由题意,得.
当时,函数的增区间为,减区间为;
当时,函数的增区间为,,减区间为;
当时,函数的增区间为,,减区间为;
当时,函数的增区间为,没有减区间.
(2)不妨设,则.
又,由(1)知,函数在上单调递减,所以.
故,即.
令,则函数在上单调递增,,
即,对任意的,成立.
记,则,函数在上单调递增,
所以函数.
记,则.
注意到,,由二次函数性质知,,
即函数在上单调递增,所以,即为所求.
【点睛】本题考查的是导函数的应用,关键如何构造函数使所要证的不等式是两个变量在该函数中的单调性的体现,属于难度题.
38.(1)减函数;(2)3.
【分析】(1)求出导函数,由确定增区间,由确定减区间;
(2)不等式,变形为,因此令,利用导数求出的最小值,即可得的取值范围,从而得到最大的正整数.
【详解】(1),
∵,∴,∴,
∴在上是减函数;
(2)当时,恒成立,即对恒成立,
,记,
则,∴在上单调递增,
又,∴存在唯一实数根,且满足
,,
由时,,时,,知的最小值是,
∴,正整数k的最大值是3.
【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性,用导数研究不等式恒成立问题,不等式恒成立问题中,有时可用分离参数法分离参数,问题就可以转化为求函数的最值.
题型08 “能”成立求参:正余弦型
【典例1-1】
(2017·江苏淮安·高三江苏省淮安中学阶段练习)
1.函数.
(1)求证:函数在区间内至少有一个零点;
(2)若函数在处取极值,且,使得成立,求实数的取值范围.
【典例1-2】
(2023·全国·高三专题练习)
2.已知函数f(x)=x+2﹣2csx
(1)求函数f(x)在[,]上的最值:
(2)若存在x∈(0,)使不等式f(x)≤ax成立,求实数a的取值范围
【变式1-1】
(2020·四川泸州·统考二模)
3.已知函数.
(1)求证:当x∈(0,π]时,f(x)<1;
(2)求证:当m>2时,对任意x0∈(0,π] ,存在x1∈(0,π]和x2∈(0,π](x1≠x2)使g(x1)=g(x2)=f(x0)成立.
【变式1-2】
(2023·全国·高三专题练习)
4.已知函数,.
(1)若在处的切线为,求的值;
(2)若存在,使得,求实数的取值范围.
题型09 零点型求参:常规型
【解题攻略】
【典例1-1】
零点常规型求参基础:
1.分类讨论思想与转化化归思想
2.数形结合与单调性的综合应用:一个零点,则多为所求范围内的单调函数,或者“类二次函数”切线处(极值点处)
3.注意“找点”难度,对于普通学生,可以用极限思维代替“找点思维”.
(2023上·安徽安庆·高一安庆市第二中学校考阶段练习)
5.已知函数为上的偶函数,为上的奇函数,且.
(1)求的解析式;
(2)若函数在上只有一个零点,求实数的取值范围.
【典例1-2】
(2023上·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习)
6.已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)若函数无零点,求的取值范围;
(3)设,(其中实数).若函数有且只有一个零点,求的取值范围.
【变式1-1】
(2023上·江苏南通·高三统考期中)
7.已知.
(1)试判断函数的单调性;
(2)若函数有且只有一个零点,求实数a的取值范围.
【变式1-2】
(2023·陕西汉中·校联考模拟预测)
8.已知函数.
(1)若函数在上单调递增,求的最小值;
(2)若函数有且只有一个零点,求的取值范围.
题型10 零点型求参:双零点型
【解题攻略】
利用导数解决有两个零点,求实数的取值范围问题,综合性强,难点在于要分类讨论参数的范围,进而判断函数的单调性,确定极值的正负问题,关键在于要多次构造函数,利用导数判断函数单调性.
【典例1-1】
(2023·全国·模拟预测)
9.已知函数.
(1)当时,求曲线过原点的切线的方程.
(2)若有两个零点,求实数的取值范围.
【典例1-2】
(2023·四川泸州·统考一模)
10.已知函数,且恒成立.
(1)求实数的最大值;
(2)若函数有两个零点,求实数的取值范围.
【变式1-1】
(2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测)
11.已知函数.
(1)当时,求的图象在处的切线方程;
(2)若函数有两个零点,求实数的取值范围.
【变式1-2】
(2023下·山西晋城·高三校考阶段练习)
12.已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若有两个零点,求实数的取值范围.
题型11 零点型求参:多零点综合型
【解题攻略】
三个以及三个以上零点,较复杂,综合度较大.
1.三个零点型,注意是否有容易观察出来的零点,这样可以转化为两个零点型以降低难度.
2.三个零点型,可通过讨论,研究函数是否是“类一元三次函数”型.
3.如果函数有“断点”,注意分段讨论研究.
【典例1-1】
(2021下·重庆江北·高三校考阶段练习)
13.已知函数.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)已知函数,记函数,若函数有三个零点,求实数的取值范围.
【典例1-2】
(2022上·广西钦州·高三校考阶段练习)
14.已知在区间,上的值域,.
(1)求的值;
(2)若不等式在,上恒成立,求实数的取值范围;
(3)若函数有三个零点,求实数的取值范围.
【变式1-1】
(2020·浙江·模拟预测)
15.已知函数.
(1)求函数的最值;
(2)已知函数,设函数,若函数有三个零点,求实数的取值范围.
【变式1-2】
(2022上·福建泉州·高三校考开学考试)
16.已知函数.
(1)求函数的极值点;
(2)当时,当函数恰有三个不同的零点,求实数的取值范围.
题型12 同构型求参:双变量同构
【解题攻略】
双变量同构型,较多的是含有绝对值型.
1.含绝对值型,大多数都是有单调性的,所以可以通过讨论去掉绝对值.
2.去掉绝对值,可以通过“同构”重新构造函数.
不含绝对值型,可以直接调整构造函数求解
【典例1-1】
(2019·河南郑州·统考二模)
17.已知函数.
(1)曲线在点处的切线方程为,求,的值;
(2)若,时,,都有,求的取值范围.
【典例1-2】
(2020上·河南三门峡·高二统考期末)
18.已知函数.
(Ⅰ)若在处的切线方程为,求a的值;
(Ⅱ)若,,都有恒成立,求实数a的取值范围.
【变式1-1】
(2019上·河南平顶山·高三统考阶段练习)
19.已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)设,若对任意、,且,都有,求实数的取值范围.
【变式1-2】
(2019上·河南平顶山·高三统考阶段练习)
20.已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)设,,若对任意,且,都有,求实数的取值范围.
题型13 虚设零点型求参
【解题攻略】
虚设零点转化技巧:
(1)整体代换:把超越式子(多为指数和对数式子)转化为普通的(如二次函数一次哈数等)可解式子,如比值代换等等.
(2)反代消参:反解参数代入,构造单一变量的函数.如果要求解(或者要证明)的结论与参数无关,则可以通过反解参数,用变量(零点)表示参数,然后把函数变成关于零点的单一函数,再对单一变量求导就可以解决相应的问题.
(3)留参降次(留参、消去指对等超越项):如果要求解的与参数有关,则可以通过消去超越项,建立含参数的方程或者不等式.恒等变形或者化简方向时保留参数,通过“降次”变换,一直降到不可再降为止,再结合条件,求解方程或者不等式,解的相应的参数值或者参数范围.
【典例1-1】
(2023·河南安阳·统考二模)
21.已知函数,.
(1)若曲线有两条过点的切线,求实数m的取值范围;
(2)若当时,不等式恒成立,求实数a的取值集合.
【典例1-2】
(2023·天津河北·统考一模)
22.已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性;
(3)若对任意的,都有成立,求整数的最大值.
【变式1-1】
(2023·河南安阳·统考三模)
23.已知函数.
(1)证明:曲线在处的切线经过坐标原点;
(2)记的导函数为,设,求使恒成立的的取值范围.
【变式1-2】
(2023·甘肃兰州·校考模拟预测)
24.已知函数,(,为自然对数的底数).
(1)求函数的极值;
(2)若对,恒成立,求的取值范围.
高考练场
(2024·全国·模拟预测)
25.已知函数.
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)若在上恒成立,求的取值范围.
(2023上·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习)
26.设函数.
(1)讨论在区间上的单调性;
(2)若在上恒成立,求的取值范围.
(2023·山东德州·三模)
27.已知函数,其中.
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性;
(3)若存在两个极值点的取值范围为,求的取值范围.
(2023下·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考期末)
28.已知函数
(1)若,讨论的单调性.
(2)当时,都有成立,求整数的最大值.
(2023·江苏扬州·统考模拟预测)
29.已知函数.
(1)若,求证:;
(2)当时,对任意,都有,求整数的最大值.
(2023上·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)
30.已知函数.
(1)试讨论的极值点的个数;
(2)若,且对任意的都有,求的取值范围.
(2023·福建厦门·厦门一中校考三模)
31.已知函数.
(1)若,设,讨论函数的单调性;
(2)令,若存在,使得,求的取值范围.
(2023·河南·校联考模拟预测)
32.已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若对于任意的,都存在,使得成立,试求实数的取值范围.
(2020·江西·校联考模拟预测)
33.已知函数在上单调递增,函数.
(1)求的值;
(2)若存在,使得成立,求m的取值范围.
(2024·全国·高三专题练习)
34.已知函数.
(1)当时,证明:;
(2)若函数在上只有一个零点,求实数a的取值范围.
(2022上·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习)
35.已知函数是自然对数的底数,且.
(1)若是函数在上的唯一的极值点,求实数的取值范围;
(2)若函数有两个不同的零点,求实数的取值范围.
(2021上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习)
36.已知,.
(1)讨论在区间上的单调性;
(2)若,且在上有三个零点,求实数的取值范围.
(2019·河南郑州·郑州一中校考模拟预测)
37.已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)对任意的,,,恒有,求实数的取值范围.
(2020秋·辽宁营口·高三营口市第二高级中学校考阶段练习)
38.已知函数,
(1)判断函数在区间上的单调性;
(2)若当时,恒成立,求正整数的最大值.
参考答案:
1.(1)见解析;(2)
【分析】(1)由零点存在定理进行论证;
(2)先由极值定义得,再分离参变得,转化为求函数最大值,利用导数不难得为单调减函数,因此,即得实数的取值范围.
【详解】(1)因为,
所以,从而,
,
若,则,
所以函数在区间内至少有一个零点;
若,则,
所以,
又函数在区间上连续不断,
所以由零点存在定理可知函数在区间内至少有一个零点;
综上:函数在区间内至少有一个零点;
(2)因为,
所以,
又函数在处取极值,
所以,即,
解得,
当时,,,
当时,,递增;
当时,,递减;
所以时,函数在处取的极大值,
所以,
,使得成立,
即等价于,
令,,则,
,
,
,
即(等号在和处取等),
所以在上单调递减,,
所以,
又,
所以,
所以实数的取值范围是
【点睛】方法点睛:本题考查不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化:
一般地,已知函数,
(1)若,总有成立,故;
(2)若,使得成立,故;
2.(1)f(x)min=2,f(x)max=2;(2)(1,+∞).
【分析】(1)求导后分析导数的正负再求得函数的单调性与最值即可.
(2)设,再代入,求导得的值域为,再根据的范围进行讨论,分析的最大值即可.
【详解】(1)f'(x)=1+2sinx,
当x时,由f'(x)<0得,,由f'(x)>0得,,
∴函数f(x)在[,)上单调递减,在(,]上单调递增,
∴f(x)min=f()=2,f(x)max=f()=2;
(2)存在x∈(0,)使不等式f(x)≤ax成立,即x+2﹣2csx<ax成立,
设g(x)=f(x)﹣ax=x+2﹣2csx﹣ax,则g(0)=0,g'(x)=1+2sinx﹣a,
当x∈(0,)时,1+2sinx∈(1,3),所以g'(x)∈(1﹣a,3﹣a),
由于1﹣a≥0即a≤1时,g'(x)>0,则g(x)>g(0)=0,即f(x)>ax恒成立,不满足题意,
故1﹣a<0,即a>1,此时g'(0)=1﹣a<0,
因为g'(x)=1+2sinx﹣a在(0,)上单调递增,
所以存在区间(0,t)⊆(0,),使x∈(0,t)时,g'(x)<0,
所以g(x)在(0,t)上单调递增,则当x∈(0,t)时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,
所以实数a的取值范围是(1,+∞).
【点睛】本题主要考查了利用导数求解区间上的最值问题以及分参数的讨论证明函数的不等式问题,属于难题.
3.(1)证明见解析.(2)证明见解析
【分析】(1)变换得到,设,求导得到最值得到答案.
(2)只需要求出f(x)在(0,π]上的值域,然后研究g(x)的单调性是先增后减或先减后增,同时说明每一段上的函数值范围都包含f(x)的值域即可.
【详解】(1),,即,设,
则,函数单调递减,故,即,得证.
(2)f(π)=0,当时,,故f(x)的值域为[0,1).
又因为g′(x),x∈(0,π],m>2.
令∈(0,1).显然y=mx﹣2是增函数.
∴时,g′(x)<0,g(x)递减;,g′(x)>0,g(x)递增.
此时g(x)min,(m>2).
将上式化简并令r(m)=2lnm﹣m+2﹣2ln2,m>2.
∵,∴r(m)在(2,+∞)上递减.
所以r(m)<r(2)=0,故g(x)min<0.
显然当x→0时,g(x)→+∞,即当时,g(x)递减,
且函数值取值集合包含f(x)的值域[0,1);
而g(π)=(π﹣1)m﹣2lnπ>2(π﹣1)﹣2lnπ=2(π﹣1﹣lnπ)>2(3﹣1﹣lnπ),
∵,∴,
即当x时,g(x)递增,且函数值取值集合包含f(x)的值域[0,1).
所以当m>2时,对任意x0∈(0,π],存在x1∈(0,π]和x2∈(0,π](x1≠x2)
使g(x1)=g(x2)=f(x0)成立.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等问题.考查了学生运用数学思想方法(转化与化归、数形结合、函数与方程分类讨论)解决问题的能力.同时考查了学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养.属于较难的题目.
4.(1) ;(2)
【分析】(1)因为在处的切线为,即:,所以 .
(2)通过分离参数,转化为,进而求导,判断单调性,即可得出答案.
【详解】(1)由题意得: ,又因为在处的切线为
所以,所以 .
(2)存在,使得 ,
又因为,所以.
所以在上有解.
设 ,即:在上有解在上有解.
设
所以又因为,所以 , .故
所以, ,所以在上单调递增.即在上单调递增.
又因为 ,所以,故
所以在上恒大于0.所以在上单调递增.
故
所以
【点睛】本题主要考查导数的几何意义及参变分离方法,属于难题.
5.(1),.
(2)或.
【分析】(1)利用奇偶性求,通过解方程组法可得;
(2)利用对数函数性质化简方程(去对数号),再换元设,转化为关于的方程只有一个大于0的根,然后分类讨论可得参数范围.
【详解】(1)因为,①
所以,
又因为函数为上的偶函数,为上的奇函数,
所以,②
由①②得,.
(2)若函数在上只有一个零点,
则在上只有一个根,
则在上只有一个根,
令,
则方程正根有且只有一个,
当,即或(舍)时,方程的根为,符合正根有且只有一个;
当且,即且,若正根有且只有一个,
则,解得:;
当时,方程的根为,符合正根有且只有一个;
综上所述:或.
6.(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据偶函数的定义及对数的运算即可求解;
(2)先结合(1)得到,则函数无零点等价于与无交点,进而即可求出的取值范围;
(3)依题意可得,设,,则(*),再分,,三种讨论问题等价于关于的(*)方程有唯一实根,进而即可求出的取值范围.
【详解】(1)由是偶函数,则对于,都有,
即,
即,即,即,所以,解得.
(2)结合(1)知,
所以,即,
又,则,
令,即,
因为无零点,即关于的方程无解,
即与无交点,所以,
即当时,无零点,故满足条件的的取值范围是.
(3)由函数的零点即方程的根,
而,
,
,
设,,则(*),
令,,
又,则,
①当时,则,所以问题等价于关于的(*)方程在有唯一实根;
又因为,,
则由二次函数图象可知只需且,得;
②当时,则,得,不合题设;
③当,则,所以问题等价于关于的(*)方程在时有唯一实根;
又因为,
则由二次函数图象可知只需且,无解.
综上,.
【点睛】关键点睛:本题第3小问的解决关键是熟练掌握二次函数零点的分布,从而得解.
7.(1)答案见解析
(2)或
【分析】(1)求导,讨论,两种情况,由导数得出其单调性;
(2)将的零点问题化为函数零点问题,讨论、、、,由其单调性结合零点个数得出实数a的取值范围.
【详解】(1)解:,
所以
当时,因为,所以函数在上为增函数
当时,函数在上为减函数,在上增函数
综上所述:①当时,函数为增函数;
②当时,函数在上为减函数,在上为增函数
(2)若函数有且只有一个零点,则函数有且只有一个零点,且,
由(1)知:当时,函数为增函数,此时只有一个零点,满足题意
当时,
①时,因为函数在上为减函数,所以,
因为,因为函数在上为增函数,
所以唯一,使,所以函数恰有两个零点,不满足题意
②时,因为函数在上为增函数,所以,
,
因为,函数在上为减函数,
所以唯一,使,所以函数恰有两个零点,不满足题意
③时,函数在上为减函数,在上为增函数,
所以,函数有且只有一个零点,满足题意.
综上所述:实数的取值范围为或
【点睛】关键点睛:解决第二问时,关键在于将的零点问题化为函数零点问题,借助其单调性以及零点个数得出参数的范围.
8.(1)
(2)
【分析】(1)求导,根据函数在上单调递增,可得在恒成立,进而可得出答案;
(2)函数有且只有一个零点,令,则曲线与直线的图象只有一个交点,利用导数求出函数的单调区间及极值,作出函数的大致图象,结合函数图象即可得解.
【详解】(1),
函数在上单调递增,
在恒成立,
故,得,
的最小值为;
(2),
函数有且只有一个零点,
即方程只有一个根,
令曲线与直线的图象只有一个交点,
,
令,解得或,令,解得,
在上单调递增,上单调递减,
又,,
当时,,当时,,
如图,作出函数的大致图象如下所示:
曲线与直线的图象只有一个交点,
,
即的取值范围为.
【点睛】方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:
(1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图象,然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用;
(2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;
(3)参变量分离法:由分离变量得出,将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
9.(1)
(2)
【分析】(1)根据函数解析式,求导,设出切点,写出切线方程,代入已知点,建立方程,可得答案;
(2)根据函数解析式,以分子的代数式构建新函数,求导利用分类讨论思想,结合隐零点的解题方法,可得答案.
【详解】(1)当时,.设切点为.
因为,所以,所以切线方程为.
将原点的坐标代入,可得,整理,得.
解得.故曲线过原点的切线的方程为.
(2)函数的定义域为.
令,则有两个零点等价于有两个零点.
易得.
当时,,
所以在上单调递增,则至多有一个零点,因此.
令,则,所以在上单调递增.
因为,,所以存在,使得,则.
所以当时,,即,所以在上单调递减;
当时,,即,所以在上单调递增.
因此,.
由,得,则,
故.
当时,,则在上没有零点.
当时,,则在上只有一个零点.
当时,.
因为,所以,所以.
因为,
所以在上有且只有一个零点,即在上有且只有一个零点.
易得.
设,则.
易知在上单调递增,则,
所以在上单调递增,则,
所以,所以在上有且只有一个零点,即在上有且只有一个零点.
综上可知,实数的取值范围为.
【点睛】本题的解题关键在于利用导数研究函数的单调性,结合零点存在性定理解题;在整理导数时,利用分类讨论思想以及隐零点的解题思路,可得答案.
10.(1)
(2)
【分析】(1)当时显然成立,当时利用导数说明函数的单调性,分和两种情况讨论,结合零点存在性定理说明不成立,即可求出的取值范围;
(2)求出函数的导函数,令,则,令,再分、两种情况讨论,当时令,解得,,再分、、三种情况讨论,结合函数的单调性与零点存在性定理计算可得.
【详解】(1)当时,因为,所以,则,
所以,符合题意;
当时,令,,
则,所以在上单调递减,
所以,
当时,则在上单调递减,
所以,符合题意,
当时,,
所以存在使得,所以当时,
则在上单调递增,所以,不符合题意,
综上可得的取值范围为,故的最大值为.
(2)因为,,
则
,
令,则,令,
当时则当时,当时,
即当时,当时,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以当时,所以在上至多有一个零点,不合题意;
当时令,解得,,
当,即时在上恒成立,
所以当时恒成立,
即在上单调递增,所以,不合题意;
当,即时,时,时,
所以,,即时,
当时,
所以在,上单调递增,在上单调递减,
所以,(其取不到),
因为,,
所以当,即时,,
则在上没有零点,不符合题意;
当,即时,,,
所以在和上各有一个零点,符合题意;
当,即时,当时,当时,
所以当时,当时,
所以在上单调递增,在上单调递减,
当时,所以在上至多有一个零点,不合题意;
综上可得实数的取值范围为
【点睛】方法点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
11.(1)
(2).
【分析】(1)根据切线的几何意义得到,根据点斜式可得到方程;
(2)对进行求导,然后分,和且三种情况研究其单调性,判断最值的符号,结合零点存在定理即可
【详解】(1)因为,其定义域为,
因为,所以,所以,所以
又,所以的图象在处的切线方程为,即.
(2)由题意知,且其定义域为,易知,且,
当时,在上恒成立,
所以在上单调递增,不可能有2个不同零点,不合题意;
当时,令,则,
故在上单调递减,
当时,,且,
所以当时,,即,当时,,即,所以在上单调递增,在上单调递减,
所以在处取得极大值,且,此时函数仅有一个零点,不合题意.
当且时,,
所以存在唯一的,使得,即,所以,
当时,,即;当时,,即,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,
又,所以.
设,则,
当时,;当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
于是,所以(当且仅当时等号成立),
因为,所以,所以,
又在上单调递增,在上单调递减.
①当时,由,令,显然在上单调递增,
因为,所以,又,
所以,且由可得,
令,则,可得,
所以在上,单调递减,
从而,即.
所以,从而在内必有另一个零点,
故此时有两个零点.符合题意.
②当时,所以,
因为在定义域内是单调递增函数,且当时,,
所以,此时时,时,,
设,可得.
令,
所以在上单调递减,从而,故,
从而,且当时,存在,使得,
也即当有两个零点.
综上,所求实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛:对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略:
1、通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,从而求出参数的取值范围;
2、利用可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时,一般涉及分离参数法,但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况,进行求解,若参变分离不易求解问题,就要考虑利用分类讨论法和放缩法,注意恒成立与存在性问题的区别.
12.(1)答案见解析.
(2).
【分析】(1)求出函数的导数,分和两种情况进行讨论,当时,根据导数等于0,求得根,从而再讨论根的大小,判断函数的单调性;
(2)分和,三种情况进行讨论函数的单调性,判断零点情况,当时,结合函数单调性,求得函数最小值,根据题意列出不等式求得参数范围;当时,函数只有一个零点,时,结合函数单调性,判断极值情况,说明至多只有一个零点,不符合题意,综合可得答案.
【详解】(1)由题意知,函数的定义域为,
则,
(i)当时,恒成立,
当时,,函数在上单调递减,
当时,,函数在单调递增,
(ii)当时,令,解得,或, (舍去),
当,即时,,函数在上单调递减,
当时,即,
当,或时,,函数在,上单调递减,
当时,,函数在单调递增,
当时,即,
当时,,函数在递减,
当时,,函数在单调递增,
综上所述:当时,函数在上单调递减,在单调递增,
时,函数在上单调递减,在上单调递增;
当时,函数在上单调递减,
当时,函数在,上单调递减,在单调递增.
(2)由(1)知,当时,函数在上单调递减,在单调递增,而,
令,则在成立,故在单调递减,
所以,且趋向于时,趋向于,即趋向于,
又在上恒负,且趋向于时,趋向于0,
综上,在趋向于时,趋向于,
∴函数有两个零点等价于,结合,解得 ;
当时,只有一个零点,不符合题意;
当时,函数在上单调递减,至多只有一个零点,不符合题意;
当且时,由(1)知有两个极值点,而,
又,下研究其符号:
令,则,
令,则,
当,,在递减,
当时,,在上单调递增,
故,即在上单调递减,
当趋向于0时,趋向于0,即g(x)恒负,故,
此时,至多只有一个零点,不符合题意,
综合上述,实数m的取值范围为.
【点睛】关键点点睛:利用导数解决有两个零点,求实数的取值范围问题,综合性强,难点在于要分类讨论参数的范围,进而判断函数的单调性,确定极值的正负问题,关键在于要多次构造函数,利用导数判断函数单调性.
13.(1)当时,函数在R上单调递减;
当时,函数在,上递减,在上递增;
当时函数在,上递减,在上递增.
(2).
【分析】求出导函数,得到函数的两个极值点,根据大小关系分类确定单调区间以及单调性;
分类确定和的大小,由导数求得的单调性和极值,结合函数图象,由极值的符号解不等式求得t的范围.
【详解】解:(1),
,令,得,
当时,,,故函数在R上单调递减;
当时,,故函数在,上递减,在上递增;
当时,,故函数在,上递减,在上递增.
由已知,在有且仅有一个零点,
当时,,由得,
此时有三个零点.
当时,,得,,
故函数在上递减,在上递增;,,
当时,,故在上仅有一个零点;
若函数有有三个零点,则需满足,解得;
当时,
若,则为单调函数,所以函数至多有2个零点,不合题意,舍;
若,,,故在至多有1一个零点,所以函数至多有2个零点,不合题意,舍;
,,,
当,即时,函数至多有2个零点,不合题意,舍;
当,即时,,函数恰有3个零点,符合题意;
当,即时,;
令,则,
故在单调递减,,即,
此时函数有4个零点,不合题意,舍;
综上,实数的取值范围是
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及函数的零点问题,考查运算能力,考查分类讨论思想,转化思想,属于较难题.
14.(1);(2);(3).
【分析】(1)对配方,求出对称轴,讨论若时,若时,若,由单调性可得最小值,解方程,即可得到所求的值;
(2)由题意可得,化为,令,求出的范围,求得右边函数的最小值即可得到的范围;
(3)令,可化为有3个不同的实根,令,讨论的范围和单调性,有两个不同的实数解,,已知函数有3个零点等价为,或,,记,由二次函数图象可得不等式组,解不等式可得的范围.
【详解】(1)在区间,上的值域,.
若时,的最小值为(a),
由,可得舍去),满足在区间,上的值域,;
若时,在,递减,的最小值为(3),
由(3),解得(舍去);
若,则在,递增,的最小值为(1),
由(1),解得.
综上可得,;
(2)由即,
化为,令,由可得,
则,,
记,,由单调递减,可得的最小值为,
则的取值范围是;
(3)令,可化为有3个不同的实根.
令,则,由,当时,,,且递减,
当时,,且递增,
当时,.当时,,且递增,
有两个不同的实数解,,
已知函数有3个零点等价为,或,,
记,则或,
解得或无实数解,
综上可得,的取值范围是.
【点睛】本题考查二次函数在闭区间上最值问题,注意对称轴和区间的关系,考查不等式恒成立问题解法,注意运用参数分离和构造函数法,考查函数零点问题,注意转化思想运用,考查分类讨论思想方法运用,以及运算化简能力,属于难题.
15.(1)最大值为,无最小值;(2)或.
【分析】(1)求出函数导数,判断单调性,即可求出最值;
(2)利用导数讨论的范围即可求解.
【详解】(1)∵,∴,当时,,当 时,
∴在上为增函数,在上为减函数,
所以,函数在处取得最大值为,无最小值.
(2).
①当时,须满足,∴;
②当时,,
∵,,所以方程的两根,
此时函数有三个零点,符合题意;
③当时,在上递减,上递增,上递减,
∴一定不符合;
(i)若,则,此时,
所以,函数有三个零点,符合题意;
(ⅱ)若,则,
此时.
(三部分都为正),所以,函数有四个零点,不符合题意;
④当时,单调减函数,故函数最多两个零点,不合题意;
⑤当时,函数的极大值,
所以,函数不可能有三个零点,不合题意.
综上所述,实数的取值范围是或.
【点睛】本题考查利用导数求函数最值,考查利用导数讨论函数的零点,属于较难题.
16.(1)答案见详解
(2)
【分析】(1)求导,分情况讨论原函数的单调性,进而可得极值;
(2)求导,分情况讨论原函数的单调性,注意到,并结合零点存在性定理判断在上的零点,进而求在上的零点,即可得结果.
【详解】(1)由题意可得:,且的定义域为,
当时,则当时恒成立,
故在内单调递增,即无极值点;
当时,令,解得,
故在上单调递增,在上单调递减,则有极大值点,无极小值点;
综上所述:当时,无极值点;
当时,有极大值点,无极小值点.
(2)由题意可得: ,且的定义域为,
则,
∵,构建,则的开口向下,对称轴,
当,即时,则当时恒成立,
故在内单调递减,
则在定义域内至多有一个零点,不合题意;
当,即时,设的两个零点为,不妨设,
则有:,可得,
令,则,
故在上单调递增,在上单调递减,
可得分别在内至多只有一个零点,即至多只有三个零点,
∵,故在内的零点为2,
可得,
对于,
构建,则当时恒成立,
则在上单调递增,且,
故,即,
∴在内存在零点,即,
注意到,
可得,且,
故在内存在零点,
可得有三个零点,符合题意;
综上所述:当函数恰有三个不同的零点,则实数的取值范围为.
【点睛】方法定睛:对于函数零点的个数的相关问题,利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是:
(1)构造函数,这是解决此类题的关键点和难点,并求其定义域;
(2)求导数,得单调区间和极值点;
(3)数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.
17.(1),;(2).
【分析】(1)对f(x)求导,由给定的切点、切线方程列出关于a,b的方程而得解;
(2)将给定不等式等价转化,构建新函数,利用函数单调性即可求得.
【详解】(1)由题意,,切线斜率为-1,切点,
即,得,又,,即,;
(2)当,,时,,在上单调递减,
不妨令,则,原不等式即为,
即,即,
令,则在上为单调增函数,
∴有在上恒成立,
即,,令,,,
令,,∴在上单调递减,,则,在上为单调增函数,
∴,即,综上,.
【点睛】含双变量且具有斜率意义的函数不等式恒成立问题,分离变量,构建函数是关键,再研究函数单调性是方法.
18.(Ⅰ);(Ⅱ).
【分析】(Ⅰ)求出函数的导函数,依题意可知,即可求出参数的值.
(Ⅱ)由已知在区间上是增函数,函数是减函数,不妨设,由已知得,,所以,构造函数,参变分离即可求出参数的取值范围.
【详解】(Ⅰ)求导,
在处的切线方程为,即斜率为,
,即,解得.
(Ⅱ)若,,,在区间上是增函数,函数是减函数,
不妨设,由已知,,所以,
设,,
则在区间是减函数,
在上恒成立,,
令,求导在上恒成立,
单调递减,,
所以,故.
【点睛】关键点点睛:本题考查利用导数求函数的最值,以及利用导数研究双变量不等式问题,解题的关键就是将问题转化为函数的单调性问题,结合导数不等式在区间上恒成立来求解,考查化归与转化思想,属于中等题.
19.(1)见解析;(2).
【分析】(1)求出函数的定义域和导数,然后分和两种情况讨论,分析在的符号,可得出函数的单调区间;
(2)设,由函数和在上的单调性,将不等式等价转化为,并构造函数,将问题转化为函数在上是减函数,然后由在上恒成立,结合参变量分离法可求出实数的取值范围.
【详解】(1)函数的定义域为,.
当时,恒成立,此时,函数在上单调递增;
当时,由得;由得.
此时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为;
(2)时,函数在上递增,在上递减,
不妨设,则,,
等价于,
即,令,
等价于函数在上是减函数,
,即在恒成立,
分离参数,得,
令,,在上单调递减,
,,又,故实数的取值范围为.
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间,同时也考查了利用导数研究双变量不等式,解题的关键就是将双变量不等式转化为函数单调性来处理,考查化归与转化思想,属于中等题.
20.(Ⅰ)答案不唯一,见解析;(Ⅱ) (0,2]
【分析】(1)先求出,然后讨论在定义域内导函数符号问题. 即得函数的单调区间,
(2)先根据的单调性,以及 的单调性将转化为,进一步转化为,从而得新函数在(0,1]上是减函数,即恒成立,求出参数的范围.
【详解】(Ⅰ)
当时,函数定义域为(0,+∞),恒成立,此时,函数在(0,+∞)单调递增;
当时,函数定义域为(一∞,0),恒成立,此时,函数在(一∞,0)单调递增.
(Ⅱ)时,函数定义域为(0,+∞),在(0,1]上递增,在(0,1]上递减,
不妨设,则
∴等价于
即
令
等价于函数在(0,1]上是减函数,
∴
令
即在(0,1]恒成立,分离参数,
得
令,.
∴在(0,1]递减,
∴,
又t∈[3,4],
∴,
又,故实数的取值范围为(0,2].
【点睛】(1)讨论函数单调性,可以先求出函数定义域,然后求导,研究导函数在定义域范围内的函数值符号问题.
(2)恒成立为题常注意一下几种情况的等价转化:
1. 恒成立
2. 恒成立
3.任意的都有恒成立恒成立,令,转化为(1)的情况
4. 任意的都有恒成立恒成立
本题属于第4种情况.
21.(1)
(2)
【分析】(1)设切点坐标,对函数求导,写出切线方程将点代入后根据已知条件建立不等式求解即可;
(2)构造函数对函数求导,再由不等式恒成立等价出问题,利用函数导数的单调性进行分析求解即可.
【详解】(1)设切点坐标为.
因为,
所以切线方程为,
将代入,可得.
因为曲线有两条过点的切线,
所以,解得或,
故实数的取值范围是.
(2)设,
则.
当时,,单调递增,又,
因为当时,,
当时,,
所以不恒成立.
当时,设,
则,
所以在上单调递增,
又当且时,,当时,,
故,使得,
当时,,,
当时,,.
因为,所以.
故
.
因为,所以只需.
设,则.
当时,,当时,,
所以,所以.
所以,故,
所以,,所以,
故实数a的取值集合为.
【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现,
难度相当大,主要考向有以下几点:
1、求函数的单调区间(含参数)或判断函数(含参数)的单调性;
2、求函数在某点处的切线方程,或知道切线方程求参数;
3、求函数的极值(最值);
4、求函数的零点(零点个数),或知道零点个数求参数的取值范围;
5、证明不等式;
解决方法:对函数进行求导,结合函数导数与函数的单调性等性质解决,
在证明不等式或求参数取值范围时,通常会对函数进行参变分离,构造新函数,
对新函数求导再结合导数与单调性等解决.
22.(1);
(2)递减区间是,递增区间是;
(3)3.
【分析】(1)求出函数的导数,再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
(2)利用导数求出的单调区间作答.
(3)等价变形给定的不等式,构造函数,利用导数求出函数的最小值情况作答.
【详解】(1)函数,求导得,则,而,
所以曲线在点处的切线方程是.
(2)函数的定义域是,,
当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,
所以函数的递减区间是,递增区间是.
(3),,
令,求导得,
由(2)知,在上单调递增,,,
因此存在唯一,使得,即,
当时,,即,当时,,即,
因此函数在上单调递减,在上单调递增,
于是,则,
所以整数的最大值是3.
【点睛】关键点睛:涉及不等式恒成立问题,将给定不等式等价转化,构造函数,利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
23.(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据导数的几何意义求出函数在处的切线方程即可证明;
(2)把不等式恒成立转化为求函数的最大值小于等于零恒成立,然后利用导数求出函数的最大值即可得结果.
【详解】(1)由已知得,
所以,又,
所以在处的切线方程为,
即,恒过坐标原点.
(2),定义域为,
.
当时,在上单调递增,且,故不恒成立.
当时,设,则,
则当时,在上单调递减,
又,
因为,所以,即,
由零点存在定理知在内存在唯一零点,
即,即.
当时,,于是在上单调递增,
当时,,于是在上单调递减,
所以在处取得极大值也是最大值,要使恒成立,只需.
因为,
由,解得,
故所求的的取值范围是.
【点睛】方法点睛:恒(能)成立问题的解法:
若在区间上有最值,则
(1)恒成立:;;
(2)能成立:;.
若能分离常数,即将问题转化为:(或),则
(1)恒成立:;;
(2)能成立:;.
24.(1)极大值为,无极小值
(2)
【分析】(1)求导后,根据的正负可求得的单调性,根据极值的定义可求得结果;
(2)分离变量可将问题转化为在上恒成立;求导后可令,利用导数可求得的单调性,利用零点存在定理可求得的零点,并得到的单调性,由此可求得,化简可得,由此可求得的取值范围.
【详解】(1)定义域为,,
当时,;当时,;
在上单调递增,在上单调递减,
的极大值为,无极小值.
(2)由得:,在上恒成立;
令,则;
令,则,
在上单调递增,又,,
,使得,则,
当时,;当时,;
在上单调递减,在上单调递增,;
由得:,,
,,
则实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛:本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解;本题求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式,将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题,从而利用导数求解函数最值来求得变量的取值范围.
25.(1)在上单调递增,在上单调递减
(2)
【分析】(1)已知由得,由得函数的单调性
(2)由题意可得如果在上恒成立在上恒成立,由
的单调性当时,,单调递增,当时,,单调递减的取值范围.
【详解】(1)当时,,
则,
由得,
由得,
所以在上单调递增,在上单调递减.
(2)解法一 : 当时,,故由在上恒成立,得在上恒成立.
令,
则,.
设,则.
设,则,
令,得,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
又,,,
所以存在,使得,
且当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
又,
所以当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以,
所以,即的取值范围为.
解法二 : 由在上恒成立,得,即.
下面证明当时,在上恒成立.
,
令,
要证在上恒成立,只需证在上恒成立.
,
设,
则,
令,得,
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以当时,取到极小值也是最小值,
所以,
又,,
故存在,使得,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
故当时,.
综上,的取值范围为.
【点睛】判断函数的单调性是导数的重要作用之一,而导数值的符号与函数的单调性密切相关,因此判断导函数的符号至关重要,判断导函数的符号的关键在于寻找“零点”,求解本题的关键就是多次构造函数并求导,从而得到函数的单调性,其中,在判断的零点时,用到了“隐零点”的知识,需要考生选取合适的值,根据零点存在定理找到所在的区间.
26.(1)在上单调递减
(2)
【分析】(1)求导得到,结合三角函数的性质与指数函数的性质得到,从而得解;
(2)构造函数,再求导得,从而利用导数得到在上单调递增且,分类讨论和即可得解.
【详解】(1)因为,,所以,
因为,所以,,则,,
即在恒成立,即在上单调递减.
(2)由题意,得当时,,即,即.
令,,则,
设,则,
当时,,,所以,
所以在上单调递增,则,
①当时,,则,
所以在上单调递增,所以恒成立,符合题意.
②当时,则,且由指数函数爆炸增长性质可知,当时,,
则由零点存在定理可知,必存在正实数满足,
则当时,,在上单调递减,
此时,不符合题意.
综上,的取值范围是.
【点睛】关键点睛:利用导数证明不等式时,一般需要对结论进行合适的转化,本题转化为只需证明在上的最小值大于即可,对不等式适当变形,构造函数是解决问题的第二个关键所在,一般需利用导数研究函数的单调性及最值,.
27.(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】(1)根据导数的几何意义可求出结果;
(2)求导后,分类讨论,根据导数的符号可得结果;
(3)根据存在两个极值点可得,且,根据单调性可得,将化为,利用比值代换可求出结果.
【详解】(1)当时,,定义域为,
所以,
所以,又,
所以函数在处的切线方程为,即.
(2)的定义域是,
,,
令,则.
①当或,即时,恒成立,所以在上单调递增.
②当,即时,由,得或;
由,得,
所以在和上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当时,在上单调递增;
当时,在和上单调递增,在上单调递减
(3)由(2)当时,在上单调递增,此时函数无极值;
当时,有两个极值点,即方程有两个正根,
所以,则在上是减函数.所以,
因为,
所以
,
令,则,
,
所以在上单调递减,
又,且,
所以,
由,
又在上单调递减,
所以且,所以实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛:涉及到双变量的问题一般可以利用比值代换处理,本题中,将化为后,设,化为关于的函数,再利用导数进行处理.
28.(1)答案见解析
(2)1
【分析】(1)求定义域,求导,分与两种情况,得到的单调性;
(2)变形得到,令,,只需,求导,结合隐零点得到的单调性和极值,最值情况,得到,从而求出整数的最大值.
【详解】(1),定义域为R,
且,
当时,恒成立,故在R上单调递增,
当时,令得,,此时单调递增,
令得,,此时单调递减,
综上:当时,在R上单调递增,
当时,在上单调递减,在上单调递增;
(2)由题意得,在上恒成立,
因为,所以,故,
令,,只需,
,
令,,
则在上恒成立,
故在上单调递增,
又,
故存在,使得,即,
当时,,,单调递减,
当时,,,单调递增,
故在处取得极小值,也是最小值,
,
所以,故整数的最大值为1.
【点睛】隐零点的处理思路:
第一步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,其中难点是通过合理赋值,敏锐捕捉零点存在的区间,有时还需结合函数单调性明确零点的个数;
第二步:虚设零点并确定取范围,抓住零点方程实施代换,如指数与对数互换,超越函数与简单函数的替换,利用同构思想等解决,需要注意的是,代换可能不止一次.
29.(1)证明见解析
(2)3
【分析】(1)将恒成立问题转化为最值问题,利用导数判断函数单调性进而即得;
(2)选特值,时,举反例验证结论不成立,从而得出,赋值,通过参数放缩与导数,来证明结论成立,即找到了整数的最大值.
【详解】(1)时,设,则,,
即在上恒成立,
在上单调增, 又,
即;
(2)时,当时,,所以.
下证符合.
时,当时,,所以当时,.
记,则只需证对恒成立.
,令,则在递减,
又,所以存在,使得,
则在递增,在递减;
又,所以存在使得,且,
所以在递增,在递减,又,所以对恒成立,
因为,所以符合.
综上,整数的最大值为3.
【点睛】当出现两个参数时,尽可能通过讨论或参数放缩来减少参数的个数,降低解题难度.
30.(1)答案见解析
(2)
【分析】(1)根据题意,求得,令,单调,令,求得,得到函数的单调性与最大值,进而得出答案.
(2)解法一:令,求得,得到函数的单调性,且,进而得在上单调递减,进而求得的取值范围;
解法二:由,当时,,不符合题意;当时,取得,得到有两个异号实根,分和,两种情况讨论,即可求解.
解法三:根据题意,把不等式的恒成立,转化为恒成立,令,求得,令,利用导数求得函数的单调性,得出在上单调递增,进而求得的取值范围.
【详解】(1)解:由函数的定义域为,可得,
令,即,令,则,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以,
又当时,且;且当时,,
所以当时,无极值点;
当时,有两个极值点;
当时,有1个极值点.
(2)解法一:由,可得,且,
若,即,则,使得时,,
所以在上单调递增,所以,此时与题意不符,
故,可得,
下证当时,对恒成立.
证明:令,则.
因为,所以对恒成立,
所以在上单调递减,所以,
所以,对恒成立,
所以在上单调递减,所以,所以对恒成立.
综上所述,实数的取值范围为.
解法二:由.
①当时,,不符合题意;
②当时,,
令,即,可得,且两根之积为,
所以有两个异号实根,设两根为,且,
若,当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以,此时不符合题意.
若,则,即,此时在上单调递减,
所以,符合题意.
综上所述,实数的取值范围为.
解法三:由.
若,则,满足题意;
若,则,令,则,
令,则,
因为,所以,
所以在上单调递增,所以,则在上恒成立,
所以在上单调递增,所以,
所以,即实数的取值范围为.
【点睛】方法总结:利用导数求解函数或不等式的恒成立(有解)问题的求解策略:
形如的恒成立的求解策略:
1、构造函数法:令,利用导数求得函数的单调性与最小值,只需恒成立即可;
2、参数分离法:转化为或恒成立,即或恒成立,只需利用导数求得函数的单调性与最值即可;
形如的有解的求解策略:
1、构造函数法:令,利用导数求得函数的单调性与最小值,只需恒成立即可;
2、参数分离法:转化为或恒成立,即或恒成立,只需利用导数求得函数的单调性与最值即可.
31.(1)在和上单调递减
(2)
【分析】(1)先写出,求,二次求导判断的单调性,得出,从而得出在和上单调递减,需注意单调性在各个区间上分开描述;
(2)先写出,求,讨论在上的最小值,使,解出的取值范围,最后取并集即可.
【详解】(1).
∴.
令,
则,
令,解得,
令,解得,
在上单调递增,在上单调递减.
∴,即
∴在和上单调递减.
(2)函数的定义域为,,
∴.
①当时,则,则当时,,∴函数在单调递增,
∴存在,使得的充要条件是,即,
解得;
②当时,则,则当时,,函数在上单调递减;
当时,,函数在上单调递增.
∴存在,使得的充要条件是,
而,不符合题意,应舍去.
③若时,,成立.
综上可得:的取值范围是.
【点睛】方法点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:
一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
32.(1)单调递增区间为,单调递减区间为
(2)
【分析】(1)求出导函数,由导数的正负确定单调性;
(2)利用导数求出的最小值,问题转化为不等式恒成立,再用分离参数法分离参数后转化为求函数的最大值.
【详解】(1)由题可知函数的定义域为.
因为,则.
当时,.
所以当时,,函数在上单调递减;
当时,,函数在上单调递增.
所以的单调递增区间为的单调递减区间为.
(2)因为,所以,
又,所以,故函数在上单调递增,
所以.
所以对任意的恒成立,即恒成立.
所以恒成立.
令,则.
令,则,解得.
当时,,所以函数在上单调递增;
当时,,所以函数在上单调递减.
所以.所以.
所以实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛:本题考查用导数研究函数的单调性、确定不等式恒成立问题.在含有全称量词与存在量词的命题中注意问题的转化:
(1)对于任意的,任意的,恒成立,
(2)对于任意的,存在,使得成立,
(3)存在,使得对任意的,都有成立,
(4)存在,存在,使得成立.
33.(1)(2)
【分析】(1)根据函数单调性可知导函数不小于0恒成立,转化为恒成立即可求解;
(2)构造函数,求函数导数,分类讨论,得出函数的单调性,求即可求解.
【详解】(1)∵
∵在上恒成立.
∴恒成立,即
∵,,
∴,
∴.
(2)令
∵,
∴
当时,即;
在上单调递增,
∴
∴
当时,即,
在上单调递减,
∴
∴
当时,存在使得
在上单调递减,在上单调递增
∴
∴,解得
综合上述:m的取值范围是
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,最值,分类讨论思想,不等式有解问题,属于难题.
34.(1)证明见解析;
(2).
【分析】(1)变形所证不等式,构造函数,利用导数探讨单调性推理作答.
(2)由函数零点的意义,分离参数并构造函数,再利用导数求出函数的值域作答.
【详解】(1)函数,不等式,
令函数,求导得,
当时,函数单调递减,即有函数单调递增,,
当时,,则有,因此,成立,
于是函数在上单调递增,则,即,
所以当时,不等式成立.
(2)当时,由得,令,,
求导得,令,,
求导得,即函数在上单调递减,,
于是,函数在上单调递减,,
而当时,,函数在上单调递减,其值域为,
因此函数在上的值域为,则函数在上只有一个零点,当且仅当,即,
所以a的取值范围为.
【点睛】关键点睛:涉及函数零点求参数问题,利用函数零点的意义等价变形等式,构造函数,利用导数探求新函数零点问题解决.
35.(1);
(2).
【分析】(1)求出函数的导数,得到在内无变号根或无根;设,讨论的范围,求出函数的最小值,得到关于的不等式,解出即可;
(2) ,,令,讨论的范围,去掉绝对值,结合函数的零点个数,确定出的取值范围.
【详解】(1)因为, ,
所以 ,
由题意是函数在上的唯一的极值点,
所以在上无变号根或无根,
设,则 ,
①当,且时,,,
所以在单调递增,,符合题意,
②当时,令,得,
时,,递减,时,,递增,
所以,令 ,解得,
综上所述,实数的取值范围是;
(2)由题意, ,,
令,,时,,时,,
所以在上单调递增,在单调递减,
(i)当时,, ,
所以 ,因为 ,,故,
因此在上单调递增;
(ii)当时, ,,
故,
因为,,所以,即,
又,所以,因此在上单调递减;
综上,当时,,
要使函数有两个不同的零点,则 ,
所以且,
而当且时,当时, ,
又 , ,所以 ,即在有一个零点;
当时,,
,即在内有一个零点,
综合上述可知且时,函数有两个不同的零点,
综上,实数的取值范围是.
【点睛】难点点睛:第二问根据函数的零点个数求解参数的取值范围时,要注意讨论脱掉绝对值符号;下面解答比较难的地方在于要能利用构造函数,结合零点存在定理,在保证函数有两零点的情况下求得参数范围.
36.(1),单调递增;,单调递减,单调递增;,单调递减;(2).
【分析】(1)求出函数的导数,按a的取值分类讨论值的符号即可得解;
(2)根据给定条件化简,并求出数a与b的关系式,再确定出在内有唯一零点,然后借助导数探讨即得.
【详解】(1)由求导得:,因时,,
当,即时,,当且仅当,且时取“=”,则在上单调递增,
当,即时,,当且仅当,且时取“=”,则在上单调递减,
当,即时,由得,
当时,,在上单调递减,当时,,在上单调递增,
所以,当时,在上单调递增,当时,在上单调递减,在上单调递增,当时,在上单调递减;
(2)依题意,,,
因,则有,
显然,即0,1是函数在上的两个零点,
又,而,当时,由(1)知在上单调递减,
,,则有存在唯一,使得,
当时,,当时,,因此,在是递增,在上递减,
函数在上的图象在x轴上方,即函数在上只有两个零点,与在上有三个零点矛盾,
于是得,此时,在上单调递减,在上单调递增,则,
令,,,
可得在递增,递减,,
即,
因在上有三个零点,则在上必有一个零点,
必存在,使得,
当或时,,当时,,
则在,上都递增,在上递减,
有,于是得在区间上存在唯一零点,即在上有三个零点,
从而得函数在内必有两个零点,则,解得,
所以实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛:函数零点个数判断方法:(1)直接法:直接求出f(x)=0的解;(2)图象法:作出(分析)函数f(x)的图象,观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数,作出(分析)这两个函数的图象,观察它们的公共点个数.
37.(1)见解析;(2)
【分析】(1)对参数讨论使之能确定导函数的正负,从而能确定原函数的单调性;
(2)设定两个变量的大小关系,能判断绝对值符号内的式子的正负,可以清除绝对值符号带来的障碍,
再构造新函数使所要证明的不等式为两个变量的函数值的不等关系,则利用其单调性可得解.
【详解】解:(1)由题意,得.
当时,函数的增区间为,减区间为;
当时,函数的增区间为,,减区间为;
当时,函数的增区间为,,减区间为;
当时,函数的增区间为,没有减区间.
(2)不妨设,则.
又,由(1)知,函数在上单调递减,所以.
故,即.
令,则函数在上单调递增,,
即,对任意的,成立.
记,则,函数在上单调递增,
所以函数.
记,则.
注意到,,由二次函数性质知,,
即函数在上单调递增,所以,即为所求.
【点睛】本题考查的是导函数的应用,关键如何构造函数使所要证的不等式是两个变量在该函数中的单调性的体现,属于难度题.
38.(1)减函数;(2)3.
【分析】(1)求出导函数,由确定增区间,由确定减区间;
(2)不等式,变形为,因此令,利用导数求出的最小值,即可得的取值范围,从而得到最大的正整数.
【详解】(1),
∵,∴,∴,
∴在上是减函数;
(2)当时,恒成立,即对恒成立,
,记,
则,∴在上单调递增,
又,∴存在唯一实数根,且满足
,,
由时,,时,,知的最小值是,
∴,正整数k的最大值是3.
【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性,用导数研究不等式恒成立问题,不等式恒成立问题中,有时可用分离参数法分离参数,问题就可以转化为求函数的最值.