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专题5-3数列求和及综合大题归类（17题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）
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这是一份专题5-3数列求和及综合大题归类（17题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用），文件包含专题5-3数列求和及综合大题归类原卷版docx、专题5-3数列求和及综合大题归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共77页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc9698" 题型01等差等比公式法求和 PAGEREF _Tc9698 \h 1
\l "_Tc12233" 题型02 等差、等比、裂项、三角型分组求和 PAGEREF _Tc12233 \h 3
\l "_Tc27388" 题型03 中心对称型倒序求和 PAGEREF _Tc27388 \h 5
\l "_Tc6750" 题型04难度较大的错位相消求和 PAGEREF _Tc6750 \h 8
\l "_Tc26167" 题型05 奇偶讨论、正负相间型求和 PAGEREF _Tc26167 \h 11
\l "_Tc15835" 题型06 插入数型求和 PAGEREF _Tc15835 \h 13
\l "_Tc27093" 题型07 分段型数列求和 PAGEREF _Tc27093 \h 16
\l "_Tc24553" 题型08裂项相消型求和 PAGEREF _Tc24553 \h 19
\l "_Tc6041" 题型09裂项归类：降幂分离型 PAGEREF _Tc6041 \h 21
\l "_Tc19188" 题型10裂项归类：分子是分母差的线性型 PAGEREF _Tc19188 \h 24
\l "_Tc26897" 题型11裂项归类：指数等差型裂项 PAGEREF _Tc26897 \h 26
\l "_Tc20445" 题型12裂项归类：指数与等差“同构”型 PAGEREF _Tc20445 \h 28
\l "_Tc23295" 题型13正负型裂项：正负基础型 PAGEREF _Tc23295 \h 30
\l "_Tc12859" 题型14 正负型裂项：等差裂和型 PAGEREF _Tc12859 \h 33
\l "_Tc23820" 题型15正负型裂项：指数裂和型 PAGEREF _Tc23820 \h 36
\l "_Tc15290" 题型16裂项归类：三角函数型 PAGEREF _Tc15290 \h 39
\l "_Tc28728" 题型17 通项分段求和 PAGEREF _Tc28728 \h 42
\l "_Tc22360" 高考练场 PAGEREF _Tc22360 \h 44
题型01等差等比公式法求和
【解题攻略】
【典例1-1】（2024上·四川自贡·高三统考）设是等差数列，若．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和及其最值．
【答案】(1)
(2)数列的前项和为，最大值为，无最小值
【分析】（1）先求出公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；
（2）根据等差数列的前项和即可求出数列的前项和，再根据二次函数的性质即可求出最值.
【详解】（1）设公差为，
由，
得，解得，
所以；
（2）设数列的前项和为，
则，
函数的对称轴为，
所以，无最小值.
【典例1-2】（2024上·湖北·高三湖北省武汉市汉铁高级中学校联考）已知是等差数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)(2)12
【分析】（1）设出数列的公差，利用两个条件列出方程组，求出首项、公差，代入通项公式即得；
（2）根据（1）求出的数列基本量易得，解不等式求得的范围即得.
【详解】（1）设数列的公差为，因为，所以，解得.
所以．
（2）由（1）可知：，所以.
令，得，解得：舍去），
因为，所以的最小值是12.
【变式1-1】（2024上·河南·高三校联考）已知公比不为1的等比数列满足，且是等差数列的前三项.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据等比数列的通项公式结合等差中项列式求得，即可得结果；
（2）由（1）可知：等差数列的首项为，公差为，结合等差数列得通项公式和求和公式运算求解.
【详解】（1）设的公比为，
因为成等差数列，则，
即，解得或1（舍去），
所以.
（2）由（1）可知的前三项为，
则等差数列的首项为，公差为，
所以，即.
所以.
【变式1-2】（2023上·海南省直辖县级单位·高三校考）在等差数列中，已知：，.
(1)求数列的公差及通项公式；
(2)求数列的前项和的最小值，并指出此时正整数的值.
【答案】(1)公差为2，(2)的最小值为，此时的值为2
【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量计算出公差，得到通项公式；
（2）计算出，得到最小值及此时的的值.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，
，，
所以等差数列的公差为，通项公式.
（2）因为，
所以，
当时，有最小值，此时正整数的值为.
题型02 等差、等比、裂项、三角型分组求和
【解题攻略】
【典例1-1】（23·24上·徐汇·）若数列满足条件：存在正整数k，使得对一切，都成立，则称数列为k级等差数列；
(1)已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求的值；
(2)若（），且是3级等差数列，求的最小正值，及此时数列的前3n项和；
【答案】(1)(2)最小值，，
【分析】（1）利用2级等差数列定义即可得数列的偶数项和奇数项分别成等差数列，利用等差数列定义即可求得；
（2）根据定义可得，再由两角和与差的正弦公式即可得，解得的最小正值为，利用分组求和以及等差数列前项和公式即可得，.
【详解】（1）若数列为2级等差数列，则；
即可知数列的偶数项和奇数项分别成等差数列，
利用等差数列定义可得，
；
所以；
（2）若是3级等差数列，则；
所以可得，；
即，
解得或；
若对于恒成立，可得，
若，可得，即
所以，
因此的最小正值为，此时；
由于；
所以，
即可得，
【典例1-2】（22·23上·广安·）已知数列满足.等比数列的公比为3，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据数列的递推公式和等比数列的定义即可求出数列通项；
（2）根据分组求和与裂项求和法以及等比数列的求和公式即可求出
【详解】（1）数列满足，
是以为首项，为公差的等差数列，
，，
等比数列的公比为3，且，
，
（2），
【变式1-1】（23·24上·成都·阶段练习）设为数列的前项和，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意分析可知是以1为首项，以2为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式运算求解；
（2）由（1）可得，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式运算求解.
【详解】（1）当时，，则；
当时，由，得，两式相减得；
所以是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以.
（2）由（1）可知：，
则
，
所以数列的前项和.
【变式1-2】（23·24上·盐城·）设数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，且，设，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由与的关系求通项，注意验证时是否成立；
（2）由等比中项形式证明等比数列，求解数列的基本量，再求通项，进而化简，再分组求和，分别利用裂项相消法与等比数列求和公式求和即可.
【详解】（1）已知，，则当时，，则有
当时，，也适合上式，∴ ．
（2）∵ ，且， ∴ ，∴ 数列是等比数列，又，∴ 公比，
∴ ，∴ ，
∴
题型03 中心对称型倒序求和
【解题攻略】
【典例1-1】（22·23·全国·专题练习）设函数，设，．
(1)计算的值．
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）直接计算可得答案；
（2）由（1）的计算结果，当时，利用倒序相加法可得答案.
【详解】（1）；
（2）由题知，当时，，
又，两式相加得
，所以，
又不符合，所以.
【典例1-2】（21·22·全国·专题练习）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．
(1)求证：点的纵坐标为定值；
(2)若且求；
【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】（1）利用中点坐标公式的表示，得到，然后代入求中点的纵坐标的过程，根据对数运算法则，可以得到常数；
（2）利用（1）中所求，当时，，可以采用倒序相加法，求和即可.
【详解】（1）证明：设，因为，故可得，
由知，故，
故.
故点的纵坐标为定值.
（2）由（1）知
，
两式相加得：
，
故.
【变式1-1】（20·21·全国·课时练习）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）由题意可得：，由即可求解；
（2）求出的表达式，由指数的运算即可求解；
（3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解.
【详解】（1）因为点均在函数的图象上，
所以，
当时，，
当时，，适合上式，所以.
（2）因为，所以，
所以.
（3）由（1）知，可得，
所以，①
又因为，②
因为，以①②，得，所以.
【变式1-2】（20·21·全国·课时练习）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）若函数，令，求数列的前2020项和．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）由题意可得，然后利用可求出数列的通项公式；
（2）由题意可得，然后利用倒序相加法可求得结果
【详解】（1）∵点均在函数的图象上，
∴．当时，；
当时，，适合上式，∴．
（2）∵，∴．
又由（1）知，∴．
∴，①
又，②
①+②，，∴．
题型04难度较大的错位相消求和
【解题攻略】
【典例1-1】（23·24上·厦门·）已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，其中，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由题设求得且的公差，再应用等差、等比中项的性质列方程求的基本量，进而写出对应通项公式；
（2）运用分组求和，结合裂项相消、错位相减及等比数列前n项和公式求.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，，，
所以，解得，则，
既是和的等差中项，又是其等比中项，
所以，则，解得，即，
所以，.
（2）∵，，
∴.
，
①，
②，
①②得：
∴，∴.
【典例1-2】．（23·24上·无锡·）各项均为正数的数列的前项和记为，已知，且对一切都成立．
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成等差数列，将插入的个数之和记为，其中．求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由，可得，进而可得，再利用退一相减法可得；
（2）利用等差数列等差中项的性质可得，再利用错位相减法可得前项和.
【详解】（1）由，得，所以，
所以，当时，，
所以，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；
（2）由已知在和之间插入个数，这个数组成等差数列，
所以，设数列的前项和为，
则，
，
所以，
所以.
【变式1-1】（23·24上·温州·）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式.
(2)设数列的前项和为，点在直线上，，求以及的最小值.
【答案】(1)(2)，的最小值为1
【分析】（1）根据和的关系可得是以2为首项，2为公比的等比数列，进而结合等比数列的通项公式求解即可；
（2）由题设可得，进而得到数列是以为首项，为公差的等差数列，进而可得，结合和的关系可得，进而利用错位相减法求和可得，进而利用作差法可得，即数列为递增数列，进而求解.
【详解】（1）由，当时，，即；
当时，，
整理得，即，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.
（2）因为点在直线上所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则，即，所以当时，.
所以，，则，所以，
则，两式相减得，，
即，所以，
又，即，
所以数列为递增数列，所以当时，取得最小值.
【变式1-2】（23·24上·丹东·）已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且
(1)求和的通项公式；
(2)记，其中，求数列的前项的和．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由已知条件建立基本量方程或方程组求解即可；
（2）分奇数项与偶数项分组求和，分别利用裂项相消法与错位相减法求和.
【详解】（1）数列是公差为1的等差数列，且，，
解得，数列的通项公式．
数列是等比数列，且，设数列的公比为，
解得，数列的通项公式为：．
（2）由（1）可知，，
，
令，
，
，
，
，，
数列的前项和．
.
题型05 奇偶讨论、正负相间型求和
【解题攻略】
【典例1-1】（2024上·江苏苏州·高三统考）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足.
(1)若，且，求；
(2)若数列也是公差为的等差数列，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据给定条件，依次求出，列出不等式求解即得.
（2）设，由已知求出，借助恒成立求出，再按奇偶分类并结合分组求和法求解即得.
【详解】（1）依题意，，，
则，由，得，解得，而，
所以.
（2）由是公差为的等差数列，设，
又，
于是对任意恒成立，
即对任意恒成立，
则，又，解得，从而，，
当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
所以.
【典例1-2】（2024上·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考）已知数列满足，且对任意正整数n都有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，，（），若且，求集合A中所有元素的和．
【答案】(1)(2)135
【分析】（1）利用累加法可得答案；
（2）求出，，由，得，，…，满足题意，得，，，，满足题意，从而求得答案.
【详解】（1）因为，所以，
可得
，即；
（2），
当n为偶函数，，
，
，∴，
则，，…，满足题意，
，，
∴，，，，满足题意，
∴A中所有元素和为．
【变式1-1】（2024·云南昭通·统考模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）由题意构造出形式即可得；
（2）借助裂项相消法求和即可得.
【详解】（1）因为，且，
所以，即，
又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以；
（2）由（1）知，所以，
所以
，故.
【变式1-2】（2024上·江苏·高三）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且对一切都成立.若是公差为2的等差数列，.
(1)求数列与的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用的关系结合条件及等比数列的定义可得，再根据等差数列的概念计算求；
（2）利用分组求和及等比数列求和公式计算即可.
【详解】（1）由，且对一切都成立，
可得，
又，所以，
则，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，则.
又是公差为2的等差数列，，所以，
则.
综上.
（2）由上可知，
故
.
题型06 插入数型求和
【解题攻略】
【典例1-1】（2024·全国·武钢三中校联考模拟预测）已知数列为等差数列，，且数列是公比为2的等比数列，.
(1)求，的通项公式；
(2)若数列满足，将中的项按原有顺序依次插入到数列中，使与之间插入2项，形成新数列，求此新数列前面20项的和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据条件先求解出的公差，则的通项公式可求；将的通项公式求出，则的通项公式可知；
（2）先分析前项的组成情况，然后采用分组求和求得结果.
【详解】（1）设的公差为，所以，
所以，所以，
又因为，所以.
（2）将及其后中的两项看成一组，故需要组再加上第组的前两项，
所以
.
【典例1-2】（2018下·江苏南京·高三南京外国语学校校考）设等比数列的前项和为；数列满足（，）．
（1）求数列的通项公式；
（2）①试确定的值，使得数列为等差数列；②在①结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，符到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】分析：（1）求出数列的首项和公比，即可求数列的通项公式；（2）①求出数列的前几项，根据等差数列的性质建立方程即可求出；②讨论的取值，根据的关系进行求解即可．
详解：（1）当时，，，
则公比，则
（2）①当时，得 时，得；时，得，
则由，得．
而当时，由得．
由，知此时数列为等差数列．
②由题意知，
则当时，，不合题意，舍去；
当时，，所以成立；
当时，若，则，不合题意，舍去；从而必是数列中的某一项，
则：
又，所以 ，
即，所以
因为为奇数，而为偶数，所以上式无解．
即当时，
综上所述，满足题意的正整数仅有．
【变式1-1】（2023上·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考阶段练习）若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差.
(1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；
(2)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和.
【答案】(1)是等方差数列；数列不是等方差数列；理由见解析(2)1622
【分析】（1）根据等方差数列的定义分别判断，，即可得结论；
（2）由题意确定数列中前30项中含有的前7项和数列的前23项，结合等差数列以及等比数列的前n项和公式，即可求得答案.
【详解】（1）是等方差数列；数列不是等方差数列；理由如下：
对于数列：，有，
故数列是等方差数列；
对于：，，
因为不是常数，故数列不是等方差数列；
（2）由题意知数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，
故，而，所以；
是首项为1，公比为3的等比数列，
而新数列中项（含）前共有项，
令，结合，解得，
故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，
所以数列中前30项的和.
【变式1-2】（2022上·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）已知各项均为正数的数列{an}中，a1=1且满足，数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn+1=3bn.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和Sn；
(3)若在bk与bk+1之间依次插入数列{an}中的k项构成新数列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，……，求数列{cn}中前50项的和T50.
【答案】(1),(2)(3)
【分析】（1）利用平方差公式将变形，得出数列是等差，可求出数列的通项；利用消去得到与的递推关系，得出数列是等比数列，可求出通项；
（2）根据等差等比数列的求和公式求解即可；
（3）分析中前50项中与各有多少项，分别求和即可．
【详解】（1）由得：∵
是首项，公差为2的等差数列∴又当时，得
当，由…①
…②
由①－②整理得：，∵，∴，∴，
∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；
（2）
（3）依题意知：新数列中，（含）前面共有：项．
由，（）得：，
∴新数列中含有数列的前9项：，，……，，含有数列的前41项：，，，……，；
∴．
.
题型07 分段型数列求和
【解题攻略】
【典例1-1】已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据与的关系可得，进而得，由累加法即可求解；
（2）根据分组求和，由等差等比数列的求和公式即可求解.
（1）
因为，所以，①
当时，，②
①-②得：，即，
所以，所以，由，可得，
当时，，符合上式，所以．
（2）由题意得，则
，
所以．
【典例1-2】已知数列，的前n项和分别为，，，．
(1)求及数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前2n项和．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）先根据得到，再结合，求出数列，的通项公式；
（2）在第一问的基础上利用分组求和进行求解.
（1）在中，
当n＝1时，b1﹣a1＝0，
当n⩾2时，，
显然b1﹣a1＝0适合上式，
所以，，
又，
所以两式相减得，两式相加得
且a1＝1，b1＝1；
（2）因为，结合（1）中所求，，
故
【变式1-1】已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
【答案】(1)，；(2)
【分析】(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为（），根据等差等比数列通项公式基本量的计算可得结果；
(2)求出，代入可得，再分组求和，利用裂项求和方法和等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），
∵，，，，
∴，
∴，，∴，；
（2）由（1）知，，
∴，
∴
.
【变式1-2】已知数列的前项和为，且满足，等差数列中，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)定义，记，求数列的前20项和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据，作差即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，再设数列的公差为，即可得到方程组，解得、，从而求出的通项公式；
（2）根据通项公式判断数列的单调性，即可得到的通项公式，再用分组求和法计算可得.
【详解】（1）解：因为，当时，解得，
当时，所以，即，
所以，即是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
设数列的公差为，由，，可得，解得，
所以.
（2）解：因为，即数列为递增数列，
即数列单调递减，
，，，，，，
，，，，，，
所以当时，当时，
所以，
所以.
题型08裂项相消型求和
【解题攻略】
【典例1-1】（23·24上·福州·）已知是数列的前n项和，．
(1)求数列的通项公式
(2)设为数列前n项的和，若对一切恒成立，求实数的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)利用代入即可求得通项公式；
(2)裂项相消求得的前项和，再结合基本不等式求最值.
【详解】（1）因为是数列的前n项和，且，则，当时，，当时，，满足通项公式，所以的通项公式为.
（2）因为为数列前n项的和，令，
则，
，因为对一切恒成立，
则，因为，当且仅当时，等号成立.
所以,所以实数的最大值为.
【典例1-2】（23·24上·威海·阶段练习）设数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，结合探讨数列的特征，再求出通项公式即得.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助单调性推理即得.
【详解】（1）依题意，当时，，解得，
当时，，
整理得，即有，两式相减得，
因此数列为等差数列，由，，得公差，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，，
因此
，
则，显然数列是递增数列，即有，而，
所以．
【变式1-1】（23·24上·闵行·）等差数列的前项和为，已知，且.
(1)求和；
(2)设，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）设公差为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出和；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求出，即可得解.
【详解】（1）设公差为，由，且，可得，
解得，所以，.
（2）由（1）可得，
所以
，
因为恒成立，所以，即实数的取值范围为.
【变式1-2】（23·24上·佛山·阶段练习）已知数列的前项的和为，数列是公差为1的等差数列．
(1)证明：数列是公差为2的等差数列；
(2)设数列的前项的和为，若，证明．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的定义，结合与之间的关系进行求解证明即可；
（2）根据（1）的结论，结合裂项相消法进行求解证明即可.
【详解】（1）因为数列是公差为1的等差数列，所以．
从而可得．
当时，．
即可得，所以数列是公差为2的等差数列；
（2）根据第（1）问数列是公差为2的等差数列可得，
从而可得．
所以数列的通项公式．
所以．
从而可得．
所以成立．
题型09裂项归类：降幂分离型
【解题攻略】
【典例1-1】．（22·23下·十堰·阶段练习）设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的正整数，与2的等差中项等于与2的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用已知与2的等差中项等于与2的等比中项，推出 并由此得出，进而得的递推关系，从而推得数列的通项公式；
（2）要证，即证，将看作每项都减去1，故令，利用的通项公式求得，并利用裂项相消法求和，进而得证.
【详解】（1）由题意，有 ，整理得，
则，所以，
, ,
整理得 ，
由题意知 ，∴,
∴数列为等差数列，其中，公差,
∴，
即通项公式为；
（2）要证，
即证，
，令,
则，
故
，
∴.
【典例1-2】（22·23下·河池·阶段练习）已知数列的前n项和为，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由，可求出数列的通项公式；
（2）由（1）求出，由裂项相消法求解即可.
【详解】（1）由当时，，
当时，满足上式，所以，
（2）
，
故．
【变式1-1】（23·24上·深圳·阶段练习）已知数列的前n项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)设的前n项和为，求．
(3)记数列的前n项和为，若恒成立，求的最小值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据及，可得到是首项为，公差为2的等差数列，结合定义法求通项公式即可；
（2）根据（1）的结果求得，结合裂项相消法求和即可；
（3）根据（1）的结果得到，进而得到当时，，结合随的增大而增大，得到最值，即可得到，进而得到答案.
【详解】（1）因为，
所以当时，，解得，
当时，，
两式相减得，，
化简得，，
因为，所以，则，
即是首项为，公差为2的等差数列，
所以的通项公式为
（2）由（1）知，，因为，
所以，
所以
（3）由（1）知，，所以，
所以当时，，因为随的增大而增大，
所以，，
所以，所以的最小值为
【变式1-2】（23·24上·南昌·阶段练习）已知函数.
(1)若，使得成立，求实数的取值范围；
(2)证明：对任意的为自然对数的底数.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）变形不等式，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得.
（2）由（1）的信息可得，令，再利用不等式性质、对数运算、数列求和推理即得.
【详解】（1）函数，则不等式，令，
求导得，当时，，函数递增，当时，，函数递减，
因此当时，，依题意，，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，当时，，即当时，，而当时，，
因此，于是
，即有，
所以.
题型10裂项归类：分子是分母差的线性型
【解题攻略】
【典例1-1】（22·23·秦皇岛·模拟预测）设等比数列的前项和为，数列为等差数列，且公差，.
(1)求数列的通项公式以及前项和；
(2)数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列通项公式运算、等比数列通项公式和求和公式运算即可求解.
（2）利用裂项相消法求出，而，从而得出证明.
【详解】（1）设的公比为，由题意，可得，解得，
所以，所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以，
因为，所以，得证.
【典例1-2】（23·24上·湖北·一模）已知正项数列的前项和，满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，设数列的前项和为，求证．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）由，把用1代入算出首项，再用退位相减法发现其为等差数列，则数列通项可求；
（2）由（1）可先算出，代入求得通项并裂项，再求和即可证明.
【详解】（1）当时，，解得．
当时，由①，可得，②
①②得：，即．
，
．
是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列的通项公式．
（2）由（1）可得，
，
，，，，，
，
.
【变式1-1】（22·23·海口·模拟预测）已知等差数列，其前项和满足为常数.
(1)求及的通项公式；
(2)记数列 ，求前项和的.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）计算出的值，根据等差中项的性质可列方程解出的值，再利用与的关系即可求解；
（2）运用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由题意，当时，，
当时，，
则，，
因为数列是等差数列，所以，
即，解得，
则，满足，
所以的通项公式为．
（2）由（1）可得，，则，
所以
．
【变式1-2】（2023·四川内江·统考一模）已知等差数列的前项和为，，.
(1)求及；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解，
（2）根据裂项求和即可求解.
【详解】（1）设公差为，则由，可得：
，解得，
所以，
（2），
故
题型11裂项归类：指数等差型裂项
【解题攻略】
【典例1-1】（2024·福建厦门·统考一模）已知数列的前项和为，，当，且时，．
(1)证明：为等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，若，求正整数的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)3.
【分析】（1）由题设，结合已知得到在上都成立，即可证结论；
（2）由（1）得，裂项相消法求，根据不等式关系得，即可确定正整数的最小值.
【详解】（1）当时，，即，
又，故在上都成立，且，
所以是首项、公比均为2的等比数列.
（2）由（1）知：，则，
所以，
则，即，
所以，可得，而，故，正整数的最小值为3.
【典例1-2】（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和，证明：.
【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析
【分析】（1）根据数列递推式，可得，结合等比数列定义，即可证明结论；
（2）利用（1）的结论求出，可得的表达式，利用裂项求和法，即可求得，继而证明结论.
【详解】（1）证明：由题意知数列的首项，且满足，
故，
由于，故，故，
故数列是以为首项，公比为3的等比数列；
（2）由（1）可得，故，
故，
故
，
由于，故.
【变式1-1】（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）记为正项数列的前项和，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）由退位相减可得，又可得，继而可知数列为等比数列，则通项可求；
（2）由（1）可得、继而可求，并将其裂项再求和，即可证明不等式.
【详解】（1）因为，所以，当时，，
两式相减得，，化简可得，
所以，即，又可得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，可得
（2）由（1）可知，，
所以，则，，
，
，因为，所以，则.
【变式1-2】（2023上·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知数列的首项，且满足，记.
(1)证明：是等比数列；
(2)记，证明；数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）根据等比数列的定义，要证是等比数列，即证为常数；
（2）由（1）可知数列的通项公式，利用裂项相消法求和，整理变形即可证得.
【详解】（1）因为，
所以，，所以，
因为，，所以，因为，
因为，
又因为当时，所以，所以，
所以是以5为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，因为，
所以.
题型12裂项归类：指数与等差“同构”型
【解题攻略】
【典例1-1】（22·23·河南·三模）已知数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先将题目中的表达式边同时除以可证得是以为首项，为公差的等差数列，由此求出，再结合，即可得出答案；
（2）先求出，再由裂项相消法求解即可.
【详解】（1）因为，两边同时除以，
所以，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，
当时，，
当时，也满足上式，
所以.
（2）由（1）可得，，
则
.
【典例1-2】（23·24上·合肥·阶段练习）在数和之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，令.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用等比数列的基本性质结合倒序相乘法可求得，结合对数的运算可得出数列的通项公式；
（2）计算得出，利用裂项相消法可求得.
【详解】（1）解：在数和之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，
设插入的这个数分别为、、、，
由等比数列的性质可得，
所以，，所以，，
易知，所以，，则.
（2）解：，
所以，.
【变式1-1】（22·23下·抚顺·模拟预测）已知数列的前n项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）先求出，再利用，得是等比数列，再根据等比数列的通项公式求解即可；
（2）由题意可得，利用裂项相消求解即可.
【详解】（1）解：因为，，①
所以当时，解得，
当时，，即②，
由①-②可得，即，
所以数列是等比数列，首项为，公比，
所以数列的通项公式为：；
（2）解：由（1），
所以，
所以
【变式1-2】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）已知数列为等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，由此可得通项公式；
（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得，进而分析得到结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得：，
.
（2）由（1）得：，
，，.
题型13正负型裂项：正负基础型
【解题攻略】
【典例1-1】（22·23下·德州·）已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，由题意可得出，解方程求出，再由等差数列和等比数列的通项公式即可得出答案；
（2）先求出，再由裂项相消法和等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，
则，解得：，
所以数列的通项公式为；
数列的通项公式.
（2），
数列的前项和．
.
【典例1-2】（22·23下·武汉·）设数列前n项和为，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列前n项和为，问是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）根据已知与的关系可得，当时，.然后可得出的奇数项和偶数项均分别为等差数列，根据求得的值，结合等差数列的通项公式，得出答案；
（2）裂项化简可得，求解可得为偶数时，求出此时的最大值.然后得出为奇数时，，比较即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，①
当时，②
①-②得，.
因为，所以.
又，
所以，，，…，，…是以为首项，4为公差的等差数列，
所以；
当时，有，，
所以，
所以，，，…，，…是以为首项，4为公差的等差数列，
所以.
所以，.
（2）由（1）可得，.
则当n为偶数时，
，显然单调递减，所以有；
当n为奇数时，
.又，
所以存在最大值，且最大值为.
【变式1-1】（22·23高三下·湖北·）已知数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足：，求数列的前2n项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用时关系求通项公式，注意验证情况，即可得通项公式；
（2）应用分组、裂项相消法求.
【详解】（1）由时，
又时也满足该等式，故.
（2）由，
则
.
因此.
【变式1-2】设数列的前项和为，且.（1）求、、的值；
（2）求出及数列的通项公式；
（3）设，求数列的前项和为.
上海市上海师范大学附属中学2017届高三上学期数学试题
【答案】（1），，；（2），；
（3）当为奇数，；当为偶数，.
【详解】(1)，时，，
时，，解得，
时，，解得，同理可得：，
（2）由（1）可得：，，化为，猜想，时，代入，左边；右边,所以左边=右边，猜想成立，时也成立，
时，，时，也成立，；
当时，，又，
数列的通项公式为.
（3），
为偶数时，数列的前项和为：
.
为奇数时，数列的前项和为：
.
综上所述，当为奇数，；当为偶数，.
.
题型14 正负型裂项：等差裂和型
【解题攻略】
【典例1-1】（22·23下·荆州·阶段练习）已知等差数列满足，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，的前项和分别为，.若的公差为整数，且，求.
【答案】(1)或（）
(2)当为正偶数时，，当为正奇数时，
【分析】（1）设出公差d，根据已知条件列出相应的等式即可求解.
（2）由题意可以先求出的通项公式，再对n进行讨论即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，∵，∴，
∵，，成等比，∴，
即，得，解得或，∴当时，；
当时，；∴或（）.
（2）因为等差数列的公差为整数，由（1）得，
所以，则，
∴.
①当为偶数时
.
②当为奇数时
.
所以当为正偶数时，，当为正奇数时，.
【典例1-2】（22·23·三明·三模）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）取倒数结合等差数列的通项计算即可；
（2）利用裂项法求得，结合，即可证明结论.
【详解】（1）因为，，所以，
所以.所以，
所以为等差数列，首项为，公差，
所以，所以
（2）证明：因为，
所以.
所以，
因为，所以，即.
【变式1-1】（22·23下·武汉·）设数列前n项和为，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列前n项和为，问是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）根据已知与的关系可得，当时，.然后可得出的奇数项和偶数项均分别为等差数列，根据求得的值，结合等差数列的通项公式，得出答案；
（2）裂项化简可得，求解可得为偶数时，求出此时的最大值.然后得出为奇数时，，比较即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，①
当时，②
①-②得，.
因为，所以.又，
所以，，，…，，…是以为首项，4为公差的等差数列，
所以；
当时，有，，所以，
所以，，，…，，…是以为首项，4为公差的等差数列，
所以.所以，.
（2）由（1）可得，.
则当n为偶数时，
，
显然单调递减，所以有；
当n为奇数时，
.又，
所以存在最大值，且最大值为.
【变式1-2】（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前项积为．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析；；
(2)（或）
【分析】（1）由前项积定义可得，再由等差数列定义即可得出证明，并求得数列的通项公式为；
（2）利用裂项相消法求和，对的奇偶进行分类讨论即可得.
【详解】（1）由题意得当时，．
因为，所以，解得以．
当时，，即，因此．
所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，可得．
所以．
（2）由题意知
．
当为偶数时，
；
当为奇数时，
．
所以（或）
.
题型15正负型裂项：指数裂和型
【解题攻略】
【典例1-1】（21·22高三下·重庆沙坪坝·）设数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和为.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据作差得到，从而得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出数列的通项公式；
（2）由（1）得，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）因为①，当时，解得，
当时②，
①②得，即，
所以，则，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则.
（2）由（1）可得，
所以
.
【典例1-2】（22·23高三下·黑龙江哈尔滨·）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）依题意可得，再结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）可得，再分为偶数和奇数两类情况并结合裂项求和法讨论即可.
【详解】（1）证明：因为，
所以，即，
因为，所以，
故数列是以12为首项，3为公比的等比数列，
所以，则.
（2）解：由（1）知，
所以.
当为偶数时，
，
因为是单调递减的，所以.
当为奇数时，
，
又是单调递增的，因为，所以.
要使存在，使，只需，即，故的取值范围是.
【变式1-1】（22·23下·武清·阶段练习）设是等比数列，公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设数列的前项和为.
（i）求；
（ii）求.
【答案】(1)；(2)（i）；（ii）
【分析】（1）利用等比数列、等差数列通项公式化简已知等式即可求得公比和公差，由此可得；
（2）（i）由等比数列求和公式和分组求和法可求得；
（ii）采用裂项相消法，分别在为偶数和为奇数的情况下求解可得结果.
【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
由得：，又，
，解得：（舍）或，；
，解得：，
，解得：，，
.
（2）（i）由（1）得：，
；
（ii）由（i）得：，
当为偶数时，；
当奇数时，；
综上所述：.
【变式1-2】（23·24上·黔东南·阶段练习）已知数列满足：，.
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求的前n项和.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）通过构造可证为等比数列，根据等比数列通项公式可得，然后可得；
（2）将数列通项公式变形为，直接求和可得.
【详解】（1）证明：由，所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，即
（2）由（1）知：，所以.又，
.
题型16裂项归类：三角函数型
【典例1-1】（2023·山东威海·二模）已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8，设．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前100项和．
【答案】(1)证明见详解(2)
【分析】（1）根据等比数列的性质分析可得，再结合等差数列的定义分析证明；
（2）根据两角差的正切公式整理得，结合裂项相消法运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，且，可得，
所以，可得，则，
所以数列是以公差为的等差数列.
（2）由（1）可得，则，
整理得，
则
，所以数列的前100项和.
【典例1-2】（22·23上·芜湖·）已知是数列的前项和，．且
(1)求的通项公式；
(2)设，已知数列满足，求的前项的和
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合变形，构造数列求解作答.
（2）由（1）的结论，利用差角的正弦公式变形，再利用错位相减法求解作答.
【详解】（1）因为，，当时，，
两式相减得：，即，变形得，
于是得数列是常数列，因此，即，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
，
所以.
【变式1-1】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）数列各项均为正数，的前n项和记作，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）当时，有相减得,结合各项均为正数，并因式分解即可求解.
（2）由（1）得，结合可知，由裂项相消法即可求解.
【详解】（1）当时，有相减得，即，各项均为正数，
所以，
又当时，，
解得或(舍)，
所以对任意正整数n，均有，
故是以首项为1，公差以1的等差数列，
所以．
（2）由于，
故，
由（1）得，
记前n项和为，则
，所以.
【变式1-2】（2023上·湖北武汉·高三湖北省武昌实验中学校考阶段练习）已知数列中，，设为前n项和，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先用与的关系以及递推公式求出，再利用累乘法即可求得通项公式；
（2）由（1）结论代入可得，利用三角函数两角差公式化简可得，再利用累加法即可求得数列的前n项和.
【详解】（1）数列中，，为前n项和，
当时，，，
当时，①，
②，
由②-①得：，，
即，
当时，，递推可得：，，，，
由累乘法可得：，
，又因为，所以，即，经检验，当时符合上式，
所以；
（2）由（1）可知，，所以：
，
所以
；
所以数列的前n项和.
题型17 通项分段求和
【典例1-1】在公差为2的等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前20项和．
【答案】(1)(2)270
【分析】（1）由题意可求出，即可求出数列的通项公式；
（2）利用分组法求数列的前20项和（1）
由，得，所以，
故．
（2）因为，
所以，
又，，，
所以
．
【典例1-2】在公差不为0的等差数列中，前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求数列的前12项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）直接利用等差数列的性质求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式；
（2）利用并项求和法及等比数列求和公式计算可得；
（1）
设等差数列中，首项为，公差为（），
由，，
所以，，
解得，所以；
（2）解：因为，，
所以，，即，
，即
，即
，即
，即
，
所以
【变式1-1】（2024上·浙江杭州·高三杭州高级中学校考）已知正项数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，的前项和为，求.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据与的关系化简求解即可；
（2）采用分组求和的方式计算即可.
【详解】（1）①②
①-②整理得 数列是正项数列，
当时，
数列是以2为首项，4为公差的等差数列， ；
（2）由题意知， ，
故
.
【变式1-2】（2024上·贵州毕节·高三统考）已知递增的等比数列满足，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）已知等比数列，依据题意求出基本量即可.
（2）讨论奇偶项，转化为等比数列求和即可.
【详解】（1）由题意，设等比数列的公比为，
则，成等差数列，
，即，
化简整理，得，
解得（舍去），或，首项，
.
（2）由（1）可得
则数列的前项和为
高考练场
1.（2024上·广东深圳·高三统考）已知数列为等差数列，且.
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，若，求的最小值.
【答案】(1)(2)27
【分析】（1）设出公差，根据通项公式基本量计算得到方程，求出首项和公差，得到通项公式；
（2）利用等差数列求和公式得到不等式，求出答案.
【详解】（1）设的公差为，
，
解得
故.
（2），
令，即，
，即，解得或（舍去），
故的最小值为27.
2.（23·24上·六安·阶段练习）已知首项为1的正项等比数列，且，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和为．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据等差中项结合等比数列的通项公式运算求解；
（2）由（1）可知：，利用分组求和结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，且，
因为，，成等差数列则，
即：，解得或（舍去）所以数列的通项公式，.
（2）由（1）可知：，
则
，所以.
3.（20·21上·开封·阶段练习）已知函数，设数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若记，2，3，，，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由得到，然后变形为，利用等差数列的定义求解.
（2）由（1）得到，由，利用倒序相加法求解.
【详解】（1）因为，所以由得，
所以，，所以是首项为2，公差为2的等差数列，
所以，所以.
（2）由（1）知，则，
，，
所以，
，，两式相加，得：
，所以.
4.（23·24上·邢台·）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，，设数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）计算，根据得到，确定等比数列，计算即可.
（2）利用累乘法得到，再根据错位相减法得到，构造数列，根据数列的单调性计算最值得到答案.
【详解】（1）当时，，解得.
当时，，相减得，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，验证时成立，
故；
（2），，故.
，两式相减可得：
，
所以，.令，，，
故，且，，，
是从第二项开始单调递减数列，.
故.
5.（2024上·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考）已知数列是各项为正数的数列，前n项和记为，，()，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用与的关系，以取代构造等式，两式作差得递推关系，再变形可证明数列是等差数列，进而求出通项；
（2）分奇偶讨论，利用并项求和法求解前n项和.
【详解】（1）由题意得①，且，当时，，
解得或(舍去)，当时，②·∴①②得，
∴，∵，∴，
∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴.
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）得，
则当，且时，
，
n为偶数时，
，
n为奇数时，则为偶数，由上式可知，，
所以.所以，.
6.（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）若数列满足（n为正整数，p为常数），则称数列为等方差数列，p为公方差．
(1)已知数列的通项公式分别为判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；
(2)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，数列满足，且，求正整数m的值；
(3)在（1）､（2）的条件下，若在与之间依次插入数列中的项构成新数列，，求数列中前50项的和．
【答案】(1)数列为等方差数列，数列不是等方差数列，理由见解析；(2)40(3)11522
【分析】（1）根据等方差数列的定义，即可判断；
（2）首先求得数列的通项公式，再根据数列的通项公式，结合对数换底公式，
即可求解；
（3）首先确定的取值，再根据等比数列和等差数列求和公式，即可求解.
【详解】（1）因为（常数），
所以数列为等方差数列，1为公方差；
因为，
所以数列不是等方差数列．
（2）由题意得，，
显然
，解得．
（3）由题意得：新数列中，（含）
前共有：项，由，得，
所以新数列中的前50项含有数列的前9项，含有数列的前41项，
即
7.（2024上·陕西榆林·高三统考）已知数列满足，，记.
(1)求，；
(2)求证：数列是等差数列；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)，(2)证明见解析(3)
【分析】（1）根据递推关系代入即可求解，
（2）根据等差数列的定义求证即可，
（3）由等差数列求和公式即可求解.
【详解】（1），；
（2），所以数列是首项为19，公差为的等差数列；
（3）.
8.（23·24上·河南·）对数列，记为数列的前n项交替和；
(1)若，求的前n项交替和；
(2)若数列的前n项交替和为，求的前n项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）按项数的奇偶分类讨论求交替和，偶数项时可并项求和转化为等差数列求和，奇数项时转化为偶数项求解；
（2）求解通项，再裂项相消法求和.
【详解】（1）当，时，
；
当，时，则为偶数，
则
；
所以.（或）
（2）当时，；
当时，，不符合上式；
则，
所以，，
则，
且当时，，
设的前n项和为，
则
.
9.（22·23上·全国·单元测试）已知数列满足：，数列满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）当时，，和题干中式子相减得到，验证时也满足，从而得到的通项公式；
（2）变形得到，利用裂项相消法，分组求和法求和.
【详解】（1）①，
当时，②，
两式相减得．
化简可得．
当时，由题设得，，代入上式也符合．
所以数列的通项公式为．
（2）将的通项公式代入题设条件可得，
．故的前项和得，
．
10.（2023上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）已知正项数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前n项和；
(3)若，数列的前项和为，求的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）利用，求得数列的通项公式.
（2）由（1）得，然后利用错位相减法求得前n项和
（3）由（1）求得的表达式，然后利用裂项求和法求得的前项和，利用差比较法证得数列递增，进而求得的取值范围.
【详解】（1）当时，由，得，得，
由，得，两式相减，
得，即，
即
因为数列各项均为正数，所以，所以
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
因此，，即数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
两式相减得
，，.
（3）由（1）知，所以.
所以.
所以
.
令，则
所以是单调递增数列，数列递增，
所以，又，所以的取值范围为.
11.（23·24上·昆明·阶段练习）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）运用累乘法求出的通项公式；
（2）先运用裂项法求出的解析式，再运用缩放法证明.
【详解】（1）由已知，
所以，
当时，满足条件，所以；
（2）由于，所以，
所以，
所以，显然在上为增函数，，又，所以；综上，.
12.（23·24上·黔东南·阶段练习）已知数列满足：，.
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求的前n项和.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）通过构造可证为等比数列，根据等比数列通项公式可得，然后可得；
（2）将数列通项公式变形为，直接求和可得.
【详解】（1）证明：由，
所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，即
（2）由（1）知：，所以.
又，
13.（22·23·三明·三模）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）取倒数结合等差数列的通项计算即可；
（2）利用裂项法求得，结合，即可证明结论.
【详解】（1）因为，，所以，
所以.所以，所以为等差数列，首项为，公差，
所以，所以
（2）证明：因为，
所以.
所以，
因为，所以，即.
14.（23·24上·和平·开学考试）已知等比数列的公比，若，且，，分别是等差数列第1，3，5项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和；
(3)记，求的最大值和最小值.
【答案】(1)，(2)(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据等差数列、等比数列的知识求得.
（2）利用错位相减求和法求得.
（3）利用裂项求和法，结合对进行分类讨论，由此求得的最大值和最小值.
【详解】（1）依题意，，，解得，所以，
则，设等差数列的公差为，则，
所以.
（2），，，
两式相减得，.
（3）
，
，
当为偶数时，，令（为偶数），则是单调递增数列，
最小值为，且.
当为奇数是，，令（为奇数），则是单调递减数列，
最大值为，且.综上所述，的最大值为，最小值为.
15.（22·23高三上·江苏南通·）已知为正项数列的前n项和，且，当时，.
(1)证明为等差数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）将整理为，结合等差数列的定义即可得到为等差数列，然后利用等差数列的通项公式得到，最后利用求即可；
（2）由（1）得到，，然后根据得到，最后利用裂项相消和分组求和求即可.
【详解】（1）因为，所以，所以为等差数列.
因为，所以，所以，
所以当时，
，
当时，，所以.
（2）因为，所以.
因为，
所以.
所以
.
16.（2024上·山东临沂·高三统考）已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，.
(1)求的通项公式;
(2)求.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据条件转化为关于等差数列的首项和公差的方程组，列式求解；
（2）根据数列的通项公式，以及数列与的关系，利用分组转化的方法，即可求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，，
，整理得，解得；
（2）当n为偶数时，
；
当为奇数时，，
，
当时，上式也成立；
.
结束 对于等差等比数列，利用公式法可直接求解
等差数列有关公式：
通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(na1＋an,2).
等比数列有关公式：
通项公式：an＝a1qn－1；
(2)前n项和公式：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
分组求和
1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
倒序求和
如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。比较常见于等差数列，以及具有中心对成的函数型数列求和
错位相减法：形如an＝，用错位相减法求解．
错位相减法求数列的前n项和
（1）适用条件
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
（2）基本步骤
（3）思维结构结构图示如下
（4）注意事项
①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．
等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．
①
②
得：．
整理得：．
（5）万能公式：
形如的数列求和为，
其中，，
（6）公式秒杀:
(错位相减都可化简为这种形式,对于求解参数与,可以采用将前1项和与前2项和代入式中,建立二元一次方程求解.此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据.)
正负相间求和：
1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。
插入数型
1.插入数构成等差数列
在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解
个数构成等差数列，公差记为，所以：
插入数构成等比数列
在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解
个数构成等比数列，公差记为，所以：
插入数混合型
混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。
分段数列求和：
1.分奇偶讨论，各自新数列求和。注意奇数项与偶数项各自项数。
2.要注意处理好奇偶数列对应的项：
（1）可构建新数列；
（2）可“跳项”求和
常见的裂项相消法求和类型
(1)；（2） ； （3）；（4）；
分式型：，，等；
分离常数型
分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，把分子次幂降下来。
分式型分子裂差法
如果数列通项满足“分子是分母差的线性关系”即
指数裂项法
指数与等差数列“同构”
正负相间求和：
1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。
正负型等差裂和型
正负型：等指数裂和型
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc9698" 题型01等差等比公式法求和 PAGEREF _Tc9698 \h 1
\l "_Tc12233" 题型02 等差、等比、裂项、三角型分组求和 PAGEREF _Tc12233 \h 3
\l "_Tc27388" 题型03 中心对称型倒序求和 PAGEREF _Tc27388 \h 5
\l "_Tc6750" 题型04难度较大的错位相消求和 PAGEREF _Tc6750 \h 8
\l "_Tc26167" 题型05 奇偶讨论、正负相间型求和 PAGEREF _Tc26167 \h 11
\l "_Tc15835" 题型06 插入数型求和 PAGEREF _Tc15835 \h 13
\l "_Tc27093" 题型07 分段型数列求和 PAGEREF _Tc27093 \h 16
\l "_Tc24553" 题型08裂项相消型求和 PAGEREF _Tc24553 \h 19
\l "_Tc6041" 题型09裂项归类：降幂分离型 PAGEREF _Tc6041 \h 21
\l "_Tc19188" 题型10裂项归类：分子是分母差的线性型 PAGEREF _Tc19188 \h 24
\l "_Tc26897" 题型11裂项归类：指数等差型裂项 PAGEREF _Tc26897 \h 26
\l "_Tc20445" 题型12裂项归类：指数与等差“同构”型 PAGEREF _Tc20445 \h 28
\l "_Tc23295" 题型13正负型裂项：正负基础型 PAGEREF _Tc23295 \h 30
\l "_Tc12859" 题型14 正负型裂项：等差裂和型 PAGEREF _Tc12859 \h 33
\l "_Tc23820" 题型15正负型裂项：指数裂和型 PAGEREF _Tc23820 \h 36
\l "_Tc15290" 题型16裂项归类：三角函数型 PAGEREF _Tc15290 \h 39
\l "_Tc28728" 题型17 通项分段求和 PAGEREF _Tc28728 \h 42
\l "_Tc22360" 高考练场 PAGEREF _Tc22360 \h 44
题型01等差等比公式法求和
【解题攻略】
【典例1-1】（2024上·四川自贡·高三统考）设是等差数列，若．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和及其最值．
【答案】(1)
(2)数列的前项和为，最大值为，无最小值
【分析】（1）先求出公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；
（2）根据等差数列的前项和即可求出数列的前项和，再根据二次函数的性质即可求出最值.
【详解】（1）设公差为，
由，
得，解得，
所以；
（2）设数列的前项和为，
则，
函数的对称轴为，
所以，无最小值.
【典例1-2】（2024上·湖北·高三湖北省武汉市汉铁高级中学校联考）已知是等差数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)(2)12
【分析】（1）设出数列的公差，利用两个条件列出方程组，求出首项、公差，代入通项公式即得；
（2）根据（1）求出的数列基本量易得，解不等式求得的范围即得.
【详解】（1）设数列的公差为，因为，所以，解得.
所以．
（2）由（1）可知：，所以.
令，得，解得：舍去），
因为，所以的最小值是12.
【变式1-1】（2024上·河南·高三校联考）已知公比不为1的等比数列满足，且是等差数列的前三项.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据等比数列的通项公式结合等差中项列式求得，即可得结果；
（2）由（1）可知：等差数列的首项为，公差为，结合等差数列得通项公式和求和公式运算求解.
【详解】（1）设的公比为，
因为成等差数列，则，
即，解得或1（舍去），
所以.
（2）由（1）可知的前三项为，
则等差数列的首项为，公差为，
所以，即.
所以.
【变式1-2】（2023上·海南省直辖县级单位·高三校考）在等差数列中，已知：，.
(1)求数列的公差及通项公式；
(2)求数列的前项和的最小值，并指出此时正整数的值.
【答案】(1)公差为2，(2)的最小值为，此时的值为2
【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量计算出公差，得到通项公式；
（2）计算出，得到最小值及此时的的值.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，
，，
所以等差数列的公差为，通项公式.
（2）因为，
所以，
当时，有最小值，此时正整数的值为.
题型02 等差、等比、裂项、三角型分组求和
【解题攻略】
【典例1-1】（23·24上·徐汇·）若数列满足条件：存在正整数k，使得对一切，都成立，则称数列为k级等差数列；
(1)已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求的值；
(2)若（），且是3级等差数列，求的最小正值，及此时数列的前3n项和；
【答案】(1)(2)最小值，，
【分析】（1）利用2级等差数列定义即可得数列的偶数项和奇数项分别成等差数列，利用等差数列定义即可求得；
（2）根据定义可得，再由两角和与差的正弦公式即可得，解得的最小正值为，利用分组求和以及等差数列前项和公式即可得，.
【详解】（1）若数列为2级等差数列，则；
即可知数列的偶数项和奇数项分别成等差数列，
利用等差数列定义可得，
；
所以；
（2）若是3级等差数列，则；
所以可得，；
即，
解得或；
若对于恒成立，可得，
若，可得，即
所以，
因此的最小正值为，此时；
由于；
所以，
即可得，
【典例1-2】（22·23上·广安·）已知数列满足.等比数列的公比为3，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据数列的递推公式和等比数列的定义即可求出数列通项；
（2）根据分组求和与裂项求和法以及等比数列的求和公式即可求出
【详解】（1）数列满足，
是以为首项，为公差的等差数列，
，，
等比数列的公比为3，且，
，
（2），
【变式1-1】（23·24上·成都·阶段练习）设为数列的前项和，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意分析可知是以1为首项，以2为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式运算求解；
（2）由（1）可得，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式运算求解.
【详解】（1）当时，，则；
当时，由，得，两式相减得；
所以是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以.
（2）由（1）可知：，
则
，
所以数列的前项和.
【变式1-2】（23·24上·盐城·）设数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，且，设，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由与的关系求通项，注意验证时是否成立；
（2）由等比中项形式证明等比数列，求解数列的基本量，再求通项，进而化简，再分组求和，分别利用裂项相消法与等比数列求和公式求和即可.
【详解】（1）已知，，则当时，，则有
当时，，也适合上式，∴ ．
（2）∵ ，且， ∴ ，∴ 数列是等比数列，又，∴ 公比，
∴ ，∴ ，
∴
题型03 中心对称型倒序求和
【解题攻略】
【典例1-1】（22·23·全国·专题练习）设函数，设，．
(1)计算的值．
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）直接计算可得答案；
（2）由（1）的计算结果，当时，利用倒序相加法可得答案.
【详解】（1）；
（2）由题知，当时，，
又，两式相加得
，所以，
又不符合，所以.
【典例1-2】（21·22·全国·专题练习）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．
(1)求证：点的纵坐标为定值；
(2)若且求；
【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】（1）利用中点坐标公式的表示，得到，然后代入求中点的纵坐标的过程，根据对数运算法则，可以得到常数；
（2）利用（1）中所求，当时，，可以采用倒序相加法，求和即可.
【详解】（1）证明：设，因为，故可得，
由知，故，
故.
故点的纵坐标为定值.
（2）由（1）知
，
两式相加得：
，
故.
【变式1-1】（20·21·全国·课时练习）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）由题意可得：，由即可求解；
（2）求出的表达式，由指数的运算即可求解；
（3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解.
【详解】（1）因为点均在函数的图象上，
所以，
当时，，
当时，，适合上式，所以.
（2）因为，所以，
所以.
（3）由（1）知，可得，
所以，①
又因为，②
因为，以①②，得，所以.
【变式1-2】（20·21·全国·课时练习）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）若函数，令，求数列的前2020项和．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）由题意可得，然后利用可求出数列的通项公式；
（2）由题意可得，然后利用倒序相加法可求得结果
【详解】（1）∵点均在函数的图象上，
∴．当时，；
当时，，适合上式，∴．
（2）∵，∴．
又由（1）知，∴．
∴，①
又，②
①+②，，∴．
题型04难度较大的错位相消求和
【解题攻略】
【典例1-1】（23·24上·厦门·）已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，其中，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由题设求得且的公差，再应用等差、等比中项的性质列方程求的基本量，进而写出对应通项公式；
（2）运用分组求和，结合裂项相消、错位相减及等比数列前n项和公式求.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，，，
所以，解得，则，
既是和的等差中项，又是其等比中项，
所以，则，解得，即，
所以，.
（2）∵，，
∴.
，
①，
②，
①②得：
∴，∴.
【典例1-2】．（23·24上·无锡·）各项均为正数的数列的前项和记为，已知，且对一切都成立．
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成等差数列，将插入的个数之和记为，其中．求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由，可得，进而可得，再利用退一相减法可得；
（2）利用等差数列等差中项的性质可得，再利用错位相减法可得前项和.
【详解】（1）由，得，所以，
所以，当时，，
所以，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；
（2）由已知在和之间插入个数，这个数组成等差数列，
所以，设数列的前项和为，
则，
，
所以，
所以.
【变式1-1】（23·24上·温州·）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式.
(2)设数列的前项和为，点在直线上，，求以及的最小值.
【答案】(1)(2)，的最小值为1
【分析】（1）根据和的关系可得是以2为首项，2为公比的等比数列，进而结合等比数列的通项公式求解即可；
（2）由题设可得，进而得到数列是以为首项，为公差的等差数列，进而可得，结合和的关系可得，进而利用错位相减法求和可得，进而利用作差法可得，即数列为递增数列，进而求解.
【详解】（1）由，当时，，即；
当时，，
整理得，即，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.
（2）因为点在直线上所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则，即，所以当时，.
所以，，则，所以，
则，两式相减得，，
即，所以，
又，即，
所以数列为递增数列，所以当时，取得最小值.
【变式1-2】（23·24上·丹东·）已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且
(1)求和的通项公式；
(2)记，其中，求数列的前项的和．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由已知条件建立基本量方程或方程组求解即可；
（2）分奇数项与偶数项分组求和，分别利用裂项相消法与错位相减法求和.
【详解】（1）数列是公差为1的等差数列，且，，
解得，数列的通项公式．
数列是等比数列，且，设数列的公比为，
解得，数列的通项公式为：．
（2）由（1）可知，，
，
令，
，
，
，
，，
数列的前项和．
.
题型05 奇偶讨论、正负相间型求和
【解题攻略】
【典例1-1】（2024上·江苏苏州·高三统考）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足.
(1)若，且，求；
(2)若数列也是公差为的等差数列，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据给定条件，依次求出，列出不等式求解即得.
（2）设，由已知求出，借助恒成立求出，再按奇偶分类并结合分组求和法求解即得.
【详解】（1）依题意，，，
则，由，得，解得，而，
所以.
（2）由是公差为的等差数列，设，
又，
于是对任意恒成立，
即对任意恒成立，
则，又，解得，从而，，
当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
所以.
【典例1-2】（2024上·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考）已知数列满足，且对任意正整数n都有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，，（），若且，求集合A中所有元素的和．
【答案】(1)(2)135
【分析】（1）利用累加法可得答案；
（2）求出，，由，得，，…，满足题意，得，，，，满足题意，从而求得答案.
【详解】（1）因为，所以，
可得
，即；
（2），
当n为偶函数，，
，
，∴，
则，，…，满足题意，
，，
∴，，，，满足题意，
∴A中所有元素和为．
【变式1-1】（2024·云南昭通·统考模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）由题意构造出形式即可得；
（2）借助裂项相消法求和即可得.
【详解】（1）因为，且，
所以，即，
又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以；
（2）由（1）知，所以，
所以
，故.
【变式1-2】（2024上·江苏·高三）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且对一切都成立.若是公差为2的等差数列，.
(1)求数列与的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用的关系结合条件及等比数列的定义可得，再根据等差数列的概念计算求；
（2）利用分组求和及等比数列求和公式计算即可.
【详解】（1）由，且对一切都成立，
可得，
又，所以，
则，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，则.
又是公差为2的等差数列，，所以，
则.
综上.
（2）由上可知，
故
.
题型06 插入数型求和
【解题攻略】
【典例1-1】（2024·全国·武钢三中校联考模拟预测）已知数列为等差数列，，且数列是公比为2的等比数列，.
(1)求，的通项公式；
(2)若数列满足，将中的项按原有顺序依次插入到数列中，使与之间插入2项，形成新数列，求此新数列前面20项的和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据条件先求解出的公差，则的通项公式可求；将的通项公式求出，则的通项公式可知；
（2）先分析前项的组成情况，然后采用分组求和求得结果.
【详解】（1）设的公差为，所以，
所以，所以，
又因为，所以.
（2）将及其后中的两项看成一组，故需要组再加上第组的前两项，
所以
.
【典例1-2】（2018下·江苏南京·高三南京外国语学校校考）设等比数列的前项和为；数列满足（，）．
（1）求数列的通项公式；
（2）①试确定的值，使得数列为等差数列；②在①结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，符到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】分析：（1）求出数列的首项和公比，即可求数列的通项公式；（2）①求出数列的前几项，根据等差数列的性质建立方程即可求出；②讨论的取值，根据的关系进行求解即可．
详解：（1）当时，，，
则公比，则
（2）①当时，得 时，得；时，得，
则由，得．
而当时，由得．
由，知此时数列为等差数列．
②由题意知，
则当时，，不合题意，舍去；
当时，，所以成立；
当时，若，则，不合题意，舍去；从而必是数列中的某一项，
则：
又，所以 ，
即，所以
因为为奇数，而为偶数，所以上式无解．
即当时，
综上所述，满足题意的正整数仅有．
【变式1-1】（2023上·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考阶段练习）若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差.
(1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；
(2)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和.
【答案】(1)是等方差数列；数列不是等方差数列；理由见解析(2)1622
【分析】（1）根据等方差数列的定义分别判断，，即可得结论；
（2）由题意确定数列中前30项中含有的前7项和数列的前23项，结合等差数列以及等比数列的前n项和公式，即可求得答案.
【详解】（1）是等方差数列；数列不是等方差数列；理由如下：
对于数列：，有，
故数列是等方差数列；
对于：，，
因为不是常数，故数列不是等方差数列；
（2）由题意知数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，
故，而，所以；
是首项为1，公比为3的等比数列，
而新数列中项（含）前共有项，
令，结合，解得，
故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，
所以数列中前30项的和.
【变式1-2】（2022上·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）已知各项均为正数的数列{an}中，a1=1且满足，数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn+1=3bn.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和Sn；
(3)若在bk与bk+1之间依次插入数列{an}中的k项构成新数列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，……，求数列{cn}中前50项的和T50.
【答案】(1),(2)(3)
【分析】（1）利用平方差公式将变形，得出数列是等差，可求出数列的通项；利用消去得到与的递推关系，得出数列是等比数列，可求出通项；
（2）根据等差等比数列的求和公式求解即可；
（3）分析中前50项中与各有多少项，分别求和即可．
【详解】（1）由得：∵
是首项，公差为2的等差数列∴又当时，得
当，由…①
…②
由①－②整理得：，∵，∴，∴，
∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；
（2）
（3）依题意知：新数列中，（含）前面共有：项．
由，（）得：，
∴新数列中含有数列的前9项：，，……，，含有数列的前41项：，，，……，；
∴．
.
题型07 分段型数列求和
【解题攻略】
【典例1-1】已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据与的关系可得，进而得，由累加法即可求解；
（2）根据分组求和，由等差等比数列的求和公式即可求解.
（1）
因为，所以，①
当时，，②
①-②得：，即，
所以，所以，由，可得，
当时，，符合上式，所以．
（2）由题意得，则
，
所以．
【典例1-2】已知数列，的前n项和分别为，，，．
(1)求及数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前2n项和．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）先根据得到，再结合，求出数列，的通项公式；
（2）在第一问的基础上利用分组求和进行求解.
（1）在中，
当n＝1时，b1﹣a1＝0，
当n⩾2时，，
显然b1﹣a1＝0适合上式，
所以，，
又，
所以两式相减得，两式相加得
且a1＝1，b1＝1；
（2）因为，结合（1）中所求，，
故
【变式1-1】已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
【答案】(1)，；(2)
【分析】(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为（），根据等差等比数列通项公式基本量的计算可得结果；
(2)求出，代入可得，再分组求和，利用裂项求和方法和等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），
∵，，，，
∴，
∴，，∴，；
（2）由（1）知，，
∴，
∴
.
【变式1-2】已知数列的前项和为，且满足，等差数列中，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)定义，记，求数列的前20项和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据，作差即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，再设数列的公差为，即可得到方程组，解得、，从而求出的通项公式；
（2）根据通项公式判断数列的单调性，即可得到的通项公式，再用分组求和法计算可得.
【详解】（1）解：因为，当时，解得，
当时，所以，即，
所以，即是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
设数列的公差为，由，，可得，解得，
所以.
（2）解：因为，即数列为递增数列，
即数列单调递减，
，，，，，，
，，，，，，
所以当时，当时，
所以，
所以.
题型08裂项相消型求和
【解题攻略】
【典例1-1】（23·24上·福州·）已知是数列的前n项和，．
(1)求数列的通项公式
(2)设为数列前n项的和，若对一切恒成立，求实数的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)利用代入即可求得通项公式；
(2)裂项相消求得的前项和，再结合基本不等式求最值.
【详解】（1）因为是数列的前n项和，且，则，当时，，当时，，满足通项公式，所以的通项公式为.
（2）因为为数列前n项的和，令，
则，
，因为对一切恒成立，
则，因为，当且仅当时，等号成立.
所以,所以实数的最大值为.
【典例1-2】（23·24上·威海·阶段练习）设数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，结合探讨数列的特征，再求出通项公式即得.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助单调性推理即得.
【详解】（1）依题意，当时，，解得，
当时，，
整理得，即有，两式相减得，
因此数列为等差数列，由，，得公差，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，，
因此
，
则，显然数列是递增数列，即有，而，
所以．
【变式1-1】（23·24上·闵行·）等差数列的前项和为，已知，且.
(1)求和；
(2)设，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）设公差为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出和；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求出，即可得解.
【详解】（1）设公差为，由，且，可得，
解得，所以，.
（2）由（1）可得，
所以
，
因为恒成立，所以，即实数的取值范围为.
【变式1-2】（23·24上·佛山·阶段练习）已知数列的前项的和为，数列是公差为1的等差数列．
(1)证明：数列是公差为2的等差数列；
(2)设数列的前项的和为，若，证明．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的定义，结合与之间的关系进行求解证明即可；
（2）根据（1）的结论，结合裂项相消法进行求解证明即可.
【详解】（1）因为数列是公差为1的等差数列，所以．
从而可得．
当时，．
即可得，所以数列是公差为2的等差数列；
（2）根据第（1）问数列是公差为2的等差数列可得，
从而可得．
所以数列的通项公式．
所以．
从而可得．
所以成立．
题型09裂项归类：降幂分离型
【解题攻略】
【典例1-1】．（22·23下·十堰·阶段练习）设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的正整数，与2的等差中项等于与2的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用已知与2的等差中项等于与2的等比中项，推出 并由此得出，进而得的递推关系，从而推得数列的通项公式；
（2）要证，即证，将看作每项都减去1，故令，利用的通项公式求得，并利用裂项相消法求和，进而得证.
【详解】（1）由题意，有 ，整理得，
则，所以，
, ,
整理得 ，
由题意知 ，∴,
∴数列为等差数列，其中，公差,
∴，
即通项公式为；
（2）要证，
即证，
，令,
则，
故
，
∴.
【典例1-2】（22·23下·河池·阶段练习）已知数列的前n项和为，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由，可求出数列的通项公式；
（2）由（1）求出，由裂项相消法求解即可.
【详解】（1）由当时，，
当时，满足上式，所以，
（2）
，
故．
【变式1-1】（23·24上·深圳·阶段练习）已知数列的前n项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)设的前n项和为，求．
(3)记数列的前n项和为，若恒成立，求的最小值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据及，可得到是首项为，公差为2的等差数列，结合定义法求通项公式即可；
（2）根据（1）的结果求得，结合裂项相消法求和即可；
（3）根据（1）的结果得到，进而得到当时，，结合随的增大而增大，得到最值，即可得到，进而得到答案.
【详解】（1）因为，
所以当时，，解得，
当时，，
两式相减得，，
化简得，，
因为，所以，则，
即是首项为，公差为2的等差数列，
所以的通项公式为
（2）由（1）知，，因为，
所以，
所以
（3）由（1）知，，所以，
所以当时，，因为随的增大而增大，
所以，，
所以，所以的最小值为
【变式1-2】（23·24上·南昌·阶段练习）已知函数.
(1)若，使得成立，求实数的取值范围；
(2)证明：对任意的为自然对数的底数.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）变形不等式，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得.
（2）由（1）的信息可得，令，再利用不等式性质、对数运算、数列求和推理即得.
【详解】（1）函数，则不等式，令，
求导得，当时，，函数递增，当时，，函数递减，
因此当时，，依题意，，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，当时，，即当时，，而当时，，
因此，于是
，即有，
所以.
题型10裂项归类：分子是分母差的线性型
【解题攻略】
【典例1-1】（22·23·秦皇岛·模拟预测）设等比数列的前项和为，数列为等差数列，且公差，.
(1)求数列的通项公式以及前项和；
(2)数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列通项公式运算、等比数列通项公式和求和公式运算即可求解.
（2）利用裂项相消法求出，而，从而得出证明.
【详解】（1）设的公比为，由题意，可得，解得，
所以，所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以，
因为，所以，得证.
【典例1-2】（23·24上·湖北·一模）已知正项数列的前项和，满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，设数列的前项和为，求证．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）由，把用1代入算出首项，再用退位相减法发现其为等差数列，则数列通项可求；
（2）由（1）可先算出，代入求得通项并裂项，再求和即可证明.
【详解】（1）当时，，解得．
当时，由①，可得，②
①②得：，即．
，
．
是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列的通项公式．
（2）由（1）可得，
，
，，，，，
，
.
【变式1-1】（22·23·海口·模拟预测）已知等差数列，其前项和满足为常数.
(1)求及的通项公式；
(2)记数列 ，求前项和的.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）计算出的值，根据等差中项的性质可列方程解出的值，再利用与的关系即可求解；
（2）运用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由题意，当时，，
当时，，
则，，
因为数列是等差数列，所以，
即，解得，
则，满足，
所以的通项公式为．
（2）由（1）可得，，则，
所以
．
【变式1-2】（2023·四川内江·统考一模）已知等差数列的前项和为，，.
(1)求及；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解，
（2）根据裂项求和即可求解.
【详解】（1）设公差为，则由，可得：
，解得，
所以，
（2），
故
题型11裂项归类：指数等差型裂项
【解题攻略】
【典例1-1】（2024·福建厦门·统考一模）已知数列的前项和为，，当，且时，．
(1)证明：为等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，若，求正整数的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)3.
【分析】（1）由题设，结合已知得到在上都成立，即可证结论；
（2）由（1）得，裂项相消法求，根据不等式关系得，即可确定正整数的最小值.
【详解】（1）当时，，即，
又，故在上都成立，且，
所以是首项、公比均为2的等比数列.
（2）由（1）知：，则，
所以，
则，即，
所以，可得，而，故，正整数的最小值为3.
【典例1-2】（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和，证明：.
【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析
【分析】（1）根据数列递推式，可得，结合等比数列定义，即可证明结论；
（2）利用（1）的结论求出，可得的表达式，利用裂项求和法，即可求得，继而证明结论.
【详解】（1）证明：由题意知数列的首项，且满足，
故，
由于，故，故，
故数列是以为首项，公比为3的等比数列；
（2）由（1）可得，故，
故，
故
，
由于，故.
【变式1-1】（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）记为正项数列的前项和，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）由退位相减可得，又可得，继而可知数列为等比数列，则通项可求；
（2）由（1）可得、继而可求，并将其裂项再求和，即可证明不等式.
【详解】（1）因为，所以，当时，，
两式相减得，，化简可得，
所以，即，又可得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，可得
（2）由（1）可知，，
所以，则，，
，
，因为，所以，则.
【变式1-2】（2023上·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知数列的首项，且满足，记.
(1)证明：是等比数列；
(2)记，证明；数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）根据等比数列的定义，要证是等比数列，即证为常数；
（2）由（1）可知数列的通项公式，利用裂项相消法求和，整理变形即可证得.
【详解】（1）因为，
所以，，所以，
因为，，所以，因为，
因为，
又因为当时，所以，所以，
所以是以5为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，因为，
所以.
题型12裂项归类：指数与等差“同构”型
【解题攻略】
【典例1-1】（22·23·河南·三模）已知数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先将题目中的表达式边同时除以可证得是以为首项，为公差的等差数列，由此求出，再结合，即可得出答案；
（2）先求出，再由裂项相消法求解即可.
【详解】（1）因为，两边同时除以，
所以，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，
当时，，
当时，也满足上式，
所以.
（2）由（1）可得，，
则
.
【典例1-2】（23·24上·合肥·阶段练习）在数和之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，令.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用等比数列的基本性质结合倒序相乘法可求得，结合对数的运算可得出数列的通项公式；
（2）计算得出，利用裂项相消法可求得.
【详解】（1）解：在数和之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，
设插入的这个数分别为、、、，
由等比数列的性质可得，
所以，，所以，，
易知，所以，，则.
（2）解：，
所以，.
【变式1-1】（22·23下·抚顺·模拟预测）已知数列的前n项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）先求出，再利用，得是等比数列，再根据等比数列的通项公式求解即可；
（2）由题意可得，利用裂项相消求解即可.
【详解】（1）解：因为，，①
所以当时，解得，
当时，，即②，
由①-②可得，即，
所以数列是等比数列，首项为，公比，
所以数列的通项公式为：；
（2）解：由（1），
所以，
所以
【变式1-2】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）已知数列为等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，由此可得通项公式；
（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得，进而分析得到结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得：，
.
（2）由（1）得：，
，，.
题型13正负型裂项：正负基础型
【解题攻略】
【典例1-1】（22·23下·德州·）已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，由题意可得出，解方程求出，再由等差数列和等比数列的通项公式即可得出答案；
（2）先求出，再由裂项相消法和等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，
则，解得：，
所以数列的通项公式为；
数列的通项公式.
（2），
数列的前项和．
.
【典例1-2】（22·23下·武汉·）设数列前n项和为，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列前n项和为，问是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）根据已知与的关系可得，当时，.然后可得出的奇数项和偶数项均分别为等差数列，根据求得的值，结合等差数列的通项公式，得出答案；
（2）裂项化简可得，求解可得为偶数时，求出此时的最大值.然后得出为奇数时，，比较即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，①
当时，②
①-②得，.
因为，所以.
又，
所以，，，…，，…是以为首项，4为公差的等差数列，
所以；
当时，有，，
所以，
所以，，，…，，…是以为首项，4为公差的等差数列，
所以.
所以，.
（2）由（1）可得，.
则当n为偶数时，
，显然单调递减，所以有；
当n为奇数时，
.又，
所以存在最大值，且最大值为.
【变式1-1】（22·23高三下·湖北·）已知数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足：，求数列的前2n项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用时关系求通项公式，注意验证情况，即可得通项公式；
（2）应用分组、裂项相消法求.
【详解】（1）由时，
又时也满足该等式，故.
（2）由，
则
.
因此.
【变式1-2】设数列的前项和为，且.（1）求、、的值；
（2）求出及数列的通项公式；
（3）设，求数列的前项和为.
上海市上海师范大学附属中学2017届高三上学期数学试题
【答案】（1），，；（2），；
（3）当为奇数，；当为偶数，.
【详解】(1)，时，，
时，，解得，
时，，解得，同理可得：，
（2）由（1）可得：，，化为，猜想，时，代入，左边；右边,所以左边=右边，猜想成立，时也成立，
时，，时，也成立，；
当时，，又，
数列的通项公式为.
（3），
为偶数时，数列的前项和为：
.
为奇数时，数列的前项和为：
.
综上所述，当为奇数，；当为偶数，.
.
题型14 正负型裂项：等差裂和型
【解题攻略】
【典例1-1】（22·23下·荆州·阶段练习）已知等差数列满足，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，的前项和分别为，.若的公差为整数，且，求.
【答案】(1)或（）
(2)当为正偶数时，，当为正奇数时，
【分析】（1）设出公差d，根据已知条件列出相应的等式即可求解.
（2）由题意可以先求出的通项公式，再对n进行讨论即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，∵，∴，
∵，，成等比，∴，
即，得，解得或，∴当时，；
当时，；∴或（）.
（2）因为等差数列的公差为整数，由（1）得，
所以，则，
∴.
①当为偶数时
.
②当为奇数时
.
所以当为正偶数时，，当为正奇数时，.
【典例1-2】（22·23·三明·三模）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）取倒数结合等差数列的通项计算即可；
（2）利用裂项法求得，结合，即可证明结论.
【详解】（1）因为，，所以，
所以.所以，
所以为等差数列，首项为，公差，
所以，所以
（2）证明：因为，
所以.
所以，
因为，所以，即.
【变式1-1】（22·23下·武汉·）设数列前n项和为，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列前n项和为，问是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）根据已知与的关系可得，当时，.然后可得出的奇数项和偶数项均分别为等差数列，根据求得的值，结合等差数列的通项公式，得出答案；
（2）裂项化简可得，求解可得为偶数时，求出此时的最大值.然后得出为奇数时，，比较即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，①
当时，②
①-②得，.
因为，所以.又，
所以，，，…，，…是以为首项，4为公差的等差数列，
所以；
当时，有，，所以，
所以，，，…，，…是以为首项，4为公差的等差数列，
所以.所以，.
（2）由（1）可得，.
则当n为偶数时，
，
显然单调递减，所以有；
当n为奇数时，
.又，
所以存在最大值，且最大值为.
【变式1-2】（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前项积为．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析；；
(2)（或）
【分析】（1）由前项积定义可得，再由等差数列定义即可得出证明，并求得数列的通项公式为；
（2）利用裂项相消法求和，对的奇偶进行分类讨论即可得.
【详解】（1）由题意得当时，．
因为，所以，解得以．
当时，，即，因此．
所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，可得．
所以．
（2）由题意知
．
当为偶数时，
；
当为奇数时，
．
所以（或）
.
题型15正负型裂项：指数裂和型
【解题攻略】
【典例1-1】（21·22高三下·重庆沙坪坝·）设数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和为.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据作差得到，从而得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出数列的通项公式；
（2）由（1）得，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）因为①，当时，解得，
当时②，
①②得，即，
所以，则，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则.
（2）由（1）可得，
所以
.
【典例1-2】（22·23高三下·黑龙江哈尔滨·）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）依题意可得，再结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）可得，再分为偶数和奇数两类情况并结合裂项求和法讨论即可.
【详解】（1）证明：因为，
所以，即，
因为，所以，
故数列是以12为首项，3为公比的等比数列，
所以，则.
（2）解：由（1）知，
所以.
当为偶数时，
，
因为是单调递减的，所以.
当为奇数时，
，
又是单调递增的，因为，所以.
要使存在，使，只需，即，故的取值范围是.
【变式1-1】（22·23下·武清·阶段练习）设是等比数列，公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设数列的前项和为.
（i）求；
（ii）求.
【答案】(1)；(2)（i）；（ii）
【分析】（1）利用等比数列、等差数列通项公式化简已知等式即可求得公比和公差，由此可得；
（2）（i）由等比数列求和公式和分组求和法可求得；
（ii）采用裂项相消法，分别在为偶数和为奇数的情况下求解可得结果.
【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
由得：，又，
，解得：（舍）或，；
，解得：，
，解得：，，
.
（2）（i）由（1）得：，
；
（ii）由（i）得：，
当为偶数时，；
当奇数时，；
综上所述：.
【变式1-2】（23·24上·黔东南·阶段练习）已知数列满足：，.
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求的前n项和.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）通过构造可证为等比数列，根据等比数列通项公式可得，然后可得；
（2）将数列通项公式变形为，直接求和可得.
【详解】（1）证明：由，所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，即
（2）由（1）知：，所以.又，
.
题型16裂项归类：三角函数型
【典例1-1】（2023·山东威海·二模）已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8，设．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前100项和．
【答案】(1)证明见详解(2)
【分析】（1）根据等比数列的性质分析可得，再结合等差数列的定义分析证明；
（2）根据两角差的正切公式整理得，结合裂项相消法运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，且，可得，
所以，可得，则，
所以数列是以公差为的等差数列.
（2）由（1）可得，则，
整理得，
则
，所以数列的前100项和.
【典例1-2】（22·23上·芜湖·）已知是数列的前项和，．且
(1)求的通项公式；
(2)设，已知数列满足，求的前项的和
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合变形，构造数列求解作答.
（2）由（1）的结论，利用差角的正弦公式变形，再利用错位相减法求解作答.
【详解】（1）因为，，当时，，
两式相减得：，即，变形得，
于是得数列是常数列，因此，即，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
，
所以.
【变式1-1】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）数列各项均为正数，的前n项和记作，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）当时，有相减得,结合各项均为正数，并因式分解即可求解.
（2）由（1）得，结合可知，由裂项相消法即可求解.
【详解】（1）当时，有相减得，即，各项均为正数，
所以，
又当时，，
解得或(舍)，
所以对任意正整数n，均有，
故是以首项为1，公差以1的等差数列，
所以．
（2）由于，
故，
由（1）得，
记前n项和为，则
，所以.
【变式1-2】（2023上·湖北武汉·高三湖北省武昌实验中学校考阶段练习）已知数列中，，设为前n项和，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先用与的关系以及递推公式求出，再利用累乘法即可求得通项公式；
（2）由（1）结论代入可得，利用三角函数两角差公式化简可得，再利用累加法即可求得数列的前n项和.
【详解】（1）数列中，，为前n项和，
当时，，，
当时，①，
②，
由②-①得：，，
即，
当时，，递推可得：，，，，
由累乘法可得：，
，又因为，所以，即，经检验，当时符合上式，
所以；
（2）由（1）可知，，所以：
，
所以
；
所以数列的前n项和.
题型17 通项分段求和
【典例1-1】在公差为2的等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前20项和．
【答案】(1)(2)270
【分析】（1）由题意可求出，即可求出数列的通项公式；
（2）利用分组法求数列的前20项和（1）
由，得，所以，
故．
（2）因为，
所以，
又，，，
所以
．
【典例1-2】在公差不为0的等差数列中，前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求数列的前12项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）直接利用等差数列的性质求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式；
（2）利用并项求和法及等比数列求和公式计算可得；
（1）
设等差数列中，首项为，公差为（），
由，，
所以，，
解得，所以；
（2）解：因为，，
所以，，即，
，即
，即
，即
，即
，
所以
【变式1-1】（2024上·浙江杭州·高三杭州高级中学校考）已知正项数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，的前项和为，求.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据与的关系化简求解即可；
（2）采用分组求和的方式计算即可.
【详解】（1）①②
①-②整理得 数列是正项数列，
当时，
数列是以2为首项，4为公差的等差数列， ；
（2）由题意知， ，
故
.
【变式1-2】（2024上·贵州毕节·高三统考）已知递增的等比数列满足，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）已知等比数列，依据题意求出基本量即可.
（2）讨论奇偶项，转化为等比数列求和即可.
【详解】（1）由题意，设等比数列的公比为，
则，成等差数列，
，即，
化简整理，得，
解得（舍去），或，首项，
.
（2）由（1）可得
则数列的前项和为
高考练场
1.（2024上·广东深圳·高三统考）已知数列为等差数列，且.
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，若，求的最小值.
【答案】(1)(2)27
【分析】（1）设出公差，根据通项公式基本量计算得到方程，求出首项和公差，得到通项公式；
（2）利用等差数列求和公式得到不等式，求出答案.
【详解】（1）设的公差为，
，
解得
故.
（2），
令，即，
，即，解得或（舍去），
故的最小值为27.
2.（23·24上·六安·阶段练习）已知首项为1的正项等比数列，且，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和为．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据等差中项结合等比数列的通项公式运算求解；
（2）由（1）可知：，利用分组求和结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，且，
因为，，成等差数列则，
即：，解得或（舍去）所以数列的通项公式，.
（2）由（1）可知：，
则
，所以.
3.（20·21上·开封·阶段练习）已知函数，设数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若记，2，3，，，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由得到，然后变形为，利用等差数列的定义求解.
（2）由（1）得到，由，利用倒序相加法求解.
【详解】（1）因为，所以由得，
所以，，所以是首项为2，公差为2的等差数列，
所以，所以.
（2）由（1）知，则，
，，
所以，
，，两式相加，得：
，所以.
4.（23·24上·邢台·）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，，设数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）计算，根据得到，确定等比数列，计算即可.
（2）利用累乘法得到，再根据错位相减法得到，构造数列，根据数列的单调性计算最值得到答案.
【详解】（1）当时，，解得.
当时，，相减得，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，验证时成立，
故；
（2），，故.
，两式相减可得：
，
所以，.令，，，
故，且，，，
是从第二项开始单调递减数列，.
故.
5.（2024上·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考）已知数列是各项为正数的数列，前n项和记为，，()，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用与的关系，以取代构造等式，两式作差得递推关系，再变形可证明数列是等差数列，进而求出通项；
（2）分奇偶讨论，利用并项求和法求解前n项和.
【详解】（1）由题意得①，且，当时，，
解得或(舍去)，当时，②·∴①②得，
∴，∵，∴，
∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴.
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）得，
则当，且时，
，
n为偶数时，
，
n为奇数时，则为偶数，由上式可知，，
所以.所以，.
6.（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）若数列满足（n为正整数，p为常数），则称数列为等方差数列，p为公方差．
(1)已知数列的通项公式分别为判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；
(2)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，数列满足，且，求正整数m的值；
(3)在（1）､（2）的条件下，若在与之间依次插入数列中的项构成新数列，，求数列中前50项的和．
【答案】(1)数列为等方差数列，数列不是等方差数列，理由见解析；(2)40(3)11522
【分析】（1）根据等方差数列的定义，即可判断；
（2）首先求得数列的通项公式，再根据数列的通项公式，结合对数换底公式，
即可求解；
（3）首先确定的取值，再根据等比数列和等差数列求和公式，即可求解.
【详解】（1）因为（常数），
所以数列为等方差数列，1为公方差；
因为，
所以数列不是等方差数列．
（2）由题意得，，
显然
，解得．
（3）由题意得：新数列中，（含）
前共有：项，由，得，
所以新数列中的前50项含有数列的前9项，含有数列的前41项，
即
7.（2024上·陕西榆林·高三统考）已知数列满足，，记.
(1)求，；
(2)求证：数列是等差数列；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)，(2)证明见解析(3)
【分析】（1）根据递推关系代入即可求解，
（2）根据等差数列的定义求证即可，
（3）由等差数列求和公式即可求解.
【详解】（1），；
（2），所以数列是首项为19，公差为的等差数列；
（3）.
8.（23·24上·河南·）对数列，记为数列的前n项交替和；
(1)若，求的前n项交替和；
(2)若数列的前n项交替和为，求的前n项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）按项数的奇偶分类讨论求交替和，偶数项时可并项求和转化为等差数列求和，奇数项时转化为偶数项求解；
（2）求解通项，再裂项相消法求和.
【详解】（1）当，时，
；
当，时，则为偶数，
则
；
所以.（或）
（2）当时，；
当时，，不符合上式；
则，
所以，，
则，
且当时，，
设的前n项和为，
则
.
9.（22·23上·全国·单元测试）已知数列满足：，数列满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）当时，，和题干中式子相减得到，验证时也满足，从而得到的通项公式；
（2）变形得到，利用裂项相消法，分组求和法求和.
【详解】（1）①，
当时，②，
两式相减得．
化简可得．
当时，由题设得，，代入上式也符合．
所以数列的通项公式为．
（2）将的通项公式代入题设条件可得，
．故的前项和得，
．
10.（2023上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）已知正项数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前n项和；
(3)若，数列的前项和为，求的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）利用，求得数列的通项公式.
（2）由（1）得，然后利用错位相减法求得前n项和
（3）由（1）求得的表达式，然后利用裂项求和法求得的前项和，利用差比较法证得数列递增，进而求得的取值范围.
【详解】（1）当时，由，得，得，
由，得，两式相减，
得，即，
即
因为数列各项均为正数，所以，所以
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
因此，，即数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
两式相减得
，，.
（3）由（1）知，所以.
所以.
所以
.
令，则
所以是单调递增数列，数列递增，
所以，又，所以的取值范围为.
11.（23·24上·昆明·阶段练习）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）运用累乘法求出的通项公式；
（2）先运用裂项法求出的解析式，再运用缩放法证明.
【详解】（1）由已知，
所以，
当时，满足条件，所以；
（2）由于，所以，
所以，
所以，显然在上为增函数，，又，所以；综上，.
12.（23·24上·黔东南·阶段练习）已知数列满足：，.
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求的前n项和.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）通过构造可证为等比数列，根据等比数列通项公式可得，然后可得；
（2）将数列通项公式变形为，直接求和可得.
【详解】（1）证明：由，
所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，即
（2）由（1）知：，所以.
又，
13.（22·23·三明·三模）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）取倒数结合等差数列的通项计算即可；
（2）利用裂项法求得，结合，即可证明结论.
【详解】（1）因为，，所以，
所以.所以，所以为等差数列，首项为，公差，
所以，所以
（2）证明：因为，
所以.
所以，
因为，所以，即.
14.（23·24上·和平·开学考试）已知等比数列的公比，若，且，，分别是等差数列第1，3，5项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和；
(3)记，求的最大值和最小值.
【答案】(1)，(2)(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据等差数列、等比数列的知识求得.
（2）利用错位相减求和法求得.
（3）利用裂项求和法，结合对进行分类讨论，由此求得的最大值和最小值.
【详解】（1）依题意，，，解得，所以，
则，设等差数列的公差为，则，
所以.
（2），，，
两式相减得，.
（3）
，
，
当为偶数时，，令（为偶数），则是单调递增数列，
最小值为，且.
当为奇数是，，令（为奇数），则是单调递减数列，
最大值为，且.综上所述，的最大值为，最小值为.
15.（22·23高三上·江苏南通·）已知为正项数列的前n项和，且，当时，.
(1)证明为等差数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）将整理为，结合等差数列的定义即可得到为等差数列，然后利用等差数列的通项公式得到，最后利用求即可；
（2）由（1）得到，，然后根据得到，最后利用裂项相消和分组求和求即可.
【详解】（1）因为，所以，所以为等差数列.
因为，所以，所以，
所以当时，
，
当时，，所以.
（2）因为，所以.
因为，
所以.
所以
.
16.（2024上·山东临沂·高三统考）已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，.
(1)求的通项公式;
(2)求.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据条件转化为关于等差数列的首项和公差的方程组，列式求解；
（2）根据数列的通项公式，以及数列与的关系，利用分组转化的方法，即可求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，，
，整理得，解得；
（2）当n为偶数时，
；
当为奇数时，，
，
当时，上式也成立；
.
结束 对于等差等比数列，利用公式法可直接求解
等差数列有关公式：
通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(na1＋an,2).
等比数列有关公式：
通项公式：an＝a1qn－1；
(2)前n项和公式：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
分组求和
1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
倒序求和
如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。比较常见于等差数列，以及具有中心对成的函数型数列求和
错位相减法：形如an＝，用错位相减法求解．
错位相减法求数列的前n项和
（1）适用条件
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
（2）基本步骤
（3）思维结构结构图示如下
（4）注意事项
①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．
等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．
①
②
得：．
整理得：．
（5）万能公式：
形如的数列求和为，
其中，，
（6）公式秒杀:
(错位相减都可化简为这种形式,对于求解参数与,可以采用将前1项和与前2项和代入式中,建立二元一次方程求解.此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据.)
正负相间求和：
1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。
插入数型
1.插入数构成等差数列
在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解
个数构成等差数列，公差记为，所以：
插入数构成等比数列
在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解
个数构成等比数列，公差记为，所以：
插入数混合型
混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。
分段数列求和：
1.分奇偶讨论，各自新数列求和。注意奇数项与偶数项各自项数。
2.要注意处理好奇偶数列对应的项：
（1）可构建新数列；
（2）可“跳项”求和
常见的裂项相消法求和类型
(1)；（2） ； （3）；（4）；
分式型：，，等；
分离常数型
分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，把分子次幂降下来。
分式型分子裂差法
如果数列通项满足“分子是分母差的线性关系”即
指数裂项法
指数与等差数列“同构”
正负相间求和：
1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。
正负型等差裂和型
正负型：等指数裂和型
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