2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）专题2-7导数压轴大题归类-1

这是一份2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）专题2-7导数压轴大题归类-1，共55页。

目录
题型01 恒成立求参：常规型
题型02 恒成立求参：三角函数型
题型03恒成立求参：双变量型
题型04 恒成立求参：整数型
题型05恒成立求参：三角函数型整数
/题型06“能”成立求参：常规型
题型07“能”成立求参：双变量型
题型08 “能”成立求参：正余弦型
题型09 零点型求参：常规型
题型10 零点型求参：双零点型
题型11 零点型求参：多零点综合型
题型12 同构型求参：x1，x2双变量同构
题型13 虚设零点型求参
高考练场

题型01 恒成立求参：常规型
【解题攻略】
【典例1-1】（2024上·北京·高三阶段练习）
1．设，函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若，求a．
【典例1-2】（2024上·甘肃武威·高三统考期末）
2．已知函数.
(1)当时，求的最大值；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
【变式1-1】（2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习）
3．已知函数．
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若对恒成立，求实数a的取值范围．
【变式1-2】（2024上·山西·高三期末）
4．已知函数，.
(1)求证：函数存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间的长度的取值范围；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）
5．已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
题型02 恒成立求参：三角函数型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）
6．已知函数，．
(1)求证：时，；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当时，恒成立，求实数a的取值范围．
【典例1-2】（2023上·全国·高三期末）
7．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
(3)设实数a使得对恒成立，求a的最大整数值.
【变式1-1】（2023上·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）
8．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【变式1-2】（2023上·甘肃定西·高三甘肃省临洮中学校考阶段练习）
9．已知函数为其导函数．
(1)求在上极值点的个数；
(2)若对恒成立，求的值．
题型03恒成立求参：双变量型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）
10．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)设函数，当有两个极值点时，总有成立，求实数的值．
【典例1-2】（2024上·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）
11．设函数，其中.
(1)讨论函数在上的极值；
(2)若函数f(x)有两零点，且满足，求正实数的取值范围.
【变式1-1】（2023·上海松江·校考模拟预测）
12．已知函数.
(1)若，求函数的极值点；
(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若函数有三个不同的极值点、、，且，求实数a的取值范围.
【变式1-2】（2023下·山东德州·高三校考阶段练习）
13．已知函数，其中.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在两个极值点的取值范围为，求a的取值范围.
题型04 恒成立求参：整数型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）
14．已知．
(1)若恒成立，求实数的取值范同：
(2)设表示不超过的最大整数，已知的解集为，求．（参考数据：，，）
【典例1-2】（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）
15．已知函数，，为自然对数底数．
(1)证明：当时，；
(2)若不等式对任意的恒成立，求整数的最小值．
【变式1-1】（2023·江西景德镇·统考一模）
16．已知函数，.
(1)若，求函数值域；
(2)是否存在正整数a使得恒成立？若存在，求出正整数a的取值集合；若不存在，请说明理由.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）
17．已知函数，．
(1)若函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求k的值；
(2)若，且时，恒有，求k的最大值．
（参考数据：）
题型05恒成立求参：三角函数型整数
【典例1-1】（2020·云南昆明·统考三模）
18．已知．
（1）证明：；
（2）对任意，，求整数 的最大值．
（参考数据：）
【典例1-2】（2020上·浙江·高三校联考阶段练习）
19．已知函数，.
（1）若，求函数在上的单调区间；
（2）若，不等式对任意恒成立，求满足条件的最大整数b.
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）
20．已知函数，为的导函数．
(1)讨论在区间内极值点的个数；
(2)若，时，恒成立，求整数的最小值．
【变式1-2】（2023·云南保山·统考二模）
21．设函数，
(1)求在区间上的极值点个数；
(2)若为的极值点，则，求整数的最大值.
题型06“能”成立求参：常规型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·浙江·高三浙江省长兴中学校联考期中）
22．已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围.
注：为自然对数的底数.
【典例1-2】（2023上·湖南长沙·高三统考阶段练习）
23．已知函数，是的导函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若存在实数使成立，求的取值范围.
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）
24．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在，使得，求实数的最小值．
【变式1-2】（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）
25．已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在，使得，求的取值范围.
题型07“能”成立求参：双变量型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·江西上饶·高三校联考阶段练习）
26．已知函数，其中a≠0.
(1)若，讨论函数f(x)的单调性；
(2)是否存在实数a，对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【典例1-2】（2023上·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习）
27．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，满足，且，，求实数a的取值范围．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）
28．已知函数，.
(1)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
(2)求的单调区间；
(3)若对任意，均存在，使得，求的取值范围．
【变式1-2】（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）
29．已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值;
(2)若对任意的，均存在，使得，求a的取值范围．
利用导数求解参数范围的两种常用方法：（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.
三角函数与导数应用求参：1.正余弦的有界性
2.三角函数与函数的重要放缩公式：.
一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4） 若，，有成立，故．
恒成立求参的一般规律①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则；
如果参数涉及到整数，要注意对应解中相邻两个整数点函数的符号
形如的有解的求解策略：1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可.
一般地，已知函数，（1）相等关系
记的值域为A， 的值域为B，
①若，，有成立，则有；
②若，，有成立，则有；
③若，，有成立，故；
（2）不等关系
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4） 若，，有成立，故．
参考答案：
1．(1)在单调递减，在单调递增
(2)
(3)
【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）构造函数，分类讨论与，结合（1）中结论即可得解；
（3）构造函数，利用导数分类讨论的取值范围，结合的单调性即可得解.
【详解】（1）因为的定义域为，，
则，
令，得；令，得；
所以在单调递减，在单调递增.
（2）因为，所以等价于，
记函数，
当时，，不合题意；
当时，由（1）知，解得；
综上，的取值范围是.
（3）记函数，
则，
若，
令，得；令，得；
在单调递增，在单调递减，故，符合题意；
若，当时，，则在单调递减，
故，不合题意；
若，当时，，则在单调递增，
故，不合题意；
若，当时，，则在单调递增，
故，不合题意.
综上，.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
2．(1)
(2)
【分析】（1）先求解出，然后根据的正负确定出的单调性，然后可求的最大值；
（2）先求解出，令的分子部分为，再根据与的关系进行分类讨论：当时，根据（1）的结果进行分析；当时，根据解析式各部分取值正负进行分析；当时，根据的正负再进行讨论，由此求解出结果.
【详解】（1）由题可知的定义域为，当时，，
因为，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
（2）因为，所以，
令，则，
当时，由（1）知，不满足题意；
当时，，所以恒成立，不满足题意；
当时，在上恒成立，
所以在上单调递减，所以.
①当时，因为，所以，
所以在上单调递减，所以，所以满足题意，
②当时，因为在上单调递减，且，
所以存在，使得，
当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以当时，，不满足题意，
综上所述，.
【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.
3．(1)
(2)
【分析】（1）先求，然后将问题转化为“对恒成立”，然后通过分离参数结合函数的单调性求解出的取值范围；
（2）将问题转化为“对恒成立”，然后构造函数，通过多次求导分析函数单调性的过程求解出的取值范围.
【详解】（1）因为，
又在上单调递增，
所以对恒成立，
所以对恒成立，
所以对恒成立；
令，且在上单调递增，
所以，所以，
即的取值范围是；
（2）因为对恒成立，
所以对恒成立，
设，
所以，令，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，所以在上单调递减，
所以，
当时，即，，所以在上单调递增，
所以，满足条件；
当时，即，，且时，，
所以在上有唯一零点，记为，
则，
即，单调递增，，单调递减，
故当时，，与题意矛盾，
综上所述，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.
4．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）先求，然后分析的根，由此完成证明；利用韦达定理表示出结合的范围求解出其范围；
（2）将问题转化为“在上恒成立”，建立函数，通过多次求导分析函数单调性的过程求解出的取值范围.
【详解】（1），
令，
因为，二次函数对称轴，，
且恒成立，
所以恒有两个不相等的正实根，且这两个正实根分别为，，，
所以的单调递减区间是，
所以单调递减区间的长度，
因为，所以的取值范围为；
（2）由题意在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
则，令，
则，令，
则，令，
则，当时，，
所以在上单调递减，，
所以在上单调递减，，
当，即时，，
所以在上单调递减，，
所以在上单调递减，成立，所以；
当，即，单调递减函数在时，，且，
所以在上有根，记为，
在上，，在上，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且，函数在时，，
因此在上有解，记为，
在上，，单调递增，而，
因此在上，，从而在上不恒成立，
综上所述，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.
5．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）第一步：求函数的定义域与导函数，第二步：分，分别讨论的正负，得函数的单调区间.
（2）第一步：转化不等式，第二步：构造新函数并求导，第三步：分，分别讨论的单调性，求出其最值，第四步：总结，得的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，，
当时，在区间上单调递增；
当时，由，得，由，得，
在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）当时恒成立，等价于当时，恒成立．
设，则当时，恒成立，
．
①当时，由可得，，
，又，，
在上单调递增，而，
当时．
恒成立．
②当时，令，
则．
，，，且，
因此，即在上单调递增，
当时，．
当，即时，，当时，，
在上单调递增．
，当时，恒成立．
当，即时，，．
，，
而，因此，故，
而在单调递增，
当时，，
在上单调递减，从而当时，，不符合题意．
综上所述，，即实数的取值范围是．
【点睛】方法点睛：利用导数求函数的单调区间，一般应先确定函数的定义域，再求导，通过判断导函数的符号确定函数在该区间上的单调性．当给定函数含有参数时，往往需分类讨论，此时应注意分类讨论的准确性．
6．(1)证明见详解
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，转化为，令，利用导数求得的单调性，结合，即可得证；
（2）令，转化为在上恒成立，令在上恒成立， 求得，分、和，三种情况讨论，即可求解；
（3）由（1）（2），令，转化为在上恒成立，令在上恒成立． 分、和，三种情况讨论，结合函数的单调性和最值，即可求解.
【详解】（1）证明：时，求证等价于求证，
令，则，故在上单调递减，
故，不等式成立．
（2）解：令，
因为，所以题设等价于在上恒成立，
即在上恒成立，
可得，且，．
（i）当时，在上，，故，所以，符合题意；
（ii）当时，在上恒成立，故在上单调递增，故，所以，符合题意；
（iii）当时，，，
故必存在，使得，且当时，，
故在上单调递减，故在上，不符合题意．
综上所述：实数a的取值范围是．
（3）解：由（1）知：在上恒成立．
由（2）知：当时，，即在上恒成立．
令，
因为，所以题设等价于在上恒成立，
即：在上恒成立．
（i）当时，在上，，故，所以，符合题意；
（ii）当时，，
令，，
则
，
所以在上单调递增，所以，故，所以，
符合题意；
（iii）当时，，
当且时，，
故，不符合题意．
综上所述：实数的取值范围为．
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
7．(1)
(2)
(3)-2
【分析】（1）求出函数在处的导数，即切线斜率，求出，即可得出切线方程；
（2）求出函数在区间上的单调性，求出最值即可；
（3）依题意，将不等式等价转化为在R恒成立，构造函数，利用导数求出函数的单调性和最小值的范围，进而求解.
【详解】（1），，
，，所求切线方程为，即，
所以切线方程为.
（2）令，则，
当时，，在上单调递增.
又，，，使得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
又，，
所以函数在区间上的最大值为.
（3）不等式恒成立等价于恒成立,
令，当时，，恒成立,
当时，令，则,
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，，
当时，；当时，，的值域为,
，，
，
所以a的最大整数值为-2.
【点睛】用导数解决恒成立问题求参数的取值范围，常见两种方法：
（1）利用分类讨论思想求出函数的单调性及最值，进而求参数范围；
（2）利用分离变量思想，构造新的函数，运用导数求新的函数的最值，进而求参数的范围.
8．(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增
(2)
【分析】（1）求导函数，对进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性；
（2）由题意，构造函数，利用导数研究函数的单调性，多次构造函数，通过导数研究单调性以及特殊点，即可求解.
【详解】（1），则，
当时，令，解得，令，解得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，令，解得；令，解得；
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）由题意得对任意恒成立，
令，则.
若，当时，.
令，则，
所以在区间上单调递增，且，
即，令，则，
所以在区间上单调递增，且，即，
所以当时，，则，
所以在区间上单调递增，且，即恒成立.
当时，，存在实数，使得，均有，
则在区间上单调递减，且，不符合题意.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：常见的放缩不等式：①(仅当取等号)；
②(仅当取等号)，(仅当取等号)，
③当时，(仅当取等号)等.
9．(1)
(2)
【分析】（1）利用指数函数的单调性与三角函数有界性分段讨论 的符号，由此得函数的单调性与极值；
（2）先探求恒成立的必要条件，再证明其充分性.充分性的证明先构造函数，再利用导函数研究函数单调性，结合（1）结论可证.
【详解】（1）
①当时，，
所以，，则，
所以在单调递增；
②当时，则，
设，则，
且，，则，
所以在单调递减，
又，
故存在，使得，即，
且在上，，在上，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
③当时，则，
所以，又，
所以，故在上单调递减；
④当时，则，
所以，又，
所以，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增；
⑤当时，则，，
所以，在上单调递增；
综上所述，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以在上仅有个极值点.
（2）当时，恒成立，
即.
令，
若对恒成立，
由，，
所以当时，取得最小值.
由，
则为函数的极小值点，故，解得.
下面证明：当时，为函数的最小值点，
，
令，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
又，且，
所以当时，的最小值为，则恒成立，
即在上恒成立，
所以即在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，即恒成立，符合题意.
综上所述，.
【点睛】方法点睛：处理有关三角函数与导数综合问题的主要手段有：
（1）分段处理：结合三角函数的有界性与各不同区间的值域分段判断导函数符号；
（2）高阶导数的应用：讨论端点（特殊点）与单调性的关系，注意高阶导数的应用，能清楚判断所讨论区间的单调性是关键；
（3）关注三角函数的有界性与常用不等式放缩，如等．
10．(1)单调递增，单调递减
(2)
【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；
（2）求出，由有两个不等实根，结合判别式韦达定理得且，所以．不等式中消去得关于的不等式，分离参数转化为求函数的最值，从而得出结论．
【详解】（1）时，函数的定义域为
由解得．
当时，在单调递减；
当时，在单调递增．
（2），则．
根据题意，得方程有两个不同的实根，
，即且，所以．
由，可得
又
总有对恒成立．
①当时，恒成立，此时；
②当时，成立，即
令函数，则在恒成立
故在单调递增，所以．
③当时，成立，即
由函数，则，解得
当时，单调递增；当时，单调递减又，当时，
所以．
综上所述，．
【点睛】方法点睛：有关极值点与其他参数的等式或不等式问题，一般可能利用消参数法减少参数个数，方法是利用极值点是导函数为0的零点，有时还可结合韦达定理得出它们的关系，然后用代入法消参数．最终转化为求函数的最值等问题．
11．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出，分、讨论，可得答案；
（2）由零点存在定理可知，而题设，消去a可得，令，且，求出，，将其代入得，再利用导数分、讨论可得答案..
【详解】（1）由知，
1）当时，且有，，单调递增，故无极值；
2）当时，有，，单调递减，而，，单增，故，无极大值.
综上，当时，无极值；
当时，极小值为，无极大值；
（2）由（1）可知当时，，，
且，
由零点存在定理可知，而题设可知，消去a可得
，令，且，即，，
将其代入，整理可令得，
而，
1)当时，且，有，单调递增，，满足题设；
2)当时，且，有，单调递减，，不满足题设；
综上，的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：第二问解题关键点是消去a可得，令得、， 将其代入构造函数，本题还考查了学生思维能力、运算能力.
12．(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）首先求函数的导数，并判断函数的单调性，即可求函数的极值点.
（2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
（3）首先根据有个不同的极值点求得的一个范围，然后化简不等式，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，，
当时，，时，，
所以函数在区间单调递增，在区间单调递减，
所以函数在处取得极大值，函数的极值点为1；
（2）函数的定义域为，不等式恒成立，
即在上恒成立，
记，则，
得到在区间上单调递减，
在上单调递增，
则，即在区间上恒成立，
分离变量知：在上恒成立，则，
，
由前面可知，当时，恒成立，即，
所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
所以，所以．
（3），
设曲线图象上任意一点，
所以曲线在点处的切线方程为，
将代入得，故切点为，
过的切线方程为，
所以直线和曲线相切，并且切点坐标为，
所以当且仅当时，方程有两个不相等的实根，，并且，
从而当时，有三个极值点，，，并且，，，
取对数知：，，即，，
则
．
构造，
在时恒成立，
则在区间上单调递增，且，
从而的解为，
综上所述．
【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑利用分离常数法，然后构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.当一次求导无法求得单调区间时，可考虑二次求导等方法来进行求解.
13．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据导数与单调性的关系可直接求解；
（2）先根据（1）的结论和韦达定理把化简为，然后通过比值代换构造新函数，再通过研究新函数求出结果.
【详解】（1）的定义域是，因为，
所以，
令，则.
①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增.
②当，即时，由，得或；
由，得，
在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知当时，有两个极值点，即方程有两个正根，
所以，则在上单调递减，
所以，
，则
，
令，则，，所以在上单调递减，
又，且，
所以，
由，
又在上单调递减，所以且，
所以实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：涉及到双变量的问题一般可以利用比值代换处理，本题中，将化为后，设，化为关于的函数，再利用导数进行处理.
14．(1)
(2)
【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得函数的最小值，进而可得参数范围；
（2）由，可得，分情况讨论该不等式是否有解，可得，进而可得.
【详解】（1）由，得，令得，当时，，当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，因为恒成立，
所以，即，解得；
（2）由，
得，则，
设函数，，
令，可得，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，即，
则当时，即时，
由（1）得在单调递增，恒成立，
且当时，；
当时，即时，由（1）知在单调递减，，不符合题意；
当时，易知有解；
因为的解集为，则，所以，即．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
15．(1)证明见解析；
(2)4.
【分析】（1）记，利用导数研究单调性，结合可证；
（2）构造函数，根据确定，再构造函数，利用导数求函数的最大值，结合（1）中结论即可确定a的最小值.
【详解】（1）记，
则，
所以在上单调递增，
又，
所以，当时，，即.
（2）令，
由题可知，当时，恒成立.
因为，所以，
因为，所以，即，
所以，
因为，所以.
当时，，故.
当时，不等式等价于，
设，
由（1）知，，
，
记，
易知，在上单调递减，且，
所以，当时，，即，单调递增；
当时，，即，单调递减.
故当时，取得最大值.
所以，在区间上恒成立，
所以，整数的最小值为4.
【点睛】本题难点有二：一是通过取特值确定，二是利用（1）中结论进行放缩，构造函数，利用导数求最值即可.对于参变分离之后，函数复杂，不宜直接研究时经常采取适当放缩进行处理.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）由题设，对其求导，利用导数研究单调性，再根据区间单调性求值域即可；
（2）问题化为在上恒成立，构造，讨论、、，并应用导数研究单调性，进而判断函数值符号，即可求参数取值.
【详解】（1）由题设，则，
若，则，，可得，递增；
若，则，，可得，递减；
又，
综上，，值域为.
（2）由，，则，
令，，则，且，
当，，（舍）；
当，则，故，
令，则
，
又，对于，有，即递增，
所以，故恒成立，
所以，即在上递增，又，则，
所以在上递增，又，即，，符合题意；
当，令，则，，
所以（舍）；
综上，正整数a的取值集合.
【点睛】关键点点睛：第二问，问题化为在上恒成立，再分类讨论参数并结合导数研究函数值的符号，再时令，构造出为关键.
17．(1)1或9
(2)7
【分析】（1）求出在点处的切线方程为，从而设出，由，得到方程组，求出k的值；
（2）参变分离得到当时，恒成立．构造函数，求导得到其单调性，结合隐零点得到，结合，求出，从而求出k的最大值.
【详解】（1）∵，∴，
，从而得到，
∴函数的图象在点处的切线方程为，即．
设直线与的图象相切于点，
从而可得，，
又，
∴，解得或，
∴k的值为1或9．
（2）由题意知，当时，恒成立，
等价于当时，恒成立．
设，
则，
记，
则在上恒成立，
∴在上单调递增．又，
，
∴在上存在唯一的实数m，且，使得①，
∴当时，，即，则在上单调递减，
当时，，即，则在上单调递增，
∴当时，，
由①可得，∴，
由对勾函数性质可知在上单调递增，
其中，
，
∴，
又，∴k的最大值是7．
【点睛】分离参数法基本步骤为：
第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，
第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解.
第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.
18．（1）证明见解析；（2）2．
【解析】（1）求导得到单调区间，计算得到证明.
（2）令，则，计算得到，再证明恒成立即可，令，证明在上单调递增，计算得到答案.
【详解】（1），则，令，得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
所以，
所以．
（2）由恒成立，
令，则，
由，得整数，
因此．
下面证明对任意，恒成立即可．
由（1）知，则有，
由此可得：
，
令，
则，
设，又，所以单调递增，
当时，，
在上单调递增．
故当时，，
所以恒成立，
综上所述：整数 的最大值为2．
【点睛】本题考查了利用导数证明不等式，不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.
19．（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）3；
【解析】（1）利用导数研究函数的单调区间即可；
（2）根据分析知在上恒成立，分类讨论参数
，当时不等式恒成立，时，不能恒成立，时，上恒成立，在也要恒成立则必须要，有，结合基本不等式即可求的范围，进而得到最大整数值.
【详解】（1）当时，，
，
而时，，
∴时，在上单调递增，
时，在上单调递减；
综上，在上单调递增，在上单调递减；
（2），，令
由知：
，时，
而知，
∴，使在上单调增，
在上单调减；而，
∴在上恒成立.
∴当时，有恒成立.
当时，有恒有，
令即，
∴上，
而在上，令，
，即单调减，
又，
所以使，即上，单调增，
上，单调减，
∴综上，，使在上单调增，上单调减；
又，
1、时，在上单调减，上单调增，
且，故此时不能保证恒成立；
2、时，上恒成立；
在上要使恒成立，
令，有恒成立，
所以只要单调递增即可，有成立，
即
综上，知：时不等式对任意恒成立，
故.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的性质，由导数确定函数的单调区间，根据函数不等式恒成立求参数最值.
20．(1)答案见解析；
(2)1.
【分析】（1）对函数进行求导得出，令，求导得，对进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性和极值，从而求得在区间内极值点的个数；
（2）由，时，恒成立，求得，进而证明时，在，恒成立，利用放缩法得到，设，，，从而得出，利用导数研究函数的单调性和最值，从而证得，即恒成立，由此确定整数的最小值.
【详解】（1）解：由，得，
令，则，
，，，
当时，，单调递增，即在区间内无极值点，
当时，，，故，
故在单调递增，又，，
故存在，使得，且时，，递减，
，时，，单调递增，故为的极小值点，
此时在区间内存在1个极小值点，无极大值点；
综上：当时，在区间内无极值点，
当时，在区间内存在1个极小值点，无极大值点．
（2）解：若，时，恒成立，则，故，
下面证明时，在，恒成立，
，时，，故时，，
令，，，故，
令，则，在区间，单调递增，
因为，，
所以在上存在零点，
且时，；时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
又，，，
故存在，，使得，且，时，，递增，
，时，，单调递减，故时，取得最大值，且，
，，，故单调递减，
故，时，即成立，
综上，若，时，恒成立，则整数的最小值1．
【点睛】思路点睛：本题考查导数与函数极值的关系，利用导数研究函数的单调性和最值，以及利用导数解决不等式恒成立的综合问题：
（1）利用导数解决含有参数的单调性或极值问题，要注意分类讨论和化归思想的应用；
（2）利用导数解决不等式的综合问题的一般步骤是：构造新函数，利用导数研究的单调性和最值，再进行相应证明.
21．(1)
(2)
【分析】（1）求得，令，可得，分和，两种情况讨论，求得函数的单调性，结合极值点的概念，即可求解；
（2）由题意得到，化简，令，转化为，记，求得，当和，两种情况求得函数的单调性，结合和（1）中的极值点，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，可得，
令，可得，
①当时，，单调递增，无极值点；
②当时，，单调递减，
又，，故存在唯一，使得，
当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，有极大值点，
综上可得，在区间上有1个极值点.
（2）解：若为的极值点，则，即，
由，
令，，即.
记，即，则，
①当时，，故在上单调递增，所以，符合题意；
②当时，若，
则，故在上单调递减，
由（1）这在区间上存在极值点，记为，则，
故，不符题意，
综上可得，整数的最大值为1.
【点睛】方法总结：利用导数证明或求得不等式等问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
22．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，对讨论，分为和两种情形，通过导数与0的关系可判断单调区间；
（2）依题转化为，设，即，，应用导数求最值，对对讨论，分为和，三种情形讨论即可求解.
【详解】（1）∵，定义域为，∴，
当时，∴，∴的递增区间是；
当时，由，得，∴的递增区间是，
，得，递减区间是；
（2）∵，
∴，∴，
设，
∴，
当，，在上单调递增，
∴，，不符合题意，
当，则存在唯一的，使得.
当，使得，当，使得.
当，单调递减，当，单调递增，
∴，
∴，这与矛盾.
当，，在上单调递减，
∴，∴，
综上，
【点睛】本题主要考查导数的运用：求单调区间和最值，考查能成立问题，构造函数是关键，也是常用的一种手段．通过求构造函数的最值即可，属于中档题．
23．(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求导函数，利用导数研究函数的单调性即可；
（2）分类讨论求解函数的最大值，然后利用有解问题转化求解即可.
【详解】（1），
所以，
令，得，令，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），
则，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
所以，所以在上单调递减，
所以，不符合题意；
当时，令得，令得，
所以在单调递减，在单调递增.
当时，，所以在上单调递增，，
所以在上单调递增，所以，符合题意；
当时，，所以在单调递减，在单调递增，，所以，
若，即，则在[0，1]上单调递减，
所以，不符合题意；
若，即，则存在，使，
所以在单调递减，在单调递增，
若存在使成立，则，
解得，所以.
综上：的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.
24．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，求导得，然后分类讨论，即可得到的单调区间；
（2）根据题意，分离参数可得，构造函数求其最小值，即可得到结果.
【详解】（1）因为，
所以的定义域为．
当时，；
当时，令，解得或（舍去），
所以当时，，当时，．
综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）若存在，使得，则存在，使得成立，
令，令，则，
当时，，即在单调递减，
当时，，则 在单调递增，
所以在取得极小值，即最小值，所以，
即在上恒成立，
即存在，使得成立，
即．
令，则，
令，所以，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以当时，恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，
所以，即实数的最小值为．
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数解决含参函数单调区间问题，以及不等式能成立问题，难度较难，解答本题的关键在于将不等式问题通过分离参数法，转化为最值问题，然后构造函数，利用导数判断函数的单调性，解决问题.
25．(1)在上单调递增，在上单调递减
(2)
【分析】（1）根据导数的性质进行求解即可；
（2）根据导数的性质，结合导函数零点之间的大小关系分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）时，，.
令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
即函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）函数的定义域为，，
由已知可知，
∴.
①当时，则，则当时，，∴函数在单调递增，
∴存在，使得的充要条件是，即，
解得；
②当时，则，则当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
∴存在，使得的充要条件是，
而，不符合题意，应舍去.
③当时，，函数在上单调递减，又，成立.
综上可得：的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据导函数零点之间的大小关系进行分类讨论.
26．(1)f(x)在单调递增，单调递减；
(2)存在；a＝.
【分析】(1)求导讨论导数正负即可判断原函数单调性；
(2)根据a的范围分类讨论函数f(x)在[0，1]上的单调性并求最大值和最小值，判断是否满足已知条件即可.
【详解】（1）时，，
当时，；当时，，
∴f(x)在单调递增，单调递减；
（2）存在满足条件的实数a，且实数a的值为．
理由如下：
，
(i)当时，，∴f(x)在[0，1]上单调递减，∴，
则，∴此时不满足题意；
(ii)当时，f(x)在单调递增，单调递减，
①当时，即，f(x)在[0，1]单调递减，同上，此时不满足题意；
②当时，即时，f(x)在单调递增，单调递减，
∴，
当时，对任意，，
∴此时不满足题意；
③当时，即，f(x)在[0，1]单调递增，，
令，易知g(x)在[0，1]单调递减，
∴，
若对任意总存在，使得，即使得，
∴，即，∴，∴，
综上所述，存在满足题意的实数a，且实数a的值为．
【点睛】关键点点睛：本题关键是求f(x)的最大值和最小值，令，问题可转化为进行求解.
27．(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；
(2).
【分析】（1）根据的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；
（2）根据已知等式构造函数，利用导数的性质，结合一元二次方程的求解根公式判断该函数的单调性，再通过构造新函数，利用导数的性质进行求解即可.
【详解】（1）函数的定义域为，．
当时，，在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2），
又，则．
令，即方程在上有解．
令，，
则，．，
当时，，在上单调递减，
又，则在上恒成立，不合题意；
当时，，令，可知该方程有两个正根，
因为方程两根之积为1且，所以．
当时，，
当时，；
则时，，
而．
令，则，
令，，
则在上单调递减，，
则在上单调递减，，即，
故存在，使得，故满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是．
【点睛】关键点睛：根据等式的形式构造新函数，再根据不等式的形式构造新函数是解题的关键.
28．(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）由题意可得出，可求得实数的值；
（2）求出函数的定义域，求得，对实数的取值进行分类讨论，分析的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（3）分析可知当时，有，分析两个函数的单调性，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：，则，其中，
由题意可得，即，解得．
（2）解：函数的定义域为，则.
①当时，对任意的，，
由，可得；由，可得，
此时函数的增区间为，减区间为；
②当时，则，由可得；由可得或.
此时函数的减区间为，增区间为、；
③当时，对任意的，且不恒为零，
此时函数的增区间为，无减区间；
④当时，则，由可得；由可得或.
此时函数的减区间为，增区间为、.
综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为、；
当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为、.
（3）解：对任意，均存在，使得，
所以，当时，有．
在的最大值．
由（2）知：①当时，在上单调递增，
故，
所以，，解得，此时；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故，
由，知，所以，，则，则.
综上所述的取值范围是．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.
29．(1)最大值为，最小值为；
(2).
【分析】（1）利用导数研究的区间单调性，进而确定端点值和极值，比较它们的大小，即可得最值；
（2）将问题转化为、上，利用二次函数性质及导数求函数最值，即可得结果.
【详解】（1）由题设，则，
所以在上，递增，在上，递减，
则，极大值，
综上，最大值为，最小值为.
（2）由在上，
根据题意，只需即可，
由且，
当时，，此时递增且值域为R，所以满足题设；
当时，上，递增；上，递减；
所以，此时，可得，
综上，a的取值范围.
【点睛】关键点点睛：第二问，将问题转化为、上求参数范围.