2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）专题4-2向量四心及补充定理综合归类-1

这是一份2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）专题4-2向量四心及补充定理综合归类-1，共41页。试卷主要包含了2向量四心及补充定理综合归类等内容，欢迎下载使用。


题型01 “奔驰定理”
【解题攻略】
【典例1-1】
（2022春·全国·高三模拟）
1．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】
四川省三台中学2021-2022学年高三4月质量检测数学试题
2．已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】
3．如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于
A．B．C．D．
【变式1-2】
4．已知是等边三角形，且,那么四边形ABCD的面积为
A．B．C．D．
【变式1-3】
5．是所在平面上的一点，满足，若，则的面积为（ ）.
A．B．C．D．
题型02 极化恒等式
【解题攻略】
【典例1-1】
（2023·江苏·高三专题练习）
6．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（ ）
A．32B．-32C．16D．-16
【典例1-2】
7．如图，在中，已知，点分别在边上，且，点为中点，则的值为 .
【变式1-1】
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则等于 ．
【变式1-2】
（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）
9．在中，，，点是线段上靠近点的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】
（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）
10．以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（ ）

A．B．
C．D．
题型03极化恒等式求最值范围
【解题攻略】
【典例1-1】
11．如图，在平面四边形中，，，，则的最大值为 ．
【典例1-2】
12．已知点O为坐标原点，为圆的内接正三角形，则的最小值为 ．
【变式1-1】
13．在锐角三角形ABC中，已知，则的取值范围是 ．
【变式1-2】
（2022·全国·高三专题练习）
14．已知直线与圆相切于点，设直线与轴的交点为，点为圆上的动点，则的最大值为 ．
【变式1-3】
15．半径为4的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型04等和线题型：基础
【解题攻略】
【典例1-1】.
16．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3B．2C．D．2
【典例1-2】
17．已知在内，且，，则 ．
【变式1-1】
18．在△ABC中，∠BAC=，以AB为一边向△ABC外作等边三角形ABD，∠BCD=2∠ACD，则 ．
【变式1-2】
19．已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为
A．B．C．D．
【变式1-3】
20．已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型05等和线题型：型
【解题攻略】
【典例1-1】
（2023·全国·高三专题练习）
21．O是的外心，，，则（ ）
A．B．C．D．或
【典例1-2】
22．在矩形ABCD中，，，P为矩形内一点，且若，则的最大值为
A．B．C．D．
【变式1-1】
（2022春·江苏无锡·高三江苏省天一中学校考）
23．在中，，，，为的外心，若，、，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】
（2023·全国·高三专题练习）
24．已知正三角形的边长为2，D是边的中点，动点P满足，且，其中，则的最大值为 ．
题型06 等和线题型：型
【解题攻略】
【典例1-1】
25．如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】
（2023·全国·高三专题练习）
26．已知锐角满足，且O为的外接圆圆心，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】
（2022·四川·校联考三模）
27．在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，，点在上运动（如图）.若，其中，，则的取值范围是
A．B．C．D．
【变式1-2】
（2019·北京·首都师范大学附属中学校考一模）
28．在中，点满足.若存在点，使得，且，则的取值范围是 ．
【变式1-3】
（2022秋·山东青岛·高三统考）
29．将两个直角三角形如图拼在一起，当点在线段上移动时，若，当取最大值时，的值是 ．
题型07 等和线题型：分数型
【解题攻略】
【典例1-1】
（2021·辽宁大连·大连八中校考一模）
30．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为
A．B．C．D．
【典例1-2】
（2023春·江苏南通·高三江苏省南通中学校考阶段练习）
31．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】
（2023·全国·高三专题练习）
32．在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且，点F为线段BD上的一动点（包含端点），若，则的取值范围为 ．
【变式1-2】
（2023春·内蒙古乌兰察布·高三校考）
33．已知是正实数，的三边长为，点是边(与点不重合)上任一点，且．若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【变式1-3】
（2022·全国·高三专题练习）
34．已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则 ；与周长之比的取值范围为 ．
题型08 等和线题型：与数列
【典例1-1】
（2022·全国·高三专题练习）
35．如图，平面四边形中，点D为动点，的面积是面积的3倍，数列满足，，当时，恒有，则数列的前6项和为（ ）．
A．2020B．1818C．911D．912
【典例1-2】
（2022秋·安徽合肥·高三阶段练习）
36．如图，点为的边上一点，，为边上的一列点，满足，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】
（2022秋·河北石家庄·高三正定中学阶段练习）
37．如图，已知点为 的边 上一点， ， 为边 上的一列点，满足 ，其中实数列 中， ， ，则
A．46B．30C．242D．161
【变式1-2】
（2023秋·辽宁沈阳·高三新民市高级中学校考阶段练习）
38．已知四边形ABCD，为边BC边上一点，连接交BD于，点满足，其中是首项为1的正项数列，，则的前n项 .

奔驰定理：为内一点，，则.
重要结论：，，.
结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则：.
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.
结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为.
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.
即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.
极化恒等式：a·b＝[（a＋b）2－（a－b）2]
极化恒等式的模型： 平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]．
三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2．
（1）推导过程：由.
三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．
记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
等和线基础：系数为1型形如，求值或者范围，其中可以理解对应系数如，称之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得
形如，求值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构造三角函数辅助角形式求最值.可构建直角坐标系并设且（），应用平面向量线性关系的坐标表示求得关于参数的函数式求最值.
形如，求值或者范围，有如下思维：1.如果动点P在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解.
2.可以借助等和线，找到=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值
形如，求值或者范围，一般情况下，则可以通过等和线或者， 然后对采用均值不等式中的“1”的代换技巧.
参考答案：
1．D
【分析】直接根据向量的基本运算得到，再结合“奔驰定理”即可求解结论．
【详解】解：为三角形内一点，且满足，
，
．
，
故选：D．
2．D
【分析】先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比
【详解】解：，，如图：

，
，
、、三点共线，且，为三角形的中位线
而
，，的面积之比等于
故选：．
【点睛】本题考查了向量式的化简，向量加法的平行四边形法则，向量数乘运算的几何意义等向量知识，充分利用向量共线是解决本题的关键
3．D
【解析】由题，延长AP交BC于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量的关系，可得与的比值，再利用面积中底面相同可得结果.
【详解】延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，
所以，设
代入可得
即
又因为，即，且
解得
所以可得
因为与有相同的底边，所以面积之比就等于与之比
所以与的面积之比为
故选D
【点睛】本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.
4．A
【分析】设AD的中点为E，以为邻边作平行四边形AECB，画出对应的图形，利用E为中点，得到为平行四边形，再根据可得四边形为矩形，于是得到四边形ABCD为直角梯形，进而可得所求的面积．
【详解】取AD的中点E，以为邻边作平行四边形AECB，如图所示，
则有，
又，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又BE为等边的中线，
∴，
∴平行四边形BCDE是矩形，
∴四边形ABCD是直角梯形．
又，
∴，
∴四边形ABCD的面积为．
故选A．
【点睛】解答本题的关键是对式子的理解，然后结合向量加法的平行四边形法则构造平行四边形，然后通过分析得到四边形ABCD的形状，体现了向量具有数和形的双重性质的特点，考查分析问题和解决问题的能力．
5．A
【分析】利用线性运算得到，再利用数乘的几何意义求面积即可.
【详解】依题意有，化简得，所以到的距离等于到距离的三分之一，故的面积为.
故选：A.
6．D
【分析】由题设有，代入极化恒等式求即可.
【详解】由题设，，，
.
故选：D
7．4
【详解】试题分析：
考点：向量数量积
8．
【分析】在平行四边形ABCD中，取的中点O，根据相等向量和向量的加法运算法则及数量积运算求解.
【详解】如图：
在平行四边形ABCD中，取的中点O，
则，，
则.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平面向量的概念及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
9．B
【分析】先用，两个向量表示，然后根据数量积的运算即可得到.
【详解】
，
，
因，所以，
又，
所以，
故选：B
10．C
【分析】如图所示，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示计算即可.
【详解】如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，则，，
由，得，
所以，，
所以．

故选：C.
11．1
【分析】利用转化法求出，再求出的最大值即可.
【详解】
取的中点，连接，，
由，，
由，得四点共圆，且直径为．
则 ，
所以 ．
故答案为：1.
12．5
【分析】取的中点N，连结，取其中点D，则所求转化为，结合题意可得点D在以M圆心，以为半径的小圆上运动，求得，即可求得最小值.
【详解】取的中点N，连结，取其中点D，如图所示，
则
，
当正沿圆周运动时，点D在以M圆心，以为半径的小圆上运动．
由外接圆半径为1，
则，
从而．
所以的最小值是，
又，，
所以，
故所求最小值为．

故答案为：5.
13．(0,12)
【分析】依题意可得BC=2，以B为原点，BA所在的直线为x轴建立坐标系，所以C(1,)，设点A(x,0)，分析图象可得x的取值范围，则根据数量积的公式可得的表达式，然后根据二次函数的性质求出值域即可.
【详解】||=||=2，即BC=2，如图，
以B为原点，BA所在的直线为x轴建立坐标系，
因为，BC=2，
所以C(1,)，设点A(x,0)，
因为是锐角三角形，且∠A+∠C=，
所以<∠A<，即点A在图中的线段DE上（不与D，E重合），
所以1则=，
所以取值范围是(0,12).
故答案为(0,12).
【点睛】本题主要考查了向量的几何意义以及利用坐标法求数量积范围，准确作出坐标系并设出合适的点是解题的关键，属中档题.
14．
【分析】因为相切，圆心到直线的距离等于半径，再将点代入圆方程解出，进而求得中点，则即可求解．
【详解】圆的圆心的为，因为直线与圆相切于点则
所以得，所以，，
所以直线方程为，圆的方程为，所以，，
的中点，
则
因为，
所以
故，所以的最大值为
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用方程组求解参数，转化求解．
15．A
【分析】根据向量的线性运算及基底法求向量数量积.
【详解】
如图所示，
设与交于点，
由，
得四边形是菱形，且，则，，
由图知，，而，
所以，
同理，，而，
所以，
所以，因为点是圆内一点，则，
所以，
即的取值范围为，
故选：A.
16．A
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.
设,
易得圆的半径，即圆C的方程是，
，若满足，
则，，所以，
设，即，点在圆上，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.
【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
17．
【分析】首先根据题意，画出相应的图形，利用题中所给的条件，列出相应的等量关系式，根据平面向量基本定理，得到对应的结果.
【详解】如图，
设BO与AC相交于D，则由，可得，
设CO与AB相交于E，则由，可得，
因B,O,D三点共线，故存在实数m，
使，
因C,O,E三点共线，故存在实数n，使得
，
所以，解得，
，所以，，
故答案是：.
【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有平面向量基本定理，向量共线的条件，属于较难题目.
18．
【分析】以A为原点建立直角坐标系，则设，， ，,则，根据三倍角公式建立方程可求出m,利用点的坐标运算求出 即可.
【详解】如图建系，
设，则，
根据三倍角公式，有，
于是
也即
解得，于是
从而.
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及正切三倍角公式，属于难题.解决向量中比较困难的题目，可以考虑建系，利用向量的坐标运算，往往事半功倍.
19．C
【分析】如图:设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于,过A作,垂足为,然后根据向量知识将的最大值转化为的最大值来求,
【详解】如图:
设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,
过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于,
过A作,垂足为,交BC于K，此时圆P的圆心为,BC=5,,,其中,又,
所以,
当Q在BC的下方时, ;
当Q在BC上时,,
当Q在BC的上方时,,
根据平面几何知识,可知当Q为、 D为K时，最大，所以x+y取最大，
所以：x+y的最大值为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面向量基本定理,三点共线的向量表示,分类讨论思想,,属难题.
20．D
【分析】利用平面向量共线定理的推论求解．
【详解】在圆外，则且，又，
所以，
又三点共线，
所以，，而，所以．
故选：D．
21．D
【分析】根据外心的性质，结合数量积运算求解，注意讨论是否在上.
【详解】当在上，则为的中点，满足，符合题意，
∴，则；
当不在上，取的中点，连接，则，
则，
同理可得：
∵，
，
联立可得，解得，
故选：D.
22．B
【分析】可根据条件画出图形，根据图形设，且，则又可用表示为：所以根据平面向量基本定理得到：，所以，最大值为1，所以的最大值为．
【详解】如图，设，，
则：；
又；
；
；
的最大值为．
故选B．
【点睛】考查共线向量基本定理，两角和的正弦公式，正弦函数的最大值，以及平面向量基本定理．
23．C
【分析】作出图形，先推导出，同理得出，由此得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出的值.
【详解】如下图所示，取线段的中点，连接，则且，
，
同理可得，
，
由，可得，即，
解得，，因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
24．##2.5
【分析】构建以为原点，为x、y轴的直角坐标系，确定相关点坐标并设且()，由向量线性关系的坐标表示列方程得到关于的三角函数式，应用正弦型函数性质求最大值.
【详解】由题设，在以为圆心，1为半径的圆上或圆内，
构建以为原点，为x、y轴的直角坐标系，如下图示：
所以，，，令且()，
所以，，，
又，即，
所以，而，
则，
故当时，有最大值.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：构建直角坐标系并设且()，应用平面向量线性关系的坐标表示求得关于参数的函数式求最值.
25．B
【分析】建立直角坐标系，将由点坐标转化后数形结合求解
【详解】以点为坐标原点， 方向为x,y轴正方向建立直角坐标系，则，
，设，则，解得，
故，即，
数形结合可得当时，取最小值2，
当直线与圆相切时，，取得最大值 .
故选：B
26．A
【分析】由题意可得，将平方整理得，设，则有，再设，则有==，求解即可.
【详解】解：如图所示：
由正弦定理可得：，所以，
在中，由余弦定理可得,
又因为,所以.
又因为，
所以，
即有：，即，
所以，
设，可得，
又因为为锐角三角形，所以，
所以，
设，则有，
所以==，
所以
故选：A.
27．C
【分析】根据直角坐标系，根据向量的坐标运算，即可表达出，进而用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.
【详解】
分别以所在直线为轴，轴，方向为正方向建立直角坐标系，知,
设，由得：，即 ,
则，
由可得：，则，故.
则的取值范围是 .
故选：C
28．（﹣2，0）
【分析】由，得，结合条件，得到m＝﹣3λ﹣1，n＝3λ﹣1，利用mn＞0．可求出实数λ的取值范围，由此可计算出m﹣n的取值范围．
【详解】由，可得，所以，，则m＝﹣3λ﹣1，n＝3λ﹣1，
由于mn＞0，则（﹣3λ﹣1）（3λ﹣1）＞0，即（3λ+1）（3λ﹣1）＜0，解得，
∵λ＞0，所以，，
m﹣n＝（﹣3λ﹣1）﹣（3λ﹣1）＝﹣6λ∈（﹣2，0），
故答案为（﹣2，0）
【点睛】本题考查平面向量基本定理，向量线性运算，问题的关键在于将m﹣n利用参数表示出来，属于中等题．
29．
【分析】令且，，并确定取最大值时点位置，数形结合求，即可得结果.
【详解】
如图示，设且，，中，
由题意知，当取最大值时，点与点重合， 又，
则，，
所以.
故答案为：
30．A
【解析】在中，设，，，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】在中，设，，，
，即，即，，
，，，，，
，即，又，，
，则，所以，，解得，.
以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，
为线段上的一点，则存在实数使得，
，
设，，则，，，
，，消去得，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：A.
【点睛】本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示，建立、与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由，发现为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属于难题.
31．D
【分析】由sinB=csA•sinC化简可求 csC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccsA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得,由，为单位向量，可得，，可得,可得，则由，利用基本不等式求解最小值．
【详解】中设，，
，，
即，
，
，，
，，
，，
，根据直角三角形可得，，
，，，
以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴建立直角坐标系可得，，，P为直线上的一点，
则存在实数使得,
设，，则，，,
,
，则,
,
故所求的最小值为,
故选：D.
【点睛】本题为平面向量的综合题，考查解三角形、平面向量数量积、平面向量共线定理、基本不等式的应用，属于综合题，解题关键在于将三角形中数量关系利用向量坐标运算进行转换，属于较难题.
32．
【分析】由向量加法法则可得，根据F为线段BD上的一动点（包含端点）有且、，构造并利用导数研究单调性，进而确定值域，即可得结果.
【详解】由，
所以且，结合目标式有，
，，
，（舍），
故在、上递减，在上递增，
当时，当时，
所以．
故答案为：
33．
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得到x、y的关系式，再由题给条件得到关于m的不等式，利用均值定理即可得到实数的取值范围.
【详解】以C为原点分别以CB、CA为x、y轴建立平面直角坐标系如图：
则，
则
则，又点P在直线：上，
则有，即
由恒成立，
可得恒成立，
由，可得
则（当且仅当时等号成立）
又，，则
则，则，
则，
则实数的取值范围是
故答案为：
34． 3
【分析】连接AG并延长，交BC于F，可得，变形可得，根据D、G、E三点共线，即可得答案；设的边长为1，设与周长之比，可得，根据余弦定理，可求得表达式，代入可得，根据的范围，可得的范围，利用导数，结合的范围，即可得答案.
【详解】连接AG并延长，交BC于F，如图所示
由题意得，F为BC中点，
所以，
又G为重心，所以，
所以，即，
因为D、G、E三点共线，
所以，即.
设的边长为1，设与周长之比，
则，
在中，由余弦定理得，
所以，即，
所以，
由（1）可得，即代入上式，可得
由题意得，
所以，
又，所以，
又，所以，
因为，所以，
令，则，
令，则，
所以在上为增函数，
所以，
所以与周长之比的取值范围为
【点睛】解题的关键是熟练掌握向量的线性运算法则，三点共线定理等知识，并灵活应用，难点在于将周长比转化为的表达式，利用二次函数的性质，结合导数，即可得答案，属中档题.
35．D
【分析】连接交于点，根据，得，则，
再根据，设，，，转化为，根据与不共线，得到，即，变形为，由等比数列的定义得到 是等比数列，得到通项公式，再用累加法得到，然后用分组求和法求解.
【详解】如图，连接交于点，
由，得，，
设，，，
，
又与不共线，
所以，则，
即，
所以，
所以，
即，
所以是以2为首项，4为公比的等比数列，
所以，
由，，…，，
累加得，
所以，
所以．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，共线向量定理以及等比数列的定义，累加法求通项和分组求和问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题.
36．B
【分析】根据向量的运算、共线向量的表示和等差数列的判定得出数列和的关系.
【详解】因为，所以，所以，
因为，且，
所以，得，所以，
又，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，
所以.
故选：B.
37．D
【详解】因为 ，所以，设 ，，又因为， ， 以 ，又 ，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，,故选D．
38．
【分析】由结合共线向量定理的推论可得，则可求得，再由可得，从而得，则得，然后利用分组求和法可求得结果.
【详解】因为，
所以，
因为三点共线，所以，
所以，
因为，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，
所以
因为，所以，
所以，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查向量共线定理的应用，考查数列的分组求和法，考查等比数列的应用，解题的关键是将已知式子变形结合共线向量定理推论化简求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.