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2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）专题3-4解三角形大题综合归类-1
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这是一份2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）专题3-4解三角形大题综合归类-1，共44页。
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题型01 正余弦定理基础：正余余正求角 （第一问）
题型02 正余弦定理基础：分式型求角 （第一问）
题型03正余弦定理基础：角度关系证明型 （第一问）
题型04 正余弦定理基础：正切型求角 （第一问）
题型05 解三角形最值：角与对边型求面积
题型06 解三角形最值：角非对边型求面积
题型07 解三角形最值：周长型最值
题型08 解三角形最值：长度型最值
题型09 解三角形最值：锐角三角形与边系数不等型
题型10解三角形最值：四边形面积最值型 PAGEREF
题型11三大线：中线（重心）型
题型12 三大线：角平分线（内心）型
题型13 三大线；高
题型14 辅助线型：双三角型
高考练场
题型01 正余弦定理基础：正余余正求角 （第一问）
【解题攻略】
【典例1-1】
（2024上·天津西青·高三统考）
1．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若，，求；
(3)若，求．
【典例1-2】
（2023·山东潍坊·统考模拟预测）
2．已知中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求角；
(2)若为边上一点，且满足，，证明：为直角三角形．
【变式1-1】
（2023上·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）
3．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
【变式1-2】
（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）
4．已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求；
(2)若，点在边上，，且，求．
【变式1-3】
（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考）
5．在中，角的对边分别为.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的最大值．
题型02 正余弦定理基础：分式型求角 （第一问）
【解题攻略】
【典例1-1】
（2023上·湖南长沙·高三长沙市明德中学校考阶段练习）
6．已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值．
【典例1-2】
（2023上·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）
7．已知的三个内角所对的边分别是．已知
(1)求角；
(2)若点在边上，，请在下列两个条件中任选一个，求边长．
①为的角平分线；②为的中线．
【变式1-1】
（2023上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）
8．已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足
(1)求角C的大小；
(2)若，点D为AB 的中点，求的值.
【变式1-2】
（2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习）
9．在中，，且
(1)求角；
(2)若点为边上一点，且，求的面积.
【变式1-3】
（2023下·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求角C；
(2)若边上的中线长为1，求面积的最大值．
题型03正余弦定理基础：角度关系证明型 （第一问）
【典例1-1】
（2023·全国·模拟预测）
11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，．
(1)求证：．
(2)若，，求的面积．
【典例1-2】
（2023·全国·高三专题练习）
12．的内角的对边分别为，.
(1)证明：；
(2)若，求的面积.
【变式1-1】
（2023上·重庆·高三西南大学附中校联考阶段练习）
13．在中，内角所对的边分别为，满足
(1)求证：；
(2)若为锐角三角形，求的最大值．
【变式1-2】
（2023·全国·模拟预测）
14．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
【变式1-3】
（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）
15．在锐角中，内角所对的边分别为，且.
(1)证明：；
(2)若，求的周长的取值范围.
题型04 正余弦定理基础：正切型求角 （第一问）
【解题攻略】
【典例1-1】
（2023上·湖北·高三随州市曾都区第一中学校联考）
16．中，内角所对的边分别为，满足.
(1)求角；
(2)若是边上的一点，且，，求.
【典例1-2】
（2024上·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）
17．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，为其外接圆的圆心，，．
(1)求的大小；
(2)若，求边长的最值．
【变式1-1】
（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）
18．在中，内角所对的边分别为.
(1)求的大小；
(2)若.
①求的值；
②求的值：
【变式1-2】
（2023上·海南海口·高三校考阶段练习）
19．在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角：
(2)已知是边的中点，且，求的长．
【变式1-3】
（2023上·河北邢台·高三邢台一中校考阶段练习）
20．已知的内角，，的对边分别为、、，.
(1)求；
(2)已知为边上的中线，，，求的面积.
题型05 解三角形最值：角与对边型求面积
【解题攻略】
【典例1-1】
21．已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围.
【典例1-2】
22．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)若，求外接圆的面积；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【变式1-1】
23．记的内角所对的边分别为，已知.
(1)求证：
(2)若的面积，求的最大值，并证明：当取最大值时，为直角三角形.
【变式1-2】
24．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，．
(1)若，求B的大小；
(2)若△ABC不是钝角三角形，且，求△ABC的面积取值范围．
题型06 解三角形最值：角非对边型求面积
【解题攻略】
【典例1-1】
25．已知锐角三角形中，角、、所对的边分别为、、，向量，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围.
【典例1-2】
26．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．
(1)求角A的大小；
(2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围．
【变式1-1】
27．在中，角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围．
【变式1-2】
28．已知是锐角三角形，内角所对的边分别为，面积为，
(1)求角；
(2)若，求的取值范围．
题型07 解三角形最值：周长型最值
【解题攻略】
【典例1-1】
（2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）
29．在中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)点是上的一点，，且，求周长的最小值．
【典例1-2】
（2023秋·广东云浮·高三校考阶段练习）
30．在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若，求周长的取值范围．
【变式1-1】
（2022秋·重庆綦江·高三统考阶段练习）
31．记的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
(1)求a；
(2)若，求的周长l的取值范围．
【变式1-2】
（2023春·湖南益阳·高三安化县第二中学校考阶段练习）
32．已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且三角形的外接圆面积为，三角形的面积为．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围．
题型08 解三角形最值：长度型最值
【典例1-1】
（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）
33．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)若，求的值；
(2)的面积，求b的最小值.
【典例1-2】
（2023春·安徽芜湖·高三安徽省无为襄安中学校考）
34．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求角C的大小；
(2)若，求的取值范围．
【变式1-1】
（2023秋·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）
35．在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角A；
(2)若的面积为1，求的最小值.
【变式1-2】
（2023秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）
36．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，请完成以下问题：
(1)求角B的大小；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围．
正余弦定理求角基础：两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin（α＋β）＝sin αcs β＋cs αsin β （S（α＋β）） 正余余正
sin（α－β）＝sin αcs β－cs αsin β （S（α－β）） 正余余正 正角 减 余角
cs（α＋β）＝cs αcs β－sin αsin β （C（α＋β）） 余余正正 偶函数.谁 减 谁 无所谓cs（α－β）=cs（β－α）
cs（α－β）＝cs αcs β＋sin αsin β （C（α－β））
对于sin（）与cs（） 简称为“正余余正，余余正正”
恒等变形和化简求角中，有如下经验：
1、SinC=Sin（A+B）=sinAcsB+csAsinB:正用.逆用；见A与B的正余或者余正，不够，找sinC拆
2、边的齐次式，正弦定理转为角的正弦；
3、csC=-cs（A+B））=-[csAcsB-sinAsinC]
分式型特征：1.分式中分子分母是边的齐次式.
2.分式中分子分母是正弦的齐次式
3.如果有余弦，一般情况下不计入次幂计算
4可以通过去分母，转化为无分式型齐次，再用正弦定理转化
分式型与正切型1.若式子含有的2次齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”
2.面积和2次齐次式，可构造余弦定理
3.正切型，可以“切化弦”，转化为分式型，在进行化简求角
解三角形：最值范围1.可以用余弦定理+均值不等式来求解.
2.可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与范围，要注意三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制
角非对边求面积1.角非对边，面积要用所给的角度，所给的边用上，正好面积中余下一个不确定的“范围边”.把面积范围转化为“范围边”.
2.再用正弦定理，去除掉给角的边，用知道长度的边的正弦式子.这样正好能转化.
3.对于“范围边”的函数，消角，要消去分子的角度，保留分母的角度为变量，计算简单.
4.对“消角”后的式子，恒等变形求范围最值，注意是否有锐角三角形等限制角的范围的条件
周长最值1.“齐次对称结构”，用余弦定理加均值，如果用正弦定理化角，计算量稍大
2.如果利用均值求周长的范围时，注意利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”
参考答案：
1．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由正弦边化角及三角恒等变换可得结合三角形内角性质求.
（2）由正弦角化边及余弦定理列方程求a.
（3）由题设及（1）得，注意为锐角，应用倍角正余弦、差角正弦公式求目标式的值.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，
得，
则，
而，则，又，所以.
（2）由，得，由（1）及余弦定理，
得，解得，
所以.
（3）由及正弦定理，得，则，
显然，即，则A为锐角，，
于是，，
所以.
2．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式化简已知等式，可得，再利用二倍角公式即可得到的值，即可求得答案；
（2）根据得出，设，表示出相关各角，在利用正弦定理即可求得，即可证明结论.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
所以，即，
因为，所以，
又因为，，，，
所以，所以；
（2）证明：因为，所以，
设，在中，，则．
可得，，
在中，由正弦定理得，，
又因为，所以，
则，
化简得，因为，即，则．
所以是直角三角形．
3．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知式，即可得出答案；
（2）由诱导公式、二倍角的正弦公式、两角差的余弦公式化简，再由三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）由正弦定理可得，，
从而可得，
，
又为三角形的内角，
所以，于是，
又为三角形的内角，因此.
（2）
，
由可知，，，
从而，
因此，
故的取值范围为.
4．(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合恒等变换可求角B的大小.
（2）根据给定条件，结合三角形面积公式求出，再利用余弦定理、三角形面积公式计算即得.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，
得，
即，
则，而，于是，
即，又，即有，则，
所以.
（2）依题意，，则，而，
于是，，
解得，又，解得，
由余弦定理得，解得，
所以.
5．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用三角恒等变换运算求解即可；
（2）法一：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换以及正弦函数的有界性分析求解；法二：利用余弦定理结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）因为，即，
可得
又因为，则，可得，
且，可得.
（2）法一：由正弦定理可得，则，
可得
，
因为，则，可得，
所以周长的最大值为
法二：由余弦定理可得，
可得，当且仅当时，等号成立，
解得，
所以周长的最大值为.
6．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，得到，利用正弦定理角转边，得到，再利用余弦定理即可求出结果；
（2）利用条件，结合，得到，再利用基本不等式，得到，从而求出结果.
【详解】（1）由已知，得，
在中，由正弦定理得，即．
再由余弦定理得．
又，所以.
（2）因为是角的平分线，则，
又，
又，所以，得到，
又因为，得到，解得，即，
当且仅当时等号成立，所以，
即面积的最小值是．
7．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合二倍角公式及两角和的正弦公式求得，即可得答案；
（2）选①，由，根据三角形面积公式求得，由余弦定理得.
选②，得，平方后利用向量的运算可得，由余弦定理得.
【详解】（1）在中，由正弦定理知，
所以，
又，所以，
，
又，
，
化简得，即，
又，所以．
（2）选①，为的角平分线，
由得：，
即，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理得，
所以.
选②，为的中线，
则，平方得，
所以，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理得，
所以.
8．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用正余弦定理边角转化分析求解；
（2）根据（1）中关系可得，进而可知，利用两角和差公式运算求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
整理得，
由余弦定理可得，
且，所以.
（2）由（1）可得：，则，即，
可知，即，可得，，
所以.
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据同角的三角函数关系和正弦定理化简原式，结合余弦定理求解进而得到答案；
（2）根据已知条件转化为向量关系，通过向量数量积运算得到，结合余弦定理得到，两式联立得到，结合三角形面积公式即可得到答案.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
在中，由正弦定理得，，即，
在中，由余弦定理得，，
又因为，所以.
（2）如图所示，
因为，
所以
因为，所以，
所以，
所以，
即，即，
又因为，所以，
在中，由余弦定理得，，
即，
代入，解得（负值舍去），
所以，
所以.
10．(1)
(2)
【分析】（1）由条件利用正弦定理，余弦定理化简可得，进而求出；
（2）由题意可得，利用向量运算可得，根据基本不等式可求得的最大值，进而得解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
又由余弦定理可得，
，
，又，
（2）设边上的中线为，由向量关系可得，
，
，又，，
，
，(当且仅当时取等号)
所以面积的最大值为
11．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）方法一，由正弦定理得到，，结合化简得到，证明出结论；
方法二：，由正弦定理得到，，，结合余弦定理得到，因为，所以，证明出结论；
（2）根据和（1）中结论得到，，由正弦定理得到，利用三角形面积公式求出答案.
【详解】（1）方法一：，
由正弦定理得，
故，由正弦定理可知，
又，所以，
所以，
所以．
因为，所以．
又，所以．
又，所以．
方法二：由，
由正弦定理得，
故，由正弦定理可知，
因为，所以，
即，所以根据正弦定理，得．
又，所以结合余弦定理，得，
所以，则，
即，
由，可得，
所以．
又，所以．
又，所以．
（2）由（1）知，
又，，所以，．
由正弦定理，知，所以，，
故的面积．
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)用正弦定理转化，结合正弦差角公式即可求解.(2)结合第一问的结论和余弦定理求得的余弦值，代入面积公式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
则.
又，所以，
故，即.
（2）由（1）可知，.
因为，所以，
则，
故的面积.
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可.
（2）利用为锐角三角形，求出，表示出，并进行换元转化为二次函数,进而求得最大值.
【详解】（1）由题，
由正弦定理：，
所以，
整理，
所以，
或（舍）,
.
（2）为锐角三角形,
解得：,所以，
且
由（1）问，，
令，
则，
所以
因为,
当时，所求的最大值为.
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合两角差的正弦公式化简已知式，即可得出答案；
（2）由是锐角三角形，可求出，进而求出，由正弦定理结合两角和的正弦定理可得，令，，由的单调性即可求出答案.
【详解】（1）由，结合正弦定理得，
即，
所以，
所以或（舍去），所以.
（2）在锐角中，，，，
即，所以.
.
令，，，
因为在上单调递增，
所以，，
所以.
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知结合余弦定理可推得.进而根据正弦定理边化角以及三角恒等变换，化简可得.结合锐角三角形，即可得出证明；
（2）先根据已知得出.根据三角恒等变换化简得出，然后根据正弦定理化简得出，进而根据余弦函数的取值范围，即可得出答案.
【详解】（1）由余弦定理可得，.
又，
所以有，
整理可得.
由正弦定理边化角可得，.
又，
所以，，
整理可得，.
因为为锐角三角形，
所以，，，
所以，，.
（2）由（1）知，，则.
因为为锐角三角形，
所以，，解得.
根据正弦定理可得，
，.
因为
，
所以，，
，
所以，.
因为，
所以，，
，
所以，，
所以，.
所以，的周长的取值范围为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和两角和的正弦，化简得到，进而得到，即可求得的大小；
（2）根据题意，在中，利用正弦定理得，进而化简得到，即可求解.
【详解】（1）解：由，可得，
又由正弦定理得，
整理得，
可得，
因为，可得，所以，即，
又因为，所以.
（2）解：在中，由正弦定理得，
因为，且，可得，
又因为，所以，
整理得，所以.
17．(1)
(2)最大值:；最小值：
【分析】（1）结合题意对分别对，进行化简，从而求解.
（2）根据正弦定理并结合（1）中的结果，求解得出最值.
【详解】（1）延长交外接圆于点，如下图所示
则
所以：，
由，
得：，
解之得：，因为：，所以：.
故答案为：
（2）在中，由正弦定理得，
所以：，
因为：，所以：，
所以：，
所以：边长的最大值为，最小值为.
故答案为：最大值：；最小值：.
18．(1)
(2)①12；②
【分析】（1）根据正弦定理和化简计算可得，即可求解；
（2）由（1），根据余弦定理计算即可求出c；由正弦定理求出，根据同角的三角函数关系求出，利用二倍角的正弦、余弦公式求出，结合两角和的正弦公式计算即可求解.
【详解】（1）由正弦定理，
原式可化为：，
整理得：，
因为，所以，
所以，又，所以.
（2）由余弦定理，
即，解得.
由正弦定理，解得，
因为，所以A为锐角，，
所以，
.
19．(1)
(2)
【分析】（1）对已知条件用正弦定理，并化为正余弦即可；
（2）由面积关系和余弦定理可解得各边长，再向量化即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以可知，
又因为，所以．
（2）因为是边的中点，所以，
故，故．
由余弦定理得，故，
因为，所以．
又因为，
平方得，
所以，
故的长为．
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的关系和两角和的正弦公式，化简已知算式，求出；
（2）已知出和，利用同角三角函数的关系和两角和的正弦公式解得，由正弦定理有，设，，由余弦定理得，在中，由余弦定理解出，得到，面积公式求的面积.
【详解】（1），
由，，，，
所以，即，
由于，所以.
（2）在中，由，得，
由，得，.
则，
由正弦定理得，，
设，，由余弦定理得，故，
在中，由余弦定理得，，
即，
解得，则，
所以的面积.
21．(1)；
(2).
【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得，再根据的范围进而即得的大小；
（2）设,利用正弦定理,三角形面积公式及三角恒等变换可得，然后利用三角函数的性质即得.
【详解】（1）根据正弦定理有
即
展开化简得,
，，，
，,
,
，.
（2）由题意可知,设,
,又，
在中,由正弦定理可得:.
即:，
，
,
，
所以三角形面积的取值范围为.
22．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得，利用余弦定理，求得，即可求得，再由正弦定理与圆的面积公式即可求解；
（2）由（1）得，根据为锐角三角形，求得，利用正弦定理和面积公式，以及三角恒等变换的公式化简得到，进而求得面积的取值范围.
【详解】（1）由题知：，
由正弦定理可化为，
即，
由余弦定理知，
又，故.
设外接圆的半径为R，则，
所以，
所以外接圆的面积为.
（2）由（1）知：，所以，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
又由正弦定理，得，
所以.
又，则，
所以，
故面积的取值范围是.
23．(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】(1)利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求解；(2)利用三角形的面积公式结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）
证明：由，
得，
代入，得，
所以，
由余弦定理，得，
所以，
所以.
（2）由(1)知，
所以的面积，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值为.
下面证明当，即时，为直角三角形.
把代入，得，
两边平方，得，所以，
因为，所以，即，
所以为直角三角形.
24．(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角公式得到或.由求出；
（2）先判断出△ABC是直角三角形，利用基本不等式求出△ABC的面积取值范围.
【详解】（1）因为，所以，即.
因为A，B，C为△ABC的内角，所以或.
因为，所以（不合题意，舍去）.
所以，而，所以.
（2）由（1）可知：或.
当时，有，这与△ABC不是钝角三角形相矛盾，不合题意，舍去；
当时，，所以△ABC是直角三角形，所以，即.
而.
因为，所以（当且仅当时等号成立）.
又，所以，所以，即△ABC的面积取值范围为.
25．(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得出，利用正弦定理化简可得出的值，结合角为锐角可得角的值；
（2）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出，求出角的取值范围，可求得的取值范围，再利用三角形的面积公式可求得面积的取值范围.
【详解】（1）解：由已知可得，由正弦定理可得，
、均为锐角，则，故，因此，.
（2）解：由（1）可知，，故，又因为，
所以，
又因为，，所以，故，
即有，则，
又由.
所以面积的取值范围是.
26．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差化积公式转化条件得，进而求得解；
（2）由题意，由正弦定理结合得，根据为锐角三角形求得，即可求得，即可得解.
【详解】（1）由正弦定理得
即
又
所以
即
又，，
即，即
又，，即
（2）由题意得：，
由正弦定理得：，
又 为锐角三角形，∴，
故，∴，∴，
从而.
所以面积的取值范围是
27．(1)B
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化得，再结合三角恒等变换得，进而得答案；
（2）结合题意得，再根据正弦定理得，进而根据面积公式与三角恒等变换得，再求范围即可.
【详解】（1）解：∵，
由正弦定理可得：，
又∵，
∴，即：
∵，
∴，即
（2）解：为锐角三角形，所以，解得，
∵，由正弦定理得，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴的面积的取值范围为．
28．(1)
(2)
【分析】(1)由正弦定理将边化为角，然后用恒等变换公式化简即可求得角;(2)根据正弦定理以及三角形面积公式转化为关于角度的函数关系式，从而求得面积的范围.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
，且
且
故
所以，.
（2）由正弦定理可得，，且
则，
由(1)知，则，且是锐角三角形，
即，，
所以，即，
29．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简已知等式，可得的值，即可求得答案.
（2）利用正弦定理推出，设，确定t的范围，再利用余弦定理推得，谈论和时两种情况，即可求得答案.
【详解】（1）由得，
故，
因为，故，
则，
而，
故，则；
（2）由于，则，
在中，；
在中，；
而，故，设，
则，即，
在中，，
即，于是，故，
分别在利用余弦定理得，
两式相减得，
当时，上式恒成立，此时为正三角形，周长为；
当时，，于是，
故，
由于，故当时，取最小值，
故周长的最小值为.
30．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化，即可得到，再由三角形的面积公式，即可得到结果；
（2）根据题意，由余弦定理结合基本不等式，即可得到结果.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
则，
所以，
即，
因为，所以，
又易知，所以，
因为，所以．
因为，，，
所以．
（2）在中，，，由余弦定理得，
所以，
即，即，
所以，当且仅当时等号成立，
又，所以，
所以，
故周长的取值范围是．
31．(1)
(2)
【分析】（1）结合二倍角公式与正弦定理，化简已知等式，即可得解；
（2）解法一：由余弦定理得，结合基本不等式与完全平方公式可得，再由三角形三边关系可得周长取值范围；解法二：由正弦定理可得，，再利用三角恒等变换公式推出，然后根据正弦函数的图象与性质求解．
【详解】（1）因为，
所以，
又，，所以，
根据正弦定理可得，所以．
（2）解法一：因为，，
所以由余弦定理可得，即．
因为，所以，
所以，当且仅当时，取到最值
又，所以，即周长l的取值范围为．
解法二：由正弦定理知，，
所以，，
所以
，
因为，所以，所以,，
所以,，
所以,，
故的周长的取值范围为,．
32．(1)
(2)
【分析】（1）由面积公式及余弦定理求出，即可得解；
（2）先求出外接圆半径，然后利用正弦定理求出，的关系式，然后利用辅助角公式化简，由三角形为锐角三角形求出的范围，根据正弦函数的性质即可求解．
【详解】（1）因为三角形的面积为，
则，
所以，又，则；
（2）因为三角形的外接圆面积为，设外接圆半径为，则，所以（负值舍去），
由正弦定理可得，
所以，，
则
，
又三角形为锐角三角形，则，且，
解得，所以，
则，所以．
33．(1)
(2)
【分析】（1）在中用正弦定理将边转化为角化简，再根据同角的平方关系，结合角的范围即可得出结果；
（2）根据面积公式结合题中等式可建立关于的等式，根据等式求出的最小值.
【详解】（1）因为，在中由正弦定理可得，
代入可得：，
又，所以或，
又因为，所以，故；
（2）因为，所以，
所以，因为，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，所以当，
即时，，.
34．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，边化为角，再结合三角函数恒等变换，即可求解；
（2）根据正弦定理，转化为，再根据三角恒等变换，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）根据正弦定理，边化角，得
，
即，
因为，所以，
，且为锐角三角形，
所以；
（2）由（1）知，，,
所以,
,
,
,
因为是锐角三角形，所以，
则,则,
的范围为，
所以的取值范围为.
35．(1)
(2)
【分析】（1）由题设恒等式利用正弦定理将边化为正弦，再逆用和角公式合并化简，即可求得角A.
（2）先根据面积公式求出，再代入余弦定理公式，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】（1）由已知，，
由正弦定理，
所以，即，
又，所以，解得.
（2）由题，得，
又（时取“=”）
所以，
即的最小值是，时取等号.
36．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简即可作答.
（2）利用正弦定理把表示为角的函数，再利用三角函数的性质求解作答.
【详解】（1）在中，由及正弦定理得：，
，
整理得，而，，于是，
所以.
（2）在中，，，由正弦定理，得，同理，
因此
由锐角，得，解得，则，，
于是在上单调递增，则
所以的取值范围为.
目录
题型01 正余弦定理基础：正余余正求角 （第一问）
题型02 正余弦定理基础：分式型求角 （第一问）
题型03正余弦定理基础：角度关系证明型 （第一问）
题型04 正余弦定理基础：正切型求角 （第一问）
题型05 解三角形最值：角与对边型求面积
题型06 解三角形最值：角非对边型求面积
题型07 解三角形最值：周长型最值
题型08 解三角形最值：长度型最值
题型09 解三角形最值：锐角三角形与边系数不等型
题型10解三角形最值：四边形面积最值型 PAGEREF
题型11三大线：中线（重心）型
题型12 三大线：角平分线（内心）型
题型13 三大线；高
题型14 辅助线型：双三角型
高考练场
题型01 正余弦定理基础：正余余正求角 （第一问）
【解题攻略】
【典例1-1】
（2024上·天津西青·高三统考）
1．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若，，求；
(3)若，求．
【典例1-2】
（2023·山东潍坊·统考模拟预测）
2．已知中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求角；
(2)若为边上一点，且满足，，证明：为直角三角形．
【变式1-1】
（2023上·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）
3．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
【变式1-2】
（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）
4．已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求；
(2)若，点在边上，，且，求．
【变式1-3】
（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考）
5．在中，角的对边分别为.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的最大值．
题型02 正余弦定理基础：分式型求角 （第一问）
【解题攻略】
【典例1-1】
（2023上·湖南长沙·高三长沙市明德中学校考阶段练习）
6．已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值．
【典例1-2】
（2023上·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）
7．已知的三个内角所对的边分别是．已知
(1)求角；
(2)若点在边上，，请在下列两个条件中任选一个，求边长．
①为的角平分线；②为的中线．
【变式1-1】
（2023上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）
8．已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足
(1)求角C的大小；
(2)若，点D为AB 的中点，求的值.
【变式1-2】
（2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习）
9．在中，，且
(1)求角；
(2)若点为边上一点，且，求的面积.
【变式1-3】
（2023下·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求角C；
(2)若边上的中线长为1，求面积的最大值．
题型03正余弦定理基础：角度关系证明型 （第一问）
【典例1-1】
（2023·全国·模拟预测）
11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，．
(1)求证：．
(2)若，，求的面积．
【典例1-2】
（2023·全国·高三专题练习）
12．的内角的对边分别为，.
(1)证明：；
(2)若，求的面积.
【变式1-1】
（2023上·重庆·高三西南大学附中校联考阶段练习）
13．在中，内角所对的边分别为，满足
(1)求证：；
(2)若为锐角三角形，求的最大值．
【变式1-2】
（2023·全国·模拟预测）
14．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
【变式1-3】
（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）
15．在锐角中，内角所对的边分别为，且.
(1)证明：；
(2)若，求的周长的取值范围.
题型04 正余弦定理基础：正切型求角 （第一问）
【解题攻略】
【典例1-1】
（2023上·湖北·高三随州市曾都区第一中学校联考）
16．中，内角所对的边分别为，满足.
(1)求角；
(2)若是边上的一点，且，，求.
【典例1-2】
（2024上·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）
17．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，为其外接圆的圆心，，．
(1)求的大小；
(2)若，求边长的最值．
【变式1-1】
（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）
18．在中，内角所对的边分别为.
(1)求的大小；
(2)若.
①求的值；
②求的值：
【变式1-2】
（2023上·海南海口·高三校考阶段练习）
19．在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角：
(2)已知是边的中点，且，求的长．
【变式1-3】
（2023上·河北邢台·高三邢台一中校考阶段练习）
20．已知的内角，，的对边分别为、、，.
(1)求；
(2)已知为边上的中线，，，求的面积.
题型05 解三角形最值：角与对边型求面积
【解题攻略】
【典例1-1】
21．已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围.
【典例1-2】
22．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)若，求外接圆的面积；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【变式1-1】
23．记的内角所对的边分别为，已知.
(1)求证：
(2)若的面积，求的最大值，并证明：当取最大值时，为直角三角形.
【变式1-2】
24．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，．
(1)若，求B的大小；
(2)若△ABC不是钝角三角形，且，求△ABC的面积取值范围．
题型06 解三角形最值：角非对边型求面积
【解题攻略】
【典例1-1】
25．已知锐角三角形中，角、、所对的边分别为、、，向量，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围.
【典例1-2】
26．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．
(1)求角A的大小；
(2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围．
【变式1-1】
27．在中，角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围．
【变式1-2】
28．已知是锐角三角形，内角所对的边分别为，面积为，
(1)求角；
(2)若，求的取值范围．
题型07 解三角形最值：周长型最值
【解题攻略】
【典例1-1】
（2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）
29．在中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)点是上的一点，，且，求周长的最小值．
【典例1-2】
（2023秋·广东云浮·高三校考阶段练习）
30．在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若，求周长的取值范围．
【变式1-1】
（2022秋·重庆綦江·高三统考阶段练习）
31．记的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
(1)求a；
(2)若，求的周长l的取值范围．
【变式1-2】
（2023春·湖南益阳·高三安化县第二中学校考阶段练习）
32．已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且三角形的外接圆面积为，三角形的面积为．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围．
题型08 解三角形最值：长度型最值
【典例1-1】
（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）
33．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)若，求的值；
(2)的面积，求b的最小值.
【典例1-2】
（2023春·安徽芜湖·高三安徽省无为襄安中学校考）
34．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求角C的大小；
(2)若，求的取值范围．
【变式1-1】
（2023秋·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）
35．在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角A；
(2)若的面积为1，求的最小值.
【变式1-2】
（2023秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）
36．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，请完成以下问题：
(1)求角B的大小；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围．
正余弦定理求角基础：两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin（α＋β）＝sin αcs β＋cs αsin β （S（α＋β）） 正余余正
sin（α－β）＝sin αcs β－cs αsin β （S（α－β）） 正余余正 正角 减 余角
cs（α＋β）＝cs αcs β－sin αsin β （C（α＋β）） 余余正正 偶函数.谁 减 谁 无所谓cs（α－β）=cs（β－α）
cs（α－β）＝cs αcs β＋sin αsin β （C（α－β））
对于sin（）与cs（） 简称为“正余余正，余余正正”
恒等变形和化简求角中，有如下经验：
1、SinC=Sin（A+B）=sinAcsB+csAsinB:正用.逆用；见A与B的正余或者余正，不够，找sinC拆
2、边的齐次式，正弦定理转为角的正弦；
3、csC=-cs（A+B））=-[csAcsB-sinAsinC]
分式型特征：1.分式中分子分母是边的齐次式.
2.分式中分子分母是正弦的齐次式
3.如果有余弦，一般情况下不计入次幂计算
4可以通过去分母，转化为无分式型齐次，再用正弦定理转化
分式型与正切型1.若式子含有的2次齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”
2.面积和2次齐次式，可构造余弦定理
3.正切型，可以“切化弦”，转化为分式型，在进行化简求角
解三角形：最值范围1.可以用余弦定理+均值不等式来求解.
2.可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与范围，要注意三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制
角非对边求面积1.角非对边，面积要用所给的角度，所给的边用上，正好面积中余下一个不确定的“范围边”.把面积范围转化为“范围边”.
2.再用正弦定理，去除掉给角的边，用知道长度的边的正弦式子.这样正好能转化.
3.对于“范围边”的函数，消角，要消去分子的角度，保留分母的角度为变量，计算简单.
4.对“消角”后的式子，恒等变形求范围最值，注意是否有锐角三角形等限制角的范围的条件
周长最值1.“齐次对称结构”，用余弦定理加均值，如果用正弦定理化角，计算量稍大
2.如果利用均值求周长的范围时，注意利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”
参考答案：
1．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由正弦边化角及三角恒等变换可得结合三角形内角性质求.
（2）由正弦角化边及余弦定理列方程求a.
（3）由题设及（1）得，注意为锐角，应用倍角正余弦、差角正弦公式求目标式的值.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，
得，
则，
而，则，又，所以.
（2）由，得，由（1）及余弦定理，
得，解得，
所以.
（3）由及正弦定理，得，则，
显然，即，则A为锐角，，
于是，，
所以.
2．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式化简已知等式，可得，再利用二倍角公式即可得到的值，即可求得答案；
（2）根据得出，设，表示出相关各角，在利用正弦定理即可求得，即可证明结论.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
所以，即，
因为，所以，
又因为，，，，
所以，所以；
（2）证明：因为，所以，
设，在中，，则．
可得，，
在中，由正弦定理得，，
又因为，所以，
则，
化简得，因为，即，则．
所以是直角三角形．
3．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知式，即可得出答案；
（2）由诱导公式、二倍角的正弦公式、两角差的余弦公式化简，再由三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）由正弦定理可得，，
从而可得，
，
又为三角形的内角，
所以，于是，
又为三角形的内角，因此.
（2）
，
由可知，，，
从而，
因此，
故的取值范围为.
4．(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合恒等变换可求角B的大小.
（2）根据给定条件，结合三角形面积公式求出，再利用余弦定理、三角形面积公式计算即得.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，
得，
即，
则，而，于是，
即，又，即有，则，
所以.
（2）依题意，，则，而，
于是，，
解得，又，解得，
由余弦定理得，解得，
所以.
5．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用三角恒等变换运算求解即可；
（2）法一：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换以及正弦函数的有界性分析求解；法二：利用余弦定理结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）因为，即，
可得
又因为，则，可得，
且，可得.
（2）法一：由正弦定理可得，则，
可得
，
因为，则，可得，
所以周长的最大值为
法二：由余弦定理可得，
可得，当且仅当时，等号成立，
解得，
所以周长的最大值为.
6．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，得到，利用正弦定理角转边，得到，再利用余弦定理即可求出结果；
（2）利用条件，结合，得到，再利用基本不等式，得到，从而求出结果.
【详解】（1）由已知，得，
在中，由正弦定理得，即．
再由余弦定理得．
又，所以.
（2）因为是角的平分线，则，
又，
又，所以，得到，
又因为，得到，解得，即，
当且仅当时等号成立，所以，
即面积的最小值是．
7．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合二倍角公式及两角和的正弦公式求得，即可得答案；
（2）选①，由，根据三角形面积公式求得，由余弦定理得.
选②，得，平方后利用向量的运算可得，由余弦定理得.
【详解】（1）在中，由正弦定理知，
所以，
又，所以，
，
又，
，
化简得，即，
又，所以．
（2）选①，为的角平分线，
由得：，
即，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理得，
所以.
选②，为的中线，
则，平方得，
所以，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理得，
所以.
8．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用正余弦定理边角转化分析求解；
（2）根据（1）中关系可得，进而可知，利用两角和差公式运算求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
整理得，
由余弦定理可得，
且，所以.
（2）由（1）可得：，则，即，
可知，即，可得，，
所以.
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据同角的三角函数关系和正弦定理化简原式，结合余弦定理求解进而得到答案；
（2）根据已知条件转化为向量关系，通过向量数量积运算得到，结合余弦定理得到，两式联立得到，结合三角形面积公式即可得到答案.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
在中，由正弦定理得，，即，
在中，由余弦定理得，，
又因为，所以.
（2）如图所示，
因为，
所以
因为，所以，
所以，
所以，
即，即，
又因为，所以，
在中，由余弦定理得，，
即，
代入，解得（负值舍去），
所以，
所以.
10．(1)
(2)
【分析】（1）由条件利用正弦定理，余弦定理化简可得，进而求出；
（2）由题意可得，利用向量运算可得，根据基本不等式可求得的最大值，进而得解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
又由余弦定理可得，
，
，又，
（2）设边上的中线为，由向量关系可得，
，
，又，，
，
，(当且仅当时取等号)
所以面积的最大值为
11．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）方法一，由正弦定理得到，，结合化简得到，证明出结论；
方法二：，由正弦定理得到，，，结合余弦定理得到，因为，所以，证明出结论；
（2）根据和（1）中结论得到，，由正弦定理得到，利用三角形面积公式求出答案.
【详解】（1）方法一：，
由正弦定理得，
故，由正弦定理可知，
又，所以，
所以，
所以．
因为，所以．
又，所以．
又，所以．
方法二：由，
由正弦定理得，
故，由正弦定理可知，
因为，所以，
即，所以根据正弦定理，得．
又，所以结合余弦定理，得，
所以，则，
即，
由，可得，
所以．
又，所以．
又，所以．
（2）由（1）知，
又，，所以，．
由正弦定理，知，所以，，
故的面积．
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)用正弦定理转化，结合正弦差角公式即可求解.(2)结合第一问的结论和余弦定理求得的余弦值，代入面积公式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
则.
又，所以，
故，即.
（2）由（1）可知，.
因为，所以，
则，
故的面积.
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可.
（2）利用为锐角三角形，求出，表示出，并进行换元转化为二次函数,进而求得最大值.
【详解】（1）由题，
由正弦定理：，
所以，
整理，
所以，
或（舍）,
.
（2）为锐角三角形,
解得：,所以，
且
由（1）问，，
令，
则，
所以
因为,
当时，所求的最大值为.
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合两角差的正弦公式化简已知式，即可得出答案；
（2）由是锐角三角形，可求出，进而求出，由正弦定理结合两角和的正弦定理可得，令，，由的单调性即可求出答案.
【详解】（1）由，结合正弦定理得，
即，
所以，
所以或（舍去），所以.
（2）在锐角中，，，，
即，所以.
.
令，，，
因为在上单调递增，
所以，，
所以.
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知结合余弦定理可推得.进而根据正弦定理边化角以及三角恒等变换，化简可得.结合锐角三角形，即可得出证明；
（2）先根据已知得出.根据三角恒等变换化简得出，然后根据正弦定理化简得出，进而根据余弦函数的取值范围，即可得出答案.
【详解】（1）由余弦定理可得，.
又，
所以有，
整理可得.
由正弦定理边化角可得，.
又，
所以，，
整理可得，.
因为为锐角三角形，
所以，，，
所以，，.
（2）由（1）知，，则.
因为为锐角三角形，
所以，，解得.
根据正弦定理可得，
，.
因为
，
所以，，
，
所以，.
因为，
所以，，
，
所以，，
所以，.
所以，的周长的取值范围为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和两角和的正弦，化简得到，进而得到，即可求得的大小；
（2）根据题意，在中，利用正弦定理得，进而化简得到，即可求解.
【详解】（1）解：由，可得，
又由正弦定理得，
整理得，
可得，
因为，可得，所以，即，
又因为，所以.
（2）解：在中，由正弦定理得，
因为，且，可得，
又因为，所以，
整理得，所以.
17．(1)
(2)最大值:；最小值：
【分析】（1）结合题意对分别对，进行化简，从而求解.
（2）根据正弦定理并结合（1）中的结果，求解得出最值.
【详解】（1）延长交外接圆于点，如下图所示
则
所以：，
由，
得：，
解之得：，因为：，所以：.
故答案为：
（2）在中，由正弦定理得，
所以：，
因为：，所以：，
所以：，
所以：边长的最大值为，最小值为.
故答案为：最大值：；最小值：.
18．(1)
(2)①12；②
【分析】（1）根据正弦定理和化简计算可得，即可求解；
（2）由（1），根据余弦定理计算即可求出c；由正弦定理求出，根据同角的三角函数关系求出，利用二倍角的正弦、余弦公式求出，结合两角和的正弦公式计算即可求解.
【详解】（1）由正弦定理，
原式可化为：，
整理得：，
因为，所以，
所以，又，所以.
（2）由余弦定理，
即，解得.
由正弦定理，解得，
因为，所以A为锐角，，
所以，
.
19．(1)
(2)
【分析】（1）对已知条件用正弦定理，并化为正余弦即可；
（2）由面积关系和余弦定理可解得各边长，再向量化即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以可知，
又因为，所以．
（2）因为是边的中点，所以，
故，故．
由余弦定理得，故，
因为，所以．
又因为，
平方得，
所以，
故的长为．
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的关系和两角和的正弦公式，化简已知算式，求出；
（2）已知出和，利用同角三角函数的关系和两角和的正弦公式解得，由正弦定理有，设，，由余弦定理得，在中，由余弦定理解出，得到，面积公式求的面积.
【详解】（1），
由，，，，
所以，即，
由于，所以.
（2）在中，由，得，
由，得，.
则，
由正弦定理得，，
设，，由余弦定理得，故，
在中，由余弦定理得，，
即，
解得，则，
所以的面积.
21．(1)；
(2).
【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得，再根据的范围进而即得的大小；
（2）设,利用正弦定理,三角形面积公式及三角恒等变换可得，然后利用三角函数的性质即得.
【详解】（1）根据正弦定理有
即
展开化简得,
，，，
，,
,
，.
（2）由题意可知,设,
,又，
在中,由正弦定理可得:.
即:，
，
,
，
所以三角形面积的取值范围为.
22．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得，利用余弦定理，求得，即可求得，再由正弦定理与圆的面积公式即可求解；
（2）由（1）得，根据为锐角三角形，求得，利用正弦定理和面积公式，以及三角恒等变换的公式化简得到，进而求得面积的取值范围.
【详解】（1）由题知：，
由正弦定理可化为，
即，
由余弦定理知，
又，故.
设外接圆的半径为R，则，
所以，
所以外接圆的面积为.
（2）由（1）知：，所以，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
又由正弦定理，得，
所以.
又，则，
所以，
故面积的取值范围是.
23．(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】(1)利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求解；(2)利用三角形的面积公式结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）
证明：由，
得，
代入，得，
所以，
由余弦定理，得，
所以，
所以.
（2）由(1)知，
所以的面积，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值为.
下面证明当，即时，为直角三角形.
把代入，得，
两边平方，得，所以，
因为，所以，即，
所以为直角三角形.
24．(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角公式得到或.由求出；
（2）先判断出△ABC是直角三角形，利用基本不等式求出△ABC的面积取值范围.
【详解】（1）因为，所以，即.
因为A，B，C为△ABC的内角，所以或.
因为，所以（不合题意，舍去）.
所以，而，所以.
（2）由（1）可知：或.
当时，有，这与△ABC不是钝角三角形相矛盾，不合题意，舍去；
当时，，所以△ABC是直角三角形，所以，即.
而.
因为，所以（当且仅当时等号成立）.
又，所以，所以，即△ABC的面积取值范围为.
25．(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得出，利用正弦定理化简可得出的值，结合角为锐角可得角的值；
（2）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出，求出角的取值范围，可求得的取值范围，再利用三角形的面积公式可求得面积的取值范围.
【详解】（1）解：由已知可得，由正弦定理可得，
、均为锐角，则，故，因此，.
（2）解：由（1）可知，，故，又因为，
所以，
又因为，，所以，故，
即有，则，
又由.
所以面积的取值范围是.
26．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差化积公式转化条件得，进而求得解；
（2）由题意，由正弦定理结合得，根据为锐角三角形求得，即可求得，即可得解.
【详解】（1）由正弦定理得
即
又
所以
即
又，，
即，即
又，，即
（2）由题意得：，
由正弦定理得：，
又 为锐角三角形，∴，
故，∴，∴，
从而.
所以面积的取值范围是
27．(1)B
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化得，再结合三角恒等变换得，进而得答案；
（2）结合题意得，再根据正弦定理得，进而根据面积公式与三角恒等变换得，再求范围即可.
【详解】（1）解：∵，
由正弦定理可得：，
又∵，
∴，即：
∵，
∴，即
（2）解：为锐角三角形，所以，解得，
∵，由正弦定理得，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴的面积的取值范围为．
28．(1)
(2)
【分析】(1)由正弦定理将边化为角，然后用恒等变换公式化简即可求得角;(2)根据正弦定理以及三角形面积公式转化为关于角度的函数关系式，从而求得面积的范围.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
，且
且
故
所以，.
（2）由正弦定理可得，，且
则，
由(1)知，则，且是锐角三角形，
即，，
所以，即，
29．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简已知等式，可得的值，即可求得答案.
（2）利用正弦定理推出，设，确定t的范围，再利用余弦定理推得，谈论和时两种情况，即可求得答案.
【详解】（1）由得，
故，
因为，故，
则，
而，
故，则；
（2）由于，则，
在中，；
在中，；
而，故，设，
则，即，
在中，，
即，于是，故，
分别在利用余弦定理得，
两式相减得，
当时，上式恒成立，此时为正三角形，周长为；
当时，，于是，
故，
由于，故当时，取最小值，
故周长的最小值为.
30．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化，即可得到，再由三角形的面积公式，即可得到结果；
（2）根据题意，由余弦定理结合基本不等式，即可得到结果.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
则，
所以，
即，
因为，所以，
又易知，所以，
因为，所以．
因为，，，
所以．
（2）在中，，，由余弦定理得，
所以，
即，即，
所以，当且仅当时等号成立，
又，所以，
所以，
故周长的取值范围是．
31．(1)
(2)
【分析】（1）结合二倍角公式与正弦定理，化简已知等式，即可得解；
（2）解法一：由余弦定理得，结合基本不等式与完全平方公式可得，再由三角形三边关系可得周长取值范围；解法二：由正弦定理可得，，再利用三角恒等变换公式推出，然后根据正弦函数的图象与性质求解．
【详解】（1）因为，
所以，
又，，所以，
根据正弦定理可得，所以．
（2）解法一：因为，，
所以由余弦定理可得，即．
因为，所以，
所以，当且仅当时，取到最值
又，所以，即周长l的取值范围为．
解法二：由正弦定理知，，
所以，，
所以
，
因为，所以，所以,，
所以,，
所以,，
故的周长的取值范围为,．
32．(1)
(2)
【分析】（1）由面积公式及余弦定理求出，即可得解；
（2）先求出外接圆半径，然后利用正弦定理求出，的关系式，然后利用辅助角公式化简，由三角形为锐角三角形求出的范围，根据正弦函数的性质即可求解．
【详解】（1）因为三角形的面积为，
则，
所以，又，则；
（2）因为三角形的外接圆面积为，设外接圆半径为，则，所以（负值舍去），
由正弦定理可得，
所以，，
则
，
又三角形为锐角三角形，则，且，
解得，所以，
则，所以．
33．(1)
(2)
【分析】（1）在中用正弦定理将边转化为角化简，再根据同角的平方关系，结合角的范围即可得出结果；
（2）根据面积公式结合题中等式可建立关于的等式，根据等式求出的最小值.
【详解】（1）因为，在中由正弦定理可得，
代入可得：，
又，所以或，
又因为，所以，故；
（2）因为，所以，
所以，因为，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，所以当，
即时，，.
34．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，边化为角，再结合三角函数恒等变换，即可求解；
（2）根据正弦定理，转化为，再根据三角恒等变换，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）根据正弦定理，边化角，得
，
即，
因为，所以，
，且为锐角三角形，
所以；
（2）由（1）知，，,
所以,
,
,
,
因为是锐角三角形，所以，
则,则,
的范围为，
所以的取值范围为.
35．(1)
(2)
【分析】（1）由题设恒等式利用正弦定理将边化为正弦，再逆用和角公式合并化简，即可求得角A.
（2）先根据面积公式求出，再代入余弦定理公式，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】（1）由已知，，
由正弦定理，
所以，即，
又，所以，解得.
（2）由题，得，
又（时取“=”）
所以，
即的最小值是，时取等号.
36．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简即可作答.
（2）利用正弦定理把表示为角的函数，再利用三角函数的性质求解作答.
【详解】（1）在中，由及正弦定理得：，
，
整理得，而，，于是，
所以.
（2）在中，，，由正弦定理，得，同理，
因此
由锐角，得，解得，则，，
于是在上单调递增，则
所以的取值范围为.
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