精品解析：上海市金山区2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份精品解析：上海市金山区2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了 若集合，，则A______B， 函数的零点为______， 函数的递增区间是______， 函数，的最大值为______， 满足条件等内容，欢迎下载使用。

1. 函数的定义域是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数成立的条件，即可求函数的定义域．
【详解】解：要使函数有意义，则x﹣3＞0，
即x＞3，
故函数的定义域为（3，+∞），
故答案为：（3，+∞）．
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，正确判断函数成立的条件是解决此类问题的关键．
2. 若等式恒成立，则常数a与b的和为______.
【答案】2
【解析】
【分析】整式型函数恒为0，则各项系数均同时为零是本题入手点.
【详解】等式恒成立，
即恒成立，
则有，解之得，故
故答案为：2
3. 若集合，，则A______B.（用符号“”“=”或“”连接）
【答案】
【解析】
【分析】先化简集合A、B，再去判断集合A、B间的关系即可解决.
【详解】，，则
故答案为：
4. 设集合，，若，则实数m的取值范围是______.
【答案】【解析】
【分析】由交集和空集的定义解之即可.
【详解】，
由可知，
故答案为：
5. 函数的零点为______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，通过解方程，再检验可得出答案.
【详解】由定义域为
由，即，可得
解得或
又时，不满足方程
时满足条件.
故答案：
6. 函数的递增区间是______.
【答案】[1，+∞）
【解析】
【分析】画出函数y＝|x﹣1|的图象，数形结合可得函数的增区间．
【详解】解：函数y＝|x﹣1|的图象如图所示：
数形结合可得函数的增区间为[1，+∞），
故答案为：[1，+∞）．
点睛】本题主要考查函数的图象特征，函数的单调性的判断，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．
7. 若指数函数在R上是严格减函数，则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由指数函数单调性去判断即可解决.
【详解】由指数函数在R上是严格减函数
可知，即
故答案为：
8. 函数，的最大值为______.
【答案】-2
【解析】
【分析】通过对数函数的单调性，确定函数在给定区间内的最大值.
【详解】因为 ，则，
由于 是减函数，所以，
故答案为：-2
9. 若关于x的不等式的解集为R，则实数m的取值范围是______.
【答案】【解析】
【分析】一元二次不等式在R上恒成立，由于开口向上，则.
【详解】关于x的不等式 的解集为R，
则 ，所以 ，
故答案为：
10. 满足条件：的集合M的个数为______.
【答案】7
【解析】
【分析】根据可知，M中的元素应该是多于一个不多于中的元素个数，由此可求得答案.
【详解】由可知，
M中的元素个数多于中的元素个数，不多于中的元素个数
因此M中的元素来自于b,c,d中，
即在b,c,d中取1元素时，M有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个，
故足条件：的集合M的个数有7个，
故答案为：7.
11. 若，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用对数的运算可得出，分析出，，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为，所以，，则，，
所以，，
因为，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.12. 设集合，对M的任一非空子集A，令为集合A中元素的最大值与最小值之和，则所有这样的的算术平均值为______.
【答案】2022
【解析】
【分析】先分别求出集合的所有非空子集中最小的元素与最大的元素之和，从而得出答案.
【详解】集合的非空子集共有个
其中以1为最小元素的非空子集共有个，以2为最小元素的非空子集共有个，
…………以2021为最小元素的非空子集共有个，
所以集合的所有非空子集中最小的元素之和为 ①
其中以2021为最大元素的非空子集共有个，以20202为最大元素的非空子集共有个，
…………以1为最大元素的非空子集共有个，
所以集合的所有非空子集中最大的元素之和为 ②
由① + ②可得：
所以所有这样的的算术平均值为：
故答案为：2022
二.选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
13. 下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是严格增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】选项A不是单调函数，排除；选项BC不是奇函数，排除.
【详解】选项A：令，则当时，.故在定义域内不是严格增函数.排除；
选项B：由可知不是奇函数. 排除；选项C：定义域为，可知不是奇函数. 排除；
选项D：是奇函数，在定义域内是严格增函数.正确.
故选：D
14. 若A、B均为集合，则“AB”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据真子集定义和交集定义去判断，即可解决二者之间的逻辑关系.
【详解】当A B时，有成立；
当时，有成立，即不能得到A B
故AB”是“”充分不必要条件.
故选：A
15. 用反证法证明命题：“对于三个实数a、b、c，若，则或”时，提出的假设正确的是（ ）
A. 且B. 或
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用反证法证明时，假设结论的反面成立，从而可得答案.
【详解】用反证法证明时，假设结论的反面成立：即假设且成立.
故选：C
16. 方程的实数根的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的单调性可得解.
【详解】因为，所以，令， 易知在上单调递减，
又f1=1>0，当时， f2<0，只有x0∈1,2满足方程，
所以方程的实数根的个数是1.
故选:B.
三.解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. 已知全集，，，求.
【答案】
【解析】
【分析】由已知条件先求出、，再求即可.
【详解】∵，，
∴或，，
∴
18. 已知、是一元二次方程的两个不相等的实数根，且，求实数的值.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，，根据判别式结合韦达定理可求得实数的取值范围，再利用韦达定理结合对数运算可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值.
【详解】由已知可得，
由题意可知，，则，可得，
所以，，所以，，
即，因为，解得.
19. 已知幂函数在其定义域上是严格增函数，且（）.（1）求m的值；
（2）解不等式：.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件结合幂函数的性质可得，再验证可得答案.
（2）由函数在其定义域上是严格增函数，结合（1）得出的解析式以及函数的定义域可得，从而解出答案.
【小问1详解】
幂函数在其定义域上是严格增函数，则 ，即
又，则，此时
满足在定义域上是严格增函数.
所以
【小问2详解】
由（1）函数在其定义域上是严格增函数
根据，则 ，则
所以，解得
所以不等式的解集为
20. 某科技公司研究表明：该公司的市场占有率与每年研发经费（单位：亿元）满足关系式：，其中为实常数.
（1）若时，该公司市场占有率不低于，则每年研发经费至少需要多少亿元？
（2）若时，求该公司市场占有率的最大值.
【答案】（1）至少需要亿元；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知可得出，整理得出，解此不等式即可得出结论；
（2）化简函数解析式为，利用基本不等式可求得该公司市场占有率的最大值.
【小问1详解】
解：当时，，由，可得，
解得，即每年的研发经费至少需要亿元.
【小问2详解】
解：当时，，
当且仅当时，等号成立，
因此，若时，该公司市场占有率的最大值为.
21. 设是定义在[m，n]（）上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，[m，n]称为含峰区间.
（1）试判断是否为[0，6]上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由；
（2）若（，a、b、）是定义在[m，3]上峰点为2的“含峰函数”，且值域为[0，4]，求a的取值范围；
（3）若是[1，2]上的“含峰函数”，求t的取值范围.
【答案】（1）是[0，6]上的“含峰函数”，峰点为3；
（2）详见解析； （3）【解析】
【分析】（1）以一元二次函数的单调性进行判断即可解决；
（2）先满足单调性要求，再满足值域的要求，逐步递进即可解决；
（3）在按参数t分类讨论时要注意不重不漏的原则，逐步求得t的取值范围.
【小问1详解】
函数的图像是开口向下，对称轴为的抛物线
则在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数，
故是[0，6]上的“含峰函数”，峰点为3.
【小问2详解】
记函数，，
则在区间[m，2]上是严格增函数，在区间上是严格减函数，
则有，解之得
则，
；
令，可得，
则有，
则在上严格递增，在上严格递减，，
由在[m，3]上值域为，可知时，符合题意.
令，则或（舍去）
此时，
则在上严格递增，在上严格递减，，
由在[m，3]上值域为，可知，解之得综上，当时，a的取值为；
当时，a的取值范围是.
【小问3详解】
记，设任意，且
则
当时，由，且
可知，
则，即
则为上严格减函数，不符合题目要求；
当时，由，且
可知，
则，即
则为上严格增函数，不符合题目要求；
当时，
设任意，且，此时，
则，即，上严格增函数；
设任意，且，此时，
则，即，为上严格减函数；
故是[1，2]上峰点为的“含峰函数”.
综上，t的取值范围为
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.