精品解析：上海市曹杨第二中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份精品解析：上海市曹杨第二中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1. 已知集合，则集合=______．（用列举法表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件直接计算作答.
【详解】因，而，所以.
故答案为：
2. 已知a为常数，若关于x的不等式的解集为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件可得，2是方程的两个根，借助韦达定理计算作答.
【详解】因关于x的不等式的解集为，则，2是方程的两个根，
因此有，解得，
所以.
故答案为：
3. 若一个扇形的弧长和面积均为3，则该扇形的圆心角的弧度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积公式和圆心角的弧度数公式，即可得到答案；
【详解】，
，故答案为：
4. 已知全集，集合A、B均为U的子集．若，，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件结合集合的运算性质即可计算作答.
【详解】因集合A、B均为U的子集，则有，
于是得，而，，
所以
故答案为：
5. 已知幂函数的图像经过点，则该函数的表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】设出幂函数的表达式，利用函数图象经过的点列式计算作答.
【详解】设幂函数的表达式为，依题意，，即，亦即，
而函数在R上单调递增，因此有，解得，
所以函数的表达式为.
故答案为：
6. 已知，，用a、b表示______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件用常用对数表示b，再利用换底公式及对数运算法则计算作答.
【详解】因，则，而，
所以.故答案为：
7. 已知，化简：______．
【答案】
【解析】
【分析】化简已知得，再利用诱导公式化简原式即得解.
【详解】解：因为，所以.
.
所以原式.
故答案为：
8. 已知函数的表达式为，则函数的所有零点之和为______．
【答案】3
【解析】
【分析】求出函数的所有零点，再求和，即可得到答案；
【详解】或，
或，
由或，
由或，
为函数的零点，
函数的零点之和为3，
故答案为：3
9. 已知实数x、y满足，则的最小值为______．【答案】##
【解析】
【分析】根据给定等式可得，再借助“1”的妙用计算作答.
【详解】因实数x、y满足，则，且，
则有，即，且，
因此，，当且仅当，即时取“=”，
由解得：，
所以当时，取最小值.
故答案为：
10. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．若的值域为R，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由于函数是R上的奇函数，所以要使函数的值域为R，只要当时，的函数能取到所有正数即可，从而可求出实数a的取值范围
【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，且当时，，
所以要使的值域为R，只要满足，解得，
所以实数a的取值范围是，
故答案为：
11. 已知函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】作出分段函数的图象，再结合图形就可以得到的取值范围.
【详解】分别作出、的图象中下图所示，由图可以看出当时，有确定的最大值，所以这时存在，使得对于任意都有.
故答案为：.
12. 已知常数，函数、的表达式分别为、．若对任意，总存在，使得，则a的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出函数在上最大值，分类探讨函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解判断作答.
【详解】依题意，函数在上单调递增，则当时，，
因对任意，总存在，使得，则存在， 成立，
则当时，成立，而函数是奇函数，当时，，当时，，因此，在上的最大值只能在上取得
而当时，，在上单调递增，在上单调递减，
当，即时，在上单调递增，，
由解得，于是得，
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，，
而，此时不存在使得成立，
综上得，即，
所以a的最大值为.
故答案为：
【点睛】结论点睛：函数，，若，，有成立，则.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
13. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数定义求出角的正余弦即可计算作答.
【详解】因角的终边经过点，，于是有，
所以.
故选：C
14. 已知a、，．则“”是“且”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义结绝对值三角不等式分析判断即可
【详解】因为a、，，若，则，而，即且都不成立，
当且时，，
所以“”是“且”的必要不充分条件，
故选：B
15. 在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：
则下列可以实现该功能的一种函数图象是（ ）A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合函数图象以及题意逐项分析即可求出结果.
【详解】根据图片处理过程中图像上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图像上每个像素的灰度值增加,所以图象在y=x上方，
结合选项只有A选项能够较好的达到目的，
故选：A.
16. 已知x、y、z是互不相等的正数，则在、、三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】首先证明、、三个值中不可能都大于，然后举例判断即可
【详解】首先证明、、三个值中不可能都大于，
假设、、三个值中都大于，
因为x、y、z是互不相等的正数，且，
由，可得，同理可得，，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，
同理可得，
所以，
而，
所以假设错误，所以、、三个值中不可能都大于，
取，则
，，，
所以这3个数中有两个大于，
所以大于的个数的最大值是2，
故选：C
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. 已知，设集合，．
（1）求集合A和集合B；
（2）求，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；或.
（2）或.
【解析】
【分析】（1）解分式不等式和绝对值不等，化简集合，即可得到答案；
（2）根据可得，从而得到关于的不等式，即可得到答案；
【小问1详解】
，，
或，
或，
或.
【小问2详解】,,
或，且，
或.
18. 已知函数是函数的反函数．
（1）求函数的表达式，写出定义域D；
（2）判断函数的单调性，并加以证明．
【答案】（1）；.
（2）单调递增；证明见解析；
【解析】
【分析】（1）根据条件可得，即可得到答案；
（2）易得：在单调递增，利用函数单调性的定义，即可得到答案；
【小问1详解】
，
，，
，定义域为.
【小问2详解】
易得：在单调递增；
任取，且，
，
，，在单调递增.
19. 培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（）小时后，水中含有物质N的浓度增加yml/L，y与t的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2ml/L时，物质N才能有效发挥作用．
（1）若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用的时长；
（2）若时在水中首次投放1个单位的物质N，时再投放1个单位的物质N，试判断当时，水中含有物质N的浓度是否始终不超过3ml/L，并说明理由．
【答案】（1）物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时；
（2）当时，水中含有物质N的浓度始终不超过3ml/L.
【解析】
分析】（1）对分两种情况讨论解不等式即得解；
（2）求出，再利用基本不等式判断求解.
【小问1详解】
解：当时，由题得，解之得；
当时，由题得，解之得；
所以.
所以物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时.
【小问2详解】
解；当时，水中含有物质N的浓度为yml/L，
则.
当且仅当时等号成立.所以当时，水中含有物质N的浓度的最大值为3ml/L.
所以当时，水中含有物质N的浓度始终不超过3ml/L.
20. 已知a为常数，设函数表达式为．
（1）若函数为偶函数，求a的值；
（2）若，求函数的最小值；
（3）若方程有两个不相等的实数解、，且，求a的取值范围．
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由偶函数定义取特殊值计算可得；
（2）展开后用基本不等式可解；
（3）换元后转化为根据一元二次方程，由两根的关系直接解不等式可得.
【小问1详解】
因为为偶函数，
所以有，即，得
此时,满足，
【小问2详解】
因为，所以
所以当，即时y有最小值
【小问3详解】
令，因为单调递增，所以方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的正根，
记，，则，因为，所以，即，
由求根公式得：，不妨设，
则，解得：，
又，即，
所以a的取值范围为：.
21. 已知定义在R上的函数满足：在区间上是严格增函数，且其在区间上的图像关于直线成轴对称．
（1）求证：当时，；
（2）若对任意给定的实数x，总有，解不等式；
（3）若是R上的奇函数，且对任意给定的实数x，总有，求的表达式．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】(1)在函数()的图像任取点，推导可得，再结合严格递增推理作答.
(2)根据给定条件结合(1)可得的值域，在的条件下分段求解作答.
(3)求出函数区间、上表达式，再借助奇函数性质计算作答.
【小问1详解】
依题意，，函数的图象上任意点关于直线对称点在函数的图象上，
则有：，且，于是得：，显然满足，当时，若，而，又在区间上是严格增函数，
则，即，与矛盾，
若，而，又在区间上是严格增函数，则，即，与矛盾，
所以当时，.
【小问2详解】
由(1)知，函数在区间上的值域为，函数的图象可由的图象向左平移2个单位而得，
因对任意给定的实数x，总有，
则函数在R上的图象可由数()的图像向左向右每2个单位平移而得，
于是得函数在R上的值域为，由得：，
当时，，则，由得：
，解得，则有，
当时，，则，由得：，解得，则有，
当时，，由得：，解得，则有，
综上得：，
所以不等式解集是.
【小问3详解】
因对任意给定的实数x，总有，
，当时，有，则，，当时，有，则，
显然，函数的值域是，函数的值域是，
则取尽一切正整数，，
因此，当时，，
而是R上的奇函数，则当时，，，又，
所以，，，即函数的表达式是.
【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.