精品解析：上海市格致中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

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1. 已知集合，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据并集的定义可得答案.
【详解】，，.
故答案为：.
2. 若角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则的值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】直接根据三角函数定义求解即可.
【详解】解：因为角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，
所以根据三角函数单位圆的定义得
故答案为：
3. 若幂函数图像过点，则此函数的解析式是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项.
【详解】设幂函数的解析式为，
由于函数图象过点，故有，解得，
所以该函数的解析式是，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关应用待定系数法求幂函数的解析式的问题，属于基础题目.
4. 已知，则___________.（用含a的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】利用换底公式化简，根据对数的运算法则求解即可
【详解】因为，
所以
故答案为：.
5. 已知一等腰三角形的周长为12，则将该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为___________.（请注明函数的定义域）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得，再结合两边之和大于第三边，底边长大于得，进而得答案.
【详解】解：根据题意得，
由三角形两边之和大于第三边得，
所以，即，
又因为，解得
所以该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为
故答案为：
6. 若关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系，可知只需判别式，利用所得不等式求得结果.
【详解】不等式对一切实数x恒成立，
，解得：
故答案为：.
7. 已知半径为的扇形的面积为，周长为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据扇形面积与周长公式代入列式，联立可求解半径.
【详解】根据扇形面积公式得，周长公式得，联立可得.
故答案为：
8. 已知关于不等式的解集为，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题知，进而根据基本不等式求解即可.
【详解】解：因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的实数根，
所以，
因为，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是
故答案为：
9. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
将题意等价于的值域包含，讨论和结合化简即可.
【详解】解：要使函数的值域为
则的值域包含
①当即时，值域为包含，故符合条件
②当时
综上，实数的取值范围是
故答案为：
【点睛】一元二次不等式常考题型：
（1）一元二次不等式在上恒成立问题：解决此类问题常利用一元二次不等式在上恒成立的条件，注意如果不等式恒成立，不要忽略时的情况.
（2）在给定区间上的恒成立问题求解方法：
若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围).
10. 若函数是定义在上的严格增函数，且对一切x，满足，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将问题转化为，，再根据单调性解不等式即可得答案.
【详解】解：因为函数对一切x，满足，
所以，，
令，则，即，
所以等价于，
因为函数是定义在上的严格增函数，
所以，解得
所以不等式的解集为
故答案为：
11. 设函数在区间上的最大值和最小值分别为M､m，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】，令，易得函数为奇函数，则，从而可得出答案.
【详解】解：
，
令，
因为，
所以函数为奇函数，
所以，即，
所以，
即.
故答案为：2.
12. 某地街道呈现东—西､南—北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，根据垃圾分类要求，下述格点为垃圾回收点：，，，，，.请确定一个格点（除回收点外）___________为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，设满足题意得格点为，这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和为，故，再分别求和的最小值时的即可得答案.
【详解】解：设满足题意得格点为，这6个回收点沿街道到回收站之间路程和为，
则，
令，由于其去掉绝对值为一次函数，故其最小值在区间端点值，
所以代入得，
所以当时，取得最小值，
同理，令，
代入得
所以当或时，取得最小值，
所以当，或时，这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最小，
由于是一个回收点，故舍去，
所以当，这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最小，
故格点为
故答案为：
二､选择题（共4题，每小题4分，满分16分）
13. “函数在区间I上严格单调”是“函数在I上有反函数”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】“函数在区间上单调”“函数在上有反函数”，反之不成立．即可判断出结论
【详解】解：“函数在区间上严格单调”“函数在上有反函数”，下面给出证明：
若“函数在区间上严格单调”，设函数在区间上的值域为，任取，如果在中存在两个或多于两个的值与之对应，设其中的某两个为，且，即，但．
因为，所以 (或)．
由函数在区间上单调知： ，(或)，这与矛盾．因此在中有唯一的值与之对应．由反函数的定义知：
函数在区间上存在反函数．
反之“函数在上有反函数”则不一定有“函数在区间上单调”，例如：函数，就存在反函数：
易知函数在区间上并不单调．
综上，“函数在区间上严格单调”是“函数在上有反函数”的充分不必要条件.
故选：A．
14. 用反证法证明命题：“已知.，若不能被7整除，则与都不能被7整除”时，假设的内容应为
A. , 都能被7整除B. ,不能被7整除
C. ,至少有一个能被7整除D. ,至多有一个能被7整除
【答案】C
【解析】
【详解】根据用反证法证明数学命题的步骤和方法，应先假设命题的否定成立．
而命题“ 与都不能被7整除”的否定为“至少有一个能被7整除”，
故选C．
【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的关键.
15. 函数，则下列坐标表示的点一定在函数图像上的是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：因为函数，,所以,所以函数为偶函数，
则、均在在函数图像上．故选D．
考点：函数的奇偶性．
16. 设，，定义运算“△”和“”如下：，.若正数，，，满足，，则（ ）
A. △，△B. ，
C. △，D. ，△
【答案】D
【解析】
【分析】根据所给运算，取特殊值检验即可排除ACB，得到答案.
【详解】令
满足条件，
则，可排除A,C；
令满足。
则，排除B;
故选：D
三､解答题（共4题，满分42分）
17. 已知全集，集合，.
（1）当时，求；
（2）命题p：，命题q：，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先解分式不等式和二次不等式得集合,再求补集和交集即可；
（2）先判断得，再根据必要条件得到集合的包含关系，列不等式求解即可.
【小问1详解】
∵时，，
，
全集，∴或．∴．
【小问2详解】
∵命题：，命题：，是必要条件，∴．
∵，∴，
∵，，
∴，解得或，故实数的取值范围
18. （1）已知，求的值；
（2）已知，，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，构造齐次式求解即可；
（2）根据，并结合求解即可.
【详解】解：（1）因为
所以，
（2）因为，所以，
因为，所以，
所以
所以
所以
19. 已知函数．
（Ⅰ）当时，求在区间上的值域；
（Ⅱ）当时，是否存在这样的实数a，使方程在区间内有且只有一个根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先把代入解析式，再求对称轴，进而得到函数的单调性，即可求出值域；
（Ⅱ）函数在区间内有且只有一个零点，转化为函数和的图象在内有唯一交点，根据中是否为零，分类讨论，结合函数的性质，即可求解.
【详解】（Ⅰ）当时，，
对称轴为：，
所以函数在区间单调递减，在区间单调递增；
则，
所以在区间上的值域为；
（Ⅱ）由，
令，可得，
即，
令，，，
函数在区间内有且只有一个零点，
等价于两个函数与的图象在内有唯一交点；
①当时，在上递减，
在上递增，
而，
所以函数与的图象在内有唯一交点.
②当时，图象开口向下，
对称轴为，
在上递减，
在上递增，
与的图象在内有唯一交点，
当且仅当，
即，
解得，
所以.
③当时，图象开口向上，
对称轴为，
在上递减，
在上递增，
与的图象在内有唯一交点，
，
即，
解得，
所以.
综上，存在实数，使函数于在区间内有且只有一个点.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了求一元二次函数的值域问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点个数问题，结合函数的性质求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.
20. 给出以下定义：设m为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”.
（1）判断函数是否为“函数”；
（2）若函数为“函数”，求实数a的取值范围；
（3）已知为“函数”，设.若对任意的，，当时，都有成立，求实数的最大值.
【答案】（1）是 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据定义判得时，满足，进而判断；
（2）根据题意得，，进而整理得存在实数使得，再结合和讨论求解即可；
（3）由题知，故不妨设，进而得，故构造函数，则函数在上单调递增，在作出函数图像，数形结合求解即可.
【小问1详解】
解：的定义域为，假设函数是“函数，
则存在定义域内的实数使得，
所以，所以，所以，
所以函数 “函数
【小问2详解】
解：函数有意义，则，定义域为
因为函数为“函数”，
所以存在实数使得成立，
即存在实数使得，
所以存在实数使得成立，即，
所以当时，，满足题意；
当时，，即，
解得且，
所以实数a的取值范围是
【小问3详解】
解：由为“函数”得,
即，所以，
不妨设，则由得，
所以
故令，则在上单调递增，
又，
作出函数图像如图，
所以实数的取值范围为，即实数的最大值为