上海市金山区2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份上海市金山区2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共16页。

一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分）考生应在答题纸的相应位直接填写结果．
1. 已知集合，且，则实数a的值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据元素与集合关系列式计算即得.
【详解】由题意可得：，解得.
故答案为：1.
2. 已知角的终边经过点，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得的值．
【详解】设坐标原点，
由题意可得：，
故.
故答案为：.
3. 函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数的性质求该对数型函数的定义域即可.
【详解】要使该函数有意义，则需，解得：
函数的定义域为
故答案为：
4. 将化为有理数指数幂的形式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分数指数幂的定义与运算求解.
【详解】由题意可得：.
故答案为：.
5. 已知角是第四象限角，且，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角关系运算求解，注意符号看象限.
【详解】∵角是第四象限角，且，则，
∴.
故答案为：.
6. 已知函数，（且）是偶函数，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇偶函数的性质结合二次函数的对称性分析运算.
【详解】由题意可得：函数的对称轴为y轴，且定义域关于原点对称，
则，解得，
故.
故答案为：.
7. 已知，用m表示为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】先根据指对互化可得，再结合对数运算求解.
详解】∵，则，
∴.
故答案为：.
8. 设、为正数，且，则的最小值为_____________.
【答案】4
【解析】
【分析】
基本不等式中“1的代换”求最值.
【详解】因为、为正数，且，
所以,
当且仅当a=b=1时取等号
即的最小值为4.
故答案为：4
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等”
(1) “一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．
9. 已知常数且，无论a取何值，函数的图像恒过一个定点，则此定点为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用对数函数性质可知，只需令即可求出的图像恒过的定点的坐标.
【详解】因为的图像必过，即，
当，即时，，
从而图像必过定点.
故答案为：.
10. 已知集合有且仅有两个子集，则实数__________.
【答案】1或
【解析】
【分析】结合已知条件，求出的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可.
【详解】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，
①当时，，满足题意；
②当时，，所以，
综上所述，或.
故答案为：1或.
11. 设，，若函数在定义域上满足：①是非奇非偶函数；②既不是增函数也不是减函数；③有最大值，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】对①：根据奇偶函数的定义可得；对②：分类讨论可得二次项系数小于零，且对称轴为，求出a的取值范围；对③：结合②中所求的范围验证即可.
【详解】对①：∵ ，即，
故不是奇函数；
若是偶函数，则，
可得，即；
故若是非奇非偶函数，则；
对③：若在上有最大值，则有：
当时，则在上单调递减，无最值，不合题意；
当时，则为二次函数且对称轴为，
由题意可得，解得，
故若在上有最大值，则；
对②：若，则开口向下，且对称轴为，
故在上既不是增函数也不是减函数；
综上所述：实数a的取值范围为.
故答案为：.
12. 已知，集合，，若存在正数，对任意，都有，则的所有可能的取值组成的集合为________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意按照，，分类讨论，利用集合的包含关系即可列出不等式组，解出即得解．
【详解】，则只需考虑下列三种情况：
（1）当时，，，
又，则，
，所以或或，
①当时，，即，而易知，，所以这样的不存在；
②当时，，即，显然这样的不存在；
③当时，
，可得：，，解得；
（2）当时，即当时，与（1）同理，解得，不合题意，舍去；
（3）当时，即当时，只有，
所以可得：， ，解得.
综上所述：或.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求.
二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 若非零实数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. -a>-bC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用不等式性质判断B，C；举例说明判断A，D作答.
【详解】非零实数a，b满足a>b，
对于A，取，满足a>b，而，A不一定成立；
对于B，因a>b，则-a<-b，B不成立；
对于C，由不等式的性质知，若a>b，则，C成立；
对于D，取，满足a>b，而，D不一定成立.
故选：C
14. 设，则“”是“”的（ ）．
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先求得绝对值不等式的解集，然后根据充分必要条件的知识得出正确选项.
【详解】由得： ，此为小范围，后者为大范围，所以充分非必要条件.
故选：A.
15. 设集合均为非空集合.（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】由集合的运算关系依次判断各选项即可得出结果.
【详解】对于A,，，当时，结论不成立，则A错误；
对于B ，当时，结论不成立，，则B错误；
对于C,因为，，所以，又，所以，则,则C正确;
对于D， ，当时，结论不成立,则D错误;
故选:C.
16. 已知，若关于x的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数a的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程，等价于 且，将问题转化为的图象夹在直线和之间的部分有且仅有两个整数解求解.
【详解】解：要使方程，
当且仅当 且，
即方程等价于 且，
即，
所以方程有且仅有两个不同的整数解，
即的图象夹在直线和之间的部分有且仅有两个整数解，
函数的图象如图所示：
因为，
所以要使的整数解有且仅有两个解，
则其中一个整数解为0和-1，
即 ，解得，
故选：A
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置出必要的步骤．
17. 已知集合，．
（1）求集合B；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式不等式求解集合B；
（2）根据集合的包含关系运算求解.
【小问1详解】
∵，则，解得或，
故或.
【小问2详解】
若，则或，即或，
故实数a的取值范围为.
18. 已知．
（1）若函数有零点，求实数a的取值范围；
（2）若方程有两个实根，求的最小值．
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】（1）根据题意集合二次函数的判别式运算求解；
（2）利用韦达定理整理可得，结合二次函数的性质求最值.
【小问1详解】
由题意可得：，解得或，
故实数a的取值范围为.
【小问2详解】
由，可得，
则，
∵的对称轴为，
注意到，则当时，取到最小值0，
即的最小值为0.
19. 某城市2023年1月1日的空气质量指数（简称AQI））与时间x（单位：小时）的关系满足下图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为103．当时，曲线是二次函数图像的部分；当时，曲线是函数图像的一部分．根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于100时，空气就属于污染状态．
（1）求当时，函数的表达式；
（2）该城市2023年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见详解
【解析】
【分析】（1）根据图象结合二次函数运算求解；
（2）由（1）可得，分类讨论解不等式即可得结果.
【小问1详解】
当时，有图像可得：二次函数开口向下，顶点坐标为，且过，
可设，
代入点可得，解得，
故当时，.
【小问2详解】
由（1）可得：，
当时，令，解得；
当时，令，解得；
综上所述：当时，空气属于污染状态.
20. 已知．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在区间上的单调性；
（3）根据函数的性质，画出函数的大致图像．
【答案】（1）偶函数；
（2）单调递增； （3）详见解析.
【解析】
【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义判断；
（2）利用函数的单调性的定义判断；
（3）根据函数的定义域，单调性和奇偶性画出.
【小问1详解】
解：因为函数的定义域为关于原点对称，
又因为，
所以是偶函数；
【小问2详解】
任取，且，
则，
，
因为，
所以，，
又因为，所以，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增；
【小问3详解】
由（2）同理可得在区间上单调递增，
由（1）知是偶函数，则在和上单调递减，
所以其图象如图所示：
21. 已知函数的定义域为D，区间，若存在非零实数t使得任意都有，且，则称为M上的增长函数．
（1）已知，判断函数是否为区间上的增长函数，并说明理由；
（2）已知，设，且函数是区间上的增长函数，求实数n的取值范围；
（3）如果函数是定义域为R的奇函数，当时，，且函数为R上的增长函数，求实数a的取值范围．
【答案】（1）是，理由见详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合函数单调性分析运算；
（2）根据题意整理可得对恒成立，根据恒成立问题结合一次函数分析运算；
（3）根据函数的单调性，先取特值，可求得，再证明当时，对任意，均有.
【小问1详解】
数为区间上的增长函数，理由如下：
由题意可知：在上单调递增，
对，则，可得，
故函数为区间上的增长函数.
【小问2详解】
若函数是区间上的增长函数，
可得对，则，即，
可得对恒成立，
则，解得，
故实数n的取值范围为.
【小问3详解】
由题意可得：，
∵函数是定义域为R的奇函数，
当时，则，
故，
可得在上单调递增，在上单调递减，
注意到，
故当时，，当时，，
若函数为R上的增长函数，则对，均有，
取，即，故，则，即，
若，即时，则有：
①当时，则，且在上单调递增，
故；
②当时，则，且，
∵在上单调递减，在上单调递增，
则，
且在上单调递增，则，
故；
③当时，则，
可得，
注意到上单调递增，
故；
④当时，则，
注意到在上单调递减，在上单调递增，
可得；
⑤当时，则，且在上单调递增，
可得；
综上所述：当时，对，均有.
故实数a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛： 根据的单调性，取特值，先求出实数a的取值范围，再证明其充分性.