精品解析：上海市杨浦区2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份精品解析：上海市杨浦区2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（每小题3分，共36分）
1. 已知全集为R，集合，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用补集的定义求解即可
【详解】因为全集为R，集合，
所以，
故答案为：
2. 函数的定义域是_________ ．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：函数满足，即函数定义域为
考点：求函数定义域
3. 集合的子集个数为________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据子集定义，用列举法列出所有子集，或是利用子集个数的计算公式可计算子集个数．
【详解】方法一、列举法 ，共8个．方法二、一个集合中元素个数为n时，其子集个数为 ，所以集合的子集个数为8．
【点睛】本题考查了集合子集个数的计算方法，属于基础题．
4. 已知，用a表示=__________.
【答案】
【解析】【分析】直接利用对数的运算性质求解
【详解】因为，
所以，
故答案为：
5. 不等式的解集是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】化为同底数幂，然后利用指数函数的单调性求解
【详解】由，得，
所以，解得，
所以不等式的解集为，
故答案为：
6. 命题“若，则”是____________命题（填“真”或“假”其中一个）.
【答案】真
【解析】
【分析】直接利用两数集的关系判断即可
【详解】因为当时，一定成立，
所以此命题为真命题，
故答案为：真
7. 里氏震级的计算公式为：，其中是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是，此时标准地震的振幅为，则此次地震的震级为_________级.
【答案】
【解析】
【分析】将，代入等式计算即可得解.
【详解】将，代入等式得.
故答案为：.8. 已知方程的两个根为，则的值为________.
【答案】12
【解析】
【分析】利用韦达定理即可求解.
【详解】解：由韦达定理得，，
所以.
故答案为：12.
9. 已知R、R，函数是偶函数，则=_________.
【答案】5
【解析】
【分析】根据偶函数的性质进行求解即可.
【详解】因为该函数是偶函数，所以定义域必须关于原点对称，因此有，
设，由偶函数的性质可知：
，因此，
故答案为：
10. 函数的值域是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】先求得的取值范围，再求得函数的值域.
【详解】解：由于，所以或，
所以的值域为.
故答案为：.
11. 已知R，“不等式 对任意R恒成立”的一个充分非必要条件是_____________.【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】先利用绝对值三角不等式得，转化为，解不等式求出使不等式恒成立的充要条件，从而可求出一个使其成立的充分非必要条件
【详解】因为，
所以，解得或，
所以“不等式 对任意R恒成立”的一个充分非必要条件是的任意一个真子集即可，
所以可以是，
故答案为：（答案不唯一）
12. 设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】求得不等式组的解集为，则0一定为不等式组的一个整数解，分不等式的4个整数解为0，1，2，3和不等式的4个整数解为两种情况讨论，即可得出答案.
【详解】解：关于x的一元一次不等式组的解集为，则，
故0一定为不等式组的一个整数解，
若不等式的4个整数解为0，1，2，3时，
则，解得；
当不等式的4个整数解为时，
则，不等式组无解，综上所述，a的取值范围是.
故答案为：.
二、选择题（每小题4分，共16分）
13. 设，下列计算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由指数的运算逐一判断即可.
【详解】，，，
故选：C
14. 若且，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用作差法可得出结果.
【详解】因为，则，，所以，，故有，无法判断与的大小关系.
故选：D.
15. 若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数单调性即可求解.
【详解】解：由题意得：，解得：，
故选：A.
16. 已知函数若函数存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在同一坐标系中，作出指数函数，根据函数存在零点，利用数形结合法求解.
【详解】如图所示：
指数函数，没有零点，
有唯一的零点，
所以若函数存在零点，
须有零点，即，
所以，
故选：B.
【点睛】本题主要考查函数的零点，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.三、解答题（共48分）
17. 已知全集，集合，．求，．
【答案】，
【解析】
【分析】根据集合并集、交集、补集的定义进行求解即可.
【详解】， .
，
.
18. 解下列不等式
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）原不等式等价于，从而可求得结果，
（2）分和两种情况求解即可
【小问1详解】
原不等式等价于，即，
所以，原不等式解集是
【小问2详解】
当时，原不等式化为，即.
当时，原不等式化为，即.
综上，原不等式的解集为19. 证明：函数在其定义域上严格减函数．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】利用函数单调性的定义及对数函数的单调性即可证明.
【详解】证：设是定义域上任意给定的两个实数，且，
则，
由对数函数的性质，可知，
因此，函数在其定义域上是严格减函数
20. 小明将上周每天骑车上学路上的情况用图象表示：
很遗憾图象的先后次序不小心被打乱了.
还好小明同时用文字进行了记录：
周一：匀速骑车前进；
周二：匀速骑车前进，中间遇到红灯停了一次；
周三：骑车出门晚了，越骑越快；
周四：骑车出门后一会儿想起忘带东西又加速回去拿；
周五：……
（1）请将图象的编号填入表格中对应日期的下方，
并描述周五小明上学途中可能发生的情况，填在下面的空格中；
周五：__________
（2）本周小明打算跑步上学，多消耗点热量. 已知单位时间消耗的热量y（卡/小时）与跑步的平均速度v（千米/小时）满足函数，小明家到学校的距离是1.5千米，假设小明上学路上不停顿，则他从家跑步到学校最多可以消耗最多热量？
【答案】（1）答案见解析；
（2）当平均速度为8千米/小时，消耗热量最多为125卡.
【解析】
【分析】（1）根据实际情况将图象的编号填入表格中对应日期的下方，描述周五小明上学途中可能发生的情况；
（2）设消耗得热量为S，求出，再利用基本不等式求解.
【小问1详解】
解：
周五：匀速骑车，中途发现车坏了停下来修，但修不好只好推着车走到学校. （答案不唯一，描述出匀速骑行，中间停顿，然后减速即可）
【小问2详解】
解：平均速度，上学用时小时，
设消耗得热量为S，则，
所以
，
且当且仅当时，达到最大值125.
所以，当平均速度为8千米/小时，消耗热量最多为125卡.
21. 已知函数的定义域为D，若存在区间使得函数满足：
①函数在区间上是严格增函数或严格减函数；
②函数，值域是，
则称区间为函数的“n倍区间”.
（1）判断下列函数是否存在“2倍区间”（不需要说明理由）；①； ②；
（2）证明：函数不存在“n倍区间”；
（3）证明：当有理数满足时，对于任意n，函数都存在“n倍区间”，并求函数和所有“10倍区间”.
【答案】（1）不存在2倍区间，存在2倍区间；
（2）证明见解析； （3）证明见解析，的“10倍区间”有，的“10倍区间”有.
【解析】
【分析】（1）先确定两个函数是否严格单调，若是，则设出区间，进而根据“2倍区间”的定义判断答案；
（2）先假设函数存在“n倍区间”，进而根据“n倍区间”的定义证明问题；
（3）先考虑函数的情况，根据题意得到有两个非负解并解出，然后证明问题，进而求出两个函数的“10倍区间”.
【小问1详解】
不存在2倍区间，存在2倍区间.
理由如下：根据严格单调定义可知，函数在R上严格单调递减，若是函数的2倍区间，则函数的值域为，且，不满足a易知函数在上严格单调递增，若是函数的“2倍区间”，则函数的值域为，且，即函数存在“2倍区间”.
【小问2详解】假设存在区间是的“n倍区间”，
由条件①可知，
或.
当，即时，
因为在是严格减函数，
所以，得，即，
这与的假设矛盾，所以假设不成立，
即在不存在“n倍区间”
当时，，
这与时，矛盾
即在不存在“n倍区间”
综上所述，不存在“n倍区间”.
【小问3详解】
先考虑的情况，
因为在是严格增函数，若存在“n倍区间”，则有两个非负解，
原方程可化为，
当时，原方程有两个非负解和，
所以，至少存在一个“n倍区间”为.
在是严格增函数，
令得，
所以有三个“10倍区间”：.
在是严格增函数，在是严格减函数，当时，，所以不存在“10倍区间”，
所以有1个“10倍区间”：日期
周一
周二
周三
周四
周五
图像编号
日期
周一
周二
周三
周四
周五
图像编号
E
A
C
B
D