初中数学苏科版七年级下册7.5 多边形的内角和与外角和课后作业题

这是一份初中数学苏科版七年级下册7.5 多边形的内角和与外角和课后作业题，共21页。
本试卷满分100分，考试时间40分钟，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝3∠CB．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A+∠B＝∠CD．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
2．（2020春•常州期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于（ ）
A．40°B．60°C．80°D．140°
3．（2020春•宝应县期末）在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则这个三角形必定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．以上三个都是
4．将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C＝50°，∠1＝85°，则∠2等于（ ）
A．10°B．15°C．20°D．35°
5．（2020春•常熟市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将△BDC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若∠ADB′＝20°，则∠A的度数为（ ）
A．20°B．25°C．35°D．40°
6．如图，已知∠ACD＝130°，∠B＝20°，则∠A的度数是（ ）
A．110°B．30°C．150°D．90°
7．（2020春•江阴市期中）AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD＝（ ）
A．25°B．60°C．85°D．95°
8．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为多少度（ ）
A．360°B．720°C．540°D．240°
9．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（ ）
A．120°B．105°C．60°D．45°
10．如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC．以下结论：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠A+2∠BEC＝180°；⑤DB平分∠ADC．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．如图，在△ABC中，∠A＝27°，∠B＝48°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD的大小为 °．
12．（2020•泰州）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 ．
13．（2020春•姜堰区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠ABC＝α（20°＜α＜120°），AE平分△ABC的外角∠BAD，CF将∠ACB分成1：2两部分．若AE、CF交于点G，∠AGC的度数为 （用含α的代数式表示）．
14．（2020春•相城区期末）如图∠1，∠2，∠3分别是△ABC的外角，则∠1+∠2+∠3＝ °．
15．（2020春•洪泽区期末）如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠BAC＝65°，则∠APB＝ ．
16．在△ABC中，∠B＝58°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ ．
17．（2020春•扬中市期中）如图，若△ABC的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E，则图中与∠ICE一定相等的角（不包括它本身）有 ．
18．（2020春•鼓楼区期末）如图，直线a、b、c、d互不平行，以下结论正确的是 ．（只填序号）
①∠1+∠2＝∠5；
②∠1+∠3＝∠4；
③∠1+∠2+∠3＝∠6；
④∠3+∠4＝∠2+∠5．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝120°，求∠DAC的度数．
20．（2020春•鼓楼区期末）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．
证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
∴ ．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），
∵ ．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
21．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝40°，∠C＝70°，
（1）求∠BAD的度数．
（2）过点A作BC边上的高AE，垂足为E，求∠EAD的度数．
22．（2020春•兴化市月考）如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠A＝ °；
（2）若∠A＝80°，试求∠BPC的度数；
（3）试直接写出∠DPC与∠A之间的数量关系：∠DPC＝ ．
23．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ；
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．
①图中有 个“8字形”；
②若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；
（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，求∠P、∠B、∠D之间的数量关系．
24．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝30°，则∠1+∠2＝ °；
（2）若点P在AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
（4）若点P运动到△ABC之外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2的关系为： ．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A
【分析】根据直角三角形的定义一一判断即可．
【解析】A、由∠A＝∠B＝3∠C，可得∠A＝∠B180°，△ABC不是直角三角形，本选项符合题意．
B、由∠A﹣∠B＝∠C，可知∠A＝90°，△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．
C、由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°，△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．
D、由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，推出∠C＝90°，△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
2．C
【分析】证明∠1+∠2＝2∠A即可解决问题．
【解析】连接AA′．
∵∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠A＝40°
∵∠2＝∠EA′A+∠EAA′，∠1＝∠DA′A+∠DAA′，∠BAC＝∠EA′D，
∴∠1+∠2＝∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD＝80°，
故选：C．
3．B
【分析】根据三角形的内角和可求解△ABC的一内角为90°，进而可判断三角形的形状．
【解析】设∠A＝∠B﹣∠C，
则∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
故选：B．
4．B
【分析】根据三角形的内角和定理和四边形的内角和即可得到结论．
【解析】如图，∵∠C＝50°，
∴∠3+∠4＝∠A+∠B＝∠A′+∠B′＝180°﹣∠C＝130°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A′+∠B′＝360°，∠1＝85°，
∴∠2＝360°﹣85°﹣2×130°＝15°，
故选：B．
5．C
【分析】利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题．
【解析】∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵△CDB′是由△CDB翻折得到，
∴∠CB′D＝∠B，
∵∠CB′D＝∠A+∠ADB′＝∠A+20°，
∴∠A+∠A+20°＝90°，
解得∠A＝35°．
故选：C．
6．A
【分析】根据三角形的外角性质计算即可．
【解析】∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝130°﹣20°＝110°，
故选：A．
7．D
【分析】根据角平分线的定义得到∠EAC＝2∠DAE＝120°，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解析】∵AD是∠CAE的平分线，
∴∠EAC＝2∠DAE＝120°，
∴∠ACB＝∠EAC﹣∠B＝85°，
∴∠ACD＝180°﹣85°＝95°，
故选：D．
8．D
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A+∠C，∠B+∠D，再根据邻补角求出∠EOF，然后求解即可．
【解析】如图，根据三角形的外角性质，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，
∵∠BOF＝120°，
∴∠3＝180°﹣120°＝60°，
根据三角形内角和定理，∠E+∠1＝180°﹣60°＝120°，
∠F+∠2＝180°﹣60°＝120°，
所以，∠1+∠2+∠E+∠F＝120°+120°＝240°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．
故选：D．
9．B
【分析】先求出∠2，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解析】如图，∠2＝90°﹣45°＝45°，
由三角形的外角性质得，∠1＝∠2+60°，
＝45°+60°，
＝105°．
故选：B．
10．C
【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的判定、菱形的判定、等边三角形的判定判断即可．
【解析】①∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，
∴AD平分△ABC的外角∠FAC，
∴∠FAD＝∠DAC，
∵∠FAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，
∴∠FAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确．
②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，
∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC∠ABC∠MBC180°＝90°，
∴EB⊥DB，故②正确，
③∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，
∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，
∴∠BDC∠BAC，
∵∠BAC+2∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠BDC+∠ACB＝90°，故③正确，
④∵∠BEC＝180°（∠MBC+∠NCB）＝180°（∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）＝180°（180°+∠BAC），
∴∠BEC＝90°∠BAC，
∴∠BAC+2∠BEC＝180°，故④正确，
⑤不妨设BD平分∠ADC，则易证四边形ABCD是菱形，推出△ABC是等边三角形，这显然不可能，故错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11． 75 °．
【分析】由∠A，∠B的度数，利用三角形的外角性质可求出∠ACD的度数．
【解析】∵在△ABC中，∠A＝27°，∠B＝48°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝27°+48°＝75°．
故答案为：75．
12． 140° ．
【分析】根据三角形外角性质求出求出∠DFB，再根据三角形外角性质求出∠α即可．
【解析】如图，
∵∠B＝30°，∠DCB＝65°，
∴∠DFB＝∠B+∠DCB＝30°+65°＝95°，
∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，
故答案为：140°．
13． 10°或10°
【分析】先求出∠CAE的度数，再分为两种情况，求出∠ACG的度数，再根据三角形的内角和定理求出即可．
【解析】∵在△ABC中，∠ACB＝60°，∠ABC＝α，
∴∠DAB＝∠ACB+∠ABC＝60°+α，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE∠DAB（60°+α）＝30°，
∴∠CAE＝180°﹣∠DAE＝180°﹣（30°）＝150°，
①当∠ACG：∠BCG＝1：2时，∠ACB＝60°，
则∠ACG＝20°，
所以∠AGC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACG＝180°﹣（150°）﹣20°10°；
②当∠ACG：∠BCG＝2：1时，∠ACB＝60°，
则∠ACG＝40°，
所以∠AGC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACG＝180°﹣（150°）﹣40°10°；
所以∠AGC的度数是10°或10°．
14． 360 °．
【分析】利用三角形的外角和定理解答．
【解析】∵三角形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°，
故答案为：360°．
15． 115° ．
【分析】依据∠1＝∠2，∠BAC＝∠BAP+∠1＝65°，即可得出∠BAP+∠2＝65°，进而得到△ABP中，∠APB＝180°﹣65°＝115°．
【解析】∵∠1＝∠2，∠BAC＝∠BAP+∠1＝65°，
∴∠BAP+∠2＝65°，
∴△ABP中，∠P＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
16． 61° ．
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC∠ACF（∠B+∠B+∠1+∠2）＝119°；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．
【解析】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC∠DAC，∠ECA∠ACF，
∵∠DAC＝∠B+∠2，∠ACF＝∠B+∠1
∴∠DAC∠ACF（∠B+∠2）（∠B+∠1）（∠B+∠B+∠1+∠2），
∵∠B＝58°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），
∴∠DAC∠ACF＝119°
∴∠AEC＝180°﹣（∠DAC∠ACF）＝61°．
故答案是：61°．
17． ∠ICB，∠DIB ．
【分析】首先证明∠BIC＝∠BDI＝∠IEC，再证明∠ICE＝∠ICB＝∠DIB即可．
【解析】∵AI平分∠BAC，
∴∠IAD＝∠IAE，
∵AI⊥DE，
∴∠AID＝∠AIE＝90°，
∴∠ADI+∠DAI＝90°，∠AEI+∠IAE＝90°，
∴∠ADE＝∠AEI，
∴∠BDI＝∠IEC＝180°﹣（90°﹣∠IAE）＝90°∠BAC，
∵IB，IC分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠IBC∠ABC，∠ICB∠ACB，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠BAC）＝90°∠BAC，
∴∠BDI＝∠IEC＝∠BIC，
∵∠IBC+∠BIC+∠ICB＝180°，∠ICE＝∠ICB，∠IBC＝∠DBI，
∴∠ICE＝∠ICB＝∠DIB，
∴与∠ICE一定相等的角有∠ICB，∠DIB．
故答案为：∠ICB，∠DIB．
18． ①②③ ．
【分析】利用三角形的外角的性质求解即可．
【解析】由三角形外角的性质可知：∠5＝∠1+∠2，∠4＝∠1+∠3，∠6＝∠4+∠2＝∠3+∠5，
∴∠6＝∠1+∠2+∠3，
故①②③正确，
故答案为①②③．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．
【解析】∵∠BAC＝120°，
∴∠2+∠3＝60°①
∵∠1＝∠2，
∴∠4＝∠3＝∠1+∠2＝2∠2②
把②代入①得：3∠2＝60°，
∠2＝20°．
∴∠DAC＝120°﹣20°＝100°．
20． 证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
∴ ∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2 ．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），
∵ ∠1+∠2+∠3＝180° ．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
【分析】证法1：要求证∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°，根据三角形外角性质得到∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2，则∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），然后根据三角形内角和定理即可得到结论；
证法2：根据平角的定义得到∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝540°，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论．
【解析】证明：证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
∴∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），
∵∠1+∠2+∠3＝180°．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°；
证法2：∵平角等于180°，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．
故答案为：∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2；∠1+∠2+∠3＝180°．
21．【分析】（1）根据三角形内角和和角平分线求出∠BAD；
（2）根据三角形的内角和等于180°求出∠BAE的度数，然后根据角的关系求出∠DAE即可．
【解析】（1）∵∠B＝40°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD，
（2）∵∠B＝40°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∵AE是高，
∴∠BAE＝90°﹣40°＝50°，
∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝50°﹣35°＝15°．
22．（1） 60 °；
（3） 90°∠A ．
【分析】先根据角平分线的定义得到∠1∠ABC，∠2∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°（∠ABC+∠ACB），加上∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，易得∠BPC＝90°∠A，然后根据此结论解决各小题．
【解析】∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠1∠ABC，∠2∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°∠ABC∠ACB＝180°（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BPC＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A，
（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
故答案为60．
（2）∵∠A＝80°，
∴∠BPC＝90°80°＝130°；
（3）∵∠BPC＝90°∠A，
∴∠DPC＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A．
故答案为：90°∠A．
23． ∠A+∠B＝∠C+∠D ；
（2）①图中有 6 个“8字形”；
【分析】（1）利用三角形内角和定理可得结论．
（2）①根据“8字形”的定义判断即可．
②根据“8字形”的性质，构建关系式解决问题即可．
（3）根据“8字形”的性质，构建关系式解决问题即可．
【解析】（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）①图中，有6个“8字形”．
故答案为6．
②∵AP平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵PC平分∠BCD，
∴∠3＝∠4，
∵∠1+∠B＝∠3+∠P①，∠2+∠P＝∠4+∠D②，
①﹣②得，2∠P＝∠B+∠D＝50°，
∴∠P＝25°．
（3）结论：2∠P＝∠B+∠D．
理由：∵CP平分∠BCE，
∴∠3＝∠4，
∵AG平分∠DAF，
∴∠1＝∠2，
∵∠PAB＝∠1，
∴∠2＝∠PAB，
∵∠P+∠PAB＝∠B+∠4，
∴∠P+∠2＝∠B+∠4 ③，
∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
∴∠P+（180°﹣∠2）＝∠D+（180°﹣∠3）④，
③+④得，2∠P＝∠B+∠D．
24．（1） 120 °；
（4） ∠2﹣∠1+∠α＝90° ．
【分析】（1）先用平角的得出，∠CDP＝180°﹣∠1，∠CEP＝180°﹣∠2，最后用四边形的内角和即可．
（2）同（1）方法即可．
（3）利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论．
（4）利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．
【解析】（1）∵∠1+∠CDP＝180°，
∴∠CDP＝180°﹣∠1，
同理：∠CEP＝180°﹣∠2，
根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C＝360°，
∵∠C＝90°，
∴180°﹣∠1+α+180°﹣∠2+90°＝360°，
∴∠1+∠2＝90°+α＝90°+30°＝120°，
故答案为：120．
（2）∵∠1+∠CDP＝180°，
∴∠CDP＝180°﹣∠1，
同理：∠CEP＝180°﹣∠2，
根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C＝360°，
∵∠C＝90°，
∴180°﹣∠1+α+180°﹣∠2+90°＝360°，
∴∠1+∠2＝90°+α．
（3）如图3，∵∠1+∠CDF＝180°，
∴∠CDF＝180°﹣∠1，
∵∠CFD＝∠2+α，
根据三角形的内角和得，∠C+∠CDF+∠CFD＝180°，
∴90°+180°﹣∠1+∠2+α＝180°，
∴∠1﹣∠2﹣∠α＝90°．
（4）如图4，∵∠PGD＝∠EGC，
∴∠2＝∠C+∠EGC＝90°+∠PGD，
∴∠PGD＝∠2﹣90°，
∵∠PDG＝180°﹣∠1，
根据三角形的内角和得，∠DPG+∠PDG+∠PDG＝180°，
∴α+180°﹣∠1+∠2﹣90°＝180°，
∴∠2﹣∠1+∠α＝90°．
故答案为：∠2﹣∠1+∠α＝90°．