专题24.6 类比归纳专题：切线证明的常用二种思路方法-九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc14846" 【典型例题】 PAGEREF _Tc14846 \h 1
\l "_Tc17140" 【类型一 有切点，连半径，证垂直】 PAGEREF _Tc17140 \h 1
\l "_Tc9077" 【类型二 无切点，作垂直，证半径】 PAGEREF _Tc9077 \h 13
【典型例题】
【类型一 有切点，连半径，证垂直】
例题：（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的圆交边于点D，交边于点E，且．

(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）连接，，证明，求出，再根据切线的判定定理得出结论；
（2）连接，根据切线长定理可得，利用勾股定理求出，然后设的半径为r，则，，在中利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接，，

在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图2，连接，

∵，
∴是的切线，
∵是的切线，，，
∴，，
∴，
设的半径为r，则，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴的半径为．
【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，切线长定理，勾股定理等知识，灵活运用所学知识进行推理论证是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的外接圆，是的直径，．

(1)求证：是的切线；
(2)若，垂足为交于点；求证：是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，由是的直径得到，进一步得到，再根据已知条件，且即可证明进而求解；
（2）证明，再由，得到，进而得到，得到，进而得到为等腰三角形．
【详解】（1）证明：连接，

，
，
为圆的直径，
，
，
又，
，
，
又点在圆上，
是的切线；
（2）证明：，
，
，
，
，
又，
，
是等腰三角形．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等，熟练掌握性质或定理是解决此类题的关键．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，，，相交于点E，过点C作，与的延长线相交于点F，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，连接交于M，根据圆周角定理得出，根据垂径定理得出，，最后根据，得出，即可求证是的切线；
（2）设，易得，则，根据勾股定理得出，列出方程，求解，根据三角形的中位线定理，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，连接交于M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴半径，
∴是的切线；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理，垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线求解．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，以为直径的与相交于点，过点作，交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若的直径为，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，，推得，根据平行线的判定和性质可得，即可证明；
（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角和等腰三角形三线合一的性质可得，根据勾股定理求得，根据三角形的面积公式即可求得．
【详解】（1）证明：连接，如图1，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：连接，如图2，

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴的长是．
【点睛】本题考查了等边对等角，平行线的判定和性质，切线的判定，等腰三角形三线合一，勾股定理，圆周角定理等，解决问题的关键是熟练掌握切线相关知识．
4．（2023秋·广西玉林·九年级统考期末）如图，是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点，已知：，．

(1)求证：是的切线；
(2)过点作于点，若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用等边对等角求得，，利用三角形内角和定理求得，即可证明是的切线；
（2）证明是的中位线，利用，根据扇形面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：连接，

，
，
，
又，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，，，
，
又，
，即点是的中点，
又，则，则是的中位线，
∴，
，
．
【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理的应用等知识点，解答此题的关键是理解过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线．
5．（2023春·云南昭通·九年级校考阶段练习）如图，内接于是的直径，点是延长线上一点，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，当点在下方运动时，求内心的运动路线长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理可得，从而证明是等边三角形，由可得，则可求出，因此是的切线．
（2）设的内切圆圆心为点，连接，作的外接圆，连接，连接，先求得，进而求得，再证是等边三角形，得，当与重合时，，利用弧长公式即可得解．
【详解】（1）证明：连接，

是的直径，
，
∴，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在圆上，
是的切线；
（2）解：设的内切圆圆心为点，连接，
，
，
平分平分，
，
，
点在以为弦，弦所对的圆周角为的圆上，
，
，
，
，
作的外接圆，连接，
，
，
，
∴点在上，
连接，

，
∵，，
∴，
，
是等边三角形，
，
∵当与重合时，，
内心的运动路径长为．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，圆周角定理及弧长的计算，综合性较强．熟练掌握圆的相关性质及计算是解题的关键．
6．（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图，半圆O的直径，射线和是它的两条切线，D点在射线上运动（且不与点A重合），E点在半圆O上，满足，连接并延长交射线于点C．

(1)求证：是半圆O的切线；
(2)设，．
①写出y与x的关系式；
②若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①；②．
【分析】（1）连接，利用圆的切线的性质和全等三角形的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①过点D作于点F，利用（1）中的结论，利用勾股定理解答即可得出结论；
②依题意画出图形，利用解答即可．
【详解】（1）证明：连接，如图，

∵射线是半圆O的切线，E点在半圆O上，
∴，，
∵，，
∴．
∴，
∴是半圆O的切线；
（2）解：①过点D作于点F，如图，

∵、是半圆O的两条切线，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∴，．
在中，
∵，
∴，
∴．
∴y与x之间的函数关系式为；
②当时，
∵，
∴与重合，此时四边形为矩形，
连接，则四边形为正方形，如图，

∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，正方形，扇形的面积，依据题意添加适当的辅助线是解题的关键．
【类型二 无切点，作垂直，证半径】
例题：（2022春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考开学考试）如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作，求证：是的切线．

【答案】证明过程见解析；
【分析】题目并没有说明直线与有没有交点，所以过点作于点，然后证明即可．
【详解】证明：如图：过点作于点，

是的角平分线，，，
，
是的切线．
【点睛】本题考查圆的切线的判定知识．结合角平分线的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·广东河源·九年级校考期末）如图，为的角平分线上的一点， 于点，以为圆心为半径作，求证：与相切．
【答案】见解析
【分析】过点作于，根据证明，推出，即可证明与相切．
【详解】证明：如图，过点作于，
平分，
，
又，，
，
在与中，
，
，
，
点D在上，
又，
与相切于点．
【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定方法．
2．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点．
(1)求证：与相切；
(2)若，，试求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过作于，利用角平分线的性质定理可得即可证明：与相切；
（2）在Rt中，由勾股定理可求出的长，设圆的半径为，利用切线长定理可求出，所以，，利用勾股定理建立方程求出，进而求出的长．
【详解】（1）证明：过作于，
，
，
平分交于点，
，
与相切；
（2）解：设圆的半径为，
，，，
，
，是圆的切线，
，
，
，
，
在Rt中，，
解得：，
．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理列方程．
3．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，过点O作于点P，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出，的长，勾股定理求出，连接，过O作于点H，利用面积法求出，勾股定理求出，即可根据等腰三角形的性质求出的长．
【详解】（1）证明：连接，过点O作于点P，
∵与相切于点D．
∴，
∵是等腰直角三角形，，点O为的中点，
∴，
∴，即是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，，
∵点O为的中点，
∴，
∵
∴，
在中，
连接，过O作于点H，
∴，
∴
∵，
∴．

【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键．
4．（2022秋·九年级单元测试）如图，是的直径，，分别切于点，，交，于点，，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点作于点，根据切线的性质由切于点可得，再根据角平分线定理得到，然后根据切线的判定定理得到是的切线；
（2）过作于，根据切线的性质得到，则得到四边形为矩形，得到，所以，再利用切线长定理得，，所以，在中，利用勾股定理计算出，则，所以，然后中，利用勾股定理可计算出．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，
，
切于点，
，
平分，
，
为的半径，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，过作于，
，
是的直径，，分别切于点，，
，，
四边形为矩形，
，
，
，，为的切线，
，
，
在中，，
，
，
在中，．
【点睛】本题主要考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，也考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理．
5．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点．
(1)求证：与相切；
(2)若的半径为，求正方形的边长．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）过O作于H， 由正方形，可得， 证明，再证明从而可得结论；
（2）先根据勾股定理求出，从而可得，再根据正方形的性质、勾股定理即可得答案．
【详解】（1）解：如下图，过O作于H，
正方形，
，
是⊙O的切线，
，
，
为的半径，
为的半径，
与相切；
（2）的半径为，
，
由（1）可知， ，
，
，
四边形是正方形，
，
则在中，
，即，
，
解得：，
故正方形的边长为．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的切线的判定，勾股定理的应用，角平分线的性质，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．