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专题24.1 圆的有关性质（圆的概念、垂径定理、弧、弦、圆心角之八大考点）-九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）
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这是一份专题24.1 圆的有关性质（圆的概念、垂径定理、弧、弦、圆心角之八大考点）-九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版），文件包含专题241圆的有关性质--圆的概念垂径定理弧弦圆心角之八大考点原卷版docx、专题241圆的有关性质--圆的概念垂径定理弧弦圆心角之八大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc26487" 【典型例题】 PAGEREF _Tc26487 \h 1
\l "_Tc23401" 【考点一 求过圆内一点的最长弦】 PAGEREF _Tc23401 \h 1
\l "_Tc11886" 【考点二 利用垂径定理求值】 PAGEREF _Tc11886 \h 2
\l "_Tc30400" 【考点三 利用垂径定理求平行弦问题】 PAGEREF _Tc30400 \h 5
\l "_Tc12249" 【考点四 垂径定理的推论】 PAGEREF _Tc12249 \h 8
\l "_Tc3022" 【考点五 垂径定理的实际应用】 PAGEREF _Tc3022 \h 11
\l "_Tc27109" 【考点六 圆心角概念辨析】 PAGEREF _Tc27109 \h 13
\l "_Tc8878" 【考点七 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 PAGEREF _Tc8878 \h 14
\l "_Tc17493" 【考点八 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 PAGEREF _Tc17493 \h 16
\l "_Tc27597" 【过关检测】 PAGEREF _Tc27597 \h 19
【典型例题】
【考点一 求过圆内一点的最长弦】
例题：（2023秋·河南周口·九年级校考期末）若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式训练】
1．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）已知的半径是3cm，则中最长的弦长是（ ）
A．3cmB．6cmC．1.5cmD．3cm
2．（2023春·全国·九年级专题练习）已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（ ）
A．8B．10C．12D．14
【考点二 利用垂径定理求值】
例题：（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则弦的长为 ．
【变式训练】
1．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知的半径为，弦的长为，则圆心到的距离为 ．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，是的直径，弦，垂足为E，寸，寸．则直径的长为 寸．
【考点三 利用垂径定理求平行弦问题】
例题：（2023秋·天津和平·九年级校考期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（ ）
A．1B．7C．1或7D．3或4
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ．
2．（2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）的半径为13cm，AB、CD是的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．
【考点四 垂径定理的推论】
例题：（2023·新疆喀什·统考二模）某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高为4米，则的半径为 米．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起 厘米．
2．（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是 寸．
【考点五 垂径定理的实际应用】
例题：（2023春·安徽亳州·九年级专题练习）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（ ）
A．B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·九年级单元测试）下列说法正确的是（ ）
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
②平分弦的直径平分弦所对的弧
③垂直于弦的直线必过圆心
④垂直于弦的直径平分弦所对的弧
A．②③B．①③C．②④D．①④
2．（2023·四川攀枝花·校联考二模）下列说法中正确的说法有（ ）个
①对角线相等的四边形是矩形
②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等
③相等的圆心角所对的弧相等
④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点
A．1B．2C．3D．4
【考点六 圆心角概念辨析】
例题：（2023秋·九年级单元测试）下面图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）下列说法正确的是（ ）
A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角
B．圆心角α的取值范围是
C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角
D．圆心角就是在圆心的角
2．（2023·浙江·九年级假期作业）下图中是圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
【考点七 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
例题：（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）下列说法：
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；
④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【考点八 利用弧、弦、圆心角的关系求证】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知 的半径 ，， 在 上， 于点 ， 于点 ，且 ，求证：．
【变式训练】
1．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知：如图，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求证：AB=CD．
2．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，A、B是⊙O上的两点，C是弧AB中点．求证：∠A＝∠B．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C均在上，若，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）下列说法正确的个数有（ ）
①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；
②在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；
③等弧所对的圆心角相等；
④过三点可以画一个圆；
⑤圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；
⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等．
A．1B．2C．3D．4
3．（2023秋·九年级课时练习）如图，的半径为是圆外一点，，交于点，则弦的长为（ ）
A．4B．6C．D．8
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点．若，，则的直径长为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）
A．13cmB．16cmC．17cmD．26cm
二、填空题
6．（2023秋·九年级课时练习）如图，若点为的圆心，则线段 是圆的半径；线段 是圆的弦，其中最长的弦是 ； 或 是劣弧； 是半圆．
7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作圆弧，则圆心的坐标是 ．
8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，则度数为 ．
9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是中弦的中点，经过圆心O交于点E，若，，则的半径为 m．
10．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在中，，截三边所得的弦长，则 度．
三、解答题
11．（2023秋·江苏·九年级校考周测）如图，点A、B、C、D在⊙O中，且，与相等吗？为什么？
12．（2023春·山东淄博·六年级统考期中）如图，圆心角．
(1)判断和的数量关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，交于点，，是半径，且于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的半径．
14．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点．
(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______．
(2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证．
15．（2023·全国·九年级专题练习）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）
问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）
16．（2023秋·江苏·九年级专题练习）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．
(1)如图1，是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形；
(2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．求证：，是的等垂弦；
(3)已知的半径为10，，是的等垂弦，P为等垂点．若，求的长．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc26487" 【典型例题】 PAGEREF _Tc26487 \h 1
\l "_Tc23401" 【考点一 求过圆内一点的最长弦】 PAGEREF _Tc23401 \h 1
\l "_Tc11886" 【考点二 利用垂径定理求值】 PAGEREF _Tc11886 \h 2
\l "_Tc30400" 【考点三 利用垂径定理求平行弦问题】 PAGEREF _Tc30400 \h 5
\l "_Tc12249" 【考点四 垂径定理的推论】 PAGEREF _Tc12249 \h 8
\l "_Tc3022" 【考点五 垂径定理的实际应用】 PAGEREF _Tc3022 \h 11
\l "_Tc27109" 【考点六 圆心角概念辨析】 PAGEREF _Tc27109 \h 13
\l "_Tc8878" 【考点七 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 PAGEREF _Tc8878 \h 14
\l "_Tc17493" 【考点八 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 PAGEREF _Tc17493 \h 16
\l "_Tc27597" 【过关检测】 PAGEREF _Tc27597 \h 19
【典型例题】
【考点一 求过圆内一点的最长弦】
例题：（2023秋·河南周口·九年级校考期末）若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式训练】
1．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）已知的半径是3cm，则中最长的弦长是（ ）
A．3cmB．6cmC．1.5cmD．3cm
2．（2023春·全国·九年级专题练习）已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（ ）
A．8B．10C．12D．14
【考点二 利用垂径定理求值】
例题：（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则弦的长为 ．
【变式训练】
1．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知的半径为，弦的长为，则圆心到的距离为 ．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，是的直径，弦，垂足为E，寸，寸．则直径的长为 寸．
【考点三 利用垂径定理求平行弦问题】
例题：（2023秋·天津和平·九年级校考期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（ ）
A．1B．7C．1或7D．3或4
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ．
2．（2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）的半径为13cm，AB、CD是的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．
【考点四 垂径定理的推论】
例题：（2023·新疆喀什·统考二模）某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高为4米，则的半径为 米．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起 厘米．
2．（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是 寸．
【考点五 垂径定理的实际应用】
例题：（2023春·安徽亳州·九年级专题练习）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（ ）
A．B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·九年级单元测试）下列说法正确的是（ ）
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
②平分弦的直径平分弦所对的弧
③垂直于弦的直线必过圆心
④垂直于弦的直径平分弦所对的弧
A．②③B．①③C．②④D．①④
2．（2023·四川攀枝花·校联考二模）下列说法中正确的说法有（ ）个
①对角线相等的四边形是矩形
②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等
③相等的圆心角所对的弧相等
④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点
A．1B．2C．3D．4
【考点六 圆心角概念辨析】
例题：（2023秋·九年级单元测试）下面图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）下列说法正确的是（ ）
A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角
B．圆心角α的取值范围是
C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角
D．圆心角就是在圆心的角
2．（2023·浙江·九年级假期作业）下图中是圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
【考点七 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
例题：（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）下列说法：
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；
④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【考点八 利用弧、弦、圆心角的关系求证】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知 的半径 ，， 在 上， 于点 ， 于点 ，且 ，求证：．
【变式训练】
1．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知：如图，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求证：AB=CD．
2．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，A、B是⊙O上的两点，C是弧AB中点．求证：∠A＝∠B．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C均在上，若，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）下列说法正确的个数有（ ）
①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；
②在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；
③等弧所对的圆心角相等；
④过三点可以画一个圆；
⑤圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；
⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等．
A．1B．2C．3D．4
3．（2023秋·九年级课时练习）如图，的半径为是圆外一点，，交于点，则弦的长为（ ）
A．4B．6C．D．8
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点．若，，则的直径长为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）
A．13cmB．16cmC．17cmD．26cm
二、填空题
6．（2023秋·九年级课时练习）如图，若点为的圆心，则线段 是圆的半径；线段 是圆的弦，其中最长的弦是 ； 或 是劣弧； 是半圆．
7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作圆弧，则圆心的坐标是 ．
8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，则度数为 ．
9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是中弦的中点，经过圆心O交于点E，若，，则的半径为 m．
10．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在中，，截三边所得的弦长，则 度．
三、解答题
11．（2023秋·江苏·九年级校考周测）如图，点A、B、C、D在⊙O中，且，与相等吗？为什么？
12．（2023春·山东淄博·六年级统考期中）如图，圆心角．
(1)判断和的数量关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，交于点，，是半径，且于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的半径．
14．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点．
(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______．
(2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证．
15．（2023·全国·九年级专题练习）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）
问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）
16．（2023秋·江苏·九年级专题练习）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．
(1)如图1，是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形；
(2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．求证：，是的等垂弦；
(3)已知的半径为10，，是的等垂弦，P为等垂点．若，求的长．
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