专题24.5 解题技巧专题：圆中辅助线的作法之三大类型-九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc25600" 【典型例题】 PAGEREF _Tc25600 \h 1
\l "_Tc9240" 【类型一 遇弦作弦心距或半径】 PAGEREF _Tc9240 \h 1
\l "_Tc30766" 【类型二 遇直径构造直径所对的圆周角】 PAGEREF _Tc30766 \h 10
\l "_Tc4672" 【类型三 遇切线连接圆心和切点】 PAGEREF _Tc4672 \h 19
【典型例题】
【类型一 遇弦作弦心距或半径】
例题：（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，的半径为6cm，是弦，于点C，将劣弧沿弦折叠，交于点D，若D是的中点，则的长为 ．

【答案】/厘米
【分析】连接，延长交弧于，可证，从而可求，由，即可求解．
【详解】解：如图，连接，延长交弧于，

由折叠得：，
是的中点，
，
，
，
，
，
在中
，
．
故答案：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，垂径定理，勾股定理，掌握相关的性质，构建出由弦、弦心距、半径组成的直角三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考开学考试）如图，将半径为的圆形纸片折叠后，劣弧中点恰好与圆心距离，则折痕的长为 ．
【答案】
【分析】取的中点D，根据圆的对称性和折叠的性质可知点O，C，D共线，作直线，交于点E，连接，可知，，根据垂径定理可知，在中，根据勾股定理求出，进而得出答案．
【详解】取的中点D，根据圆的对称性和折叠的性质可知点O，C，D共线，作直线，交于点E，连接，根据题意可知，，
∵点D是的中点，
∴．
在中，根据勾股定理，得．
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，垂径定理和逆定理等，构造直角三角形是解题的关键．
2．（2023春·北京海淀·九年级校考开学考试）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点A，B，连接，再作出的垂直平分线，交于点C，交弧于点D，测出，的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出，，则轮子的半径为 ．

【答案】
【分析】由垂径定理，可得出的长；连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【详解】解：设圆心为，连接．

中，，
根据勾股定理得：
，即：
，
解得：；
故轮子的半径为，
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在中，已知是直径，为上一点不与、两点重合），弦过点，．

（1）若，，则的长为 ；
（2）当P点在上运动时（保持 不变），则 ．
【答案】
【分析】（1）作于，得到，由，，得到圆的半径长，由是等腰直角三角形，得到的长，由勾股定理求出的长，即可得到的长．
（2）由，，得到，因此，得到，即可解决问题．
【详解】解：（1）作于，

，
，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故答案为：．
（2）由（1）知，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式，关键是作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理来解决问题．
4．（2023秋·九年级课时练习）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处离地面的高度为，在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度相等都等于，求的长．

【答案】
【分析】根据题意和垂径定理得到，根据勾股定理求得半径，进而利用勾股定理求得，即可求得．
【详解】设于交于G，与交于H，
∵，
∴，
设圆拱的半径为r，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴．

【点睛】本题考查了垂径定理的应用，作出辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键．
5．（2023秋·九年级课时练习）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施．

(1)求拱桥所在圆的半径；
(2)若某次洪水中，拱顶离水面只有，即，通过计算说明是否需要采取紧急措施．
【答案】(1)
(2)不需要
【分析】（1）由垂径定理可得，设拱桥所在圆的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求解即可获得答案；
（2）首先求得，，在中，由勾股定理可得，易知，即可获得结论．
【详解】（1）解：设拱桥所在圆的圆心为，连接，如下图，

由题意易知，点共线，且，则，
设拱桥所在圆的半径为，则，
在中，，
由勾股定理，可得，即，
解得，
所以，拱桥所在圆的半径为；
（2）连接，如图，
由（1）知，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴不需要采取紧急措施．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，解题关键是运用垂径定理和勾股定理求得拱桥所在圆的半径．
6．（2023·全国·九年级专题练习）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．
(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中），已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是______；
(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽，拱顶P（抛物线顶点）距离水面，求桥拱抛物线的解析式；
(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度．
【答案】(1)25
(2)
(3)此时桥的水面宽度为，桥的水面宽度为
【分析】（1）设所在圆的圆心为点，连接，则，，再设这条桥主桥拱的半径是，则，，然后在中，利用勾股定理求解即可得；
（2）以水面所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，则，再利用待定系数法求解即可得；
（3）根据（1）可得，利用勾股定理可求出的长，再利用垂径定理即可得此时桥的水面宽度；根据（2）的结论求出时，的值，由此即可得此时桥的水面宽度．
【详解】（1）解：如图，设所在圆的圆心为点，连接，

由垂径定理得：点共线，
则，，
设这条桥主桥拱的半径是，则，
，
在中，，即，
解得，
故答案为：25．
（2）解：如图，以水面所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，

由题意得：，
则设桥拱抛物线的解析式为，
将点代入得：，解得，
所以桥拱抛物线的解析式为．
（3）解：如图，桥中，由（1）可知：，

由题意得：，
，
在中，，
由垂径定理得：，
即此时桥的水面宽度为；
如图，桥中，，

当时，，
解得或，
所以此时桥的水面宽度为，
答：此时桥的水面宽度为，桥的水面宽度为．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、二次函数的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和二次函数的性质是解题关键．
【类型二 遇直径构造直径所对的圆周角】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交⊙O于点E，连接CE．

(1)求证；
(2)若的度数为，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，首先证明，即可求解；
（2）根据的度数为，可得到，根据，且，即可求解．
【详解】（1）如图：连接

是的直径
，即
又
．
（2）的度数为
又，且
．
【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角，弧、弦的关系，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式训练】
1．（2023·湖南永州·统考二模）如图，已知在中，．以为直径作半圆O，交于点D．若，则的度数是 度．

【答案】
【分析】如图所示，连接，利用圆周角定理得到，则由三线合一定理可得．
【详解】解：如图所示，连接，
∵为直径，
∴，即，
∵，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三线合一定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
2．（2023·山西运城·统考二模）如图，内接于，是的直径，若，则的度数是 ．

【答案】/28度
【分析】连接，由是的直径得到，由，即可得到答案．
【详解】解：连接，

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是是解题的关键．
3．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，是的直径，C为上一点，连接，过点O作于点D，延长交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解
(2)
【分析】（1）首先根据直径的性质得到，然后结合即可证明出；
（2）连接，首先根据勾股定理求出，然后根据垂径定理得到，利用三角形中位线的性质得到，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴．
∴．
∵．
∴；
（2）解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，．
∴在中，．
∵，是的半径，
∴．
∴为的中位线．
∴．
∴．
∴．
∴；
【点睛】此题考查了垂径定理的运用，勾股定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
4．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，以的边为直径作交于且，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由四边形内接于，得出，根据已知，得出，又，得出，等量代换得出，根据等角对等边，即可得证；
（2）根据为直径，得出，根据已知以及（1）的结论，得出，，设，则，在中，根据相等，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
又
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵为直径，
∴，
∴，，
由（1），，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，，
则，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
5．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，以的边为直径的分别交，于点，，且点是的中点，连接．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出是的角平分线，然后再根据等腰三角形的判定定理，即可得出结论；
（2）连接，根据勾股定理，得出，再根据三角形的面积公式，结合等腰三角形的性质，得出，再根据三角形的面积公式，得出，解得，再根据勾股定理，得出，然后根据线段之间的数量关系，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∴是等腰三角形；
（2）解：如图，连接，
在中，
∵，，
∴，
∴，
又∵，是等腰三角形，
∴是的中线，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理和等面积法．
【类型三 遇切线连接圆心和切点】
例题：（2023秋·河南·九年级校联考期末）如图，为的直径，，是上不同于，的两点，过点的切线垂直于交的延长线于点，连接．

(1)求证：；
(2)若，，则的长为__________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，可证，从而可证，即可求证．
（2）过作交于，可求，，，接可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，

为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：过作交于，

由（1）得：，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
解得：，
；
故答案：．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，切线的性质，角平分线的性质定理，勾股定理等，作出适当的辅助线，掌握相关的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连结，根据切线的性质得到，根据，得到，根据，得到，在中，根据三角形内角和定理可求得．
【详解】解：如图，连结，

是的切线，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，体现了方程思想，在中，根据三角形内角和定理求是解题的关键．
2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，菱形的顶点A，，在上，过点作的切线交的延长线于点，若的半径为，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，根据菱形的性质得到，求得，根据切线的性质得到，即可得到结论．
【详解】解：连接，

四边形是菱形，
，
，
，
，
是的切线，
∴，
，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练切线的性质定理是解题的关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A是外一点，分别与相切于点B，C，点D在上．已知，则的度数是 ．

【答案】/65度
【分析】连接，根据切线的性质得到，求得，根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：如图，连接，

∵分别与相切于点B，C，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，解题的关键是求出的度数．
4．（2023秋·九年级课时练习）如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数为 ．

【答案】/度
【分析】连接，根据为的切线，得出，又因为，得出，再根据，可得到，最后根据，即可求解．
【详解】解：连接，

为的切线
又
又，
，
而，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查切线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握过切点的半径与切线垂直．
5．（2023·海南省直辖县级单位·校考三模）如图，在中，是直径，弦垂直于点，过点作的切线，与的延长线相交于点．若，则等于 ．
【答案】36
【分析】连接，根据直角三角形的性质求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：连接，
弦，
．
，
，
由圆周角定理得，，
是的切线，
，
；
故答案为：36．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
6．（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，为的直径，半径，的切线交的延长线于点，的弦与相交于点．

(1)求证：；
(2)若，且为的中点，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）设的半径为，则，求得，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
，
的切线交的延长线于点，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设的半径为，
则，
，为的中点，
，，
在中，，
，
解得：或（舍去），
的半径长为6．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
7．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，是的直径，点C在上，过点C作的切线l，过点B作于点D．

(1)求证：平分；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，求得，得到，即可求得平分．
（2）连接，求得，在中，求得；在中，，；在中，利用勾股定理可求得．
【详解】（1）证明：如图，连接．

∵直线与相切于点，
∴于点．
∴．
∵于点，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴平分．
（2）解：连接．

∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
在中，
∵，，
∴．
在中，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，
∵，
∴．
【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了切线的性质、角平分线的判定和和勾股定理，作出恰当的辅助线是解决问题的关键
8．（2023·广东惠州·校考二模）如图1，是的直径，点C是上一点（不与点A，B重合），连接．

(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出的中点．（点C，D在线段AB异侧）；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图2，在（1）的条件下，过点D作的切线，分别交的延长线于点E，F．
①求证：；
②过C作于M，交于点N，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据角平分线的画法求解即可；
（2）①连接，由圆周角定理证出，由切线的性质得出，则可得出结论；
②过点作于，交于，证出四边形是矩形，得出，求出的长，则由可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，
；
（2）①证明：连接，

平分，
，
，
，
又是的切线，
，
，
∴；
②过点作于，交于，
，，
，
又，
四边形是矩形，
，
是的直径，，，
，
，
，
，
．
【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积等知识，熟记掌握切线的性质是解题的关键．