2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）专题16类比归纳专题：切线证明的常用方法之二大类型-【学霸满分】

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29018" 【典型例题】 PAGEREF _Tc29018 \h 1
\l "_Tc17936" 【类型一 有切点，连半径，证垂直】 PAGEREF _Tc17936 \h 1
\l "_Tc3485" 【类型二 无切点，作垂直，证半径】 PAGEREF _Tc3485 \h 16
【典型例题】
【类型一 有切点，连半径，证垂直】
例题：（2023上·云南昭通·九年级校考期中）如图，是的直径，是的切线，连接，过作交于点，连接并延长，交延长线于．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆切线的判定与性质
（1）连接，利用求证即可求证即得证；
（2）通过勾股定理,再通过勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）解：证明：如图，连接OD
∵
∴，
∵
∴
∴
在与中
∴(SAS)
∴
∵AC是切线．
∴
∴
∵点D在上，OD为半径，且
∴CE是的切线
（2）解：∵CE是的切线
∴
设半径为，在Rt中，，由勾股定理得：
∵，
∴
解得：
∵
∴
设，在Rt中，，由勾股定理得：
∴
解得：
∴CD的长为6
【变式训练】
1．（2023上·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，等腰中，以为直径的与、的延长线分别交于点、，垂直于．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，首先得到是等腰三角形，然后结合，证明，进而得到，即可证明出是的切线；
（2）连接，首先根据勾股定理求出，然后证明出，得到，代入求出，然后证明出，得到，求出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵，
∴是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，而，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵为的直径，
∴，，
∴，
如图所示，连接，

∵，，，
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，即
解得，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质和判定，等腰三角形三线合一性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
2．（2023·广东佛山·校考一模）如图，已知中，，以为直径的圆交于，交于 ．
(1)若，求证：为的切线．
(2)若为的切线，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图：连接、，根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后运用三角形的中位线的性质可得，进而得到即可证明结论；
（2）如图：连接，由圆周角定理可得，再解直角三角形可得，运用勾股定理可得;再运用等腰三角形的性质可得、，进而得到，任何根据切线的性质可得，即；最后根据三角形中位线的性质即可解答．
【详解】（1）解：如图：连接，，
∵为圆直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为的切线．
（2）解：如图：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的证明、切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形中位线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
3．（2023上·湖北荆门·九年级校考期中）如图，在中，，点O在上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，点F在上，且．

(1)求证：是半圆O的切线；
(2)若，，，求半圆O的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)半圆O的半径长为
【分析】本题考查了切线的判定“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”和勾股定理“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，易得，根据，得出，则，即可求证；
（2）连接，易得，设半圆O的半径长为r，则，在中，根据勾股定理可得：，在中，根据勾股定理可得：，则，求解即可．
【详解】（1）解：连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是半圆O的切线；
（2）解：连接，
∵，，
∴，
设半圆O的半径长为r，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
解得：，
即半圆O的半径长为．
4．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，中，以为直径的交于点E，平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连接，证明，即可得到结论；
（2）根据锐角三角函数先求出半径和的长，然后证明，，进而根据线段的和差即可解决问题．
【详解】（1）（1）证明：如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题．
5．（2023上·广东中山·九年级校考期中）如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，是的外接圆．

(1)求证：是的切线；
(2)过点作，垂足为，求证：；
(3)若，，求长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、切线的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识：
（1）连接，由于的平分线交于点，则有；而，就有，等量代换有，可得；又，所以，即可得到结论；
（2）连接．证明，再由全等三角形的对应边相等即可得出；
（3）由（2）中．又，根据勾股定理求出的长，证明，则，代入数值计算即可得到答案；
【详解】（1）证明：如图，连接．

∵的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）如图，连接．

∵，
∴．
∵，
∴．
在与中，
，
∴，
∴．
（3）由（2）得．
又
∴，
在中，，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
6．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，是的直径， ，与相交于点E，D 是的中点，直线与直线相交于点F．

(1)求证：是的切线．
(2)已知，当长度变化时，的长也随之变化．
①当 时，
②在整个变化过程中，的长是否存在最大值？ 判断并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①或；②不存在最大值，理由见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，可得，由余角的性质可求，可得结论；
（2）①通过证明，可得 ，通过证明，可得即可求解； ②利用①中结论得出和的关系，可判断的长度的变化．
【详解】（1）证明：连接，．

∵ 是的直径，
∴．
∴．
∵ D是的中点，
∴．
∴．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴．
∴ ．
又 点 E在上，
∴是的切线．
（2）①∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
如图1， ∵，，
∴，，
∴，即；
如图2，

∵，，
∴，，
∴，即；
②AF不存在最大值，理由如下：
如图1，设，，
∴，
∴， 整理得，，
当x无限接近4时，y的值无限大，即当和接近平行时，此时无限大．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，等腰三角形的性质，反比例函数的性质，证明三角形相似是解题的关键．
【类型二 无切点，作垂直，证半径】
例题：（2022春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考开学考试）如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作，求证：是的切线．

【答案】证明过程见解析；
【分析】题目并没有说明直线与有没有交点，所以过点作于点，然后证明即可．
【详解】证明：如图：过点作于点，

是的角平分线，，，
，
是的切线．
【点睛】本题考查圆的切线的判定知识．结合角平分线的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·福建南平·九年级统考期中）如图，以矩形的边为直径作半圆，圆心为点O，点E在边上，平分．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定、矩形的性质、勾股定理、角平分线的性质及全等三角形的判定及性质：熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
（1）过点O作，垂足为M，根据矩形的性质及角平分线的性质即可求证结论；
（2）设，利用矩形的性质及全等三角形的判定及性质可得，，再利用勾股定理即可求解；
【详解】（1）证明：过点O作，垂足为M，如图：

在矩形中，，
，
平分，，
，即是的半径，
是的切线．
（2）设，
在矩形中，，，
，，，
在和中，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
得，
解得：，
．
2．（2023上·江苏无锡·九年级统考期中）如图，是的角平分线，点O是上一点，与相切于点M，与交于点E、F．

(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】此题主要考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质和判定，等腰三角形的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行运算是解决问题的关键；
（1）连接，过点作于，先根据切线的性质得，再由角平分线的性质得，进而根据切线的判定可得出结论；
（2）由得，根据角平分线的定义得，再由得，然后根据求出，进而可得的度数．
【详解】（1）连接，过O作于N．

∵与相切于M，
∴．
∵是的角平分线，，，
∴半径．
∴是的切线．
（2）∵，
∴．
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴．
3．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，过点O作于点P，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出，的长，勾股定理求出，连接，过O作于点H，利用面积法求出，勾股定理求出，即可根据等腰三角形的性质求出的长．
【详解】（1）证明：连接，过点O作于点P，
∵与相切于点D．
∴，
∵是等腰直角三角形，，点O为的中点，
∴，
∴，即是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，，
∵点O为的中点，
∴，
∵
∴，
在中，
连接，过O作于点H，
∴，
∴
∵，
∴．

【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键．
4．（2022秋·九年级单元测试）如图，是的直径，，分别切于点，，交，于点，，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点作于点，根据切线的性质由切于点可得，再根据角平分线定理得到，然后根据切线的判定定理得到是的切线；
（2）过作于，根据切线的性质得到，则得到四边形为矩形，得到，所以，再利用切线长定理得，，所以，在中，利用勾股定理计算出，则，所以，然后中，利用勾股定理可计算出．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，
，
切于点，
，
平分，
，
为的半径，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，过作于，
，
是的直径，，分别切于点，，
，，
四边形为矩形，
，
，
，，为的切线，
，
，
在中，，
，
，
在中，．
【点睛】本题主要考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，也考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理．
5．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点．
(1)求证：与相切；
(2)若的半径为，求正方形的边长．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）过O作于H， 由正方形，可得， 证明，再证明从而可得结论；
（2）先根据勾股定理求出，从而可得，再根据正方形的性质、勾股定理即可得答案．
【详解】（1）解：如下图，过O作于H，
正方形，
，
是⊙O的切线，
，
，
为的半径，
为的半径，
与相切；
（2）的半径为，
，
由（1）可知， ，
，
，
四边形是正方形，
，
则在中，
，即，
，
解得：，
故正方形的边长为．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的切线的判定，勾股定理的应用，角平分线的性质，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．