2022-2023学年山东省济南市天桥区泺口实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省济南市天桥区泺口实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知“x>y”，则下列不等式中，不成立的是( )
A. 3x>3yB. x−9>y−9C. −x>−yD. −x2<−y2
2. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )
A. (x−3)(x+1)=x2−2x−3B. x2−xy=x(x−y)
C. ab+bc+d=b(a+c)+dD. 6x2y=3xy⋅2x
3. 若分式x−1x的值为0，则x的值是( )
A. 1B. −1C. 0D. 2
4. 把多项式2a2−4a分解因式，应提取的公因式是( )
A. aB. 2C. a2D. 2a
5. 已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么由这两个不等式组成的不等式组的解集为( )
A. x>1B. x≥−1C. −3−3
6. 如图，将△COD绕点O按顺时针方向旋转一定角度后得到△AOB，旋转角为( )
A. ∠AOBB. ∠BOCC. ∠AOCD. ∠COD
7. 在下列分式的变形中，从左到右一定正确的是( )
A. ab=a+1b+1B. 2a2b=abC. ab=a2b2D. ab=acbc
8. 下列式子中，能运用平方差公式分解因式的是( )
A. −4a2+b2B. x2+4C. a2+c2−2acD. −a2−b2
9. 如果把xyx+y中x，y的值都扩大2倍，那么这个分式的值( )
A. 不变B. 缩小到原来的12C. 扩大4倍D. 扩大2倍
10. 如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A(−1,−2)和B(−2,0)，一次函数y=2x的图象经过点A，则不等式2x≤kx+b的解集为( )
A. x≤−1
B. x≤−2
C. x≥1
D. −2≤x<−1
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 分解因式：a3−4a2= ．
12. 要使分式2x−5有意义，则x的取值应满足的条件是______ ．
13. 已知x+y=5，xy=2，则x2y+xy2的值是______ ．
14. 如图，将周长为8的△DEF沿EF方向平移3个单位长度得到△ABC，则四边形ABFD的周长为______ ．
15. 若a+1a=4，则a2+1a2= ______ ．
16. 若1a+1b=5，则分式2a−5ab+2b−a+3ab−b的值为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
计算：
(1)解不等式组5x−1<3(x+1)2x−13−5x+12≤1，并把它们的解集表示在数轴上．
(2)解不等式组2−x≤2(x+4)x18. (本小题8.0分)
如图，在直角坐标系中，A(−2,2)，B(−1,4)，C(−4,5)，请解答下列问题．
(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为(1,0)，作出△A1B1C1并写出其余两个顶角的坐标．
(2)△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2．
19. (本小题24.0分)
分解因式：
(1)3xy−9y；
(2)4a2−9；
(3)3x3−6x2+3x；
(4)−4x3y3+6x2y−2xy；
(5)p4−1；
(6)(a+1)(a−1)−(1−a)2．
20. (本小题20.0分)
计算：
(1)2x−3x−2−x−1x−2；
(2)5x−5y3x2y⋅9xy2x2−y2；
(3)4x2−4xy+y22x+y÷(4x2−y2)；
(4)先化简再求值：(1+1a2−1)÷aa−1，请在−1，0，1，2当中选出一个合适的数a代入求值．
21. (本小题10.0分)
生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任，某小区购进A型和B型两种分类垃圾桶，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花20元，购买A型、B型垃圾桶各花费了1000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍．
(1)求购买一个A型垃圾桶和一个B型垃圾桶各需多少元？
(2)若小区一次性购买A型和B型垃圾桶共60个，要使总费用不超过2000元，最少要购买多少个A型垃圾桶？
22. (本小题12.0分)
(1)问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE．
①∠AEC的度数为______；
②线段AE、BD之间的数量关系为______；
(2)拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形、∠ACB=∠DCE=90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出∠EAB+∠ECB的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.∵x>y，
∴3x>3y，故本选项不符合题意；
B.∵x>y，
∴x−9>y−9，故本选项不符合题意；
C.∵x>y，
∴−x<−y，故本选项符合题意；
D.∵x>y，
∴−x2<−y2，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A.(x−3)(x+1)=x2−2x−3，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.x2−xy=x(x−y)，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C.ab+bc+d=b(a+c)+d，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.6x2y=3xy⋅2x，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义和方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3.【答案】A
【解析】解：由题意可知：x−1=0x≠0，
∴x=1，
故选：A．
根据分式的值为零的条件即可求出答案．
本题考查分式的值为零，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件，本题属于基础题型．
4.【答案】D
【解析】解：∵2a2−4a=2a(a−2)，
∴应提取的公因式是2a．
故选：D．
根据提公因式法解决此题．
本题主要考查提公因式法，熟练掌握提公因式法是解决本题的关键．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了在数轴上表示不等式的解集．如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．本题也可用口诀来求解．求不等式组解的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】
解：由图示可知，两个不等式分别是：x≥−1，x>−3；
根据数轴上线的条数有2条的部分是x≥−1．
∴这两个不等式组成的不等式组的解集是x≥−1．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：∵将△COD绕点O按顺时针方向旋转一定角度后得到△AOB，
∴旋转角为∠AOC或∠BOD，
故选：C．
由旋转的性质可直接求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【解答】
解：A．ab≠a+1b+1，故A不符合题意；
B.2a2b=ab，故B符合题意；
C.ab≠a2b2，故C不符合题意；
D.ab=acbc(c≠0)，故D不符合题意；
故选B．
8.【答案】A
【解析】解：A、−4a2+b2=(b+2a)(b−2a)，故A符合题意；
B、x2+4不能运用平方差公式分解因式，故B不符合题意；
C、a2+c2−2ac=(a−c)2，故C不符合题意；
D、−a2−b2不能运用平方差公式分解因式，故D不符合题意；
故选：A．
根据平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)，逐一判断即可解答．
本题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：把xyx+y中x，y的值都扩大2倍，得2x⋅2y2x+2y=4xy2(x+y)=2xyx+y，那么这个分式的值扩大2倍．
故选：D．
根据分式的基本性质解决此题．
本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：由图象可知：正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b(k≠0)的图的交点是A(−1,−2)，
∴不等式2x≤kx+b的解集是x≤−1．
故选：A．
根据图象知正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b(k≠0)的图象的交点，即可得出不等式2x≤kx+b的解集．
本题考查一次函数和一元一次不等式，能利用数形结合，找到不等式与一次函数图象的关系是解答此题的关键．
11.【答案】a2(a−4)
【解析】
【分析】
直接找出公因式进而提取得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【解答】
解：a3−4a2=a2(a−4)．
故答案为：a2(a−4)．
12.【答案】x≠5
【解析】解：由题意可得：x−5≠0，
解得：x≠5，
故答案为：x≠5．
根据分式有意义的条件列不等式求解．
本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键．
13.【答案】10
【解析】解：∵x+y=5，xy=2，
∴x2y+xy2
=xy(x+y)
=2×5=10．
故答案为：10．
本题将x2y+xy2分解因式即可解答．
本题考查了分解因式的应用，熟练掌握提公因式法是解题关键．
14.【答案】14
【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移3个单位得到△DEF，
∴AD=CF=3，AC=DF，
∴四边形ABFD的周长=AB+(BC+CF)+DF+AD=AB+BC+AC+AD+CF，
∵△ABC的周长=8，
∴AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=8+3+3=14．
故答案为：14．
根据平移的性质可得AD=CF=3，AC=DF，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解．
本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．
15.【答案】14
【解析】解：∵a+1a=4，
∴(a+1a)2=16，
即a2+2+1a2=16，
∴a2+1a2=16−2=14．
故答案为：14．
根据完全平方公式把a+1a=4两边平方，然后整理即可得解，完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．
本题考查了完全平方公式，熟记公式结构，利用好乘积二倍项不含字母是解题的关键．
16.【答案】−52
【解析】解：∵1a+1b=5，
∴bab+aab=a+bab=5．
∴a+b=5ab．
∴2a−5ab+2b−a+3ab−b=2(a+b)−2ab−(a+b)+3ab=10ab−5ab−5ab+3ab=5ab−2ab=−52．
故答案为：−52．
根据分式的基本性质，由1a+1b=5，得a+b=5ab，进而代入2a−5ab+2b−a+3ab−b求解．
本题主要考查分式的基本性质、分式的值，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
17.【答案】解：(1)5x−1<3(x+1)①2x−13−5x+12≤1②，
解不等式①得：x<2，
解不等式②得：x≥−1，
则不等式组解集为−1≤x<2，
解集在数轴上表示为：

(2)2−x≤2(x+4)①x解不等式①得：x≥−2，
解不等式②得：x<1，
则不等式组解集为−2≤x<1，
∴不等式组的整数解由−2，−1，0，
∴该不等式组的最大整数解为0．
【解析】(1)分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分确定不等式组的解集，表示在数轴上即可；
(2)分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分确定不等式组的解集，找出其最大整数解即可．
本题主要考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示一元一次不等式组的解集，解题关键是熟知一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到
18.【答案】解：(1)由C(−4,5)和C1(1,0)可知其平移规律为向右平移5个单位长度，向下平移5个单位长度，如图所示△A1B1C1即为所求，点A1(3,−3)，B1(4,−1)；
(2)如图：△A2B2C2即为所求．

【解析】(1)根据平移前后C点坐标和C1的坐标可画出图形，进而得到坐标即可；
(2)将三角形三个顶点分别绕点O顺时针旋转90°得到对应点，连接即可．
本题考查了旋转变换和平移变换，结合旋转的角度和图形的特殊性求出旋转后的坐标是解题的关键．
19.【答案】解：(1)3xy−9y=3y(x−3)；
(2)4a2−9=(2a+3)(2a−3)；
(3)3x3−6x2+3x
=3x(x2−2x+1)
=3x(x−1)2；
(4)−4x3y3+6x2y−2xy=−2xy(2x2y2−3x+1)；
(5)p4−1
=(p2+1)(p2−1)
=(p2+1)(p−1)(p+1)；
(6)(a+1)(a−1)−(1−a)2
=(a−1)[(a+1)−(a−1)]
=2(a−1)．
【解析】(1)运用提公因式法因式分解即可；
(2)运用平方差公式因式分解即可；
(3)先提公因式，再用公式法因式分解即可；
(4)运用提公因式法因式分解即可；
(5)运用平方差公式法因式分解即可；
(6)先提公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)原式=(2x−3)−(x−1)x−2
=x−2x−2
=1；
(2)原式=5(x−y)3x2y⋅9xy2(x+y)(x−y)
=15yx(x+y)；
(3)原式=(2x−y)22x+y⋅1(2x+y)(2x−y)
=2x−y(2x+y)2；
(4)原式=[a2−1(a+1)(a−1)+1(a+1)(a−1)]⋅a−1a
=a2(a+1)(a−1)⋅a−1a
=aa+1，
∵(a+1)(a−1)≠0且a≠0，
∴a≠±1且a≠0，
则a=2，
所以原式=23．
【解析】(1)根据同分母分式的减法法则计算即可；
(2)先将分子、分母因式分解，再约分即可；
(3)将除法转化为乘法，并因式分解，再约分即可；
(4)先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值，代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
21.【答案】解：(1)设购买一个A型垃圾桶需x元，则购买一个B型垃圾桶需(x+20)元，
依题意得：1000x=2×1000x+20，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
∴x+20=40．
答：购买一个A型垃圾桶需20元，购买一个B型垃圾桶需40元．
(2)设购买y个A型垃圾桶，则购买(60−y)个B型垃圾桶，
依题意得：20y+40(60−y)≤2000，
解得：y≥20．
答：最少要购买20个A型垃圾桶．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
(1)设购买一个A型垃圾桶需x元，则购买一个B型垃圾桶需(x+20)元，根据数量=总价÷单价，结合用1000元购买A型垃圾桶的数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设购买y个A型垃圾桶，则购买(60−y)个B型垃圾桶，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
22.【答案】解：(1)①120°；②AE=DB
(2)CM+AE=BM，理由如下：
∵△DCE是等腰直角三角形，
∠CDE=45°，
∴∠CDB=135°，
在△ECA和△DCB中，
CE=CD∠ECA=∠DCBCA=CB，
∴△ECA≌△DCB(SAS)，
∴∠CEA=∠CDB=135°，AE=BD，
∵∠CEB=45°，
∴∠AEB=∠CEA−∠CEB=90°，
∵△DCE都是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，
∴CM=EM=MD，
∴CM+AE=BM；
(3)∠EAB+∠ECB=180°．
【解析】
【分析】
(1)①由“SAS”可证△ECA≌△DCB，根据全等三角形的性质求出∠AEC的度数；
②根据全等三角形的性质解答即可；
(2)根据△ECA≌△DCB得到∠AEB=∠CEA−∠CEB=90°，根据直角三角形的性质得到CM=EM=MD，得到线段CM、AE、BM之间的数量关系；
(3)根据△ECA≌△DCB解答即可．
【解答】
解：(1)①∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴CE=CD，CA=CB，∠ECD=∠ACB=60°，
∴∠ECD−∠ACD=∠ACB−∠ACD，即∠ECA=∠DCB，
在△ECA和△DCB中，
CE=CD∠ECA=∠DCBCA=CB，
∴△ECA≌△DCB(SAS)，
∴∠AEC=∠BDC=120°，
故答案为：120°；
②∵△ECA≌△DCB，
∴AE=BD，
故答案为：AE=BD；
(2)见答案；
(3)∵△DCE是等腰三角形，∠DCE=36°，
∴∠CDE=72°，
∴∠CDB=108°，
∵△ECA≌△DCB，
∴∠CEA=∠CDB=108°，
∴∠EAC+∠ECA=72°，
∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=36°，
∴∠CAB=72°，
∴∠EAB+∠ECB=∠EAC+CAB+∠ECA+∠ACB=72°+72°+36°=180°．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．