2023年山东省济南市天桥区中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省济南市天桥区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  截至年月日，携带“祝融号”火星车的“天问一号”环绕器在轨运行天，距离地球千米；用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  从，，这三个数中任取两数，分别记为、，那么点在反比例函数图象上的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若一次函数为常数，且的图象经过点，，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点和点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴，轴分别交于，两点，点坐标为，与交于点，，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知二次函数为常数，，点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是(    )

A. 或 B.
C. 或 D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  分解因式：          ．

12.  黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为号台球共个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出个球，则摸出的球编号为偶数的概率是______．

13.  若关于的一元二次方程没有实数根，则实数取值范围是______．

14.  如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于、两点，过点作轴，垂足为，连接，若，则的值为        ．

15.  如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的为若，则______．

16.  如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的，其中，弧的圆心为，半径为；弧的圆心为，半径为；弧的圆心为，半径为；弧的圆心为，半径为，弧、弧、弧、弧的圆心依次按点、、、循环，则弧的长是        结果保留．

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组，并写出它的所有整数解．

19.  本小题分
矩形和矩形有公共顶点和，、相交于点，、相交于点求证：≌．

20.  本小题分
为进一步开展“睡眠管理”工作，某小学对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查，设每名学生平均每天的睡眠时间为小时，其中的分组情况是：
组：
组：
组：
组：
组：

根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次共调查了        名学生；
补全条形统计图；
在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数；
若该校有名学生，请估计该校睡眠时间不足小时的学生有多少人？

21.  本小题分
某数学小组测量古塔的高度，如图，在处用测角仪测得古塔顶端的仰角为，沿方向前进到达处，又测得古塔顶端的仰角为，已知测角仪高度，测量点，与古塔的底部在同一水平线上，延长交于点，求古塔的高度精确到，参考数据：，，．

22.  本小题分
如图，是以为直径的上一点，过点的切线交的延长线于点，过点作交的延长线于点，垂足为点．
求证：；
若，，求的长．

23.  本小题分
某校计划购买，两种型号的教学仪器，已知型仪器价格是型仪器价格的倍，用元购买型仪器的数量比用元购买型仪器的数量多台．
求，型仪器单价分别是多少元；
该校需购买两种仪器共台，且型仪器数量不少于型仪器数量的，那么型仪器最少需要购买多少台？求型仪器执行最少购买量时购买两种仪器的总费用．

24.  本小题分
如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．
求反比例函数和一次函数的表达式；
连接，，求的面积；
如图，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标．
 

25.  本小题分
如图，和的顶点重合，，，，．
如图，当点，分别在，上时，可以得出结论：        ；直线与直线的位置关系是        ；
如图，将图中的绕点顺时针旋转一周的过程中，连接、，其所在直线相交于点，
中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
当的长度最大时，求线段的长度．
 

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点．

求抛物线的表达式；
正比例函数的图象分别与线段，直线交于点，，当与相似时，求线段的长度；
如图，是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，的相反数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看，可得如下图形：

故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
本题主要考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

6.【答案】 

【解析】解：画树状图如下，

，，
共有种等可能的结果，点在反比例函数的图象上的有种情况，
点在反比例函数图象上的概率为，
故选：．
画树状图可得所有的积的等可能结果，由点在反比例函数图象上可得，进而求解．
本题考查反比例函数与概率的结合，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握画树状图求概率的方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示：不等式的解为：．
故选：．
直接利用已知点画出函数图象，利用图象得出答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据作图可知，
，，
，
，
，
根据勾股定理，得．
故选：．
根据作图可知，由已知条件可知，根据勾股定理，可得的长．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，
是直径
根据同弧对的圆周角相等得，
，
，，即圆的半径为，
．
故选：．
连接，根据可知是直径，再由圆周角定理求出，由锐角三角函数的定义得出及的长，根据即可得出结论．
本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数，
对称轴为，抛物线与轴的交点为，
点是该函数图象上一点，当时，，
当时，对称轴，
此时，当时，，即，
解得；
当时，对称轴，
当时，随增大而减小，
则当时，恒成立；
综上，的取值范围是：或．
故选：．
先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可．
本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
直接运用平方差公式分解因式即可．
本题主要考查平方差公式分解因式，掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．
【解答】
解：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
从袋中随机摸出个球，一共有种可能性，其中摸出编号是偶数的有种可能性，
故摸出的球编号为偶数的概率是，
故答案为：．
根据题意和题目中的数据，可以得到一共有多少种可能性，其中摸出编号是偶数的有多少种可能性，从而可以求得摸出的球编号为偶数的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据方程没有实数根，得到，
解得：．
故答案为：．
根据方程没有实数根，得到根的判别式小于列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．
此题考查了根的判别式，根的判别式大于，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于，方程没有实数根．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，
轴，
，
轴，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
根据反比例函数系数的几何意义即可求解．
本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进行求解．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，
、，且为边的中线，
，，
将沿边上的中线平移得到，
，
∽，
则，即，
解得或舍，
故答案为：．
由，且为边的中线知，，根据∽，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方列式求解可得．
本题主要考查了平移的性质，三角形中线平分三角形的面积，相似三角形的性质，解题的关键是证明∽，利用相似三角形的性质列方程．
 

16.【答案】 

【解析】解：弧的半径是，
弧的半径是，
弧的半径是，
弧的半径是；
弧的半径是，
弧的半径是，

弧的半径是，

弧的半径是，

弧的半径是．
即弧的半径为，
弧的长是．
故答案为：．
根据题意可得后一段弧的半径总比前一段弧的半径长，又因为的半径为，可知任何一段弧的弧长都是的倍数，根据圆心以，，，四次一个循环，可得弧的半径为，再根据弧长公式进行计算即可得出答案．
本题主要考查了弧长的计算及图形变化的规律，根据题意得出图形的变化规律应用弧长的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】解：，
由得，
由得，
不等式组的解集为：，
不等式组的整数解为、、． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，在解集内找到整数即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形与四边形都是矩形，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形与四边形都是矩形，
，，，
，，
，
在与中，
，
≌． 

【解析】先证得四边形是平行四边形，然后利用即可证明≌．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，通过推理得出是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：本次调查学生总人数为名，
故答案为：；
组人数为人，
则组人数为人，

，
答：组所对应的扇形圆心角的度数为；
人，
答：估计该校睡眠时间不足小时的学生约有人．
由组人数及其所占百分比可得总人数；
总人数乘以组人数所占百分比求出其人数，继而求出组人数即可补全图形；
用乘以组人数所占比例即可；
总人数乘以、、、组人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：由题意得：
，米，，
设，
在中，，
，
，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
，
，
古塔的高度约为． 

【解析】根据题意可得：，米，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，
切于，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，
是圆的直径，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，由切线的性质得到，而，推出，得到，由，得到，因此，即可证明；
连接，由圆周角定理得到，由锐角的正弦求出的长，由余角的性质得到，因此，即可求出的长．
本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，关键是通过作辅助线综合应用以上知识点．
 

23.【答案】解：设型仪器的单价是元，则型仪器的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：型仪器的单价是元，型仪器的单价是元；
设购买台型仪器，则购买台型仪器，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为，
当时，．
答：型仪器最少需要购买台，型仪器执行最少购买量时购买两种仪器的总费用为元． 

【解析】设型仪器的单价是元，则型仪器的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购买型仪器的数量比用元购买型仪器的数量多台，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出型仪器的单价，再将其代入中，即可求出型仪器的单价；
设购买台型仪器，则购买台型仪器，根据购买型仪器数量不少于型仪器数量的，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，将其中的最小值代入中，即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】解：点，点在反比例函数上，
，
，，
反比例函数为，点，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数为：；
令，则，
，
；
如图，过点作轴的平行线，作于，于，
设，
，
，，
把线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，恰好也落在这个反比例函数的图象上，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
恰好也落在这个反比例函数的图象上，
，
解得或舍去，
 

【解析】用待定系数法即可求解；
求得点的坐标，然后根据求得即可；
过点作轴的平行线，作于，于，设，通过证得≌，得到，代入，即可求得的值，从而求得点的坐标．
本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，反比例函数图象上点的坐标特征，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
 

25.【答案】  垂直 

【解析】解：在中，，，，
，
在中，，，
，
，，
，此时，
故答案为：，垂直；

结论成立．
理由：，
，
，，
，
∽，
，，
，
，
，
，
，
；

如图中，，，，
，
，
，
，
当与重合时，的值最大，
如图中，设，则，

，，，
，
，
，
解得负根已经舍去，

如图中，设，则，则，
解得，
．

综上所述，的值为或．
解直角三角形求出，，可得结论；
结论不变，证明∽，推出，，可得结论；
因为，推出，推出，推出当与重合时，的值最大，分两种情形分别求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】解：把，两点代入抛物线表达式得：
，
解得：，
则抛物线的表达式为：；

由题意得，当与相似时，只有，
在中，，
则，
则；

存在，
，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形有两种情况：
设，
如图，过点作轴于，

四边形是矩形，
，，
，
，
，
≌，
，
，，
，
，即，
解得：舍，，
；
如图，过点作轴于，过点作轴于，

同可得：，，
，
，
，即，
解得：或舍，
；
综上，点的坐标为或． 

【解析】把，两点代入抛物线表达式列方程组解出即可；
由题意得，当与相似时，只有，即可求解；
分两种情况：作辅助线构建相似三角形，证明三角形相似或利用等角的三角函数列等式可解答．
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的相关性质，一次函数的相关性质，矩形的性质和判定，三角形全等相似的性质和判定，三角函数，解一元二次方程等知识，第三问有难度，正确作辅助线构建直角三角形是解本题的关键．