拓展三：圆锥曲线的方程（弦长问题）（精讲）-2024-2025学年高二数学上学期同步精讲精练（人教A版选择性必修第一册）

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拓展三：圆锥曲线的方程（弦长问题）（精讲）第一部分：知识点精准记忆第二部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：求椭圆、双曲线的弦长重点题型二：根据椭圆、双曲线的弦长求参数重点题型三：抛物线的焦点弦重点题型四：抛物线的非焦点弦长问题第一部分：知 识 点 精 准 记 忆知识点一：弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） 知识点二：基本不等式（当且仅当时等号成立）第二部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：求椭圆、双曲线的弦长典型例题例题1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知椭圆：的离心率为，为过椭圆右焦点的一条弦，且长度的最小值为2．(1)求椭圆的方程．(2)若斜率为1的直线与椭圆交于，两点，点，直线的斜率为，求线段的长度． 例题2．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高二开学考试（理））设椭圆的离心率，过点A.(1)求椭圆的方程；(2)求椭圆被直线截得的弦长.例题3．（2022·贵州黔西·高二期末（理））已知双曲线的焦点在轴上，对称中心为坐标原点，焦距为，且过点．（1）求的方程；（2）若斜率为2的直线与交于，两点．且，求．例题4．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．(1)求双曲线的方程；(2)若直线：与双曲线交于，两点，求弦长．同类题型归类练1．（2022·四川省资中县第二中学高二阶段练习（理））已知椭圆:的离心率，且椭圆上的点到其左焦点的最大距离为，点是轴上的一点，过点的直线与椭圆交于，两点.(1)求椭圆的方程；(2)若的面积是面积的两倍，且直线与圆：相切于点，求的长.2．（2022·陕西宝鸡·一模（文））椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的右焦点作直线交于，两点，且，求．3．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）（1）已知A，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.求点的轨迹方程，并判断轨迹的形状：（2）已知过双曲线上的右焦点，倾斜角为 的直线交双曲线于A，两点，求.4．（2022·广东广州·高二期末）已知曲线：.(1)若曲线是双曲线，求的取值范围；(2)设，已知过曲线的右焦点，倾斜角为的直线交曲线于A，B两点，求.重点题型二：根据椭圆、双曲线的弦长求参数典型例题例题1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：的离心率为且经过点1)，直线经过且与椭圆相交于两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)当求此时直线的方程；例题2．（2022·全国·高一）椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与圆相切，与椭圆交于两点，且，求直线的方程．例题3．（2022·江苏镇江·高二开学考试）在平面直角坐标系中，双曲线的对称轴都是坐标轴，且过点，到双曲线两焦点距离的差的绝对值等于2.(1)求双曲线的方程；(2)如果双曲线的焦点在轴上，直线l经过双曲线的右焦点，与双曲线交于，两点，且，求直线的方程.例题4．（2022·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高二期末）已知双曲线，直线与交于、两点．(1)若点是双曲线的一个焦点，求的渐近线方程；(2)若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．同类题型归类练1．（2022·浙江省诸暨市第二高级中学模拟预测）已知，是椭圆：的左、右焦点，动点在椭圆上，且的最大值为3，离心率为.(1)求椭圆的标准方程：(2)动点在抛物线：上，过点作椭圆的两条切线分别交直线于，两点.当时，求点的坐标.2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室一模（理））在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且直线与的斜率之积等于.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设是曲线的左焦点，过点的直线与曲线相交于，两点，过，分别作直线的垂线与轴相交于，两点.若，求此时直线的斜率.3．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为.（1）求双曲线的方程；（2）若斜率为2的直线交双曲线交于两点，且，求直线的方程.4．（2021·江苏省丹阳高级中学高二阶段练习）已知双曲线：离心率为2，且过点.(1)求的方程：(2)若斜率为的直线l与交于P，Q两点，面积为，求直线方程.重点题型三：抛物线的焦点弦典型例题例题1．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于、两点，且向量是直线的一个法向量．(1)求直线的方程及抛物线准线方程；(2)求线段的长．例题2．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）已知抛物线的焦点是，斜率为的直线经过且与抛物线相交于、两点．(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；(2)求线段的长．同类题型归类练1．（2022·江苏·高二）已知过抛物线方程的焦点的直线交抛物线于、两点，若，求弦长．2．（2022·江苏·高二）已知抛物线过点．(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度．3．（2022·全国·高二课时练习）经过抛物线的焦点的直线l交该抛物线于M，N两点，求的取值范围．4．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l过抛物线C的焦点F，l与抛物线C相交于A，B两点，且，求直线l的方程.重点题型四：抛物线的非焦点弦长问题典型例题例题1．（2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习（理））已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，开口向右且焦点到准线的距离为.(1)求抛物线的标准方程.(2)若过的焦点的直线与抛物线交于两点，且，求直线的方程.例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线（为常数，）的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的直线与抛物线交于，两点.(1)求抛物线的标准方程；(2)若直线的斜率为，求.例题3．（2022·内蒙古赤峰·高二期末）已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为．(1)求动点的轨迹方程；(2)已知直线交轨迹于两点，，且中点的纵坐标为，则的最大值为多少？同类题型归类练1．（2022·安徽·高二开学考试）已知直线与抛物线.(1)若直线与抛物线相切，求实数的值；(2)若直线与抛物线相交于、两点，且，求直线的方程.2．（2022·吉林辽源·高二期末）已知抛物线的焦点为F，第四象限的一点在C上，且.(1)求C的方程和m的值；(2)若直线l交C于A,B两点，且线段AB中点的坐标为，求直线l的方程及线段AB的长.3．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与抛物线相交于A，B两点，且O为坐标原点．(1)求弦长以及线段的中点坐标；(2)判断是否成立，并说明理由．