2024年陕西省中考数学模拟试卷12

这是一份2024年陕西省中考数学模拟试卷12，共38页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题 3 分，共 10 小题，合计 30 分）
1.计算：（-3）×5的结果是（ ）
A．-15B．15C．-2D．2
2.如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是
A．B．
C．D．
3.若三点，，在同一直线上，则的值等于（ ）
A．-1B．0C．3D．4
4.一副三角板如图摆放（直角顶点重合），边与交于点，，则等于（ ）
A.B．
C．D．
5.下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6.中，，D为的中点，，则的面积为（ ）
B．
C．D．
7.已知一次函数y =（2m+1）x+m-3的图像不经过第二象限，则m的取值范围（ ）
A．m>-B．m<3C．-8.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（ ）
A．1B．
C．D．
9.如图，AB是的直径，弦于点E，，则的度数为（ ）
B．
D．
10.抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
B．
C．D．
填空题：（每小题 3 分，共 4 小题，合计 12 分）
11.写出一个比大且比小的整数______．
12.请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
①已知：如图，在中，点在边上，，则_______度．
②某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间 .
(①题图) （②题图）
13.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则b的值为 .

(13题图) （14题图）
14.如图，在中，，D为AC上一点，若是的角平分线，则___________．
三、解答题：本大题共 11 个小题，满分 78 分．
15.计算：
16.解方程组
17.已知：．．
求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上，
18.为了响应市政府创建文明城市的号召，某校调查学生对市“文明公约十二条”的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四个选项，分别记为A、B、C、D，根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图．
请解答下列问题：
（1）本次问卷共随机调查了 学生，扇形统计图中C选项对应的圆心角为 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校有1200名学生，试估计该校选择“不了解”的学生有多少人？
19.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：△BAE≌△CDE；
（2）求∠AEB的度数．
20.为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）
21.小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量（本）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为元（，且为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
22.有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．
（1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果；
（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰贏；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？
23.如图，是的直径，点是上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）过点作于点，连接．若，，求的长度．
24.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一点，，求AP的长；
（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
25.如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，，的长是方程的两个根（）．请解答下列问题：
(1)求点B的坐标；
(2)若，直线分别交x轴、y轴、于点E，F，M，且M是的中点，直线交延长线于点N，求的值；
(3)在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2024 年陕西省中考数学模拟试卷
满分：120 分 版本：北师大版
一、选择题（每小题 3 分，共 10 小题，合计 30 分）
1.计算：（-3）×5的结果是
A．-15B．15C．-2D．2
【答案】A
【解析】（-3）×5=-15，故选A．
2.如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有一个正方形．故选A．
【名师点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3.若三点，，在同一直线上，则的值等于
A．-1B．0C．3D．4
【答案】C
【解析】设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y=kx+b，∴∴，∴y=3x+1，
将点（a，10）代入解析式，则a=3，故选C．
4.一副三角板如图摆放（直角顶点重合），边与交于点，，则等于
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知，，∵，∴，
在中，，故选A．
5.下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分别根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方法则进行判断即可．
【详解】解：A.，原式计算错误；
B. ，原式计算错误；
C. ，计算正确；
D. ，原式计算错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则，牢记乘法公式是解题的关键．
6.中，，D为的中点，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接AD，用等腰三角形的“三线合一”，得到的度数，及，由得，得，计算的面积即可．
【详解】
连接AD，如图所示：
∵，且D为BC中点
∴，且，
∴中，
∵
∴
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，及解直角三角形和三角形面积的计算，熟知以上知识是解题的关键．
7.已知一次函数y =（2m+1）x+m-3的图像不经过第二象限，则m的取值范围（ ）
A．m>-B．m<3C．-【答案】D
【解析】
【分析】
一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况.
【详解】
当函数图象经过第一，三，四象限时，
，解得：－＜m＜3.
当函数图象经过第一，三象限时，
，解得m＝3.
∴－＜m≤3.
故选D.
【点睛】
一次函数的图象所在的象限由k，b的符号确定：①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一，二，三象限；②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一，三，四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一，二，四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第二，三，四象限.注意当b＝0的特殊情况.
8.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】
设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可．
【详解】
解：设CE=x，则BE=3-x，
由折叠性质可知，
EF=CE=x，DF=CD=AB=5
在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，
∴AF=，
∴BF=AB-AF=5-4=1，
在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
即(3-x)2+12=x2，
解得x=，
故选：D．
【点睛】
本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．
9.如图，AB是的直径，弦于点E，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
连接OD，根据垂径定理得CD=2DE，从而得是等腰直角三角形，根据圆周角定理即可求解．
【详解】
解：连接OD，
∵AB是的直径，弦于点E，
∴CD=2DE，
∵，
∴DE=OE，
∴是等腰直角三角形，即∠BOD=45°，
∴=∠BOD=22.5°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理，是解题的关键．
10.抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的对称性可得结论．
【详解】
解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0），
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
∴，解得x=3,
此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答此题的关键．
填空题：（每小题 3 分，共 4 小题，合计 12 分）
11.写出一个比大且比小的整数______．
【答案】2（或3）
【解析】
【分析】
先分别求出与在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案．
【详解】
∵1＜＜2，3＜＜4，
∴比大且比小的整数是2或3．
故答案为：2（或3）
【点睛】
本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数的估算的知识，分别求出与在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键．
12．（2017 陕西，12，3 分）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
①已知：如图，在中，点在边上，，则_______度．
【答案】40
【解析】
【分析】
根据等边对等角得到，再根据三角形外角的性质得到，故，由三角形的内角和即可求解的度数．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：40．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形的内角和，熟练掌握几何知识并灵活运用是解题的关键．
②某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间 .
【解析】
【分析】
用计算器计算得3.464101615……得出答案．
【详解】
解：使用计算器计算得，
4sin60°≈3.464101615，
故选：B．
【点睛】
本题考查计算器的使用，正确地操作和计算是得出正确答案的前提．
13.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则b的值为 .
【答案】3
【解析】
【分析】
解析式联立，解方程求得的横坐标，根据定义求得的横坐标，把横坐标代入反比例函数的解析式求得的坐标，代入即可求得的值．
【详解】
解：直线与反比例函数的图象交于点，
解求得，
的横坐标为2，
如图，过C点、A点作y轴垂线，
OA//BC，
∴，
∴，
，
∴，
∴，解得=1，
的横坐标为1，
把代入得，，
，
将直线沿轴向上平移个单位长度，得到直线，
把的坐标代入得，求得，
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及函数的交点、一次函数平移、待定系数法求函数解析式等知识，求得交点坐标是解题的关键．
14.如图，在中，，D为AC上一点，若是的角平分线，则___________．

【答案】3
【分析】首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，

在中，∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题：本大题共 11 个小题，满分 78 分．
15.计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】
原式第一项运用算术平方根的性质进行化简，第二项代入特殊角三角函数值，第三项运用零指数幂运算法则计算，第四项运用负整数指数幂的运算法则进行计算，最后根据实数的运算法则得出结果即可.
【详解】
=
=
故答案为：
【点睛】
此题考查了实数的混合运算，掌握运算法则是解答此题的关键.
16.解方程组
【答案】
【分析】方程组运用加减消元法求解即可．
【详解】解：
①+②得，
解得，
将代入①得，
解得．
∴原方程组的解为
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，方法主要有：代入消元法和加减消元法．
17.已知：．．
求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上，
【答案】见详解．
【分析】要作圆，即需要先确定其圆心，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于点O，即O点为圆心．
【详解】解：根据题意可知，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于O，
即以O点为圆心，OB为半径，作圆O，如下图所示：
【点睛】此题主要考查了学生对确定圆心的作法，要求学生熟练掌握应用．
18.为了响应市政府创建文明城市的号召，某校调查学生对市“文明公约十二条”的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四个选项，分别记为A、B、C、D，根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图．
请解答下列问题：
（1）本次问卷共随机调查了 60名 学生，扇形统计图中C选项对应的圆心角为 108 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校有1200名学生，试估计该校选择“不了解”的学生有多少人？
【分析】（1）“B比较了解”的有24人，占调查人数的40%，可求出调查人数，进而求出“C一般了解”所占的百分比，进而计算其相应的圆心角的度数，
（2）求出“A非常了解”的人数，即可补全条形统计图；
（3）样本估计总体，样本中“D不了解”的占360，因此估计总体1200名学生的360是“不了解”的人数．
【解析】（1）24÷40%＝60（名），360°×1860=108°，
故答案为：60名，108；
（2）60×25%＝15（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）1200×360=60（人），
答：该校1200名学生中选择“不了解”的有60人．
19.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：△BAE≌△CDE；
（2）求∠AEB的度数．
【分析】（1）利用等边三角形的性质得到∠AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，利用正方形的性质得到AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，所以∠EAB＝∠EDC＝150°，然后根据“SAS”判定△BAE≌△CDE；
（2）先证明AB＝AE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠ABE的度数．
【解答】（1）证明：∵△ADE为等边三角形，
∴∠AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴∠EAB＝∠EDC＝150°，
在△BAE和△CDE中
AB=DC∠EAB=∠EDCAE=DE，
∴△BAE≌△CDE（SAS）；
（2）∵AB＝AD，AD＝AE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠EAB＝150°，
∴∠ABE=12（180°﹣150°）＝15°．
20.为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）
【答案】第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地，理由见解析
【解析】
【分析】
法1：过点B作BD AC于D，在中证得，设，则，在中，，利用三角函数定义或勾股定理表示出AD的长，在中，利用三角函数表示出CD的长，由AD＋CD＝AC列出方程问题得解；法2与法1辅助组相同，不同点是法2是在BCD中，利用三角定义列方程求解．
【详解】
方法1：
解：作于D．依题意得，
，，
，
．
在中，，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，，
，
（或者由勾股定理得）
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
第一组用时：；第二组用时：
，
∴第二组先到达目的地，
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
方法2：
解：于点D，
依题意得：，，．
，
，
在中，，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
第一组用时：；第二组用时：
，
第二组先到达目的地．
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
21.小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量（本）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为元（，且为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）；（2）销售单价为15元时，每周所获利润最大，最大利润是1750元．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法解答即可；
（2）根据每周销售利润=每本笔记本的利润×每周销售数量可得w与x的二次函数关系式，再根据二次函数的性质即可求出结果．
【详解】
解：（1）设与之间的函数关系式是，
把，和，代入，得
，解得：，
；
（2）根据题意，得
；
，
有最大值，且当时，随的增大而增大，
为整数，
时，有最大值，且w最大（元）．
答：销售单价为15元时，每周所获利润最大，最大利润是1750元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22.有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．
（1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果；
（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰贏；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？
【答案】（1）见解析；（2）公平，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）分别使用树状图法或列表法将所有可能出现的结果表示出来，转盘共有3种不同的抽取情况，摸球同样也有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种；
（2）通过（1）所列出的表格或是树状图表示的结果，统计 “和为3的倍数”、“和为7的倍数”出现的次数，并算出概率，通过概率的比较得出结论．
【详解】
解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
用树状图表示所有可能出现的结果如下：
（2）由（1）的表格可知，共有9种可能出现的结果，其中“和为3的倍数”的有3种，“和为7的倍数”的有3种，
∴P（小杰胜）＝，P（小玉胜）＝，
∴游戏是公平的．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将转盘、摸球所可能发生的情况一一列出，避免遗漏，并通过对可能发生的结果进行统计，计算出游戏各赢法所对应的概率．
23.如图，是的直径，点是上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）过点作于点，连接．若，，求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．
【详解】
解：（1）连接OD，如图：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE∥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°−∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）因为直径，则
∵，
∴OB=3
∴，
∵∠ADB=∠DFB=90°, ∠B=∠B
∴△DBF∽△ABD
∴
∴
所以．
【点睛】
本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．
24.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一点，，求AP的长；
（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点N的坐标为(，3) 或(，)
【解析】
【分析】
（1）利用直线与y轴的交点求得点B的坐标，然后把点B、C的坐标代入，即可求解；
（2）先求得点A的坐标，证得△PAO△CAB，利用对应边成比例即可求解；
（3）分点N在AB的上方或下方两种情况进行讨论，根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质，利用三角形全等，即可求解．
【详解】
（1）令，则，
∴点B的坐标为(0，3)，
抛物线经过点B (0，3)，C (1，0)，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）令，则，
解得：，
∴点A的坐标为(，0)，
∴OA=3，OB=3，OC=1，
，
∵，且，
∴△PAO△CAB，
∴，即，
∴；
（3）存在，
过点P作PD⊥x轴于点D，
∵OA=3，OB=3，∠AOB=，
∴∠BAO=∠ABO=，
∴△PAD为等腰直角三角形，
∵，
∴PD=AD=2，
∴点P的坐标为(，2)，
当N在AB的上方时，过点N作NE⊥y轴于点E，如图，
∵四边形APMN为平行四边形，
∴NM∥AP，NM=AP=，
∴∠NME=∠ABO=，
∴△NME为等腰直角三角形，
∴Rt△NMERt△APD，
∴NE=AD=2，
当时，，
∴点N的坐标为(，3)，
当N在AB的下方时，过点N作NF⊥y轴于点F，如图，
同理可得：Rt△NMFRt△APD，
∴NF=AD=2，
当时，，
∴点N的坐标为(，)，
综上，点N的坐标为(，3) 或(，) ．
【点睛】
本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数与一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点．正确作出图形是解题的关键．
25.如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，，的长是方程的两个根（）．请解答下列问题：
(1)求点B的坐标；
(2)若，直线分别交x轴、y轴、于点E，F，M，且M是的中点，直线交延长线于点N，求的值；
(3)在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，等腰三角形的个数是8个，，， ，
【分析】（1）解方程得到，的长，从而得到点B的坐标；
（2）由，，得．由，是中点，得到点M的坐标，代入直线中，求得b的值，从而得到直线的解析式，进而求得点E，点F的坐标，由坐标特点可得．过点C作于H，过点N作于K．从而，，进而得到，易证，可得，因此，由可得，，，从而通过解直角三角形在中，得到，在中，，因此求得，最终可得结果；
（3）分，，三大类求解，共有8种情况．
【详解】（1）解方程，得，．
，
，．
；
（2），
．
四边形是平行四边形，
，．
是中点，
．
．
将代入，得．
．
，．
．
过点C作于H，过点N作于K．
，．
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴，，
∴在中，
在中，
∴
∴
（3）解：由（2）知：直线解析式为，，
设，，
①当时，
，，
解得或，或，
∴，，，，
如图，、、、都是以5为腰的等腰三角形，
；
②当时，
由①知：，，
∵，
∴不可能等于5，
如图，，都是以5为腰的等腰三角形，
；
③当时，
由①知：，，
当时，，
解得（舍去），，
∴，
如图，
当时，，
解得（舍去），，
∴，
如图，
综上，等腰三角形的个数是8个，
符合题意的Q坐标为，， ，
【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与平行四边形，等腰三角形的综合问题，数形结合思想是解题的关键．
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