广西壮族自治区南宁市兴宁区第三中学2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题

这是一份广西壮族自治区南宁市兴宁区第三中学2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题，共22页。试卷主要包含了答题前，考生务必将姓名等内容，欢迎下载使用。

（练习时间：120分钟 满分：120分）
注意事项：
1、答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在试卷和答题卡上．
2、考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 若零下2摄氏度记为，则零上2摄氏度记为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正负数的实际意义可进行求解．
【详解】解：由题意可知零上2摄氏度记为；
故选C．
【点睛】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．
2. 下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称的定义，逐项判断即可．
【详解】解：A项，不是轴对称图形，故本选项错误；
B项，不是轴对称图形，故本选项错误；
C项，是轴对称图形，故本选项正确；
D项，不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高个图形就是轴对称图形．
3. 华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的非0数，一般形式为，其中，n等于由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数（包括小数点前面的0）．
【详解】解：．
故选：A．
4. 在数轴上表示正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.

【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式解集，注意区分方向和实心、空心点．表示数轴上2左边的部分，且2处是实心点，据此来判断．
【详解】解：表示数轴上2左边的部分，且2处是实心点，
故选：C．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】原式利用单项式乘以多项式法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，完全平方公式判断即可．
【详解】解：A、原式=-2a2-2a，不符合题意；
B、原式=4m4n6，符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式=m2-4mn+4n2，不符合题意，
故选B．
【点睛】此题考查了单项式乘多项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
6. 生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是（ ）
A. 4米，4米B. 4米，10米
C. 7米，7米D. 7米，7米，或4米，10米
【答案】C
【解析】
【分析】根据米分别为底和腰进行分类讨论，综合利用三角形的三边关系分析求解即可．
【详解】解：当米为底时，腰长为米，另两边为7米、7米，，符合三角形三边关系，能组成三角形；
当米为腰时，底边为，另两边为4米、10米，，不符合三角形三边关系，故不能组成三角形．
∴另两边为7米、7米．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
7. 下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法因式分解是关键．根据提取公因式法和公式法逐项判断即可．
【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. 不能因式分解，故该选项错误，不符合题意；
C. 因式分解错误，故该选项不符合题意；
D ，分解正确，故该选项符合题意．
故选D．
8. 如图，已知在中，，D为上一点，E为上一点，且，，那么的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、三角形外角的性质；设，再利用等腰三角形的性质可得，，，再表示，，再建立方程求解即可；熟记等腰三角形的两底角相等是解本题的关键．
【详解】解：设，
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
故选B．
9. 如图，中，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且．已知的周长为，长为8，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，根据“平分，平分”证，，再根据等角对等边即可求出答案，能够根据等角对等边求出，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，，
∴的周长，
∴的周长为，
故选：．
10. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道“牛马问题”：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何．”其大意为：现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，则符合题意的方程组是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，可以列出相应的方程组．
【详解】解：设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，
由现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱，可得方程，由一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，可得方程，故可得方程组，
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
11. 如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据大正方形的面积=边长为a的正方形的面积+两个长为a，宽为b的长方形的面积+边长为b的正方形的面积，即可解答．
【详解】根据题意得：(a+b)2=a2+2ab+b2，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键．
12. 如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；⑥是等边三角形；⑦点C在的平分线上，其中正确的有（ ）

A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
【答案】D
【解析】
【分析】由和是正三角形，其性质得三边相等，三个角为，平角的定义和角的和差得，边角边证明，其性质得结论①正确；由， 可得，可得 故⑤正确，角边角证明得，其结论③正确；等边三角形的判定得是等边三角形，结论⑥正确；判定两线，结论②正确；反证法证明命题，结论④错误；利用全等三角形的对应高相等，可证明点C在的平分线上，结论⑦正确．
【详解】解：如图1所示：

∵和是正三角形，
∴，，，
又∵，，
∴，
在和中， ，
∴，
∴， 故结论①正确；
∵，
∴，
，
，故⑤正确，
又∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，， 故③正确，
∴是等边三角形，故⑥正确
∴，
∴，
∴， 故②正确；
若，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴与是等边三角形相矛盾，假设不成立， 故结论④错误；
过点C分别作，于点M、N两点， 如图2所示：

∵，，，
∴，
又∵在的内部，
∴点C在的平分线上，故结论⑦正确；
综合所述共有6个结论正确．
故选：D．
【点睛】本题综合考查了全等三角的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，角平分线性质定理的逆定理和假设法证明命题等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角的角平分线上．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 若分式有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0进行求解即可．
本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
14. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 __________．
【答案】三角形的稳定性
【解析】
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
【详解】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．
15. 在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是，
故答案为：．
16. 如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么______．

【答案】##141度
【解析】
【分析】本题主要考查了方向角，解题的关键是根据题意找出图中角的度数．利用方向角的定义求解即可．
【详解】解：如图：

∵A在北偏西，
∴，
∴，
∵B在南偏东，
∴，
∴．
故答案为：．
17. 已知，则代数式的值为_______________
【答案】
【解析】
【分析】根据条件可知y-x=3xy，整体代入原式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
18. 如图，在Rt△ABC中，，，，BD是△ABC角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】作点M关于BD的对称点，连接P=PM，BM=B=1，当N，P，在同一直线上，且时，的值最小，等于垂线段的长，据此解答
【详解】解：作点M关于BD的对称点，连接P=PM，BM=B=1，
，
当N，P，在同一直线上，且时，的值最小，等于垂线段的长，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查最短路线问题，涉及垂线段最短、含30°角直角三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
19. 计算：
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了绝对值、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂是解题关键．先化简绝对值、计算负整数指数幂和零指数幂，再计算加减法即可得．
【详解】解：原式
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：
．
当时，原式．
21. 如图，在等边三角形的外侧作直线，点关于直线的对称点为点，连接，，其中交直线于点．
（1）依题意补全图形（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的性质等知识点，掌握尺规作图成为解题的关键．
（1）根据题意运用尺规作图补全图形即可解答；
（2）如图：连接，根据垂直平分线的性质可得，然后再运用尺规作图即可．
【小问1详解】
解：如图即为所求．
【小问2详解】
解：∵点关于直线的对称点为点，
∴，
∴．
22. 运动是一切生命的源泉，运动使人健康、聪明、快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格，某中学为了解学生一周在家运动时长t（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组其中每周运动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：

（1）在这次抽样调查中，共调查了___________名学生．
（2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数．
（3）若该校有学生1000人，试估计该校学生一周在家运动时长不足2小时的人数．
（4）根据调查结果，请对该学校学生每周在家运动情况作出评价，并提出一条合理化的建议．
【答案】（1）
（2），补图见解析
（3）
（4）需要加强学生在家体育锻炼，努力提高身体素质（答案不唯一，合情合理即可）
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率是正确解答的前提.
（1）由两个统计图可知， “组”的频数为人，占调查总人数的，根据频率即可求出调查总人数；
（2）求出样本中“组”的人数即可补全条形统计图，求出“组”人数所占调查人数的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
（3）求出样本中一周在家运动时长不足小时的人数所占的百分比，进而估计总体总体中一周在家运动时长不足小时的人数所占的百分比，再根据频率进行即可；
（4）根据各个组所占的百分比，提出相应的建议即可.
【小问1详解】
(名),
故答案为: ；
【小问2详解】
样本中“组”的人数:
(名)，
扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数为: ，
补全条形统计图如图：
【小问3详解】
(人)，
答：该校名学生中一周在家运动时长不足小时的人数大约有人；
【小问4详解】
需要加强学生在家体育锻炼，努力提高身体素质．
23. 如图，C为线段上一点，，，，
（1）求证：；
（2）若F为的中点，且，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，利用即可证明；
（2）根据，得到，进而得到为等腰三角形，利用三线合一，进行求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定方法，证明三角形全等，以及等腰三角形三线合一，是解题的关键．
24. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
【答案】（1）购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元；
（2）甲种农机具最多能购买6件．
【解析】
【分析】（1）设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元，找出等量关系列方程求解即可；
（2）设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，根据购买的总费用不超过46万元列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元，
依题意得：
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，
∴x+1＝2+1＝3．
∴购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元．
【小问2详解】
解：设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，
依题意得：3m+2（20﹣m）≤46，
解得：m≤6．
∴甲种农机具最多能购买6件．
【点睛】本题考查分式方程的应用，不等式的应用，（1）的关键是理解题意，找出等量关系列出分式方程，（2）的关键是根据购买的总费用不超过46万元列出不等式．
25. 阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行．
（1）请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ．
完成下列问题：
（2）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；
（3）若关于的方程无解，求的值．
【答案】（1）小聪，分式的分母不能为0；
（2）且；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；
（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出的取值范围；
（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围．
【小问1详解】
解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
【小问2详解】
解：原方程可化为
去分母得：
解得：
∵解为非负数
∴，即
又∵
∴，即
∴且
【小问3详解】
解：去分母得：
解得：
∵原方程无解
∴或者
①当时，得：
②当时，，得：
综上：当或时原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．
26. 在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，若平分，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）．
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定和性质，
（1）利用三角形外角的性质可得，再结合已知可得，根据等边对等角可得，即可得出结论；
（2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，构造，得，由角平分线性质可得，进而证明，即可得出结论；
（3）过点C作交于P，作交延长线于G，由角平分线+平行线可得：，利用中点加平行模型可得，，进而可得，，结合已知可得，，由此即可得出．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，

在和中，
∴，
∴，
又∵，，平分，
∴，
在和中，
，
∴
∴．
【小问3详解】
过点C作交于P，作交延长线于G，

∴，，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
同理可得：，，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∴
【点睛】本题涉及了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的定义和性质、平行线的性质等知识；解题关键是作辅助线构造三角形全等转化线段关系，（2）利用了垂直全等模型和角平分线性质，（3）利用中点+平行线构造三角形全等．