2024年中考数学压轴题专项练习—一线三等角

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（2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）如图③，若只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的与的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1），，
，
，
，，
，
，，
，
，
故答案为：，；
（2）成立，，理由如下：
同（1）得：，
，，
，
；
（3）存在，理由如下：
当时，，，
，
，
，
；
当时，
，，
，，
综上所述，存在，使得与全等，，或，．
2．（2022秋•葫芦岛期末）在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点，点，点在第四象限．
（1）如图1，求点的坐标；
（2）如图2，若交轴于点，交轴于点，是上一点，且，连接，求证；
（3）如图3，若点不动，点在轴的负半轴上运动时，分别以，为直角边在第二、第三象限作等腰直角与等腰直角，其中，连接交轴于点，问当点在轴的负半轴上移动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．
【解答】（1）解：如图1，过作轴于，
则，
点，点，
，，
为等腰直角三角形，，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
点的坐标为；
（2）证明：如图2，过作交轴于，
则，
由（1）得：，，
，
，，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
；
（3）解：的长度不变化，，理由如下：
如图3，过作轴于，
则，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，，
，，
，，
又，
，
．
3．（2023春•红安县期末）【建立模型】如图①，等腰直角三角形的直角顶点在线段上，过点作于点，过点作于点，可以得到结论：．
【运用模型】请利用这一结论解决下列问题：
（1）如图①，请证明；
（2）如图②，在平面直角坐标系中，，，过点作，使，请直接写出点的坐标．
（3）如图③，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点的坐标．
【解答】（1）证明：是等腰直角三角形，且，
，，
又，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图②，过点作轴于点，过点作轴于点，
同（1）得：，
，，
，，
，，，
，，
点的坐标为；
（3）解：第一象限内存在一点，使为等腰直角三角形，理由如下：
分三种情况：
①当时，，
如图③，分别过点、点作轴的垂线交过点作轴的平行线于点、点，
同（1）得：，
，，
、，
，，
点的横坐标为：，纵坐标为：，
；
②当时，，
如图④，分别过点、点作轴的垂线交过点作轴的平行线于点、点，
同（1）得：，
，，
、，
，，
点的横坐标为：，纵坐标为：，
；
③当时，，
如图⑤，分别过点、点作轴的垂线交过点作轴的平行线于点、点，
同（1）得：，
，，
设，
、，
，，，，
，
解得：，
，
综上所述，第一象限内存在一点，使为等腰直角三角形，点的坐标为或或．
4．（2023•鄂伦春自治旗二模）如图1，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）过点作轴分别交线段，抛物线于点，，连接．当时，求的面积；
（3）如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段．
①当点在抛物线上时，求点的坐标；
②点在抛物线上，连接，当平分时，直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）把代入得，，
二次函数的表达式为；
（2）令，得或4，
，
设直线为，代入得，
，
，
，，
，
；
（3）①过作轴，垂足为，
，，
，
，，
，
，，
设，则，代入得
，
，
或，
或．
②连接，，
，，，
，
，
由①知，
，，
，
，
或，
点的坐标为，或．
5．（2023春•罗庄区期末）课本第30页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线过等腰直角三角形的直角顶点；过点作于点，过点作于点研究图形，不难发现：．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，点的坐标为，点的坐标为，求点坐标；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，将直线绕点顺时针或逆时针旋转得到，请任选一种情况求的函数表达式；
（3）如图4，在平面直角坐标系，点，过点作轴于点，作轴于点，为线段上的一个动点，点位于第一象限（且在上方）．问点，，能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）如图2，作轴于点，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
等腰中，，，
，
又轴，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
（2）如图3，作于点，交直线于点，作轴于点，
直线分别与轴，轴交于点，，
当时，；当时，，
，，
，，
，，
，
，
，
轴，
，
，
，，
，
，
设直线的解析式为：，将，代入得，
，解得，
；
（3）如图4，过点作轴，交轴于点，交的延长线于点，
轴，轴，
，轴，
又轴，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
即，
解，
．
6．（2023•潍坊三模）如图1，将一个等腰直角三角尺的顶点放置在直线上，，，过点作于点，过点作于点．
观察发现：
（1）如图1，当，两点均在直线的上方时
①猜测线段，与的数量关系并说理由；
②直接写出线段，与的数量关系；
操作证明：
（2）将等腰直角三角尺绕着点逆时针旋转至图2位置时，线段，与又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程；
拓广探索：
（3）将等腰直角三角尺绕着点继续旋转至图3位置时，与交于点，若，，请直接写出的长度．
【解答】解：（1）①，理由如下：
如图，过点作，交的延长线于点，
，，
，
又，
，
四边形为矩形，
，
又，
，
，
在与中，
，
，
，，
又四边形为矩形，
四边形为正方形，
，
；
②由①知：；
（2），理由如下：
如图，过点作，交延长线于点，
，，
，
又，
，
四边形为矩形，
，
又，
，
，
在与中，
，
，
，，
又四边形为矩形，
四边形为正方形，
，
，
，
；
（3）如图，过点作，交于点，
由（2）同理可证，四边形为正方形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
7．（2023春•南安市期末）如图，直线为常数，与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，且，点，分别为轴和轴上的动点．
（1）求的值；
（2）若点的坐标为，且，求点的坐标；
（3）若点的坐标为，将绕点顺时针旋转得到线段，当四边形是平行四边形时，用含的代数式表示四边形的面积．
【解答】解：（1）由为常数，与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，
得当时，；当时，，
，，
，
，解得，
即的值为1．
（2）如图一，作，交延长线于点；作轴，垂足为点；作于点，
，，
是等腰直角三角形，，
，
即，
，
又，，
，
，，
，
设，将，代入得，
，解得，
，
将代入得，
．
（3）①如图二，当点在轴负半轴时，点在轴负半轴，
作轴于点，，
，
，
，
又，，
，
，
又，
，
②如图三，当点在轴正半轴时，点在轴正半轴，
作轴于点，，
，
，
，
又，，
，
，
又，
，
综上，四边形的面积．
8．（2023春•莱芜区期中）问题背景：（1）如图①，已知中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、，请直接写出、、的数量关系．
拓展延伸：（2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有请写出、、三条线段的数量关系，并说明理由．
实际应用：（3）如图③，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标．
【解答】解：（1），理由如下：
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（2），理由如下：
在中，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
；
（3）如图③，过作轴于点，过轴于点，
点的坐标为，点的坐标为，
，，，
，
由（1）可知，，
，，
，
点的坐标为．
9．（2023春•青秀区校级月考）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，求证：；
（2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标．
【解答】（1）证明：，，
，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
即的长为；
（3）解：如图3，过点作直线轴，交轴于点，过作于点，过作于点，交轴于点，
则，
，，
，，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
点坐标为．
10．（2023•尤溪县校级模拟）在矩形中，连接，线段是线段绕点逆时针旋转得到，平移线段得到线段（点与点对应，点与点对应），连接，分别交，于点，，连接．
（1）求证：；
（2）求的大小；
（3）若，，求矩形的面积（用含有，的式子表示）．
【解答】（1）证明：由平移的性质得：，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是矩形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：如图，延长、交于点，
四边形是矩形，
，
由（1）可知，，，
，
，，
由旋转的性质得：，，
，
，
，
，，
，
，
即，
是等腰直角三角形，
；
（3）解：由（2）可知，，
由（1）可知，，
由旋转的性质得：，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
11．（2023•桐乡市校级开学）如图，已知与都是等腰直角三角形，，，，点，位于的异侧，连结，过作，且，连结交于点，连结，．
（1）如图1，若点，，在同一直线上；
①求证：；
②请判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，若点，，在同一直线上，连结，试猜想与的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）①证明：，
，
在和中，
，
；
②解：是等腰直角三角形，理由如下：
与都是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
即，
是等腰直角三角形；
（2）解：，理由如下：
如图2，过作交的延长线于点，
则，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
，
，
同（1）得：，
，
．
12．（2022秋•赣县区期末）阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，求证：；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标
【解答】（1）证明：，，
，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
即的长为；
（3）解：如图3，过点作直线轴，交轴于点，过作于点，过作于点，交轴于点，
则，
，，
，，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
点坐标为．
13．（2023•丰顺县校级开学）问题提出：
如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：；
问题探究：
如图2，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第二象限作等腰直角，，求点的坐标；
问题解决：
古城西安已经全面迎来地铁时代！继西安地铁2号线于2011年9月16日通车试运行以来，共有八条线路开通运营，极大促进了西安市的交通运输，目前还有多条线路正在修建中．如图，地铁某线路原计划按的方向施工，由于在方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将段绕点顺时针或逆时针方向旋转至或方向，则可以绕开此区域．已知长为1千米，以点为原点，所在直线为轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线与直线平行，请帮助施工队计算出和所在直线的解析式．
【解答】问题提出：
证明：，，
，
，
，
，
，
，
；
问题探究：
解：，
当时：；
当时：；
，，
，，
过点作轴，交轴于点，
同上法可证：，
，，
，
；
问题解决：
解：由题意得：，
射线与直线平行，
设直线的解析式为：，
则：，解得：；
；
延长交轴于点，延长至点，使，设，过点分别作轴，
由问题提出可知：△，
，，
，
，的中点坐标为：，
由题意可知在直线上，
，
解得：，
，，
设的解析式为：，
则：，
解得：，
；
设的解析式为：，
则：，
解得：，
．
14．（2022秋•碑林区校级期末）（1）模型建立：
如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，请直接写出图中相等的线段（除；
模型应用：
（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别交于、两点，为第一象限内的点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点的坐标和直线的表达式；
探究提升：
（3）如图3，在平面直角坐标系中，，点在轴上运动，将绕点顺时针旋转至，连接，求的最小值，及此时点坐标．
【解答】（1）解：，
．
，，
，
，
，
，
，
，．
（2）以点为直角顶点时，如图，作于点．
，
时，；当时，，
，．
，
．
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
设直线的解析式为，把代入，得，
，
；
当以点为直角顶点时，作于点．如图，
同理可求：，，
，
．
设直线的解析式为，把代入，得，
，
．
（3）如图，过点作轴于点，设．
，
．
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
设，，，
则求的最小值可看做点到点和点的距离之和最小，如图，
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，
则．
设直线的解析式为，把代入得，
，
，
当时，，
，
此时，
．
15．（2022•信阳模拟）在直线上依次取互不重合的三个点，，，在直线上方有，且满足．
（1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 ；
（2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展与应用：如图3，当时，点为平分线上的一点，且，分别连接，，，，试判断的形状，并说明理由．
【解答】解：（1），理由如下，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
（2）仍然成立，理由如下，
，
，
，
，
，
，，
；
（3）是等边三角形，理由如下，
，平分，
，
，
和是等边三角形，
，，
同（2）可得，，
，，
，
，
，，
，
是等边三角形．
16．（2021秋•集贤县校级期末）在中，，，直线经过点，且于，于．
（1）当直线绕点旋转到图1的位置时，
求证：①；
②；
（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．
【解答】（1）证明：①，
．
又，，
．
②，
，．
．
（2）成立，．不成立，此时应有．
证明：，
．
又，，
．
，．
．
17．（2022春•大洼区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，与轴分别交于点、点、点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．
（1）求的长与点的坐标；
（2）求点的坐标；
（3）点是轴上的动点（不与点重合），连接，求使时点的坐标；
（4）在（3）的条件下直接写出的面积．
【解答】（1）解：直线与轴，轴交于点，点，
令，则，，令，则，
，，
，，
在中，，
折叠得到，
，
，
，
（2）解：设，则，
折叠得到，
，
在中，，，，
，
解得：，
，
（3）
解：如图1，当点在轴负半轴上时，，
过点作轴于，作于，交于点，过点作轴于，交轴于点，过点作于，
，轴，，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入，
解得：
直线的解析式为，
将点代入中，解得：，
，
，
如图2，当点在轴正半轴上时，，
过点作轴于，作交于点，过点作轴于，过点作于，
由图1可得，，
，，
，
设，则，
，
将点代入中，解得：，
，
综上所述：或，
（4）的面积为15或45，
解：当时，，，
，
当时，，，
，
18．（2022春•桃江县期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，为坐标原点，点的坐标为，过点的直线与轴交于点，是线段上一动点，设．
（1）是第一象限直线上一点，作轴于，轴于，若，．
①求证：；
②求直线的表达式及点的坐标；
（2）将直线向下平移12个单位得到直线，在直线上方的直线上，是否存在这样的点，使得，且，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】（1）①证明：轴，轴，
，
，
，
，
，
，
；
②解：四边形为矩形，，
，
，
设的表达式为，
，
解得，
的表达式为；
四边形是矩形，轴，轴，
四边形是矩形，
，，
，
，，
，，，
，
，
点的坐标为，
在直线上，
，
解得，，
；
（2）解：存在．
如图，过点作轴于，轴于，与直线交于点，
则四边形，都为矩形，
，，，
同（1）可得，，
，
，
，，
点的坐标为，
直线向下平移12个单位得到直线，
直线表达式为，
，
解得：，
，，
点的坐标为，．
19．（2022•陕西模拟）问题提出
（1）如图①，在四边形中，，与互补，，点到的距离为17，求四边形的面积；
问题解决
（2）如图②，某公园计划在一块空地上修建两大主题活动区域，其中为健身活动区域，为文艺活动区域，已知，，．按照设计要求，现要在上找一点，使得，，请问是否存在满足设计要求的点，使得文艺活动区域的面积尽可能大？若存在，求出文艺活动区域的面积及此时点，之间的距离；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）连接，延长到点，使，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
点到的距离为17，
四边形的面积的面积的面积
的面积的面积
的面积
，
四边形的面积为255；
（2）存在满足设计要求的点，使得文艺活动区域的面积尽可能大，
理由：延长到点，使，连接，过点作，垂足为，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
设，
，
，
在中，，
的面积
，
当时，的面积有最大值，且最大值为，
当时，文艺活动区域的面积最大，最大为．
20．（2022•东胜区一模）（1）探索发现：在几何学习中，如果两个三角形有公共高、公共边，我们利用面积可以发现线段之间的一些数量关系．例如图1，在中，点在边上，与面积分别记为和，若，，则 ．
（2）阅读分析：如图2，在中，，，射线交于点，点、在上，且，若的面积为5，，求的面积．
（3）类比探究：如图3，在四边形中，，与交于点，点、在射线上，且．若，的面积为3，求出的面积．
【解答】解：（1）如图1中，过点作于．
，，
，，
，
故答案为：；
（2）如图2，在中，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的面积为5，
，
，
，
，
故的面积为10．
（3）如图3，过点作于点，过点作于点，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
．