2024年中考数学压轴题专项练习—梯形综合题

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（2）若点在线段上，，，求关于的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）联结、，当是以为腰的等腰三角形时，求的长．
【解答】解：（1）如图1，连接，过作交于，
，平分，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，；
（2）如图2，连接，过点作交于，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
；
（3）如图3，当在线段上时，
①当时，
是的垂直平分线，
，
，
，
平分，
，
，
，，
，
过作交于，
在中，，
；
②当时，，
设，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
在中，，
；
当点在射线上时，此时，
，
，
，
，
，
过作交延长线于，
在中，，
，
；
综上所述：的长为2或8或．
2．（2019春•市南区校级月考）如图，在直角梯形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒4个单位长的速度运动，动点从点出发，在线段上以每秒2个单位长的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒．
（1）设的面积为，求与之间的函数关系式；
（2）当为何值时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）是否存在时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图，过点作，垂足为，则四边形为矩形．
．
，
；
（2）由图可知：，．
以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若．
在中，，
由得，
解得；
②若．
在中，．
由得：
即．
由于△，
无解，
．
③若．
由，得
整理，得．
解得，（舍去）
综合上面的讨论可知：当秒或秒时，以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形．
（3）设存在时刻，使得．
如图，过点作于，垂足为．
，
又在和中，
，
，
又，
，
，即，
解得．
所以，当秒时，．
3．（2018•南关区校级一模）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向，在射线上以每秒2两个单位长的速度运动，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒．
（1）设的面积为，直接写出与之间的函数关系式是 （不写取值范围）．
（2）当，，三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时的值．
（3）当线段与线段相交于点，且时，直接写出 ．
（4）是否存在时刻，使得若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，过点作，垂足为，则四边形为矩形．
．
，
故答案为：；
（2）由图可知：，．
以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若．
在中，，
由得，
解得；
②若．
在中，．
由得：
即．
由于△，
无解，
．
③若．
由，得
整理，得．
解得，（舍去）
综合上面的讨论可知：当秒或秒时，以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形．
（3）如图2，由，得．
，，
．
．
过点作，垂足为．
，，
．
在中，．
又，
，
；
故答案为：；
（4）设存在时刻，使得
如图3，过点作于，垂足为．
，
又在和中，
，
，
又，
，
，即．
解得．
所以，当秒时，．
4．（2014春•涪城区校级期末）在梯形中，，，，点从点开始沿边以每秒的速度移动，点从点开始沿边以每秒的速度移动（当点到达点时，点与点同时停止移动），假设点移动的时间为（秒，四边形的面积为．
（1）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）在移动的过程中，若四边形的面积与四边形的面积相等，求此时的值；
（3）在移动的过程中，是否存在使得？若存在求出所有的值，若不存在请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，作于，与，
，，
，
由勾股定理得，，
则，；
（2）四边形的面积与四边形的面积相等时，
四边形的面积四边形的面积的一半，
即，
解得，；
（3）如图2，当四边形为平行四边形时，，
即，此时，，
解得，，
如图3，当四边形为等腰梯形时，，
此时四边形是平行四边形，
，
解得，，
当或时，．
5．（2014•武汉模拟）如图，在梯形中，，，为上一动点，已知，．
（1）若，求的值．
（2）若，，求的长．
（3）若，以、为边作，直接写出线段长度的取值范围为 ．
【解答】解：（1）如图，连接，，，，，
，
设，，则，
解得，
所以，，
和底边、上的高相等，
；
（2）延长交于，取的中点，连，
，
，
，
，
，
，
又，
，
又，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得，
，
解得，
，
，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，；
（3）以、为边作，
必过的中点，
设的中点为，连接、，
则，
由勾股定理得，，
即的最大值为，
的最大值，
由垂线段最短得时最小，
过点作于，则，
所以，，
由勾股定理得，，
过点作于，则，
即，
解得，
所以，的最小值是，
为上一动点，
点不与重合，
的取值范围是．
故答案为：（3）
6．（2014春•乐清市校级月考）如图，在梯形中，，．，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为（秒
（1）设的面积为，求与之间的函数关系式；
（2）若四边形为平行四边形，求运动时间；
（3）当为何值时，以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形？
【解答】解：（1）如图1，
，
，动点的速度是每秒1个单位长，
，
，，
，
．
（2）如图2，
，
当时，四边形为平行四边形，
即时，四边形为平行四边形，
解得，
四边形为平行四边形，运动时间为10秒．
（3）①如图3，
，
当时，，
，
，，
，
解得．
②如图4，
，
当时，
，
，
在中，
，
，
解得．
③如图5，
，
当时，
，
，
在中，
，
，
整理，可得
，
△，
方程无解．
综上，可得当或3.6时，以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形．
7．（2014•无锡模拟）在直角梯形中，，高（如图．动点，同时从点出发，点沿，，运动到点停止，点沿运动到点停止，两点运动时的速度都是，而当点到达点时，点正好到达点．设，同时从点出发，经过的时间为时，的面积为（如图．分别以，为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点在边上从到运动时，与的函数图象是图3中的线段．
（1）分别求出梯形中，的长度；
（2）分别写出点在边上和边上运动时，与的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中关于的函数关系的大致图象．
（3）问：是否存在这样的，使将梯形的面积恰好分成的两部分？若存在，求出这样的的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）点在边上从到运动时，点在点，
根据函数图象得到，
，
，
当点到达点时，点正好到达点，
，
如图1，作于，
在中，，，，
，
，
即，的长度分别为，；
（2）①当点在上时，；
②当点在上时，；
如图3补全整个运动中关于的函数关系的大致图象；
（3）存在．
当，
若，则，解得，
若，则，解得，
所以的值为或6．
8．（2012秋•宜宾县期末）如图，在直角梯形中，，，且，，．若动点从点出发，以每秒的速度沿线段、向点运动；动点从点出发以每秒的速度沿向点运动．当点到达点时，动点、同时停止运动．设点、同时出发，并运动了秒，
（1）直角梯形的面积为 48 ，面积为 （用含的代数式表示）
（2）当 秒时，四边形成为平行四边形？
（3）当为何值时，；
（4）是否存在，使得点在线段上且？若存在，求出此时的值，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）如图，过点作于，
，，
四边形是矩形，
，
，
由勾股定理得，，
，
直角梯形的面积；
面积；
（2），，
所以，，
四边形成为平行四边形，
，
，
解得；
（3），，
，
，
，
解得；
（4）点在上，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
解得，
此时，，
存在秒，使得点在线段上且．
故答案为：（1）48，；（2）．
9．（2013•自贡校级模拟）如图，梯形中，，，对角线与相交于，，，，一个动点从点出发，以每秒的速度沿射线方向移动，过作，交直线于，交直线于，以为边向上作正方形，设正方形与，重叠部分的面积为，点的运动时间为秒．
（1）求经过点时的运动时间；
（2）求与的函数关系式，并求的最大值；
（3）如图（2），若的中点为，，过作，交于，交于，求在正方形内部时的取值范围．
【解答】解：（1）梯形中，，
，，
，
设经过点时的运动时间，可得：
，
，
解得：；
（2）由题意可知：
当时，；
当时，；
当时，；
当或3时，，
，
，，
，
，
当时，取最大值，最大值为4.5；
（3）为中点，
，
当时，与重合，
当运动到点时，，，
不可能与重合，
又，即，
当点从点开始运动时，点始终在正方形内部，
当在正方形内部时，．
10．（2013秋•西安校级月考）问题发现：
（1）在我们学习过的几何图形里，有很多图形的面积和周长能同时被某条直线平分，如图1，的周长和面积能被过圆心的任意一条直线平分．请你在图2和图3中分别作两条不同的直线将矩形和梯形的周长和面积同时平分，并简要说明做法．
问题解决：
如图4，在等腰梯形中，，，，点在下底边上，点在腰上．
（2）是否存在线段将等腰梯形的周长和面积平分？若存在，求出此时的长，若不存在，请说明理由．
（3）是否存在线段将等腰梯形的周长和面积同时分成的两部分？若存在，求出此时的长，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①过矩形的对角的顶点的直线即可平分矩形的面积和周长；过对角线的中点的直线即可平分矩形的面积和周长；
②取上、下底的中点、，过、作直线即可将梯形的面积和周长平分；过顶点和的中点的直线即可将梯形的面积和周长平分；
（2）存在；
由已知条件得：
梯形周长为24，高4，面积为28．
过点作于
，
，
平分等腰梯形的周长，设长为，
，
过点作于
，
，
即：，
则可得：
，
线段将等腰梯形的周长和面积平分，
，
即，
，
，
解得，（不合题意舍去）
存在线段将等腰梯形的周长与面积同时平分，此时；
（3）不存在；
假设存在，第一种情况：显然是：，，
梯形周长的三分之一为，面积的三分之一为．因为，
所以
，
，
，
，
，
的面积，
当时，
，
整理方程得：，
△
不存在这样的实数．
即不存在线段将等腰梯形的周长和面积同时分成的两部分．
第二种情况：显然是：，，
梯形周长的三分之一为，面积的三分之一为．因为，
所以
，
，
，
，
，
的面积，
当时，
，
整理方程得：，
△
不存在这样的实数．
即不存在线段将等腰梯形的周长和面积同时分成的两部分．
11．（2023•龙川县校级开学）如图1，已知梯形中，，又，．
（1）对角线与相交于点，交于点，试求的长．
（2）如图2，动点由点出发沿向点移动，速度为3单位分，同时动点由点出发沿向点移动，速度为5单位分，又与交于点，与交于点．猜想：对于动点和在运动过程中的任一时刻（分别不与，和，重合），始终有，请加以证明．
（3）设梯形的面积为，试问，在（2）题点，的运动过程中，四边形的面积是否发生变化？如发生变化，请加以说明；如不发生变化，请求出它的面积（用的代数式表示）．
【解答】（1）解：如图1，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2，设动点、的运动时间为分，由题意得：，，
，，
，
，
，
同理：，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：四边形的面积不发生变化，．
，
，
，
，
，
，
同理，，
设梯形的高为，则，
，，
，，
，，
．
12．（2023•衡水二模）如图，在四边形中，，，，以为直径作半圆，交于点，交于点．
（1）若是的中点，求证：；
（2）若是的中点，求半圆的弧长；
（3）连接，将绕点逆时针旋转得到线段，若点恰好落在边上，求的值．
【解答】（1）证明：是直径，
，
，
是的中点，
，
，
又，
；
（2）解：如图所示，连接，
是直径，
，
，，，
，，
是的中点，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
半径，
所以半圆的弧长为．
（3）解：如图所示，
将绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好落在边上，则点与点重合，
，
，
，
，
设，，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
13．（2023•潼南区二模）如图，在梯形中，，，，现有一动点从点出发沿的房移动到点（含端点和点，设点经过的路程为，经过的路线与，围成的封闭图形面积为．若点是射线上一点，且，连接、，记．
（1）求出，与的函数关系式，并注明的取值范围；
（2）在的取值范围内画出，的图象；
（3）写出函数的一条性质：的一条性质 当时，是一次函数 ；
（4）结合，的函数图象，求出时，的取值范围．（结果保留根号）．
【解答】解：（1）由题意知，，，，
，，
点经过的路程为，
当时，，
当时，，
当时，，
，
，
；
（2）根据（1）的函数关系式画出图象如下：
（3）由图象知，当时，是一次函数（答案不唯一），
故答案为：当时，是一次函数（答案不唯一）；
（4）由图知，当时，，
当时，．
14．（2023•徐汇区二模）已知：如图1，四边形中，，．
（1）求证：四边形是等腰梯形；
（2）边的垂直平分线交于点，交对角线于点，交射线于点．
①当时，设长为，试用表示的长；
②当时，求的值．
【解答】（1）证明：延长、交于点，
，
，
，
，即，
，
，
，
即，
，
，
，
，
与不平行，
四边形是梯形，
，
梯形是等腰梯形；
（2）解：①连接，
则，
，
，
，
，
四边形是等腰梯形，
，
，即，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，，，
，即，
解得：，或（不符合题意，舍去），
；
②延长、交于点，过点作，交于，作于，设与的交点为，
若点在线段上，则点为的中点，为等腰梯形的中位线，
则，
，这与矛盾；
若点在线段的延长线上，如图，
，
又，
，
设，，则，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，，
，
整理得，
解得：，
，
，
．
15．（2022•宜兴市校级二模）如图，在四边形中，，，，，，点在边上，．点在射线上，点在射线上，且．射线与射线交于点．
（1）求证：；
（2）当是直角三角形时，求的值；
（3）设的面积为，求关于的函数关系式，并直接写出的最大值．
【解答】（1）证明：如图1，过点作于点，
则，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
又，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，即，
，
，
，
，，
，
故；
当时，，
，
，
，
，即，
解得：；
当时，则，
，
，
，即，
；
综上所述，的值为或4；
（3）如图2，过点作于点，则四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，
，
，，
，
，
，
，
关于的函数关系式为，
，，，
当，即时，．
16．（2022春•新田县期末）如图在四边形中，，，，，四边形的面积等于
（1）求的长；
（2）点从点出发，以每秒2个单位的速度在射线上运动，连接，当运动时间为何值时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？
（3）点从点出发，以每秒2个单位的速度在线段上运动，连接，当运动时间为何值时，为等腰三角形？
【解答】解：（1）过点作与点，过点作于点，如图，
，，
．
在和中，
，
．
．
，，
，
，
四边形为矩形，
．
．
四边形的面积等于36，
，
，
；
（2）为3秒或9秒时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由：
①当四边形为平行四边形时，如图，
四边形为平行四边形，
，
．
点从点出发，以每秒2个单位的速度在射线上运动，
（秒；
②当四边形为平行四边形时，如图，
四边形为平行四边形，
，
，
点从点出发，以每秒2个单位的速度在射线上运动，
（秒．
综上，为3秒或9秒时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形；
（3）①当时，
过点作与点，过点作于点，如图，
由（1）知：．
，，
，
．
点从点出发，以每秒2个单位的速度在射线上运动，
（秒；
②当时，如图，
由（1）知：，
．
．
点从点出发，以每秒2个单位的速度在射线上运动，
（秒；
③当时，
过点作于点，过点作于点，如图，
由（1）知：，．
，，
．
，，
．
．
，
．
．
点从点出发，以每秒2个单位的速度在射线上运动，
．
综上，当为3秒或3.5秒或秒时，为等腰三角形．
17．（2022•浦东新区二模）如图，在四边形中，，，，点为对角线的中点，射线交边于点．
（1）求证：；
（2）如果，求的余弦值；
（3）当是等腰三角形时，求线段的长．
【解答】（1）证明：过点作，交于点，如图1，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：延长、交于点，如图2，
点为对角线的中点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
由（1）知：，
；
（3）解：由（2）知：，，
，
，
，，
，
，
是等腰三角形，
或，
当时，，
，
在中，，
在中，，
，
解得：；
当时，，，
在中，，
在中，，
，
解得：；
综上所述，当是等腰三角形时，线段的长为或．
18．（2022春•诸暨市期中）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿线段的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒．
（1）当时，求的面积；
（2）若四边形为平行四边形，求运动时间；
（3）当为何值时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？
【解答】解：（1）过点作于，则四边形为矩形．
，
，
．
把代入得到：；
（2）当四边形是平行四边形时，，
即，
解得：，
当时，四边形是平行四边形．
（3）由图可知，，，若以、、为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若，在中，，由得，解得；
②若，在中，，由得，即，
此时，△，
所以此方程无解，．
③若，由得得，（不合题意，舍去）．
综上所述，当或时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形．
19．（2021春•萧山区期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为（秒．
（1）当为何值时，四边形是平行四边形；
（2）当为何值时，以，，，为顶点的四边形面积等于？
（3）当时，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）四边形是平行四边形，
，
当从运动到时，
，
，
，
解得：，
当从运动到时，
，
，
，
解得：，
当或秒时，四边形是平行四边形；
（2）若点、分别沿、运动时，
，
即，
解得：（秒，
若点返回时，，
则，
解得：（秒．
故当或15秒时，以，，，为顶点的梯形面积等；
（3）当时，作于，则，
，
，
，
秒；
当时，，，
，
，
解得（秒；
当时，，
，
，
即，
△，
方程无实根，
综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形．
20．（2020春•剑阁县期末）如图，在四边形中，，，且，，，若动点从点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；动点从点出发以每秒的速度沿向点运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，设点、同时出发，并运动了秒，回答下列问题：
（1） 18 ；
（2）当 秒时，四边形成为矩形．
（3）当为多少时，？
（4）是否存在，使得是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：根据题意得：，，则，
（1）如图，过点作于，则四边形为矩形，
，，
在中，，，，
，
．
故答案为18；
（2），
当时，四边形为矩形，
即，
解得秒，
故当秒时，四边形为矩形；
故答案为；
（3）
①当时，如图，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
秒，
②如图，梯形是等腰梯形时，，
易证，四边形是矩形，
，
易证，，
，
，
（4）是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当时，即，
；
②当时，，
；
③当时，，
．
故存在，使得是等腰三角形，此时的值为秒或4秒或秒．