2024年中考数学压轴题专项练习—奔驰模型

这是一份2024年中考数学压轴题专项练习—奔驰模型，文件包含53奔驰模型答案docx、53奔驰模型docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。

1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
奔驰模型
1．（2021春•商河县校级期末）数学探究课上老师处这样一道题：“如图，等边中有一点，且，，，试求的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断
（1）在图中画出绕点顺时针旋转后的△；
（2）试判断△的形状，并说明理由；
（3）试判断△的形状，并说明理由；
（4）由（2）、（3）两问可知： ．
2．（2020•武侯区校级开学）问题：如图1，在等边内部有一点，已知，，，求的度数？
（1）请写出常见四组勾股数： 、 、 、 ．
（2）解决方法：通过观察发现，，的长度符合勾股数，但由于，，不在一个三角形中，想法将这些条件集中在一个三角形，于是可将绕逆时针旋转到△，此时，这样利用等边三角形和全等三角形知识，便可求出 ．请写出解题过程．
（3）应用：请你利用（2）题的思路，解答下面的问题：
如图2，在中，，，，为的点，且，若，，请求出线段的长度（用、的代数式表示）．
3．（2019秋•永定区期中）（1）如图1，点是等边内一点，已知，，，求的度数．
分析：要直接求的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内．
解：如图2，作使，连接，，则是等边三角形．
，
是等边三角形
，
，
在中，，，，

（2）如图3，在中，，，点是内一点，，，，求的度数．
（3）拓展应用．如图（4），中，，，，是内部的任意一点，连接，，，则的最小值为 ．
4．（2023春•清苑区期末）综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点，．
特例分析：（1）如图2，当旋转到时，旋转角的度数为 ；
探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论．
拓展延伸：（3）①直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数．
②在图3中，作直线，交于点，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数．
（4）连接，在旋转过程中是否存在角，使四边形是平行四边形？若存在，直接写出的度数；如果不存在，请说明理由．
5．（2023•崂山区模拟）阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形内有一点，且，，，求的度数．
小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
请你回答：图1中的度数等于 ．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在正方形内有一点，且，，，则的度数等于 ，正方形的边长为 ；
（2）如图4，在正六边形内有一点，且，，，则的度数等于 ，正六边形的边长为 ．
6．（2022秋•玄武区校级期中）如图，是等边三角形内一点，连接，，，以为边作，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求长．
7．（2022秋•新城区校级期末）如图，是正三角形内的一点，且，，．若将绕点逆时针旋转后，得到△．
（1）求点与点之间的距离；
（2）求的度数．
8．（2020秋•田家庵区校级月考）（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，是正方形内一点，连结，，现将绕点顺时针旋转得到的△，连接．若，，，则的长为 ，正方形的边长为 ．
（变式猜想）（2）如图2，若点是等边内的一点，且，，，请猜想的度数，并说明理由．
（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：
如图3，在四边形中，，，，则的长度为 ．
9．（2017秋•郾城区校级期中）下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．
（1）如图1，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数．
解：将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等边三角形．
，，，
．
为 三角形．
的度数为 ．
（2）类比延伸
如图2，在正方形内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由．
10．（2019•碑林区校级三模）问题提出
（1）如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小．
问题探究
（2）在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小．
问题解决
（3）如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？
若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由．
11．（2017秋•诸暨市校级期中）如图，是等边三角形内的一点，连接，，，以为边作，且，连接．
（1）观察并猜想与之间的大小关系，并说明理由．
（2）若，，，连接，判断的形状并证明．
12．（2015秋•高青县期末）阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形内有一点，且，，，求的度数；
小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
（1）请你回答：图1中的度数等于 ．（直接写答案）
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，在正方形内有一点，且，，．
（2）求的度数；
（3）求正方形的边长．
13．（2016秋•盐城校级月考）【方法呈现】
（1）已知，点是正方形内的一点，连、、．将绕点顺时针旋转到△的位置（如图，设的长为，的长为，求旋转到△的过程中边所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；
【实际运用】
（2）如图2，点是等腰内一点，，连接，，．若，，，求的大小；
【拓展延伸】
（3）如图3，点是等边内一点，，，，则的面积是 （直接填答案）
14．（2014•河南）（1）探究发现
下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．
如图1，在等边三角形内部有一点，，，．求的度数．
解：将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等边三角形．
，，，
为 三角形
的度数为 ．
（2）类比延伸
如图2，在正方形内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由．
（3）联想拓展
如图3，在中，，．点在直线上方且，试判断是否存在常数，满足．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
15．如图，是等边三角形内的一点，连接、、，以为边作，且，连接．
（1）观察并猜想与之间的大小关系，并说明理由．
（2）若，，， ．（请直接写出的度数）