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所属成套资源：2024年中考数学压轴题专项练习（特级教师改编）
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2024年中考数学压轴题专项练习—隐形圆之对角互补作圆
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这是一份2024年中考数学压轴题专项练习—隐形圆之对角互补作圆，文件包含68隐形圆之对角互补作圆答案docx、68隐形圆之对角互补作圆docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
隐形圆之对角互补作圆
1．（2018秋•新乐市期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（ ）
A．B．C．D．
2．（2017春•沙坪坝区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线相交于O，过点O作OE⊥BD，交AD点E，连接BE，若∠ABE＝20°，则∠AOE的大小是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
3．（2018秋•宜兴市期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面积为8，则BC长为 ．
4．（2021秋•碑林区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 ．
5．（2020秋•双流区校级期中）如图，正方形ABCD中，AD＝1，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则
（1）FM＝ ，
（2）tan∠MDE＝ ．
6．（2020•南京二模）定点O、P的距离是5，以点O为圆心，一定的长为半径画圆⊙O，过点P作⊙O的两条切线，切点分别是B、C，则线段BC的最大值是 ．
7．（2018秋•松北区期末）已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长 ．
8．（2017春•句容市校级月考）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上的一动点，点F是CD上一点，且CE＝DF，AF、DE相交于点O，BO＝BA，则OC的值为 ．
9．（2014•南平模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于D，且∠COD＝60°，E为弧BC上一动点（不与点B、C重合），过E分别作于EF⊥AB于F，EG⊥OC于G．
现给出以下四个命题：
①∠GEF＝60°；②CD＝GF；③△GEF一定为等腰三角形；④E在弧BC上运动时，存在某个时刻使得△GEF为等边三角形．
其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）
10．（2020秋•简阳市 期中）如图，在正方形ABCD中，AD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则FM＝ ，＝ ．
11．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ ．
（2）问题解决：
如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
（3）问题拓展：
抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C，点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．
①若含45°角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，求Q的坐标；
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，点D与点B，点Q不重合，求点P的坐标．
12．（2019秋•九龙坡区期末）（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH上，且∠AEB＝∠FEH，求证：AB＝AF+BH．
（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．
①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；
②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．
13．（2022•潢川县校级一模）如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．
（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为 °，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为 ；
（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；
（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．
14．（2018•许昌二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．
（1）观察猜想
张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD＝ BD．
（2）探究证明
将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明
（3）拓展延伸
在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．
15．（2022秋•灌南县校级月考）（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝4，CD＝2，求AD的长．
16．（2017•碑林区校级四模）问题发现：
（1）如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是 ；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是 ．
问题解决：
如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝2，点P是BC边上任意一点．
（2）当∠APD＝45°时，求BP的长度．
（3）是否存在点P，使得∠APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由．
17．（2017秋•香坊区校级月考）如图，C为△ABD外一点，连接BC、CD、AC，过点A作AE⊥BC，BE＝CE．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若∠ADB+∠BDC＝90°，求证：∠ABD＝∠ACD．
（3）在（2）的条件下，BD＝3CD，∠ACD＝60°，AB＝8，求BD长度．
18．（2021秋•越秀区校级期中）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，且AD⊥BD于点D．
（1）判断△ABD的形状；
（2）如图2，在（1）的结论下，若BQ＝2，DQ＝3，∠BQD＝75°，求AQ的长；
（3）如图3，在（1）的结论下，若将DB绕着点D顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到DP，连接BP，作DE⊥BP交AP于点F．试探究AF与DE的数量关系，并说明理由．
19．（2021秋•西城区校级期中）如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；
（3）若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．
20．（2020•碑林区校级模拟）问题提出：
（1）如图①，半圆O的直径AB＝10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是 ．
问题探究：
（2）如图②，在边长为10的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，请探究并求出四边形BEFG的周长的最小值．
问题解决：
（3）如图③，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四边形ABCD的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
隐形圆之对角互补作圆
1．（2018秋•新乐市期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（ ）
A．B．C．D．
2．（2017春•沙坪坝区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线相交于O，过点O作OE⊥BD，交AD点E，连接BE，若∠ABE＝20°，则∠AOE的大小是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
3．（2018秋•宜兴市期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面积为8，则BC长为 ．
4．（2021秋•碑林区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 ．
5．（2020秋•双流区校级期中）如图，正方形ABCD中，AD＝1，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则
（1）FM＝ ，
（2）tan∠MDE＝ ．
6．（2020•南京二模）定点O、P的距离是5，以点O为圆心，一定的长为半径画圆⊙O，过点P作⊙O的两条切线，切点分别是B、C，则线段BC的最大值是 ．
7．（2018秋•松北区期末）已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长 ．
8．（2017春•句容市校级月考）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上的一动点，点F是CD上一点，且CE＝DF，AF、DE相交于点O，BO＝BA，则OC的值为 ．
9．（2014•南平模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于D，且∠COD＝60°，E为弧BC上一动点（不与点B、C重合），过E分别作于EF⊥AB于F，EG⊥OC于G．
现给出以下四个命题：
①∠GEF＝60°；②CD＝GF；③△GEF一定为等腰三角形；④E在弧BC上运动时，存在某个时刻使得△GEF为等边三角形．
其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）
10．（2020秋•简阳市 期中）如图，在正方形ABCD中，AD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则FM＝ ，＝ ．
11．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ ．
（2）问题解决：
如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
（3）问题拓展：
抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C，点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．
①若含45°角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，求Q的坐标；
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，点D与点B，点Q不重合，求点P的坐标．
12．（2019秋•九龙坡区期末）（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH上，且∠AEB＝∠FEH，求证：AB＝AF+BH．
（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．
①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；
②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．
13．（2022•潢川县校级一模）如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．
（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为 °，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为 ；
（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；
（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．
14．（2018•许昌二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．
（1）观察猜想
张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD＝ BD．
（2）探究证明
将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明
（3）拓展延伸
在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．
15．（2022秋•灌南县校级月考）（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝4，CD＝2，求AD的长．
16．（2017•碑林区校级四模）问题发现：
（1）如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是 ；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是 ．
问题解决：
如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝2，点P是BC边上任意一点．
（2）当∠APD＝45°时，求BP的长度．
（3）是否存在点P，使得∠APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由．
17．（2017秋•香坊区校级月考）如图，C为△ABD外一点，连接BC、CD、AC，过点A作AE⊥BC，BE＝CE．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若∠ADB+∠BDC＝90°，求证：∠ABD＝∠ACD．
（3）在（2）的条件下，BD＝3CD，∠ACD＝60°，AB＝8，求BD长度．
18．（2021秋•越秀区校级期中）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，且AD⊥BD于点D．
（1）判断△ABD的形状；
（2）如图2，在（1）的结论下，若BQ＝2，DQ＝3，∠BQD＝75°，求AQ的长；
（3）如图3，在（1）的结论下，若将DB绕着点D顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到DP，连接BP，作DE⊥BP交AP于点F．试探究AF与DE的数量关系，并说明理由．
19．（2021秋•西城区校级期中）如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；
（3）若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．
20．（2020•碑林区校级模拟）问题提出：
（1）如图①，半圆O的直径AB＝10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是 ．
问题探究：
（2）如图②，在边长为10的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，请探究并求出四边形BEFG的周长的最小值．
问题解决：
（3）如图③，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四边形ABCD的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
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