还剩12页未读，
继续阅读
所属成套资源：人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习
成套系列资料，整套一键下载
人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率精品练习题
展开
这是一份人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率精品练习题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”志愿服务活动，则下列各事件中，互斥不对立的是( )
A. “至少有1名女生”与“都是女生”
B. “至少有1名女生”与“至少有1名男生”
C. “恰有1名女生”与“恰有2名女生”
D. “至少有1名女生”与“至多有1名男生”
2.某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为1，2，3，4的四种添加剂可供选用，则选用的两种添加剂芳香度之和为5的概率为( )
A. 12B. 13C. 14D. 15
3.从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是( )
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.6
4.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )
A. 对立事件B. 互斥但不对立事件C. 不可能事件D. 必然事件
5.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为
( )
A. 16B. 13C. 12D. 56
6.有六条线段，其长度分别为2，3，4，5，6，7现任取三条，则这三条线段在可以构成三角形的前提下，能构成钝角三角形的概率是
( )
A. 913B. 1013C. 715D. 1115
7.已知甲袋中有4个白球、x个红球，乙袋中有2个白球、4个红球，各个球的大小与质地相同．现从甲、乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则x=( )
A. 2B. 4C. 6或2D. 8或4
8.若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率是
( )
A. 56B. 34C. 23D. 45
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.6个相同的分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为X1，第二次取出球的数字为X2.设X=X1X2，其中X表示不超过X的最大整数，则
( )
A. PX1>X2=512B. PX1+X2=5=29
C. 事件“X1=6”与“X=0”互斥D. 事件“X2=1”与“X=0”对立
10.黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血，下列结论正确的是
( )
A.
任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B. 任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29
C.
任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1
D.
任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1
11.如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中nΩ=24，nA=12，nB=8，nA∪B=16，下列运算结果，正确的有
( )
A. nAB=4B. PAB=16C. PA∪B=23D. PAB=12
12.已知事件A，B发生的概率分别为PA=13，PB=16，则
( )
A. PA=23B. 13≤PA+B≤12
C. 若A与B互斥，则PA∪B=49D. 一定有B⊆A
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是 ．
14.甲、乙等6名同学报名参加4个社区的服务工作，每人只能选一个社区，则甲、乙选到同一个社区的概率为 ．
15.在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合A=0,1,2,3,4,5内取值的点中任取一个点，此点正好在直线y=2x上的概率为 ．
16.同时抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2，3，4，⋯，11，12中的一个，记事件A={点数之和是2，4，7，12}，事件B={点数之和是2，4，6，8，10，12}，事件C={点数之和大于8}，则事件A∩B∩C为 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：20,25，第二组：25,30，第三组：30,35，第四组：35,40，第五组：40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．若有甲(年龄38)，乙(年龄40)两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率．
18.(本小题12分)
某学校高一年级共有1120人，在一次数学考试中随机抽取了100名学生的成绩，发现分数都在80,150内，统计得到的频率分布直方图如图所示：
(1)求图中a的值；
(2)试估计这100名学生得分的平均数和中位数(结果按四舍五入法取整数)：
(3)现在按分层随机抽样的方法在100,110和110,120两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次数学考试的总结会，求两组中各有一人被抽取的概率．
19.(本小题12分)
某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)若产品的质量指数在[8,10]内，则该产品为优等品.现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率．
20.(本小题12分)
试分别解答下列两个小题：
(Ⅰ)设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，记事件A=“方程x2+bx+c=0没有实根”，事件B=“方程x2+bx+c=0有且仅有一个实根”，求P(A)−3P(B)．
(Ⅱ)甲、乙、丙三位同学各自独立地解决同一个问题，已知这三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为12,13,14，记E=“三人中只有一个人正确解决了这个问题”，求P(E)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了互斥事件，事件的包含和对立事件，属于基础题．
利用互斥事件，事件的包含和对立事件，逐项分析得结论．
【解答】
解：对于A.因为事件“都是女生”包含于事件“至少有1名女生”，故A错误；
对于B.因为两个事件都包含“有1名女生”的可能性，所以不互斥，故B错误；
对于C.因为两个事件是互斥且不对立的两个事件，故C正确；
对于D.因为两个事件不是互斥事件，例如“一男2女”，故D错误．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查古典概型及其计算，属于基础题．
利用列举法求出总的可能情况和所求事件的可能情况，即可求出结果．
【解答】
解：选用两种添加剂的可能情况为：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6个，
选用的两种添加剂芳香度之和为5包含的可能情况为：
1,4,2,3共2个，
所以选用的两种添加剂芳香度之和为5的概率为p=26=13．
故选B．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，考查古典概型，考查运算求解能力，是基础题．
基本事件总数n=10，这两个数都是奇数包含的基本事件个数m=3，由此能求出这两个数都是奇数的概率．
【解答】
解：从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，
基本事件总数n=10，
这两个数都是奇数包含的基本事件个数m=3，
∴这两个数都是奇数的概率是P=mn=310=0.3．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查对立事件与互斥事件的概念，属于基础题．
根据题意，分析可得“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但除了这2个事件外，还有事件“丙分得红牌”，由对立事件与互斥事件的概念，可得答案．
【解答】
解：根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，
但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，则两者不是对立事件，
则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．
故选：B ．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查古典概型的计算与应用，属于基础题．
列举出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之积为偶数的情况数占所有情况数的多少即可．
【解答】
解：从分别写有数字1，2，3，4这4张卡片中随机取出两张卡的基本事件总数为：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，
其中取出的2张卡片上的数字之积为偶数的有(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共5个，
由古典概型的概率公式可知，所求概率为56．
故选D．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查概率的求解，考查古典概等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
【解答】
解：有六条线段，具长度分别为2，3，4，5，6，7．
现任取三条，则这三条线段能构成三角形包含的基本事件有：
(2,3,4)，(2,4,5)，(2,5,6)，(2,6,7)，(3,4,5)，(3,4,6)，
(3,5,6)，(3,5,7)，(3,6,7)，(4,5,6)，(4,5,7)，(4,6,7)，(5,6,7)，
共13个，其中能构成锐角三角形的基本事件有：(4,5,6)，(4,6,7)，(5,6,7)，共3个，构成直角三角形的基本事件有(3,4,5)，共1个，
∴能构成钝角三角形的基本事件的个数为9，故P=913．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了古典概型及其计算，是基础题．
根据古典概型公式得出方程求解即可．
【解答】
解：设事件A为“从甲袋中取出的2个球的颜色不相同”，
事件B为“从乙袋中取出的2个球的颜色不相同”，
则P(A)=4×x+x×4(x+4)(x+3)=8x(x+4)(x+3)，P(B)=2×4+4×26×5=815，
所以8x(x+4)(x+3)=815，解得x=2或x=6．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查古典概型的概率计算，属基础题．
根据题意先做出方程有实根的充要条件，列举出试验发生的所有可能，找出符合条件的可能情况，根据古典概型公式得到结果．
【解答】
解：设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实数根”．
当a≥0，b≥0时，方程x2+2ax+b2=0有实数根，
则△=(2a)2−4b2≥0，得a≥b，
a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，所有可能情况有
：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12种可能情况，
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，
事件A包含有：(0,0),(1,0),(1,1), (2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)．共9种，
∴方程x2+2ax+b2=0有实根的概率为P(A)=912=34．
故选B．
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查互斥事件，对立事件，随机事件发生的概率。
结合互斥事件和对立事件的定义，结合古典概型公式即可得出结论．
【解答】
解：由题意，
6个相同的分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．
∴共有36种可能的情况，其中X1>X2的情况共有：36−62=15，
∴PX1>X2=1536=512，故 A正确。
∵两次取球数字之和为5的情况有以下四种：1,4，2,3，3,2，4,1，
∴PX1+X2=5=436=19，故 B错误．
当X1=6时，X=X1X2=6X2≠0，
∴事件“X1=6”与“X=0”互斥，故 C正确．
∵当X2=1时，X=X1X2=X1≠0，
当X2=2，X1=2时，X=X1X2=1≠0
∴事件“X2=1”与“X=0”不对立，故 D错误．
故选：AC．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查互斥事件概率加法公式，关键在于弄清题意，此题应弄清楚可以输血的规则，属于中档题．
根据输血的规则，可以输给B型血的人为B或O型；B型血的人可以输血给B型或AB血型；可以输给O型血的人只能是O型；所有人都可以输给AB型血的人．
【解答】
解：任找一个人，其血型为A、B、AB、O型血的事件分别记为A′、B′、C′、D′，它们两两互斥．
由已知，有P(A′)=0.28，P(B′)=0.29，P(C′)=0.08，P(D′)=0.35．
因为B，O型血可以输给B型血的人，
所以“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′，
根据概率的加法公式，
得P(B′∪D′)=P(B′)+P(D′)
=0.29+0.35=0.64，故A正确；
B型血的人能为B型、AB型的人输血，其概率为0.29+0.08=0.37，B错误；
由O型血只能接受O型血的人输血知，C错误；
由任何人的血都可以够给AB型血的人，知D正确．
故选：AD．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查事件的并、交运算，互斥事件的概念和古典概型的概率的求法，属于基础题．
利用互斥事件的概念和古典概型的概率的求法直接判断即可．
【解答】
解：对于A：∵nA∪B=nA+nB−nAB，
∴nAB=nA+nB−nA∪B=4.故A正确；
对于B：PAB=nABnΩ=424=16，故 B正确；
对于C：PA∪B=nA∪BnΩ=1624=23，故 C正确；
对于D：∵nAB=nΩ−nA∪B=24−16=8，∴PAB=nABnΩ=824=13 ，故D错误．
故选ABC．
12.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查了互斥事件的概率加法，考查对立事件的概率公式，属于中档题．
对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断．
【解答】
解：对于A，因为 PA=13 ，所以 PA=1−P(A)=1−13=23 ，故A正确；
对于B，因为 PA+B=PA+PB−PAB=12−PAB ，
又 0≤PAB≤PA 且 0≤PAB≤PB ，则 0≤PAB≤16 ，
所以 13≤12−PAB≤12 ，即 13≤PA+B≤12 ，故B正确；
对于C，因为A与B互斥，所以 PAB=0 ，
则 PA∪B=PA+PB−PAB=13+16−0≠49 ，故C错误；
对于D，记事件 A= “抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件 B= “抛掷一枚骰子，向上的点数为4”，
则满足 PA=13 ， PB=16 ，但 B⊆A 不成立，故D错误；
故选：AB．
13.【答案】35
【解析】【分析】
本题考查古典概型，为基础题．
分别求出基本事件总数和取出的两球中恰有一个红球所含的基本事件个数，代入公式即可得解．
【解答】
解：从5个球中随机取出两个球，共有10个基本事件，其中取出的两球中恰有一个红球包含2×3=6个基本事件，其概率为610=35.
14.【答案】14
【解析】【分析】
本题考查古典概型及其计算，组合与组合数公式，属于基础题．
求出所有可能和符合题意的可能，利用古典概型的概率公式即可求解．
【解答】
解：6名同学随机报名参加4个社区的服务工作的方法数为46，
甲、乙被选到同一个社区服务站的方法数为C4144，
所以甲、乙被选到同一个社区服务站的概率为C41×4446=14．
故答案为14．
15.【答案】112
【解析】【分析】
本题考查古典概型，属于中档题．
依题意，试验发生包含的事件共有 6×6=36 种结果，其中满足条件的有 3 种结果，由古典概型的概率计算公式即可求得概率．
【解答】
解：试验发生包含的事件是任取横坐标与纵坐标都在集合 A=0,1,2,3,4,5 内的一个点，
所有的可能结果有： 0,0 ， 0,1 ， 0,2 ， 0,3 ， 0,4 ， 0,5 ， 1,0 ， 1,1 ， 1,2 ， 1,3 ， 1,4 ， 1,5 ， 2,0 ， 2,1 ， 2,2 ， 2,3 ， 2,4 ， 2,5 ， 3,0 ， 3,1 ， 3,2 ， 3,3 ， 3,4 ， 3,5 ， 4,0 ， 4,1 ， 4,2 ， 4,3 ， 4,4 ， 4,5 ， 5,0 ， 5,1 ， 5,2 ， 5,3 ， 5,4 ， 5,5 ，共 6×6=36 种结果，
满足点正好在直线 y=2x 上的有： 0,0 ， 1,2 ， 2,4 ，共有 3 种结果，
所以所求概率是 P=336=112 ，
故答案为： 112 ．
16.【答案】{点数之和为2或4}
【解析】【分析】
本题主要考查事件的包含关系及运算，是中档题．
由事件的交集运算及补集运算，结合题意可得结果．
【解答】
解：同时抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2，3，4，⋯，11，12中的一个，
由题意可得A∩B={点数之和是2，4，12}，
C={点数之和小于等于8}，
则A∩B∩C={点数之和为2或4}．
故答案为{点数之和为2或4}．
17.【答案】解：(1)设这m人的平均年龄为x，则
x=22.5×0.01×5+27.5×0.07×5+32.5×0.06×5+37.5×0.04×5+42.5×0.02×5=32.25岁，
设第80百分位数为a，因为0.05+0.35+0.3=0.7，所以第80百分位数在35,40之间，
由0.05+0.35+0.3+(a−35)×0.04=0.8，解得a=37.5．
(2)由题意得，各组人数比例为1:7:6:4:2，所以第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组应抽取2人，记为D，乙．
对应的样本空间为：Ω=A,B,A,C,(A,甲)，(A,乙)，A,D，(B,C)，(B,甲)，(B,乙)，B,D，(C,甲)，(C,乙)，C,D，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D) }，共15个样本点．
设事件M=“甲、乙两人至少一人被选上”，
则M={(A,甲)，(A,乙)，(B,甲)，(B,乙)，(C,甲)，(C,乙)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D) }，共有9个样本点．
所以PM=nMnΩ=35.
【解析】本题考查古典概型及其计算，百分位数，分层随机抽样．
(1)直接根据频率分布直方图求解平均年龄与第80百分位数；
(2)按照分层抽样确定第四组抽取人数与编号，第五组抽取人数与编号，列举样本空间中所有样本点及事件“甲、乙两人至少一人被选上”的所有符合的样本点，结合古典概型公式计算即可得所求概率．
18.【答案】解：(1)因为频率分布直方图的频率之和为 1 ，
所以 (0.005+0.01+0.01+0.015+a+0.025+0.005)×10=1 ，则 a=0.03 ．
(2)由频率分布直方图可估计这100名学生得分的平均数为
x=(85×0.005+95×0.01+105×0.01+115×0.015+125×0.03 +135×0.025+145×0.005)×10=120 ，
因为 (0.005+0.01+0.01+0.015)×10=0.4 ， 0.4+0.03×10=0.7 ，
所以中位数位于 [120,130) ，不妨设中位数为 x ，
则 0.4+0.03x−120=0.5 ，解得 x=120+103≈123 ，所以中位数约为 123 ．
(3)在 100,110 和 110,120 两组中的人数分别为 100×0.01×10=10 ， 100×0.015×10=15 ，
故在 [100,110) 分组中抽取的人数为 5×1010+15=2 ，分别记作 a,b ，
在 [110,120) 分组中抽取的人数为 5×1510+15=3 ，分别记作 1,2,3 ，
则从这5人中随机抽取2人的所有抽取方法为 (a,b) ， (a,1) ， (a,2) ， (a,3) ， (b,1) ， b,2 ， (b,3) ， (1,2) ， (1,3) ， (2,3) ，共有10种，
其中两组中各有一人被抽取的方法有 (a,1) ， (a,2) ， (a,3) ， (b,1) ， b,2 ， (b,3) ，共6种，
所以两组中各有一人被抽取的概率为 P=610=35 ．
【解析】本题考查平均数、中位数、古典概型及其计算，属于一般题．
(1)利用频率分布直方图的频率之和为 1 ，得到关于 a 的方程，解之即可得解；
(2)利用频率分布直方图求平均数与中位数的解法求解即可；
(3)利用列举法，结合古典概型的概率公式求解即可．
19.【答案】解：(1)甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为x甲=3×0.05×2+5×0.15×2+7×0.2×2+9×0.1×2=6.4;
乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为x乙=3×0.15×2+5×0.1×2+7×0.2×2+9×0.05×2=5.6．
(2)由题意可知，甲生产线的样品中优等品有100×0.1×2=20件，
乙生产线的样品中优等品有100×0.05×2=10件．
从甲生产线的样品中抽取的优等品有6×2020+10=4件，记为a，b，c，d;
从乙生产线的样品中抽取的优等品有6×1020+10=2件，记为E，F．
从这6件产品中随机抽取2件的情况有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,E)，(a,F)，(b,c)，(b,d)，(b,E)，(b,F)，(c,d)，(c,E)，(c,F)，(d,E)，(d,F)，(E,F)，共15种;
其中符合条件的情况有(a,E)，(a,F)，(b,E)，(b,F)，(c,E)，(c,F)，(d,E)，(d,F)，共8种．
故所求概率P=815．
【解析】本题考查频率分布直方图，分层抽样，古典概型等知识，属于中档题．
(1)结合频率分布直方图中的平均数的求法分别求出甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数；
(2)由题设从甲生产线的样品中抽取的优等品有6×2020+10=4件，从乙生产线的样品中抽取的优等品有6×1020+10=2件，再使用列举法求出恰有1件产品是甲生产线生产的概率．
20.【答案】解：(Ⅰ)已知总可能发生的情况的总数为6×6=36，
若方程没有实根，
此时Δ=b2−4c<0，即b<2 c，
当b=1时，c=1，2，3，4，5，6；
当b=2时，c=2，3，4，5，6；
当b=3时，c=3，4，5，6；
当b=4时，c=5，6
此时事件个数为6+5+4+2=17，
所以“方程x2+bx+c=0没有实根”的概率P(A)=1736；
若方程有两个相等实根，
此时Δ=b2−4c=0，即b=2 c，
因为b，c∈{1,2,3,4,5,6}，
只有当c=1时，b=2；当c=4时，b=4这两组满足条件，
所以“方程x2+bx+c=0有且仅有一个实根”的概率P(B)=236，
则P(A)−3P(B)=1736−3×236=1136；
(Ⅱ)因为这三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为12,13,14，
则仅甲同学单独解决了这个问题的概率P1=12×(1−13)×(1−14)=14，
仅乙同学单独解决了这个问题的概率P2=(1−12)×13×(1−14)=18，
仅丙同学单独解决了这个问题的概率P3=(1−12)×(1−13)×14=112，
则P(E)=14+18+112=1124．
【解析】本题考查概率的计算，古典概型，属于一般题．
(Ⅰ)由题意，求出所有可能出现的情况，将方程没有实根和方程有且仅有一个实根转化成b和c的大小关系，列出所有满足条件的事件，进而即可求解．
(Ⅱ)分别求出仅甲同学单独解决了这个问题的概率，仅乙同学单独解决了这个问题的概率和仅丙同学单独解决了这个问题的概率，即可求解．血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例
0.28
0.29
0.08
0.35
1.从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”志愿服务活动，则下列各事件中，互斥不对立的是( )
A. “至少有1名女生”与“都是女生”
B. “至少有1名女生”与“至少有1名男生”
C. “恰有1名女生”与“恰有2名女生”
D. “至少有1名女生”与“至多有1名男生”
2.某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为1，2，3，4的四种添加剂可供选用，则选用的两种添加剂芳香度之和为5的概率为( )
A. 12B. 13C. 14D. 15
3.从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是( )
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.6
4.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )
A. 对立事件B. 互斥但不对立事件C. 不可能事件D. 必然事件
5.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为
( )
A. 16B. 13C. 12D. 56
6.有六条线段，其长度分别为2，3，4，5，6，7现任取三条，则这三条线段在可以构成三角形的前提下，能构成钝角三角形的概率是
( )
A. 913B. 1013C. 715D. 1115
7.已知甲袋中有4个白球、x个红球，乙袋中有2个白球、4个红球，各个球的大小与质地相同．现从甲、乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则x=( )
A. 2B. 4C. 6或2D. 8或4
8.若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率是
( )
A. 56B. 34C. 23D. 45
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.6个相同的分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为X1，第二次取出球的数字为X2.设X=X1X2，其中X表示不超过X的最大整数，则
( )
A. PX1>X2=512B. PX1+X2=5=29
C. 事件“X1=6”与“X=0”互斥D. 事件“X2=1”与“X=0”对立
10.黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血，下列结论正确的是
( )
A.
任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B. 任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29
C.
任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1
D.
任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1
11.如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中nΩ=24，nA=12，nB=8，nA∪B=16，下列运算结果，正确的有
( )
A. nAB=4B. PAB=16C. PA∪B=23D. PAB=12
12.已知事件A，B发生的概率分别为PA=13，PB=16，则
( )
A. PA=23B. 13≤PA+B≤12
C. 若A与B互斥，则PA∪B=49D. 一定有B⊆A
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是 ．
14.甲、乙等6名同学报名参加4个社区的服务工作，每人只能选一个社区，则甲、乙选到同一个社区的概率为 ．
15.在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合A=0,1,2,3,4,5内取值的点中任取一个点，此点正好在直线y=2x上的概率为 ．
16.同时抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2，3，4，⋯，11，12中的一个，记事件A={点数之和是2，4，7，12}，事件B={点数之和是2，4，6，8，10，12}，事件C={点数之和大于8}，则事件A∩B∩C为 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：20,25，第二组：25,30，第三组：30,35，第四组：35,40，第五组：40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．若有甲(年龄38)，乙(年龄40)两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率．
18.(本小题12分)
某学校高一年级共有1120人，在一次数学考试中随机抽取了100名学生的成绩，发现分数都在80,150内，统计得到的频率分布直方图如图所示：
(1)求图中a的值；
(2)试估计这100名学生得分的平均数和中位数(结果按四舍五入法取整数)：
(3)现在按分层随机抽样的方法在100,110和110,120两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次数学考试的总结会，求两组中各有一人被抽取的概率．
19.(本小题12分)
某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)若产品的质量指数在[8,10]内，则该产品为优等品.现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率．
20.(本小题12分)
试分别解答下列两个小题：
(Ⅰ)设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，记事件A=“方程x2+bx+c=0没有实根”，事件B=“方程x2+bx+c=0有且仅有一个实根”，求P(A)−3P(B)．
(Ⅱ)甲、乙、丙三位同学各自独立地解决同一个问题，已知这三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为12,13,14，记E=“三人中只有一个人正确解决了这个问题”，求P(E)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了互斥事件，事件的包含和对立事件，属于基础题．
利用互斥事件，事件的包含和对立事件，逐项分析得结论．
【解答】
解：对于A.因为事件“都是女生”包含于事件“至少有1名女生”，故A错误；
对于B.因为两个事件都包含“有1名女生”的可能性，所以不互斥，故B错误；
对于C.因为两个事件是互斥且不对立的两个事件，故C正确；
对于D.因为两个事件不是互斥事件，例如“一男2女”，故D错误．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查古典概型及其计算，属于基础题．
利用列举法求出总的可能情况和所求事件的可能情况，即可求出结果．
【解答】
解：选用两种添加剂的可能情况为：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6个，
选用的两种添加剂芳香度之和为5包含的可能情况为：
1,4,2,3共2个，
所以选用的两种添加剂芳香度之和为5的概率为p=26=13．
故选B．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，考查古典概型，考查运算求解能力，是基础题．
基本事件总数n=10，这两个数都是奇数包含的基本事件个数m=3，由此能求出这两个数都是奇数的概率．
【解答】
解：从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，
基本事件总数n=10，
这两个数都是奇数包含的基本事件个数m=3，
∴这两个数都是奇数的概率是P=mn=310=0.3．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查对立事件与互斥事件的概念，属于基础题．
根据题意，分析可得“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但除了这2个事件外，还有事件“丙分得红牌”，由对立事件与互斥事件的概念，可得答案．
【解答】
解：根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，
但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，则两者不是对立事件，
则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．
故选：B ．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查古典概型的计算与应用，属于基础题．
列举出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之积为偶数的情况数占所有情况数的多少即可．
【解答】
解：从分别写有数字1，2，3，4这4张卡片中随机取出两张卡的基本事件总数为：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，
其中取出的2张卡片上的数字之积为偶数的有(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共5个，
由古典概型的概率公式可知，所求概率为56．
故选D．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查概率的求解，考查古典概等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
【解答】
解：有六条线段，具长度分别为2，3，4，5，6，7．
现任取三条，则这三条线段能构成三角形包含的基本事件有：
(2,3,4)，(2,4,5)，(2,5,6)，(2,6,7)，(3,4,5)，(3,4,6)，
(3,5,6)，(3,5,7)，(3,6,7)，(4,5,6)，(4,5,7)，(4,6,7)，(5,6,7)，
共13个，其中能构成锐角三角形的基本事件有：(4,5,6)，(4,6,7)，(5,6,7)，共3个，构成直角三角形的基本事件有(3,4,5)，共1个，
∴能构成钝角三角形的基本事件的个数为9，故P=913．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了古典概型及其计算，是基础题．
根据古典概型公式得出方程求解即可．
【解答】
解：设事件A为“从甲袋中取出的2个球的颜色不相同”，
事件B为“从乙袋中取出的2个球的颜色不相同”，
则P(A)=4×x+x×4(x+4)(x+3)=8x(x+4)(x+3)，P(B)=2×4+4×26×5=815，
所以8x(x+4)(x+3)=815，解得x=2或x=6．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查古典概型的概率计算，属基础题．
根据题意先做出方程有实根的充要条件，列举出试验发生的所有可能，找出符合条件的可能情况，根据古典概型公式得到结果．
【解答】
解：设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实数根”．
当a≥0，b≥0时，方程x2+2ax+b2=0有实数根，
则△=(2a)2−4b2≥0，得a≥b，
a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，所有可能情况有
：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12种可能情况，
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，
事件A包含有：(0,0),(1,0),(1,1), (2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)．共9种，
∴方程x2+2ax+b2=0有实根的概率为P(A)=912=34．
故选B．
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查互斥事件，对立事件，随机事件发生的概率。
结合互斥事件和对立事件的定义，结合古典概型公式即可得出结论．
【解答】
解：由题意，
6个相同的分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．
∴共有36种可能的情况，其中X1>X2的情况共有：36−62=15，
∴PX1>X2=1536=512，故 A正确。
∵两次取球数字之和为5的情况有以下四种：1,4，2,3，3,2，4,1，
∴PX1+X2=5=436=19，故 B错误．
当X1=6时，X=X1X2=6X2≠0，
∴事件“X1=6”与“X=0”互斥，故 C正确．
∵当X2=1时，X=X1X2=X1≠0，
当X2=2，X1=2时，X=X1X2=1≠0
∴事件“X2=1”与“X=0”不对立，故 D错误．
故选：AC．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查互斥事件概率加法公式，关键在于弄清题意，此题应弄清楚可以输血的规则，属于中档题．
根据输血的规则，可以输给B型血的人为B或O型；B型血的人可以输血给B型或AB血型；可以输给O型血的人只能是O型；所有人都可以输给AB型血的人．
【解答】
解：任找一个人，其血型为A、B、AB、O型血的事件分别记为A′、B′、C′、D′，它们两两互斥．
由已知，有P(A′)=0.28，P(B′)=0.29，P(C′)=0.08，P(D′)=0.35．
因为B，O型血可以输给B型血的人，
所以“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′，
根据概率的加法公式，
得P(B′∪D′)=P(B′)+P(D′)
=0.29+0.35=0.64，故A正确；
B型血的人能为B型、AB型的人输血，其概率为0.29+0.08=0.37，B错误；
由O型血只能接受O型血的人输血知，C错误；
由任何人的血都可以够给AB型血的人，知D正确．
故选：AD．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查事件的并、交运算，互斥事件的概念和古典概型的概率的求法，属于基础题．
利用互斥事件的概念和古典概型的概率的求法直接判断即可．
【解答】
解：对于A：∵nA∪B=nA+nB−nAB，
∴nAB=nA+nB−nA∪B=4.故A正确；
对于B：PAB=nABnΩ=424=16，故 B正确；
对于C：PA∪B=nA∪BnΩ=1624=23，故 C正确；
对于D：∵nAB=nΩ−nA∪B=24−16=8，∴PAB=nABnΩ=824=13 ，故D错误．
故选ABC．
12.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查了互斥事件的概率加法，考查对立事件的概率公式，属于中档题．
对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断．
【解答】
解：对于A，因为 PA=13 ，所以 PA=1−P(A)=1−13=23 ，故A正确；
对于B，因为 PA+B=PA+PB−PAB=12−PAB ，
又 0≤PAB≤PA 且 0≤PAB≤PB ，则 0≤PAB≤16 ，
所以 13≤12−PAB≤12 ，即 13≤PA+B≤12 ，故B正确；
对于C，因为A与B互斥，所以 PAB=0 ，
则 PA∪B=PA+PB−PAB=13+16−0≠49 ，故C错误；
对于D，记事件 A= “抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件 B= “抛掷一枚骰子，向上的点数为4”，
则满足 PA=13 ， PB=16 ，但 B⊆A 不成立，故D错误；
故选：AB．
13.【答案】35
【解析】【分析】
本题考查古典概型，为基础题．
分别求出基本事件总数和取出的两球中恰有一个红球所含的基本事件个数，代入公式即可得解．
【解答】
解：从5个球中随机取出两个球，共有10个基本事件，其中取出的两球中恰有一个红球包含2×3=6个基本事件，其概率为610=35.
14.【答案】14
【解析】【分析】
本题考查古典概型及其计算，组合与组合数公式，属于基础题．
求出所有可能和符合题意的可能，利用古典概型的概率公式即可求解．
【解答】
解：6名同学随机报名参加4个社区的服务工作的方法数为46，
甲、乙被选到同一个社区服务站的方法数为C4144，
所以甲、乙被选到同一个社区服务站的概率为C41×4446=14．
故答案为14．
15.【答案】112
【解析】【分析】
本题考查古典概型，属于中档题．
依题意，试验发生包含的事件共有 6×6=36 种结果，其中满足条件的有 3 种结果，由古典概型的概率计算公式即可求得概率．
【解答】
解：试验发生包含的事件是任取横坐标与纵坐标都在集合 A=0,1,2,3,4,5 内的一个点，
所有的可能结果有： 0,0 ， 0,1 ， 0,2 ， 0,3 ， 0,4 ， 0,5 ， 1,0 ， 1,1 ， 1,2 ， 1,3 ， 1,4 ， 1,5 ， 2,0 ， 2,1 ， 2,2 ， 2,3 ， 2,4 ， 2,5 ， 3,0 ， 3,1 ， 3,2 ， 3,3 ， 3,4 ， 3,5 ， 4,0 ， 4,1 ， 4,2 ， 4,3 ， 4,4 ， 4,5 ， 5,0 ， 5,1 ， 5,2 ， 5,3 ， 5,4 ， 5,5 ，共 6×6=36 种结果，
满足点正好在直线 y=2x 上的有： 0,0 ， 1,2 ， 2,4 ，共有 3 种结果，
所以所求概率是 P=336=112 ，
故答案为： 112 ．
16.【答案】{点数之和为2或4}
【解析】【分析】
本题主要考查事件的包含关系及运算，是中档题．
由事件的交集运算及补集运算，结合题意可得结果．
【解答】
解：同时抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2，3，4，⋯，11，12中的一个，
由题意可得A∩B={点数之和是2，4，12}，
C={点数之和小于等于8}，
则A∩B∩C={点数之和为2或4}．
故答案为{点数之和为2或4}．
17.【答案】解：(1)设这m人的平均年龄为x，则
x=22.5×0.01×5+27.5×0.07×5+32.5×0.06×5+37.5×0.04×5+42.5×0.02×5=32.25岁，
设第80百分位数为a，因为0.05+0.35+0.3=0.7，所以第80百分位数在35,40之间，
由0.05+0.35+0.3+(a−35)×0.04=0.8，解得a=37.5．
(2)由题意得，各组人数比例为1:7:6:4:2，所以第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组应抽取2人，记为D，乙．
对应的样本空间为：Ω=A,B,A,C,(A,甲)，(A,乙)，A,D，(B,C)，(B,甲)，(B,乙)，B,D，(C,甲)，(C,乙)，C,D，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D) }，共15个样本点．
设事件M=“甲、乙两人至少一人被选上”，
则M={(A,甲)，(A,乙)，(B,甲)，(B,乙)，(C,甲)，(C,乙)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D) }，共有9个样本点．
所以PM=nMnΩ=35.
【解析】本题考查古典概型及其计算，百分位数，分层随机抽样．
(1)直接根据频率分布直方图求解平均年龄与第80百分位数；
(2)按照分层抽样确定第四组抽取人数与编号，第五组抽取人数与编号，列举样本空间中所有样本点及事件“甲、乙两人至少一人被选上”的所有符合的样本点，结合古典概型公式计算即可得所求概率．
18.【答案】解：(1)因为频率分布直方图的频率之和为 1 ，
所以 (0.005+0.01+0.01+0.015+a+0.025+0.005)×10=1 ，则 a=0.03 ．
(2)由频率分布直方图可估计这100名学生得分的平均数为
x=(85×0.005+95×0.01+105×0.01+115×0.015+125×0.03 +135×0.025+145×0.005)×10=120 ，
因为 (0.005+0.01+0.01+0.015)×10=0.4 ， 0.4+0.03×10=0.7 ，
所以中位数位于 [120,130) ，不妨设中位数为 x ，
则 0.4+0.03x−120=0.5 ，解得 x=120+103≈123 ，所以中位数约为 123 ．
(3)在 100,110 和 110,120 两组中的人数分别为 100×0.01×10=10 ， 100×0.015×10=15 ，
故在 [100,110) 分组中抽取的人数为 5×1010+15=2 ，分别记作 a,b ，
在 [110,120) 分组中抽取的人数为 5×1510+15=3 ，分别记作 1,2,3 ，
则从这5人中随机抽取2人的所有抽取方法为 (a,b) ， (a,1) ， (a,2) ， (a,3) ， (b,1) ， b,2 ， (b,3) ， (1,2) ， (1,3) ， (2,3) ，共有10种，
其中两组中各有一人被抽取的方法有 (a,1) ， (a,2) ， (a,3) ， (b,1) ， b,2 ， (b,3) ，共6种，
所以两组中各有一人被抽取的概率为 P=610=35 ．
【解析】本题考查平均数、中位数、古典概型及其计算，属于一般题．
(1)利用频率分布直方图的频率之和为 1 ，得到关于 a 的方程，解之即可得解；
(2)利用频率分布直方图求平均数与中位数的解法求解即可；
(3)利用列举法，结合古典概型的概率公式求解即可．
19.【答案】解：(1)甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为x甲=3×0.05×2+5×0.15×2+7×0.2×2+9×0.1×2=6.4;
乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为x乙=3×0.15×2+5×0.1×2+7×0.2×2+9×0.05×2=5.6．
(2)由题意可知，甲生产线的样品中优等品有100×0.1×2=20件，
乙生产线的样品中优等品有100×0.05×2=10件．
从甲生产线的样品中抽取的优等品有6×2020+10=4件，记为a，b，c，d;
从乙生产线的样品中抽取的优等品有6×1020+10=2件，记为E，F．
从这6件产品中随机抽取2件的情况有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,E)，(a,F)，(b,c)，(b,d)，(b,E)，(b,F)，(c,d)，(c,E)，(c,F)，(d,E)，(d,F)，(E,F)，共15种;
其中符合条件的情况有(a,E)，(a,F)，(b,E)，(b,F)，(c,E)，(c,F)，(d,E)，(d,F)，共8种．
故所求概率P=815．
【解析】本题考查频率分布直方图，分层抽样，古典概型等知识，属于中档题．
(1)结合频率分布直方图中的平均数的求法分别求出甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数；
(2)由题设从甲生产线的样品中抽取的优等品有6×2020+10=4件，从乙生产线的样品中抽取的优等品有6×1020+10=2件，再使用列举法求出恰有1件产品是甲生产线生产的概率．
20.【答案】解：(Ⅰ)已知总可能发生的情况的总数为6×6=36，
若方程没有实根，
此时Δ=b2−4c<0，即b<2 c，
当b=1时，c=1，2，3，4，5，6；
当b=2时，c=2，3，4，5，6；
当b=3时，c=3，4，5，6；
当b=4时，c=5，6
此时事件个数为6+5+4+2=17，
所以“方程x2+bx+c=0没有实根”的概率P(A)=1736；
若方程有两个相等实根，
此时Δ=b2−4c=0，即b=2 c，
因为b，c∈{1,2,3,4,5,6}，
只有当c=1时，b=2；当c=4时，b=4这两组满足条件，
所以“方程x2+bx+c=0有且仅有一个实根”的概率P(B)=236，
则P(A)−3P(B)=1736−3×236=1136；
(Ⅱ)因为这三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为12,13,14，
则仅甲同学单独解决了这个问题的概率P1=12×(1−13)×(1−14)=14，
仅乙同学单独解决了这个问题的概率P2=(1−12)×13×(1−14)=18，
仅丙同学单独解决了这个问题的概率P3=(1−12)×(1−13)×14=112，
则P(E)=14+18+112=1124．
【解析】本题考查概率的计算，古典概型，属于一般题．
(Ⅰ)由题意，求出所有可能出现的情况，将方程没有实根和方程有且仅有一个实根转化成b和c的大小关系，列出所有满足条件的事件，进而即可求解．
(Ⅱ)分别求出仅甲同学单独解决了这个问题的概率，仅乙同学单独解决了这个问题的概率和仅丙同学单独解决了这个问题的概率，即可求解．血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例
0.28
0.29
0.08
0.35
相关试卷
高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算精品综合训练题： 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册<a href="/sx/tb_c4000291_t7/?tag_id=28" target="_blank">6.2 平面向量的运算精品综合训练题</a>，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学人教A版 (2019)6.1 平面向量的概念优秀一课一练： 这是一份数学人教A版 (2019)<a href="/sx/tb_c4000290_t7/?tag_id=28" target="_blank">6.1 平面向量的概念优秀一课一练</a>，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高中人教A版 (2019)10.1 随机事件与概率课后作业题： 这是一份高中人教A版 (2019)10.1 随机事件与概率课后作业题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
