专题六　第1讲　直线与圆--高三高考数学复习-PPT

这是一份专题六　第1讲　直线与圆--高三高考数学复习-PPT，共60页。PPT课件主要包含了考点一，考点二，考点三，直线的方程，圆的方程，圆的位置关系，专题强化练，核心提炼，故x－y的最大值是，x2＋y2＝16等内容，欢迎下载使用。

1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、 填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度.
1.已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
　(1)(多选)已知直线l的倾斜角等于30°，且l经过点(0,1)，则下列结论中正确的是
(2)当点M(2，－3)到直线(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0的距离取得最大值时，m等于
将直线(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0转化为(4x－y＋2)m－x＋y＋1＝0，
所以直线恒过定点N(－1，－2)，当直线MN与该直线垂直时，点M到该直线的距离取得最大值，
解决直线方程问题的三个注意点(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.(2)要注意直线方程每种形式的局限性.(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.
　　　(1)(多选)下列说法错误的是A.过点A(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x＋y＝－5B.直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)C.经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)D.过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－ y1)(x－x1)
对于A中，当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，可设直线方程为y＝kx，又直线过点A(－2，－3)，
对于B中，直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0可化为(2x＋y－5)m＋2x－3y＋7＝0，
即直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)，所以B正确；
对于D中，由两点(x1，y1)，(x2，y2)，
当x1＝x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为x＝x1或x＝x2，适合上式，所以过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，所以D正确.
因为直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0平行，
所以直线l2为2x－4y－6＝0，直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)化为2x－4y＋2m＝0(m>0)，
得|2m＋6|＝20，因为m>0，所以2m＋6＝20，解得m＝7，所以m＋n＝7－4＝3.
1.圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2.圆的一般方程
　(1)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2关于直线2x＋y＋5＝0对称，则圆C2的标准方程为A.(x＋4)2＋(y＋2)2＝4B.(x－4)2＋(y－2)2＝4C.(x＋2)2＋(y＋4)2＝4D.(x－2)2＋(y－4)2＝4
由题意可得，圆C1的圆心坐标为(0,0)，半径为2，设圆心C1(0,0)关于直线2x＋y＋5＝0的对称点为C2(a，b)，
所以圆C2的标准方程为(x＋4)2＋(y＋2)2＝4.
(2)(2023·泉州模拟)已知圆C：x2＋y2＋mx－2y＝0关于直线l：(a＋1)x－ay－1＝0(a≠－1)对称，l与C交于A，B两点，设坐标原点为O，则|OA|＋|OB|的最大值等于A.2 B.4 C.8 D.16
圆C：x2＋y2＋mx－2y＝0，
直线l：(a＋1)x－ay－1＝0，因为a≠－1，所以直线l的斜率不为0，又a(x－y)＋(x－1)＝0，
即直线l恒过定点D(1,1)，又圆C关于直线l对称，所以圆心C在直线l上，
显然(0－1)2＋(0－1)2＝2，即圆C过坐标原点O(0,0)，因为l与C交于A，B两点，即A，B为直径的两个端点，如图，所以∠AOB＝90°，
即|OA|·|OB|≤4，当且仅当|OA|＝|OB|＝2时取等号，所以(|OA|＋|OB|)2＝|OA|2＋|OB|2＋2|OA|·|OB|＝8＋2|OA|·|OB|≤16，即|OA|＋|OB|≤4，当且仅当|OA|＝|OB|＝2时取等号，即|OA|＋|OB|的最大值等于4.
解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.
　(1)(2023·龙岩质检)写出一个与圆x2＋y2＝1外切，并与直线y＝ x及y轴都相切的圆的方程____________________________________________________________________________________________________________________________________.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为与圆x2＋y2＝1外切，
联立得3a2＝2|a|＋1，
(2)(2023·福州模拟)已知⊙O1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，⊙O1关于直线ax＋2y＋1＝0对称的圆记为⊙O2，点E，F分别为⊙O1，⊙O2上的动点，EF长度的最小值为4，则a等于
由题易知两圆不可能相交或相切，如图，当EF所在直线过两圆圆心且与对称轴垂直，点E，F又接近于对称轴时，EF长度最小，此时圆心O1到对称轴的距离为4，
1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.其判断方法为：(1)点线距离法.(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.
考向1　直线与圆的位置关系
　(1)(多选)(2023·阳泉模拟)已知直线l：y＝kx＋2k＋2(k∈R)与圆C：x2＋y2－2y－8＝0.则下列说法正确的是A.直线l过定点(－2,2)B.直线l与圆C相离C.圆心C到直线l距离的最大值是D.直线l被圆C截得的弦长的最小值为4
对于A，因为l：y＝kx＋2k＋2(k∈R)，即y＝k(x＋2)＋2，令x＋2＝0，即x＝－2，得y＝2，所以直线l过定点(－2,2)，故A正确；对于B，因为(－2)2＋22－2×2－8<0，所以定点(－2,2)在圆C：x2＋y2－2y－8＝0的内部，所以直线l与圆C相交，故B错误；对于C，如图，因为圆C：x2＋y2－2y－8＝0，可化为x2＋(y－1)2＝9，圆心C(0,1)，当圆心C与定点(－2,2)的连线垂直于直线l时，圆心C到直线l的距离取得最大值，
(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为 ”的m的一个值为___________________________________.
设直线x－my＋1＝0为直线l，点C到直线l的距离为d，
　(1)(2023·淄博模拟)“a≥ ”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
考向2　圆与圆的位置关系
圆C1：x2＋y2＝4的圆心C1(0,0)，半径r1＝2，圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1的圆心C2(a，－a)，半径r2＝1，
(2)(多选)(2023·福建统考)已知⊙O：x2＋y2＝1，⊙O1：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)，则下列说法正确的是A.若r＝2，两圆的公切线过点(－2,0)B.若r＝2，两圆的相交弦长为C.若两圆的一个交点为M，分别过点M的两圆的切线相互垂直，则r＝3D.当r>3时，两圆的位置关系为内含
当r>3时，r－1>2＝|OO1|，故两圆的位置关系是内含，D正确.
直线与圆相切问题的解题策略当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.
　(1)(2023·邯郸模拟)已知直线l：x－y＋5＝0与圆C：x2＋y2－2x－4y－4＝0交于A，B两点，若M是圆上的一动点，则△MAB面积的最大值是_________.
圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9，则圆C的圆心为C(1,2)，半径r＝3，
(2)(多选)(2023·辽阳模拟)已知⊙E：(x－2)2＋(y－1)2＝4，过点P(5,5)作圆E的切线，切点分别为M，N，则下列命题中真命题是A.|PM|＝B.直线MN的方程为3x＋4y－14＝0C.圆x2＋y2＝1与⊙E共有4条公切线D.若过点P的直线与⊙E交于G，H两点，则当△EHG面积最大时，|GH| ＝2
因为圆E的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圆心E的坐标为(2,1)，半径为2，如图，所以|EM|＝|EN|＝2，
由已知得PM⊥ME，PN⊥NE，
因为PM⊥ME，PN⊥NE，所以点P，M，E，N四点共圆，且圆心为PE的中点，
即x2－7x＋y2－6y＋15＝0，
又圆E的方程可化为x2－4x＋y2－2y＋1＝0，所以圆E与圆F的公共弦方程为3x＋4y－14＝0，故直线MN的方程为3x＋4y－14＝0，B正确；
圆x2＋y2＝1的圆心O的坐标为(0,0)，半径为1，
所以圆x2＋y2＝1与圆E相交，故两圆只有2条公切线，C错误；如图，设∠HEG＝θ，则θ∈(0，π)，
一、单项选择题1.(2023·丹东模拟)若直线l1：x＋ay－3＝0与直线l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，则a等于A.－2 B.1C.－2或1 D.－1或2
由题意知，直线l1：x＋ay－3＝0与直线l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，∴1×2＝a(a＋1)，解得a＝－2或a＝1.当a＝－2时，l1：x－2y－3＝0，l2：－x＋2y－6＝0，l1∥l2.当a＝1时，l1：x＋y－3＝0，l2：x＋y－3＝0，l1与l2重合.综上所述，a＝－2.
2.(2023·蚌埠质检)直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9的位置关系是A.相交 B.相切C.相离 D.无法确定
已知直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1,1)，将点(－1,1)代入圆的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，可知点(－1,1)在圆内，所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交.
3.(2023·湖北星云联盟模拟)过三点A(1,0)，B(2,1)，C(2，－3)的圆与直线x－2y－1＝0交于M，N两点，则|MN|等于
依题意，设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，
则圆的方程为x2＋y2－6x＋2y＋5＝0，
4.(2023·滨州模拟)已知直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则mn的最大值为
由于直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，
5.(2023·洛阳模拟)已知点P为直线y＝x＋1上的一点，M，N分别为圆C1：(x－4)2＋(y－1)2＝1与圆C2：x2＋(y－4)2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为A.5 B.3 C.2 D.1
由圆C1：(x－4)2＋(y－1)2＝1，可得圆心C1(4,1)，半径r1＝1，圆C2：x2＋(y－4)2＝1，可得圆心C2(0,4)，半径r2＝1，
如图，|PM|≥|PC1|－r1，|PN|≥|PC2|－r2，所以|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－r1－r2＝|PC1|＋|PC2|－2≥|C1C2|－2＝3，当点M，N，C1，C2，P共线时，|PM|＋|PN|取得最小值，故|PM|＋|PN|的最小值为3.
6.(2023·信阳模拟)已知圆C：x2＋y2＋2x－3＝0与过原点O的直线l：y＝kx(k≠0)相交于A，B两点，点P(m，0)为x轴上一点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1＋k2＝0，则实数m的值为A.－3 B.－2 C.2 D.3
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线l的方程为y＝kx，代入圆C的方程，得(k2＋1)x2＋2x－3＝0，
因为k≠0，所以2m－6＝0，解得m＝3.
7.(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是
方法一　令x－y＝k，则x＝k＋y，代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，因为存在实数y，则Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，化简得k2－2k－17≤0，
方法二　由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
8.已知圆O：x2＋y2＝1，点P在直线l：x－y－2 ＝0上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当∠APB最大时，记劣弧 及PA，PB所围成的平面图形的面积为S，则A.2如图所示，圆O：x2＋y2＝1的圆心O的坐标为(0,0)，半径为1，
所以当|OP|最小时，∠OPB最大，即∠APB最大，此时OP垂直于直线l，
从而四边形OAPB的面积为
设∠AOP＝θ，则∠AOB＝2θ，
二、多项选择题9.下列说法正确的是A.直线y＝ax－2a＋4(a∈R)必过定点(2,4)B.直线y＋1＝3x在y轴上的截距为1C.直线 x＋3y＋5＝0的倾斜角为120°D.过点(－2,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＋1＝0
对于A选项，直线方程可化为y＝a(x－2)＋4，
所以直线y＝ax－2a＋4(a∈R)必过定点(2,4)，A正确；对于B选项，直线方程可化为y＝3x－1，故直线y＋1＝3x在y轴上的截距为－1，B错误；
对于D选项，过点(－2,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程可设为2x＋y＋c＝0，则2×(－2)＋3＋c＝0，可得c＝1，所以过点(－2,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＋1＝0，D正确.
10.(2023·湖南联考)已知直线l1：y＝kx＋1，l2：y＝mx＋2，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝6，下列说法正确的是A.若l1经过圆心C，则k＝1B.直线l2与圆C相离C.若l1∥l2，且它们之间的距离为 ，则k＝±2D.若k＝－1，l1与圆C相交于M，N，则|MN|＝2
对于A，因为圆心C(1,2)在直线y＝kx＋1上，所以2＝k＋1，解得k＝1，A正确；对于B，因为直线l2：y＝mx＋2恒过定点(0,2)，且(0－1)2＋(2－2)2<6，即点(0,2)在圆C内，所以l2与圆C相交，B错误；对于C，因为l1∥l2，则m＝k，
对于D，当k＝－1时，直线l1：y＝－x＋1，即x＋y－1＝0，
11.如图所示，该曲线W是由4个圆：(x－1)2＋y2＝1，(x＋1)2＋y2＝1，x2＋(y＋1)2＝1，x2＋(y－1)2＝1的一部分所构成，则下列叙述正确的是A.曲线W围成的封闭图形的面积为4＋2π
曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，所以其面积为2×2＋2×π×12＝4＋2π，故A正确；
12.已知圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，P，Q分别是圆O，圆C上的动点，则下列说法正确的是A.圆O与圆C有四条公切线C.x－y＝2是圆O与圆C的一条公切线D.过点Q作圆O的两条切线，切点分别为M，N，则存在点Q，使得 ∠MQN＝90°
对于C选项，显然直线x－y＝2与直线OC平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线OC：y＝x，
三、填空题13.(2023·锦州模拟)写出过点P(2,4)且与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的一条直线的方程________________________________________.
x＝2或3x－4y＋10＝0(写出其中一个即可)
圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心C(1,2)，半径r＝1，当直线斜率不存在时，验证知x＝2满足条件；当直线斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)＋4，即kx－y－2k＋4＝0，
综上所述，直线方程为x＝2或3x－4y＋10＝0.
14.(2023·潍坊模拟)已知圆C：x2＋y2－4xcs θ－4ysin θ＝0，与圆C总相切的圆D的方程是____________.
圆C的标准方程为(x－2cs θ)2＋(y－2sin θ)2＝4，则圆C的圆心为(2cs θ，2sin θ)，半径为2，由圆心坐标可知圆心轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，故圆C上总有点与原点距离为4，由圆的标准方程可知圆D的方程是x2＋y2＝16.
15.(2023·烟台模拟)已知实数a，b满足a2＋b2－4a＋3＝0，则a2＋(b＋2)2的最大值为________.
方程a2＋b2－4a＋3＝0整理得(a－2)2＋b2＝1，设点A(a，b)，即点A是圆C：(x－2)2＋y2＝1上一点，又点B(0，－2)在圆C：(x－2)2＋y2＝1外，
16.(2023·葫芦岛模拟)自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆.某自动驾驶讯车在车前O点处安装了一个雷达，此雷达的探测范围是扇形区域OAB.如图所示，在平面直角坐标系中，O(0,0)，直线OA，OB的方程分别是y＝ 现有一个圆形物体的圆心为C，半径为1 m，圆C与OA，OB分别相切于点M，N，则|MN|＝________ m.
如图，连接MC，NC，MN，由题意可设C(a，0)(a>0)，又圆C与OA相切，
由题意可得MC⊥OM，NC⊥ON，
同理S△NOC＝1，所以S四边形MONC＝2，又MN⊥OC，