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2024年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）专题01 二次函数压轴题-线段周长面积最大值（专项训练）（原卷版+解析）
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这是一份2024年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）专题01 二次函数压轴题-线段周长面积最大值（专项训练）（原卷版+解析），共22页。
1． (2023春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；
2． (2023•玉州区一模）如图，抛物线y＝﹣x2x+4交x轴于A，B两点（点B在A的右边），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．
（1）求A、B两点坐标；
（2）过点P作PN上BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
3． (2023•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
4． (2023•黄冈模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交点为A（﹣4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，P为抛物线上一点，过点P作PD⊥AC于D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若P在直线AC上方，PE⊥x轴于E，交AC于F．
①求sin∠PFD的值；
②求线段PD的最大值．
5． (2023•齐齐哈尔模拟）综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线BC上方抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上找一点P，作PG⊥BC，求线段PG的最大值；
6． (2023•习水县模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，且C（1，0），OA＝OB＝3．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线位于第二象限上的点，过点P作PQ∥y轴，交直线AB于点Q，交x轴于点H，过点P作PD⊥AB于点D．求线段PD的最大值；
7． (2023•覃塘区三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线上的一个动点，PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值；
8． (2023•大同三模）综合与实践
如图，二次函数y＝x2﹣x﹣3的图象与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）如图2，点D在直线BC下方的抛物线上运动，过点D作DM∥y轴交BC于点M，
9． (2023春•浦江县期末）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，9），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣2，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
10.（娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
11． (2023春•青秀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c，与y轴交于点A，与x轴交于点E、B．且点A（0，5），B（5，0），抛物线的对称轴与AB交于点M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，连接PB，PM，求△PMB面积的最大值；
12．直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）交于点B，如图所示．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，四边形OAMB的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
专题01 线段周长面积最大值（专项训练）
1． (2023春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；
【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得，
，
解得，
∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①设BC的解析式为y＝kx+b，
将B，C的坐标代入函数解析式得，
，
解得，
∴BC的解析式为y＝x﹣3，
设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，
当n＝时，PM最大＝，
∴线段PM的最大值；
2． (2023•玉州区一模）如图，抛物线y＝﹣x2x+4交x轴于A，B两点（点B在A的右边），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．
（1）求A、B两点坐标；
（2）过点P作PN上BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
【解答】解：（1）当y＝0，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
（2）设点P（m，﹣m2+m+4），则点 Q（m，﹣m+4），
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，
P～N＝PQ•sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴PN有最大值，
当m＝2时，PN的最大值为．
3． (2023•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，可得y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵PF∥AB，
∴∠PFE＝∠OBC＝45°，
∵PE⊥BC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，
∵S△PBC＝S△POB+S△POC﹣S△OBC
＝×3×（﹣m2+2m+3）+×3×m﹣×3×3
＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝时，△PBC的面积最大，面积的最大值为，此时PE的值最大，
∵×3×PE＝，
∴PE＝，
∴△PEF的周长的最大值＝++＝+，此时P（，）；
4． (2023•黄冈模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交点为A（﹣4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，P为抛物线上一点，过点P作PD⊥AC于D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若P在直线AC上方，PE⊥x轴于E，交AC于F．
①求sin∠PFD的值；
②求线段PD的最大值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交点为A（﹣4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，
令x＝0，则c＝2，
∴C（0.2），
设抛物线的解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），
将点（0，2）代入得，2＝﹣4a，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x+4）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）①∵PE⊥x轴，
∴∠AFE＝∠ACO，
又∵∠PFD＝∠AFE，
∴∠PFD＝∠ACO，
∴sin∠PFD＝sin∠ACO＝，
∵A（﹣4，0），C（0，2），
∴AO＝4，OC＝2，
∴AC＝＝2．
∴sin∠PFD＝sin∠ACO＝＝＝；
②设过A（﹣4，0）C（0，2）的直线解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线AC解析式为y＝x+2，
设P（m，﹣m2﹣m+2），则F（m，m+2），
∴PF＝﹣﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+2）2+2，
∴当m＝﹣2时，PF有最大值2，
∵PD＝PF•sin∠PFD，
∴PF取最大值时，PD取最大值，
∴PD最大值为×2＝；
5． (2023•齐齐哈尔模拟）综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线BC上方抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上找一点P，作PG⊥BC，求线段PG的最大值；
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过P点作PH∥y轴交BC于点H，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC 的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
设P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3），
∴PH＝﹣t2+3t，
∵C（0，3），B（3，0），
∴BC＝3，
∴S△PBC＝×BC×PG＝×BO×PH，
∴PG×3＝3（﹣t2+3t），
∴PG＝﹣（t﹣）+，
∵点P是直线BC上方抛物线上，
∴0＜t＜3，
∴当t＝时，PG有最大值；
6． (2023•习水县模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，且C（1，0），OA＝OB＝3．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线位于第二象限上的点，过点P作PQ∥y轴，交直线AB于点Q，交x轴于点H，过点P作PD⊥AB于点D．求线段PD的最大值；
【解答】解：（1）∵OA＝OB＝3，
∴A（﹣3，0），B（0，3），
∵C（1，0），
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）①∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵PQ∥y轴，
∴PH⊥OA，
∴∠QHA＝90°，
∴∠PQD＝∠AQH＝45°，
∴△PQD是等腰直角三角形，
∴PD＝PQ，
∴当PQ取得最大值时，PD的值最大，
设AB的解析式为y＝kx+n，
∴，
∴，
∴y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），
∵PQ∥y轴，
∴Q（m，m+3），
∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∴m＝﹣时，PQ最长为，
∴线段PD的最大值为
7． (2023•覃塘区三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线上的一个动点，PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值；
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣1；
（2）设直线AB的表达式为：y＝kx+a（k≠0），
∵A（0，﹣1），B（5，4），
∴，
解得：，
∴直线AB的表达式为：y＝x﹣1，
设直线AB交x轴于点M，
当y＝0时，x＝1，
∵OA＝OM＝1，
∵∠AOM＝90°，
∴∠OAB＝45°，
∵CP∥y轴，
∴∠DCP＝∠OAB＝45°，
∵PD⊥AB，
∴△PCD是等腰直角三角形，即CD＝PD，
∴PC＝＝CD，即CD＝PD＝PC，
∴△PCD的周长为：PC+PD+CD＝（+1）PC，
设点P的坐标为（x，x2﹣4x﹣1），则点C的坐标为（x，x﹣1），
∴（+1）PC＝（+1）[（x﹣1）﹣（x2﹣4x﹣1）]＝﹣（+1）[（x﹣）2﹣]，
∵﹣（+1）＜0，
∴当x＝时，△PCD周长取得最大值，最大值为（+1），
此时点P的坐标为（，﹣）；
8． (2023•大同三模）综合与实践
如图，二次函数y＝x2﹣x﹣3的图象与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）如图2，点D在直线BC下方的抛物线上运动，过点D作DM∥y轴交BC于点M，作DN⊥BC于点N，当△DMN的周长最大时，求点D的坐标及△DMN周长的最大值；
【解答】解：（1）由抛物线y＝x2﹣x﹣3，x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将B（4，0），C（0，﹣3）代入，
，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；
（2）∵DM∥y轴，
∴∠OCB＝∠CMD，
∵B（4，0），C（0，﹣3），
∴BC＝，
∵sin∠OCB＝，cs∠OCB＝，DN⊥BC，
∴sin∠DMN＝，cs∠DMN＝，
∴DN＝，MN＝，
设△DMN的周长为L，
∴L＝DM+DN+MN＝，
设D（x，x2﹣x﹣3），则M（x，），
∴DM＝＝，
∴L＝，
即L＝﹣，
∵开口向下，
∴顶点（2，）最高，
∴x＝2时，，
∴，
∴D（2，﹣），
∴△DMN的周长最大时，D点的坐标（2，﹣），△DMN的周长最大值为；
9． (2023春•浦江县期末）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，9），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣2，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+9，
将点B（﹣2，0）代入，
∴9a+9＝0，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+9＝﹣x2+2x+8；
（2）设M（m，﹣m2+2m+8），则N（2﹣m，﹣m2+2m+8），
∴MN＝2m﹣2，MG＝﹣m2+2m+8，
∴矩形MNHG的周长＝2（MN+MG）＝2（﹣m2+4m+6）＝﹣2（m﹣2）2+20，
∴当m＝2时，矩形MNHG的周长有最大值20；
10.（娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
【答案】（1）：y＝x2﹣2x﹣3 （2）① ﹣m2+m+3 ②
【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；
（2）设点P（m，m2﹣2m﹣3），
①当点P在第三象限时，
设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：
直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，
S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，
②当点P在第四象限时，
设PD交y轴于点M，
同理可得：S△POD＝×OM（xD﹣xP）＝﹣m2+m+3，
综上，S△POD＝﹣m2+m+3，
∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；
11． (2023春•青秀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c，与y轴交于点A，与x轴交于点E、B．且点A（0，5），B（5，0），抛物线的对称轴与AB交于点M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，连接PB，PM，求△PMB面积的最大值；
【解答】解：（1）∵点A（0，5），B（5，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）如图，
∵A（0，5），B（5，0），
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
∵点M是抛物线的对称轴与直线AB的交点，
∴M（2，3），
由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5，
过点P作PH∥y轴交AB于H，
设P（m，﹣m2+4m+5）（0＜m＜5），
∴H（m，﹣m+5），
∴PH＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m，
∴S△PMB＝PH（xB﹣xM）＝（﹣m2+5m）（5﹣2）＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，S△PMB最大＝，
即△PMB面积的最大值为；
12．直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）交于点B，如图所示．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，四边形OAMB的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
【解答】解：（1）∵直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴A（1，0）、B（0，3）；
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，
∴a+4＝3，
∴a＝﹣1，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点M作MH⊥x轴于点H，如图所示：
设点M（m，﹣m2+2m+3），
则S＝S梯形BOHM﹣S△AMH
＝（3﹣m2+2m+3）×m﹣（m﹣1）×（﹣m2+2m+3）
＝﹣m2+m+，
∵﹣＜0，
∴S有最大值，当m＝时，S的最大值是．
∴S与m的函数表达式为S＝﹣m2+m+，S的最大值是；
1． (2023春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；
2． (2023•玉州区一模）如图，抛物线y＝﹣x2x+4交x轴于A，B两点（点B在A的右边），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．
（1）求A、B两点坐标；
（2）过点P作PN上BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
3． (2023•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
4． (2023•黄冈模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交点为A（﹣4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，P为抛物线上一点，过点P作PD⊥AC于D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若P在直线AC上方，PE⊥x轴于E，交AC于F．
①求sin∠PFD的值；
②求线段PD的最大值．
5． (2023•齐齐哈尔模拟）综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线BC上方抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上找一点P，作PG⊥BC，求线段PG的最大值；
6． (2023•习水县模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，且C（1，0），OA＝OB＝3．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线位于第二象限上的点，过点P作PQ∥y轴，交直线AB于点Q，交x轴于点H，过点P作PD⊥AB于点D．求线段PD的最大值；
7． (2023•覃塘区三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线上的一个动点，PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值；
8． (2023•大同三模）综合与实践
如图，二次函数y＝x2﹣x﹣3的图象与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）如图2，点D在直线BC下方的抛物线上运动，过点D作DM∥y轴交BC于点M，
9． (2023春•浦江县期末）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，9），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣2，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
10.（娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
11． (2023春•青秀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c，与y轴交于点A，与x轴交于点E、B．且点A（0，5），B（5，0），抛物线的对称轴与AB交于点M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，连接PB，PM，求△PMB面积的最大值；
12．直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）交于点B，如图所示．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，四边形OAMB的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
专题01 线段周长面积最大值（专项训练）
1． (2023春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；
【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得，
，
解得，
∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①设BC的解析式为y＝kx+b，
将B，C的坐标代入函数解析式得，
，
解得，
∴BC的解析式为y＝x﹣3，
设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，
当n＝时，PM最大＝，
∴线段PM的最大值；
2． (2023•玉州区一模）如图，抛物线y＝﹣x2x+4交x轴于A，B两点（点B在A的右边），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．
（1）求A、B两点坐标；
（2）过点P作PN上BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
【解答】解：（1）当y＝0，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
（2）设点P（m，﹣m2+m+4），则点 Q（m，﹣m+4），
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，
P～N＝PQ•sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴PN有最大值，
当m＝2时，PN的最大值为．
3． (2023•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，可得y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵PF∥AB，
∴∠PFE＝∠OBC＝45°，
∵PE⊥BC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，
∵S△PBC＝S△POB+S△POC﹣S△OBC
＝×3×（﹣m2+2m+3）+×3×m﹣×3×3
＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝时，△PBC的面积最大，面积的最大值为，此时PE的值最大，
∵×3×PE＝，
∴PE＝，
∴△PEF的周长的最大值＝++＝+，此时P（，）；
4． (2023•黄冈模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交点为A（﹣4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，P为抛物线上一点，过点P作PD⊥AC于D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若P在直线AC上方，PE⊥x轴于E，交AC于F．
①求sin∠PFD的值；
②求线段PD的最大值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交点为A（﹣4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，
令x＝0，则c＝2，
∴C（0.2），
设抛物线的解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），
将点（0，2）代入得，2＝﹣4a，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x+4）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）①∵PE⊥x轴，
∴∠AFE＝∠ACO，
又∵∠PFD＝∠AFE，
∴∠PFD＝∠ACO，
∴sin∠PFD＝sin∠ACO＝，
∵A（﹣4，0），C（0，2），
∴AO＝4，OC＝2，
∴AC＝＝2．
∴sin∠PFD＝sin∠ACO＝＝＝；
②设过A（﹣4，0）C（0，2）的直线解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线AC解析式为y＝x+2，
设P（m，﹣m2﹣m+2），则F（m，m+2），
∴PF＝﹣﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+2）2+2，
∴当m＝﹣2时，PF有最大值2，
∵PD＝PF•sin∠PFD，
∴PF取最大值时，PD取最大值，
∴PD最大值为×2＝；
5． (2023•齐齐哈尔模拟）综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线BC上方抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上找一点P，作PG⊥BC，求线段PG的最大值；
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过P点作PH∥y轴交BC于点H，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC 的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
设P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3），
∴PH＝﹣t2+3t，
∵C（0，3），B（3，0），
∴BC＝3，
∴S△PBC＝×BC×PG＝×BO×PH，
∴PG×3＝3（﹣t2+3t），
∴PG＝﹣（t﹣）+，
∵点P是直线BC上方抛物线上，
∴0＜t＜3，
∴当t＝时，PG有最大值；
6． (2023•习水县模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，且C（1，0），OA＝OB＝3．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线位于第二象限上的点，过点P作PQ∥y轴，交直线AB于点Q，交x轴于点H，过点P作PD⊥AB于点D．求线段PD的最大值；
【解答】解：（1）∵OA＝OB＝3，
∴A（﹣3，0），B（0，3），
∵C（1，0），
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）①∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵PQ∥y轴，
∴PH⊥OA，
∴∠QHA＝90°，
∴∠PQD＝∠AQH＝45°，
∴△PQD是等腰直角三角形，
∴PD＝PQ，
∴当PQ取得最大值时，PD的值最大，
设AB的解析式为y＝kx+n，
∴，
∴，
∴y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），
∵PQ∥y轴，
∴Q（m，m+3），
∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∴m＝﹣时，PQ最长为，
∴线段PD的最大值为
7． (2023•覃塘区三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线上的一个动点，PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值；
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣1；
（2）设直线AB的表达式为：y＝kx+a（k≠0），
∵A（0，﹣1），B（5，4），
∴，
解得：，
∴直线AB的表达式为：y＝x﹣1，
设直线AB交x轴于点M，
当y＝0时，x＝1，
∵OA＝OM＝1，
∵∠AOM＝90°，
∴∠OAB＝45°，
∵CP∥y轴，
∴∠DCP＝∠OAB＝45°，
∵PD⊥AB，
∴△PCD是等腰直角三角形，即CD＝PD，
∴PC＝＝CD，即CD＝PD＝PC，
∴△PCD的周长为：PC+PD+CD＝（+1）PC，
设点P的坐标为（x，x2﹣4x﹣1），则点C的坐标为（x，x﹣1），
∴（+1）PC＝（+1）[（x﹣1）﹣（x2﹣4x﹣1）]＝﹣（+1）[（x﹣）2﹣]，
∵﹣（+1）＜0，
∴当x＝时，△PCD周长取得最大值，最大值为（+1），
此时点P的坐标为（，﹣）；
8． (2023•大同三模）综合与实践
如图，二次函数y＝x2﹣x﹣3的图象与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）如图2，点D在直线BC下方的抛物线上运动，过点D作DM∥y轴交BC于点M，作DN⊥BC于点N，当△DMN的周长最大时，求点D的坐标及△DMN周长的最大值；
【解答】解：（1）由抛物线y＝x2﹣x﹣3，x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将B（4，0），C（0，﹣3）代入，
，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；
（2）∵DM∥y轴，
∴∠OCB＝∠CMD，
∵B（4，0），C（0，﹣3），
∴BC＝，
∵sin∠OCB＝，cs∠OCB＝，DN⊥BC，
∴sin∠DMN＝，cs∠DMN＝，
∴DN＝，MN＝，
设△DMN的周长为L，
∴L＝DM+DN+MN＝，
设D（x，x2﹣x﹣3），则M（x，），
∴DM＝＝，
∴L＝，
即L＝﹣，
∵开口向下，
∴顶点（2，）最高，
∴x＝2时，，
∴，
∴D（2，﹣），
∴△DMN的周长最大时，D点的坐标（2，﹣），△DMN的周长最大值为；
9． (2023春•浦江县期末）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，9），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣2，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+9，
将点B（﹣2，0）代入，
∴9a+9＝0，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+9＝﹣x2+2x+8；
（2）设M（m，﹣m2+2m+8），则N（2﹣m，﹣m2+2m+8），
∴MN＝2m﹣2，MG＝﹣m2+2m+8，
∴矩形MNHG的周长＝2（MN+MG）＝2（﹣m2+4m+6）＝﹣2（m﹣2）2+20，
∴当m＝2时，矩形MNHG的周长有最大值20；
10.（娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
【答案】（1）：y＝x2﹣2x﹣3 （2）① ﹣m2+m+3 ②
【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；
（2）设点P（m，m2﹣2m﹣3），
①当点P在第三象限时，
设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：
直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，
S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，
②当点P在第四象限时，
设PD交y轴于点M，
同理可得：S△POD＝×OM（xD﹣xP）＝﹣m2+m+3，
综上，S△POD＝﹣m2+m+3，
∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；
11． (2023春•青秀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c，与y轴交于点A，与x轴交于点E、B．且点A（0，5），B（5，0），抛物线的对称轴与AB交于点M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，连接PB，PM，求△PMB面积的最大值；
【解答】解：（1）∵点A（0，5），B（5，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）如图，
∵A（0，5），B（5，0），
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
∵点M是抛物线的对称轴与直线AB的交点，
∴M（2，3），
由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5，
过点P作PH∥y轴交AB于H，
设P（m，﹣m2+4m+5）（0＜m＜5），
∴H（m，﹣m+5），
∴PH＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m，
∴S△PMB＝PH（xB﹣xM）＝（﹣m2+5m）（5﹣2）＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，S△PMB最大＝，
即△PMB面积的最大值为；
12．直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）交于点B，如图所示．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，四边形OAMB的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
【解答】解：（1）∵直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴A（1，0）、B（0，3）；
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，
∴a+4＝3，
∴a＝﹣1，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点M作MH⊥x轴于点H，如图所示：
设点M（m，﹣m2+2m+3），
则S＝S梯形BOHM﹣S△AMH
＝（3﹣m2+2m+3）×m﹣（m﹣1）×（﹣m2+2m+3）
＝﹣m2+m+，
∵﹣＜0，
∴S有最大值，当m＝时，S的最大值是．
∴S与m的函数表达式为S＝﹣m2+m+，S的最大值是；
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