2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 5.4 正、余弦定理（精练）（提升版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 5.4 正、余弦定理（精练）（提升版）（原卷版+解析版），共51页。试卷主要包含了最值问题，几何中的正余弦定理，正余弦定理与其他知识综合运用等内容，欢迎下载使用。

1． (2023·四川省峨眉第二中学校）在中，已知，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
2． (2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
3． (2023·全国·高三专题练习）在中，已知，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰或直角三角形
4． (2023·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））在中，，，，则为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形
5． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，则下列条件能推导出一定是锐角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
6． (2023·浙江·高三专题练习）已知内角，，所对的边分别为，，，面积为.若，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．正三角形D．等腰直角三角形
7． (2023·湖南·长沙一中）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为钝角三角形
C．若，则符合条件的三角形不存在
D．若，则一定是等腰三角形
题组二 最值问题
1． (2023·安徽）已知四边形ABCD是圆内接四边形，，则ABCD的周长取最大值时，四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习（文））在中，角，，的对边分别是，，，且，，成等差数列，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【
3． (2023·陕西·武功县普集高级中学）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的面积为2，则当取得最小值时（ ）
A．B．C．D．20
4． (2023·全国·高三专题练习）在锐角中，为最大角，且，则实数的最小值是（ ）
A．B．2C．3D．
5． (2023·全国·高三专题练习）在中，是边上一点，且，，若是的中点，则______；若，则的面积的最大值为_________．
6（2022·山东）如图，设的内角、、的对边分别为、、，，且.若点是外一点，，，则当______时，四边形的面积的最大值为____________
7． (2023·上海市进才中学）在锐角中，，则的取值范围为________.
8． (2023·河南）如图所示，在平面四边形中，已知，则的最大值为_______．
9． (2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若△ABC是锐角三角形，且c＝4，求b的取值范围．
10． (2023·宁夏石嘴山·一模（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，若．
(1)求；
(2)若，求的最小值．
题组三 三角形解的个数
1． (2023·全国·高三专题练习）（多选）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
2． (2023·全国·高三专题练习）（多选）中，角A，B，C所对的三边分别是a，b，c，以下条件中，使得无解的是（ ）
A．； B．；
C． D．，
3． (2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的（ ）
A．无解B．有一个解
C．有两个解D．不能确定
4． (2023·全国·高三专题练习）在中，，，若角有唯一解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5． (2023·全国·高三专题练习）在中，已知：，，，如果解该三角形有两解，则（ ）
A．B．C．D．
6． (2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，下列条件使得无法唯一确定的是（ ）
A．B．
C．D．
7． (2023·河南·许昌高中高三开学考试）在三角形ABC中（A点在BC上方），若，，BC边上的高为h，三角形ABC的解的个数为n，则以下错误的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
8． (2023·云南师大附中高三阶段练习（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若有两解，写出a的一个可能的值为__________．
题组四 几何中的正余弦定理
1． (2023·湖南株洲·一模）如图，在四边形中，，且,．
(1)求的长；
(2)若 ，求的面积．
从①，②，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
2．（2022·山西）在中，，分别在线段上，且，.()
（1）若，求证：；
（2）设，且，求的最大值.
3． (2023·全国·高三专题练习）如图，在梯形中，，，，．
(1)若，求梯形的面积；
(2)若，求．
4． (2023·云南）如图，△ABC中，点D在AB上且满足：，．
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在题设中，求△ABC的面积(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
5． (2023·山东聊城·一模）如图，在四边形中，.
(1)求；
(2)若，求四边形的面积.
6． (2023·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD中，，，．
(1)求的值；
(2)若，，求CD的长．
7． (2023·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)如图，若D为外一点，且，，，，求AC．
8． (2023·江苏常州·高三期末）已知在四边形中，，，，且，．
(1)求；
(2)求．
9． (2023·全国·高三专题练习）已知中，内角、、的对边分别为、、，为的角平分线．
(1)求证：；
(2)若且，求的大小．
10． (2023·甘肃酒泉·高三期中）在四边形中，∥，．
(1)若，求；
(2)若，求．
题组五 正余弦定理与平面向量的综合运用
1． (2023·全国·高三专题练习）四边形为梯形，且，，，点是四边形内及其边界上的点.若，则点的轨迹的长度是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习）（多选）如图，已知点G为的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，，，记，，四边形BDEC的面积分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知点G是三角形的重心，以下结论正确的是（ ）
A．
B．若，则三角形是等腰三角形
C．三角形的面积等于，则
D．若，则
4． (2023·全国·高三专题练习）（多选）在中，，，其中，均为边上的点，分别满足：，，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值3
B．面积的最大值为
C．的取值范围是
D．若为中点，则不可能等于
5． (2023·上海市复兴高级中学高三阶段练习）在中，若，，则面积的最大值为___________.
6． (2023·河南·高三阶段练习（文））已知是的内接正三角形，D是劣弧的中点，动点E，F同时从点A出发以相同的速度分别在AB，AC边上运动到B，C．若的半径为，则的最大值与最小值之和等于______．
7． (2023·全国·高三专题练习）如图，平面四边形中，，对角线相交于．
（1）设，且，
（ⅰ）用向量表示向量；
（ⅱ）若，记，求的解析式．
（2）在（ⅱ）的条件下，记△，△的面积分别为，，求的取值范围．
8． (2023·全国·高三专题练习）三角形ABC中，，点E是边BC上的动点，当E为BC中点时，
（1）求和;
（2）是延长线上的点，，当在上运动时，求的最大值.
题组六 正余弦定理与其他知识综合运用
1． (2023·贵州·模拟预测（理））已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，且，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·陕西陕西·二模）在中，三边长组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为，则这个三角形的外接圆的直径为___________.
3． (2023·全国·高三专题练习）设是椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，当 取最大值时的余弦值为．则（Ⅰ）椭圆的离心率为___；（Ⅱ）若椭圆上存在一点，使(为坐标原点)，且，则的值为____．
4． (2023·云南·昆明一中高三阶段练习（理））已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右支分别交于A，B两点，，向量与向量的夹角为，则双曲线的离心率为___________.
5． (2023·甘肃武威）《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.
6． (2023·重庆一中高三阶段练习）函数，点S是f（x）图像上的一个最高点，点M，N是f（x）图像上的两个对称中心，且三角形SMN面积的最小值为.
(1)求函数f（x）的最小正周期；
(2)函数，三角形ABC的三边a，b，c满足，求g（A）的取值范围.
7． (2023·上海·高三专题练习）如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、上．设．
（1）若，求的边长；
（2）当多大时，的边长最小？并求出最小值．
8． (2023·福建·三模）的内角，，所对的边分别为，，.
(1)求的大小；
(2)为内一点，的延长线交于点，________，求的面积.
请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题.
①为的外心，；
②为的垂心，；
③为的内心，.
5.4 正、余弦定理（精练）（提升版）
题组一 判断三角形额形状
1． (2023·四川省峨眉第二中学校）在中，已知，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由题意,,
则,
又，则,
由可得，即，
所以，由，知，
综上可知即的形状是等边三角形.
故选：B
2． (2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】A
【解析】因为，由正弦定理可得：，整理可得：，
即，所以或者，所以或，
而当时则，所以三角形为直角三角形，所以，
则中，这时，分母为0无意义所以，选：A．
3． (2023·全国·高三专题练习）在中，已知，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰或直角三角形
【答案】B
【解析】由正弦定理得，整理得：
即，又因为,所以,
所以，移项得：,所以三角形一定为直角三角形.故选：B
4． (2023·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））在中，，，，则为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形
【答案】B
【解析】由正弦定理得，即，解得，又，故或，
当时，，为直角三角形；当时，，为等腰三角形.
故选：B.
5． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，则下列条件能推导出一定是锐角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】对于，若，由余弦定理可知，即角为锐角，不能推出其他角均为锐角，故错误；
对于，因为，可得，可得，设，，，，可得为最大边，为三角形最大角，
根据余弦定理得，可得为锐角，可得一定是锐角三角形，故正确；
对于，因为，可得，整理可得，由正弦定理可得，可得为直角，故错误；
对于，因为由于，整理得，
故，
由于，故，
故，，均为锐角，为锐角三角形，故正确．故选：BD．
6． (2023·浙江·高三专题练习）已知内角，，所对的边分别为，，，面积为.若，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．正三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】因为，所以，即，
由正弦定理可得：，
因为，所以，
因为，所以，所以，可得，所以，解得，
因为，所以，即，
所以，可得，所以，所以的形状是正三角形，故选：C.
7． (2023·湖南·长沙一中）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为钝角三角形
C．若，则符合条件的三角形不存在
D．若，则一定是等腰三角形
【答案】AC
【解析】若，则，所以由正弦定理可得，故A正确；
若，，，则，即，所以角为锐角，即为锐角三角形，故B错误；
若，，，根据正弦定理可得
所以符合条件的三角形不存在，即C正确；
若，则，即,因为,所以或，即或，所以为等腰或直角三角形，故D错误.故选：AC
题组二 最值问题
1． (2023·安徽）已知四边形ABCD是圆内接四边形，，则ABCD的周长取最大值时，四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】△ABD中，因AB2+BD2=25=AD2，则，，
而四边形ABCD是圆内接四边形，如图：
则，，，
在中，由余弦定理得，
，即，当且仅当时取“＝”，
而，所以时，四边形ABCD的周长取最大值，
四边形ABCD的面积.
故选：A
2． (2023·全国·高三专题练习（文））在中，角，，的对边分别是，，，且，，成等差数列，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在中，由，，成等差，可得，
由，得，．
由余弦定理，可得，
又，当且仅当时等号成立，即
，即，解得
所以的取值范围是．
故选：A
3． (2023·陕西·武功县普集高级中学）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的面积为2，则当取得最小值时（ ）
A．B．C．D．20
【答案】C
【解析】，，
由正弦定理可得
，当且仅当，即，时等号成立，
此时.故选：C
4． (2023·全国·高三专题练习）在锐角中，为最大角，且，则实数的最小值是（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】A
【解析】由于为最大角，则的对边最长，则，得出.，得，由于为锐角三角形，则，，则.
即，整理得，解得. 则实数的最小值是1.故选：A.
5． (2023·全国·高三专题练习）在中，是边上一点，且，，若是的中点，则______；若，则的面积的最大值为_________．
【答案】
【解析】若是的中点，则，
在中，由余弦定理可得
即，整理得，
即，所以
在中，由余弦定理得
即，所以
若，，，由上述知
作于点E，由，知，
作于点F，
所以在边上的高为，
所以
因为，，，所以
由余弦定理得
即
当时，有最大值，即，则
所以
故答案为：，
6（2022·山东）如图，设的内角、、的对边分别为、、，，且.若点是外一点，，，则当______时，四边形的面积的最大值为____________
【答案】
【解析】，
由正弦定理可得，
所以，，
，，可得，，，
所以，为等边三角形，
设，则，
由余弦定理可得，
，
，
所以，四边形的面积为，
，，
所以，当时，即当时，四边形的面积取最大值.
故答案为：；.
7． (2023·上海市进才中学）在锐角中，，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】，利用余弦定理可得：，
即，
由正弦定理可得：，，
即，即
又为锐角三角形，，即
，，
又，
令，则
由对勾函数性质知，在上单调递增，
又，，
故答案为：
8． (2023·河南）如图所示，在平面四边形中，已知，则的最大值为_______．
【答案】56
【解析】中，，
中，由得，
所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为56．
故答案为：56．
9． (2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若△ABC是锐角三角形，且c＝4，求b的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)∵，∴
，，
∵，∴，，；
(2)∵，∴，∴，
∵△ABC是锐角三角形，∴，
同理，根据正弦定理得，
，
﹒
10． (2023·宁夏石嘴山·一模（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，若．
(1)求；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：由，
利用正弦定理可得：，，
∵，∴，∴；
(2)由D为的中点，∴，
∴，，
又∵，∴ ， ∴，∴，
当且仅当时，取最小值．
题组三 三角形解的个数
1． (2023·全国·高三专题练习）（多选）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】BCD
【解析】根据题意，在A条件下，因为，所以角B在和上各有一个解，并且这两个解与角A的和都小于，所以A不满足；在B条件下，，，，根据余弦定理可得，即，解得或（舍），所以只有1个解，满足题意；在C条件下，条件为边角边，所以有唯一解；在D条件下，，因为，所以角A在和上各有一个解，当解在时，角B与角A的和大于，所以只有1个解，满足题意，故选：BCD．
2． (2023·全国·高三专题练习）（多选）中，角A，B，C所对的三边分别是a，b，c，以下条件中，使得无解的是（ ）
A．； B．；
C． D．，
【答案】ABD
【解析】对于A，大边对大角，而a对于B，由正弦定理得，无解；
对于C，由可得，正弦定理求出，再由正弦定理或余弦定理可求出，有解；
对于，由和，通过余弦定理可得，与矛盾，无解.故选：ABD
3． (2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的（ ）
A．无解B．有一个解
C．有两个解D．不能确定
【答案】C
【解析】因为，，
由正弦定理可得，，所以，
因为为三角形内角，所以，因此或，
若，则符合题意；若，则，符合题意；
因此有两个解；故选：C.
4． (2023·全国·高三专题练习）在中，，，若角有唯一解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在中，，，若有唯一解，则有唯一解，
设内角，，所对应的边分别为，，，
由，则为一确定的锐角且，所以，
如图以为圆心，为半径画圆弧，当圆弧与边有1个交点时满足条件，
如图示：即圆弧与边相切或与圆弧与边相交有2个交点，
其中一个交点在线段的反向延长线上（或在点处），故或，
由，即，得或，解得或.故选：．
5． (2023·全国·高三专题练习）在中，已知：，，，如果解该三角形有两解，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图：，
因为三角形有两解，所以，所以，
所以，得.故选：D
6． (2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，下列条件使得无法唯一确定的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A：∵，∴A=140°，由正弦定理得：，
∴∴唯一确定；故A正确.
对于B：∵，由余弦定理，可得：
由正弦定理：，有：
可以求出角A、B，∴唯一确定；故B正确.
对于C：∵由正弦定理：，有：，
∴，
∵∴∴,这样的角B有2个，所以不唯一，故C错误.
对于D：∵
由正弦定理：，有：，
∴，
∵∴∴,这样的角A有唯一一个，
∴角C唯一，所以唯一，故D正确.故选：C
7． (2023·河南·许昌高中高三开学考试）在三角形ABC中（A点在BC上方），若，，BC边上的高为h，三角形ABC的解的个数为n，则以下错误的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】C
【解析】作出外接圆如图所示，
因为，所以的外接圆半径为
因为，所以，，
所以当时，最大为3，此时是唯一的，所以B正确，A正确，
当时，由圆的对称性可知，此时，
所以C错误，D正确，
故选：C
8． (2023·云南师大附中高三阶段练习（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若有两解，写出a的一个可能的值为__________．
【答案】（满足均可，答案不唯一）
【解析】由于满足条件的有两个，则，即.
故答案为：（满足均可，答案不唯一）．
题组四 几何中的正余弦定理
1． (2023·湖南株洲·一模）如图，在四边形中，，且,．
(1)求的长；
(2)若 ，求的面积．
从①，②，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
【答案】(1)(2)选①时：;选②时：
【解析】(1)由，得,,,
在中，由余弦定理得：,,
(2)选①时:由（1）可知，
，，
在中，,,
;
选②时: 由（1）可知，，
在中，由余弦定理得,,即，，
.
2．（2022·山西）在中，，分别在线段上，且，.()
（1）若，求证：；
（2）设，且，求的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为28.
【解析】（1）由可得.
由余弦定理可得，
∴.∴，∴，即；
（2）在中，由正弦定理可得，即，故，
同理，，
由条件可得与的面积之比恰好等于，
即，即，
∴
，
∵，∴，∴的最大值为28.
3． (2023·全国·高三专题练习）如图，在梯形中，，，，．
(1)若，求梯形的面积；
(2)若，求．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)设，在中，由余弦定理得：
，即，而x>0，解得，
所以，则的面积，
梯形中，，与等高，且，
所以的面积，则梯形的面积；
(2)在梯形中，设，而，
则，，，，
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
两式相除得：，
整理得，即
解得或，因为，则，即．
4． (2023·云南）如图，△ABC中，点D在AB上且满足：，．
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在题设中，求△ABC的面积(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【答案】6.
【解析】在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
∵，
∴，即，则，即是的角平分线；
，，，
在中，由及正弦定理得，，∴，即.
若选①：．
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，csA＝，
∴＝，则，，
∴，
∴．
若选②：．
在中，设，由正弦定理得，则，
∵是的角平分线，故，
在中，由余弦定理得，
，
解得，，BC＝，
故，∴，
则．
若选③：．
设，则，，
在中，由余弦定理得，
，
解得，BC＝，
则．
5． (2023·山东聊城·一模）如图，在四边形中，.
(1)求；
(2)若，求四边形的面积.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)因为,所以，
所以可化为，
由二倍角公式可得：
因为BD所以,解得.
(2)
在△ABD中, , ，由余弦定理得：
,即
所以.
在△BCD中,由正弦定理得，所以.
又因为∠C=2∠CBD,所以.
又因为,所以,从而，所以,.
因此四边形ABCD的面积.
6． (2023·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD中，，，．
(1)求的值；
(2)若，，求CD的长．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由余弦定理，，则，
所以，又，且，所以.
(2)过作于，，又，
所以，，
令，则，故，
在△中，即，
所以，即CD的长为.
7． (2023·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)如图，若D为外一点，且，，，，求AC．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由，得，
即，
由正弦定理，得，整理，得，
∴，
又，∴，∴，又，∴；
(2)连接BD，因为，，，
所以，，
所以，所以．
又，所以，
在中，由正弦定理可得，即，
所以．
在中，由余弦定理可得
，
所以．
8． (2023·江苏常州·高三期末）已知在四边形中，，，，且，．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)(2)7
【解析】
(1)在中，
则
，
又在中，，故
(2)
设，，，，则，
由 即可知，
即
在中，，
又，则有
故
在中，
即，
解之得，即的长为7
9． (2023·全国·高三专题练习）已知中，内角、、的对边分别为、、，为的角平分线．
(1)求证：；
(2)若且，求的大小．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：由题意可得，
因为为的角平分线，则，
在中，，则，
同理可得，因此，故.
(2)解：设，则，
因为，即，
因为，则，则，，
即，可得，
由（1）可得，则，
在中，，
整理可得，所以，，
因此，.
10． (2023·甘肃酒泉·高三期中）在四边形中，∥，．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
在三角形中，根据余弦定理可得，， 由题得：，所以，在三角形中，根据余弦定理可得，，所以，
(2)
设，在三角形中，根据余弦定理可得，，在三角形中，根据余弦定理可得，，所以，得：或（舍），则
题组五 正余弦定理与平面向量的综合运用
1． (2023·全国·高三专题练习）四边形为梯形，且，，，点是四边形内及其边界上的点.若，则点的轨迹的长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
，即.
设向量与的夹角为，则，
因为，所以，
由向量投影定义得，向量在向量上的投影为2，
即动点在过点且垂直于的直线上.
在中，，，，
由余弦定理得，所以；
则，所以.
因为是四边形内及其边界上的点，所以点的轨迹为线段.
所以点的轨迹的长度为.
故选：B.
2． (2023·全国·高三专题练习）（多选）如图，已知点G为的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，，，记，，四边形BDEC的面积分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】连接AG并延长交BC于点M，如图，因G为的重心，则M是BC边的中点，且，
又D，G，E三点共线，即，则有，
而，，又，于是得，
而与不共线，因此，，，A正确；
边AD上的高为，边AB上的高为，
则，B正确；
由A可知，，当且仅当时取“=”，则有，
即，而，于是得，C正确，D错误.
故选：ABC
3． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知点G是三角形的重心，以下结论正确的是（ ）
A．
B．若，则三角形是等腰三角形
C．三角形的面积等于，则
D．若，则
【答案】AB
【解析】如图，M、N分别为BC、AB的中点，
由重心的性质及向量的运算知，，故A正确；
因为为中线，所以,由，
知即,所以三角形是等腰三角形，故B正确；
三角形的面积等于即,解得,
所以,故C不正确；
由A知，
所以，故D不正确.
故选：AB
4． (2023·全国·高三专题练习）（多选）在中，，，其中，均为边上的点，分别满足：，，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值3
B．面积的最大值为
C．的取值范围是
D．若为中点，则不可能等于
【答案】ABD
【解析】设.
对于A:因为，所以D为BC的中点.
因为，所以，
即，所以.
因为，所以，
所以.故A正确；
对于B：，
又，当且仅当“"时,取“=”
此时，
所以.故B正确；
对于C：因为，所以，
所以.
当时，D、E重合，取得最大值3.
可知为锐角，当最大锐角时，最大，但无法取到.故C错误；
对于D：若为中点，则
.故D正确.
故选：ABD.
5． (2023·上海市复兴高级中学高三阶段练习）在中，若，，则面积的最大值为___________.
【答案】
【解析】由条件可知，即，
，
因为，
即，得，当且仅当b=c时等号成立
所以,
即面积的最大值为.
故答案为：
6． (2023·河南·高三阶段练习（文））已知是的内接正三角形，D是劣弧的中点，动点E，F同时从点A出发以相同的速度分别在AB，AC边上运动到B，C．若的半径为，则的最大值与最小值之和等于______．
【答案】
【解析】
由已知，的半径为，，由正弦定理可得，
连接AD，如图，由条件可知，，，．
设，，
∴
，
∴．
所以的最大值与最小值之和等于．
故答案为：.
7． (2023·全国·高三专题练习）如图，平面四边形中，，对角线相交于．
（1）设，且，
（ⅰ）用向量表示向量；
（ⅱ）若，记，求的解析式．
（2）在（ⅱ）的条件下，记△，△的面积分别为，，求的取值范围．
【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ），；（2）.
【解析】（1）（ⅰ）因为，，
所以，
即，所以，
（ⅱ）因为，，所以，
因为且，所以，
即，所以，
整理可得：， 即，.
（2）由（1）知：，由三角形面积公式可得：
，
记，所以，
所以在上单调递减，
所以，所以的取值范围为.
8． (2023·全国·高三专题练习）三角形ABC中，，点E是边BC上的动点，当E为BC中点时，
（1）求和;
（2）是延长线上的点，，当在上运动时，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当为中点时，设，则由余弦定理得
，解得，
此时，由余弦定理得
，所以，
所以，所以，
所以，
所以；
（2）由得，，
所以，
所以，当取最小即时上式最大，此时，
所以，所以的最大值为.
题组六 正余弦定理与其他知识综合运用
1． (2023·贵州·模拟预测（理））已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，且，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，，，，则，
因为，所以由余弦定理得，所以
解得，所以所以.故选：B
2． (2023·陕西陕西·二模）在中，三边长组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为，则这个三角形的外接圆的直径为___________.
【答案】
【解析】设三角形的三边长分别a，，，最大角为，由已知，
∵，∴或.
当时，因为最大角为，所以由三角形内角和可知，这样不构成三角形，故舍去；
当时，由余弦定理可知：.
解得或（舍去）.
设外接圆半径为R，则，即，∴.故答案为：
3． (2023·全国·高三专题练习）设是椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，当 取最大值时的余弦值为．则（Ⅰ）椭圆的离心率为___；（Ⅱ）若椭圆上存在一点，使(为坐标原点)，且，则的值为____．
【答案】 或
【解析】设分别为椭圆的长轴长，虚轴长，
（Ⅰ）在中，,
，当且仅当时，等号成立，即当点位于短轴端点时，的余弦值最大，，即，则离心率
（Ⅱ）取中点，由，即，可得，利用中位线性质可得，设，，则
解得，或，或
故答案为：；或
4． (2023·云南·昆明一中高三阶段练习（理））已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右支分别交于A，B两点，，向量与向量的夹角为，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【解析】设，由，则，由双曲线定义知，，因为向量与向量的夹角为，所以有，在三角形中，，即
解得，在三角形中，，即
，把代入，化简得，即，所以椭圆的离心率为.
故答案为：
5． (2023·甘肃武威）《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.
【答案】
【解析】解：如图，设震源在C处，则，则由题意可得，根据正弦定理可得，又所以，
所以震源在A地正东处.
故答案为：
6． (2023·重庆一中高三阶段练习）函数，点S是f（x）图像上的一个最高点，点M，N是f（x）图像上的两个对称中心，且三角形SMN面积的最小值为.
(1)求函数f（x）的最小正周期；
(2)函数，三角形ABC的三边a，b，c满足，求g（A）的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为，
故，
故为偶函数且为周期函数，
令，则即，
因为点S是f（x）图像上的一个最高点且为偶函数且为周期函数，
故不妨设，
因为点M，N是f（x）图像上的两个对称中心，故，
因为三角形SMN面积的最小值为，故，故，
故的最小正周期为.
(2)
由（1）可得，
所以，
因为，故，
故，而为三角形内角，故，
故，所以，
故，而，
故，
而，
故即的取值范围为：.
7． (2023·上海·高三专题练习）如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、上．设．
（1）若，求的边长；
（2）当多大时，的边长最小？并求出最小值．
【答案】（1）千米；（2）当时，的边长取得最小值为千米.
【解析】（1）设的边长为千米，由得，，
中，，，
为等边三角形，，
故，
即的边长为；
（2）设的边长为千米，
所以，，
中，，，，
由正弦定理得，，
故，
当时取得最小值，即的边长最小值．
8． (2023·福建·三模）的内角，，所对的边分别为，，.
(1)求的大小；
(2)为内一点，的延长线交于点，________，求的面积.
请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题.
①为的外心，；
②为的垂心，；
③为的内心，.
【答案】(1)(2)答案见解析
【解析】(1)在中，由余弦定理得，又因为，，
所以，整理得.
在中，由余弦定理得，所以，
即又因为，所以.
(2)选①，
设的外接圆半径为，则在中，由正弦定理得，即，因为为外心，所以，与盾，故不能选①.
选②，
因为为的垂心，所以，
又，所以在中，，
同理可得，
又因为，所以，即
，
又因为在中，，
所以，因此，
故，为方程两根，即，
因为，，所以，所以为等边三角形，
所以.
选③，
因为为的内心，所以，
由，
得，
因为，所以，即，
由（1）可得，即，所以，
即，
又因为，所以，所以.