2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 3.4.1 三角函数的性质（1）（精讲）（基础版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 3.4.1 三角函数的性质（1）（精讲）（基础版）（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了周期，对称性，奇偶性等内容，欢迎下载使用。

考点呈现
例题剖析
考点一 周期
【例1-1】 (2023·上海·曹杨二中）函数的最小正周期是___________.
【例1-2】 (2023·江苏南通）“ω＝2”是“π为函数的最小正周期”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【一隅三反】
1． (2023·陕西·西安市鄠邑区第二中学）下列函数中最小正周期为的是（ ）
A．B．C．D．
2 (2023·四川·高三阶段练习）若函数的图象经过点，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·河南焦作·一模）下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·内蒙古包头·一模）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和2B．和C．和D．和2
考点二 对称性
【例2-1】 (2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）下列直线中，函数的对称轴是（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】 (2023·海南·模拟预测）函数的图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【例2-3】 (2023·陕西商洛·一模（理））已知直线是函数）图象的一条对称轴，则f（x）的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．2
【一隅三反】
1． (2023·四川雅安）函数的一条对称轴是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·吉林长春·三模（文））函数图象的一个对称中心为（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为，对称中心为
B．的最小正周期为，对称中心为
C．的最小正周期为，对称中心为
D．的最小正周期为，对称中心为
4．（2022·陕西咸阳）函数的图象（ ）
A．关于原点对称B．关于点对称
C．关于直线对称D．关于点对称
5． (2023·全国·高一专题练习）关于函数描述正确的是（ ）
A．最小正周期是B．最大值是
C．一条对称轴是D．一个对称中心是
6．（2022·江苏省）同时具有性质:①最小正同期是；②图象关于直线对称的函数是（ ）
A．B．
C．D．
考点三 奇偶性
【例3-1】 (2023·全国·高三专题练习）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A．B．
C．D．
【例3-2】 (2023·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【一隅三反】
1． (2023·江西赣州·一模（理））已知，则是（ ）
A．奇函数且周期为πB．偶函数且周期为π
C．奇函数且周期为D．偶函数且周期为
2． (2023·北京·模拟预测）下列函数中，定义域为的偶函数是（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习（文））若函数是奇函数，则的一个可能的值为（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·全国·高三专题练习）设函数，，若，函数是偶函数，则的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
考点四 单调性
【例4-1】 (2023·重庆·模拟预测）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【例4-2】 (2023·重庆）下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【例4-3】 (2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝2sin x＋cs x在[0，α]上是增函数，则当α取最大值时，sin 2α的值等于（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·内蒙古包头·高三期末（文））下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．
C．D．
2． (2023·广东汕尾）下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递减的为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·云南昆明·一模）已知函数在单调递增，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）已知函数，则“函数在上单调递增”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要件
3.4.1 三角函数的性质（1）（精讲）（基础版）思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 周期
【例1-1】 (2023·上海·曹杨二中）函数的最小正周期是___________.
【答案】
【解析】函数的最小正周期.故答案为：
【例1-2】 (2023·江苏南通）“ω＝2”是“π为函数的最小正周期”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当“ω＝2”时，“函数f（x）＝sin（2x﹣）的最小正周期为π”
当函数f（x）＝sin（ωx﹣）的最小正周期为π”，故ω＝±2，
故“ω＝2”是“π为函数的最小正周期”的充分不必要条件；故选：A．
【一隅三反】
1． (2023·陕西·西安市鄠邑区第二中学）下列函数中最小正周期为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于A，为把轴下方的图像翻折上去，最小正周期变为，正确；
对于B，的最小正周期为，错误；
对于C，的最小正周期为，错误；
对于D，最小正周期为，错误.故选：A.
2 (2023·四川·高三阶段练习）若函数的图象经过点，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意可得，则，得.
因为，所以，.故选：A.
3． (2023·河南焦作·一模）下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A项，，故A不符合；B项，，故B不符合；
C项，，故C不符合；D项，，故D符合.故选：D
4． (2023·内蒙古包头·一模）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和2B．和C．和D．和2
【答案】C
【解析】因为所以函数的最小正周期为；
又，所以所以函数的最大值为.故选：C.
考点二 对称性
【例2-1】 (2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）下列直线中，函数的对称轴是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令且，则对称轴方程为且，
显然时对称轴为，不存在有对称轴为、、.故选：B.
【例2-2】 (2023·海南·模拟预测）函数的图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
所以函数的图象的对称中心为，故AB不是函数图象的对称中心；
令，则，故不是函数图象的对称中心；
令，则，故是函数图象的对称中心.故选：D.
【例2-3】 (2023·陕西商洛·一模（理））已知直线是函数）图象的一条对称轴，则f（x）的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】因先，所以，解得，又，所以，从而f（x）的最小正周期为.故选：C
【一隅三反】
1． (2023·四川雅安）函数的一条对称轴是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由余弦函数性质，有，即，∴当时，有.故选：B
2． (2023·吉林长春·三模（文））函数图象的一个对称中心为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，可得
当时，，当时，
当时，，所以为的一个对称中心
故选：D
3． (2023·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为，对称中心为
B．的最小正周期为，对称中心为
C．的最小正周期为，对称中心为
D．的最小正周期为，对称中心为
【答案】D
【解析】因为函数，所以的最小正周期为，对称中心为，
故选：D
4．（2022·陕西咸阳）函数的图象（ ）
A．关于原点对称B．关于点对称
C．关于直线对称D．关于点对称
【答案】D
【解析】函数中，令，解得；
令得，所以的图象关于原点对称，D正确.
代入验证知错误.故选：D.
5． (2023·全国·高一专题练习）关于函数描述正确的是（ ）
A．最小正周期是B．最大值是
C．一条对称轴是D．一个对称中心是
【答案】D
【解析】由题意得：
选项A：函数的最小正周期为，故A错误；
选项B：由于，函数的最大值为，故B错误；
选项C：函数的对称轴满足，，当时，，故C错误；
选项D：令，代入函数的，故为函数的一个对称中心，故D正确；故选：D
6．（2022·江苏省）同时具有性质:①最小正同期是；②图象关于直线对称的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A，，函数的周期为：，故排除A.；
对于B，，将代入得，，不符题意，故排除B；
对于C，，将代入得，，不符题意，故排除C；
对于D，，将代入得：=1，此时取得最大值，所以直线是函数一条对称轴．
故选：D.
考点三 奇偶性
【例3-1】 (2023·全国·高三专题练习）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】A．的最小正周期为，不符合；
B．记，所以，且定义域为，所以为偶函数，不符合；
C．，显然为偶函数，不符合；
D．最小正周期为，且为奇函数，符合，故选：D.
【例3-2】 (2023·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据题意；
先判断充分性，因为，所以，
所以函数为奇函数，故充分性成立；
再判断必要性，因为为奇函数，所以，
因为，所以当时，解得，符合题意；
当时，解得，符合题意，故必要性不成立.故选：A.
【一隅三反】
1． (2023·江西赣州·一模（理））已知，则是（ ）
A．奇函数且周期为πB．偶函数且周期为π
C．奇函数且周期为D．偶函数且周期为
【答案】A
【解析】，故为奇函数，且最小正周期为
故选：A
2． (2023·北京·模拟预测）下列函数中，定义域为的偶函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A，根据指数函数的性质知，函数为非奇非偶函数，不符合题意；
对于B，函数满足为偶函数，但定义域为，不为，不符合题意；
对于C，函数为偶函数，但定义域为，不为，不符合题意；
对于D，函数，定义域为，且满足为偶函数，符合题意.
故选：D.
3． (2023·全国·高三专题练习（文））若函数是奇函数，则的一个可能的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】方法一：由于为奇函数，且定义域为，因此必有，
即，结合选项知D项正确．故选：D.
方法二：由于是奇函数，所以对恒成立，
即，整理得 ，
因此，，结合选项知的一个可能值为，故选：D.
4． (2023·全国·高三专题练习）设函数，，若，函数是偶函数，则的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】因为是偶函数，所以，.，又，所以或.故选：C.
考点四 单调性
【例4-1】 (2023·重庆·模拟预测）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，令解得：Z，故f（x）的单调递减区间为
故选：C
【例4-2】 (2023·重庆）下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于AC选项，，的最小正周期为，故错误；
对于B选项，最小正周期为，在区间上单调递减，故错误；
对于D选项，最小正周期为，当时，为单调递增函数，故正确.
故选：D
【例4-3】 (2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝2sin x＋cs x在[0，α]上是增函数，则当α取最大值时，sin 2α的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】f(x)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，且φ∈，由＋2kπ≤x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，得－φ＋2kπ≤x≤－φ＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，增区间为，所以αmax＝－φ，所以当α取最大值时，sin 2α＝sin 2＝sin 2φ＝.故选：A
【一隅三反】
1． (2023·内蒙古包头·高三期末（文））下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，令解得
故选：D
2． (2023·广东汕尾）下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递减的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】A. 是以为最小正周期，在上单调递增，故错误；
B. 如图所示： ，由图象知：函数是以为最小正周期，在上单调递减，故正确；
C. 如图所示：，由图象知：是以为最小正周期，在上单调递增，故错误；
D. 如图所示：，由图象知：是以为最小正周期，在上单调递增，故错误；
故选：B
3． (2023·云南昆明·一模）已知函数在单调递增，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，周期
函数在单调递增，则 ,解得
则
函数的单调递增区间满足
即
当，，当时，，当时，
所以，则，解得
故选：C
4． (2023·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）已知函数，则“函数在上单调递增”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要件
【答案】A
【解析】∵，∴，
由于函数f（x）在上单调递增，
∴（）解得，（）
故只能取，即，
∴“函数f（x）在上单调递增”是“”的充分不必要条件.
故选：A.