2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 3.1 三角函数的定义（精讲）（基础版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 3.1 三角函数的定义（精讲）（基础版）（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了扇形的弧长与面积，三角函数的定义，象限的判断，三角函数线等内容，欢迎下载使用。


考点呈现
例题剖析
考点一 扇形的弧长与面积
【例1-1】 (2023·安徽黄山市）若一扇形的圆心角为144°，半径为cm，则扇形的面积为______cm2．
【例1-2】 (2023·全国·贵阳一中二模）已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为___________.
【例1-3】 (2023·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一个圆形中前下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·浙江浙江·二模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.
2． (2023·全国·高三专题练习）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是（ ）
A．1B．4C．1或4D．2或4
3． (2023·全国·高三专题练习）如图所示，扇环的两条弧长分别是4和10，两条直边与的长都是3，则此扇环的面积为（ ）
A．84B．63C．42D．21
4． (2023·全国·高三专题练习）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A．1.012米B．1.768米C．2.043米D．2.945米
考点二 三角函数的定义
【例2-1】 (2023·江西·芦溪中学）已知点是角终边上的一点，则（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】 (2023·安徽）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【例2-3】 (2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）若角的终边过点P（8m，），且，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
【例2-4】 (2023·北京四中高三阶段练习）角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·四川成都）如图，角以为始边，它的终边与圆相交于点，点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·安徽）已知角的终边上有一点，则（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·河南新乡·二模（理））已知点A是的终边与单位圆的交点，若A的横坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·重庆巴蜀中学）已知角的终边过点，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5． (2023·河南洛阳）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）．
A．B．C．D．
考点三 象限的判断
【例3-1】 (2023·重庆·高三开学考试）若，则下列三角函数值为正值的是（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】 (2023·全国·高三专题练习）若α是第四象限角，则π－α是第（ ）象限角.
A．一B．二C．三D．四
【例3-3】 (2023·浙江·高三专题练习）已知是第三象限角，满足，则是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【一隅三反】
1． (2023·山东枣庄·高三期末）为第三或第四象限角的充要条件是（ ）．
A．B．C．D．
2． (2023·甘肃酒泉·高三期中）若角满足，，则角所在的象限是（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3． (2023·全国·高三专题练习（理））角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4． (2023·昆明市）若，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
5． (2023·湖南高三月考）已知，，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
考点四 三角函数线
【例4-1】 (2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的取值范围是（ ）.
A．B． C．D．
【例4-2】 (2023·全国·高三专题练习）若－＜α＜－，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cs α，tan α的大小是（ ）
A．sin α＜tan α＜cs αB．cs α＜sin α＜tan α
C．sin α＜cs α＜tan αD．tan α＜sin α＜cs α
【例4-3】 (2023·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1． (2023·安徽·合肥市庐阳高级中学高三阶段练习（理））设，使且同时成立的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习）已知，，，则
A．B．C．D．
3 (2023·全国高三专题练习）已知点在第一象限，则在内的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3.1 三角函数的定义（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 扇形的弧长与面积
【例1-1】 (2023·安徽黄山市）若一扇形的圆心角为144°，半径为cm，则扇形的面积为______cm2．
【答案】．
【解析】扇形的圆心角为144°，半径为，所以扇形的面积为．
故答案为：．
【例1-2】 (2023·全国·贵阳一中二模）已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为___________.
【答案】
【解析】因为圆锥的母线长为3，所以侧面展开图扇形的半径为3，设该圆锥的底面半径为，
所以有，故答案为：
【例1-3】 (2023·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一个圆形中前下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设扇形的弧长为，半径为，圆心角的弧度数为，由题意得，变形可得，因为，所以折扇所在扇形的圆心角的弧度数为．故选：A.
【一隅三反】
1． (2023·浙江浙江·二模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.
【答案】120
【解析】由题意得：扇形的弧长为30，半径为8，所以扇形的面积为：，
故答案为：120
2． (2023·全国·高三专题练习）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是（ ）
A．1B．4C．1或4D．2或4
【答案】C
【解析】设扇形所在圆的半径为，由扇形的周长是6，面积是2，可得，解得或，
又由弧长公式，可得，即，当时，可得；当时，可得，
故选：C.
3． (2023·全国·高三专题练习）如图所示，扇环的两条弧长分别是4和10，两条直边与的长都是3，则此扇环的面积为（ ）
A．84B．63C．42D．21
【答案】D
【解析】设扇环的圆心角为，小圆弧的半径为，由题可得且，解得，，从而扇环面积.故选：D．
4． (2023·全国·高三专题练习）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A．1.012米B．1.768米C．2.043米D．2.945米
【答案】B
【解析】由题得：弓所在的弧长为：；
所以其所对的圆心角；
两手之间的距离．故选：B．
考点二 三角函数的定义
【例2-1】 (2023·江西·芦溪中学）已知点是角终边上的一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因点是角终边上的一点，则，所以.故选：D
【例2-2】 (2023·安徽）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由角的终边经过点，即，所以.故选：D.
【例2-3】 (2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）若角的终边过点P（8m，），且，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，∴，故选：A.
【例2-4】 (2023·北京四中高三阶段练习）角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】角的终边过点，，.故选：B.
【一隅三反】
1． (2023·四川成都）如图，角以为始边，它的终边与圆相交于点，点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据三角函数定义，.故选：A
2． (2023·安徽）已知角的终边上有一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，.故选：B
3． (2023·河南新乡·二模（理））已知点A是的终边与单位圆的交点，若A的横坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，，所以.故选：C
4． (2023·重庆巴蜀中学）已知角的终边过点，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为角的终边过点，且，故可得，解得，则.故选：B.
5． (2023·河南洛阳）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由正切函数的定义得
．故选：C
考点三 象限的判断
【例3-1】 (2023·重庆·高三开学考试）若，则下列三角函数值为正值的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，所以C选项正确.
当时，，所以ABD选项错误.故选：C
【例3-2】 (2023·全国·高三专题练习）若α是第四象限角，则π－α是第（ ）象限角.
A．一B．二C．三D．四
【答案】C
【解析】∵α是第四象限角，∴－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－2kπ<－α<－2kπ＋，k∈Z，
∴π－2kπ<π－α<－2kπ＋π，k∈Z，故π－α是第三象限角.故选：C
【例3-3】 (2023·浙江·高三专题练习）已知是第三象限角，满足，则是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】是第三象限角，，，则，，即为第二或第四象限角，又，为第四象限角．故选：D．
【一隅三反】
1． (2023·山东枣庄·高三期末）为第三或第四象限角的充要条件是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A：第三或第四象限角，以及终边在y轴负半轴，故A错误；
对于B：第二或第三象限角，以及终边在x轴负半轴，故B错误；
对于C：第二或第三象限角，故C错误；
对于D：第三或第四象限角，故D正确.故选：D
2． (2023·甘肃酒泉·高三期中）若角满足，，则角所在的象限是（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】由知，是一、三象限角，由知，是三、四象限角或终边在y轴负半轴上，
故是第三象限角．故选：C
3． (2023·全国·高三专题练习（理））角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】∵角的终边在第一象限，
∴，，则，，
当时，此时的终边落在第一象限，
当时，此时的终边落在第二象限，
当时，此时的终边落在第三象限，
综上，角的终边不可能落在第四象限，
故选：D.
4． (2023·昆明市）若，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】B
【解析】因为，又，所以，所以是第二象限角.故选：B
5． (2023·湖南高三月考）已知，，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】B
【解析】由得，则，
又，所以是第二象限角.故选：B.
考点四 三角函数线
【例4-1】 (2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】画出单位圆以及，，，
∵，且，
从图中可知的取值范围是
故选：D.
【例4-2】 (2023·全国·高三专题练习）若－＜α＜－，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cs α，tan α的大小是（ ）
A．sin α＜tan α＜cs αB．cs α＜sin α＜tan α
C．sin α＜cs α＜tan αD．tan α＜sin α＜cs α
【答案】C
【解析】如图所示
作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，因为－＜α＜－，所以OM，MP均为负值，且，AT为正值，，故有sin α＜cs α＜tan α.
故选：C
【例4-3】 (2023·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】先证明：当0＜x＜时，
如图，角x终边为OP，其中点P为角x的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴，交x轴与点M，
A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，AT⊥x轴，交角x终边于点T，
则有向线段MP为角x的正弦线，有向线段AT为角x的正切线，设弧PA＝l＝x×1＝x，
由图形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，
即
所以＜＜，即
所以
又由函数在上单调递增，所以
又由函数在上单调递减，则
所以
所以，即
故选：C．
【一隅三反】
1． (2023·安徽·合肥市庐阳高级中学高三阶段练习（理））设，使且同时成立的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，由正弦曲线得：时，
由余弦曲线得：时，，
因为，所以且同时成立的x的取值范围是
故选：D
2． (2023·全国·高三专题练习）已知，，，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为在上单调递增，,所以，而，，故选C.
3 (2023·全国高三专题练习）已知点在第一象限，则在内的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由已知点在第一象限得：
，，即，，
当，可得，．
当，可得或，．
或，．
当时，或．
，或．故选：B．