2024年浙江省宁波市七年级（下）3月月考数学试卷（含解析）

这是一份2024年浙江省宁波市七年级（下）3月月考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

测试范围：第1章 平行线+第2章 二元一次方程组；满分120分
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求。
1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）
A．杯B．立C． 比D．曲
2．如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（ ）
A．与是同旁内角B．与是同旁内角
C．与是同位角D．与是内错角
3．已知方程组：①；②；③；④．其中正确的说法是（ ）
A．只有①，③是二元一次方程组B．只有①，④是二元一次方程组
C．只有②，③是二元一次方程组D．只有②不是二元一次方程组
4．如图，添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
5．亮亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和☆，请你帮他找回这两个数，“●”“☆”表示的数分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
6．在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到，后沿着直尺方向平移，再描边得到，连接．如图，经测量发现的周长为，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
第6题第8题
7．我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ）
A．B．C．D．
8．当光从一种介质射向另一种介质时，光线会发生折射，不同介质的折射率不同．如图，水平放置的水槽中装有适量水，空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行．若，则∠2的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：
①当时，方程组的解也是的解．②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对：
其中正确的个数是（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
10．题目：某商店用元购买甲，乙两种小电器，若甲，乙两种小电器的进价分别为每台元、元，且两种小电器均要购买，问有几种购买方案，并写出所有的方案．
嘉嘉的答案：有两种方案，方案一：购买甲电器台，购买乙电器台；方案二：购买甲电器台，购买乙电器台．
淇淇的答案：只有一种方案，购买甲电器台，购买乙电器台．
对于以上答案，其中正确的是（ ）
A．嘉嘉的答案对B．淇淇的答案对
C．嘉嘉、淇淇的答案合起来对D．嘉嘉、淇淇的答案合起来也不对
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．若是关于，的二元一次方程，则 ．
12．如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点与直尺的一边重合，若，则的度数是 °．
第12题第13题
13．请你写出一个解为 的二元一次方程组： ．
14．如图，矩形的顶点分别在直线上，且，则为 度，为 度．
15．如图，在长为80米，宽为60米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路（图中阴影部分），宽均为4米，其他部分均种植花草，则种植花草的面积是 平方米．
第15题
16．有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为x，宽为y，则的值为 ．
第16题
三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）解方程组：
（1） （2）
18．（8分）如图，点、、在一条直线上，于点，于点，交于点，若平分，则与相等吗？为什么？请把下面的解题过程补充完整并在括号内填写依据．
解：相等．
∵于点，于点E，

∴__________________（同位角相等，两直线平行）
∴，（_________）
（_________）
∵平分，
∴_________________，
∴．
19．（8分）4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.
20．（10分）如图，，，，分别是边上的点，，．
(1)求证：；
(2)若，，请直接写出的度数．
21．（10分）已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数．
(1)若是该方程的一个解，求的值；
(2)当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．
22．（12分）定义：若，则称x与y是关于m的好数．
(1)若5与a是关于2的好数，则_____；
(2)若，，判断b与c是否是关于3的好数，并说明理由：
(3)若，，且e与d是关于3的好数，若x为正整数，求非负整数k的值．
23．（12分）现有一块含角的直角三角尺，是直角，其顶点在直线上，请你解决下列问题：

(1)如图1，请直接写出、的数量关系；
(2)如图2，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，请写出图中分别与、相等的角，并说明理由；
(3)如图3，平分，将直角三角尺绕着点旋转，当时，请直接写出与直线所成锐角的度数．
2024学年宁波市七年级（下）（3月份）月考
数学试卷答案解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求。
1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）
A．杯B．立C． 比D．曲
【答案】C
【分析】根据图形平移的性质解答即可．
本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
【详解】解：由图可知A不是平移得到，B不是平移得到，D不是平移得到，
C是利用图形的平移得到．
故选：C．
2．如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（ ）
A．与是同旁内角B．与是同旁内角
C．与是同位角D．与是内错角
【答案】A
【分析】本题考查了邻补角、同旁内角、同位角、内错角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．根据邻补角，同旁内角、同位角、内错角的定义逐项分析即可解答．
【详解】解：A、与是同旁内角，故原说法正确，符合题意；
B、与是邻补角，故原说法错误，不符合题意；
C、与是内错角，故原说法错误，不符合题意；
D、与是同旁内角，故原说法错误，不符合题意．
故答案为A．
3．已知方程组：①；②；③；④．其中正确的说法是（ ）
A．只有①，③是二元一次方程组B．只有①，④是二元一次方程组
C．只有②，③是二元一次方程组D．只有②不是二元一次方程组
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的概念，两个或多个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组．据此即可求解．
【详解】解：①③④是二元一次方程组；②中共有三个未知数，故不是二元一次方程组；
故选：D．
4．如图，添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】解：∵，即，
∴，
故A不符合题意；
∵，
∴，
不能判定，
故B符合题意；
∵，
∴，
故C不符合题意；
∵，即，
∴，
故D不符合题意；
故选：B．
5．亮亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和☆，请你帮他找回这两个数，“●”“☆”表示的数分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据方程组的解满足方程组，将代入②时，求出y，再代入①式即可得到答案
【详解】解：∵方程组的解为，
∴，解得：，
将，代入①式得，
，
故选：A．
6．在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到，后沿着直尺方向平移，再描边得到，连接．如图，经测量发现的周长为，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得，然后得到四边形的周长等于的周长与的和，代入数据计算即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：∵沿方向平移得到，
∴，，
∴四边形的周长的周长，
故选：．
7．我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，列出二元一次方程组，即可求解，本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是：正确理解题意，列出等量关系．
【详解】解：由“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，”可列式：，
由“如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，”可列式：，
根据题意可列二元一次方程组：，
故选：．
8．当光从一种介质射向另一种介质时，光线会发生折射，不同介质的折射率不同．如图，水平放置的水槽中装有适量水，空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行．若，则∠2的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查根据平行线的性质求角的度数，掌握两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，是解题的关键．
【详解】解：如图：

因为空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行，
得：，
∴，
∵，
∴；
故选A．
9．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：
①当时，方程组的解也是的解．
②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对：
其中正确的个数是（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】B
【分析】把代入原方程组可得：再解方程组，把方程组的解代入可判断①，由，再消去a，可判断②③，从而可得答案．
【详解】解：当时，方程组化为：
解得：
把代入中，方程的左右两边不相等，
∴不是方程的解，故①不符合题意；
∵，
得：
∴
∴无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；故②符合题意；
∵的自然数解也是原方程组的自然数解，
而的自然数解为：
∴的x，y都为自然数的解有4对：故③符合题意；
故选B
10．题目：某商店用元购买甲，乙两种小电器，若甲，乙两种小电器的进价分别为每台元、元，且两种小电器均要购买，问有几种购买方案，并写出所有的方案．
嘉嘉的答案：有两种方案，方案一：购买甲电器台，购买乙电器台；方案二：购买甲电器台，购买乙电器台．
淇淇的答案：只有一种方案，购买甲电器台，购买乙电器台．
对于以上答案，其中正确的是（ ）
A．嘉嘉的答案对B．淇淇的答案对
C．嘉嘉、淇淇的答案合起来对D．嘉嘉、淇淇的答案合起来也不对
【答案】D
【分析】设够买甲，乙两种小电器分别为台，根据题意得，，进而根据为正整数，得出，即可求解．
【详解】解：设够买甲，乙两种小电器分别为台，根据题意得，
即
∵为正整数，
∴是的倍数，且，则
∴，，，，
∴有4种不同方案，
故选：D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．若是关于，的二元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义和解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．
根据题意，得到，解二元一次方程组，再将代入中，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
是关于，的二元一次方程，
，
解得：，
，
故答案为：．
12．如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点与直尺的一边重合，若，则的度数是 °．
【答案】60
【分析】本题考查了平行线的性质，互余关系；由互余可求得，再由平行线的性质即可求得结果．
【详解】解：如图，∵，，
∴；
∵直尺的两边平行，
∴，
故答案为：60．
13．请你写出一个解为 的二元一次方程组： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解，该题是开放题，注意方程组的解的定义．
根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用，代换即可．
【详解】解：的解是，
故答案为：（答案不唯一）．
14．如图，矩形的顶点分别在直线上，且，则为 度，为 度．
【答案】
【分析】本题考查了平角的定义，平行线的性质等知识点，作是解题关键．
【详解】解：作，如图所示：
由题意得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：①，②．
15．如图，在长为80米，宽为60米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路（图中阴影部分），宽均为4米，其他部分均种植花草，则种植花草的面积是 平方米．
【答案】4256
【分析】利用平移的思想，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，剩下的仍是一个矩形，长为米，宽为米，再利用矩形面积公式即可求出种植花草的面积．
【详解】解：根据题意，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，种植花草的面积（平方米）．
故答案为：4256．
16．有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为x，宽为y，则的值为 ．
【答案】5
【分析】根据图中的数据列得，整理即可．
【详解】由题意得：，
整理得： ，
故答案为：5．
三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）解方程组：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（）方程组利用加减消元法求出解即可；
（）方程组利用代入消元法求出解即可；
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键．
【详解】解：（1）得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴方程组的解为；
（2）由可知，
将代入有，
化简得，
即，
解得：，
再将代入，
有，
解得：，
∴方程组的解为．
18．（8分）如图，点、、在一条直线上，于点，于点，交于点，若平分，则与相等吗？为什么？请把下面的解题过程补充完整并在括号内填写依据．
解：相等．
∵于点，于点E，

∴__________________（同位角相等，两直线平行）
∴，（_________）
（_________）
∵平分，
∴_________________，
∴．
【答案】；；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；．
【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的判定，角平分线的性质；根据题意，同位角相等，两直线平行，则；根据平行线的性质，则，，根据角平分线的性质，则，根据等量代换，即可．
【详解】∵于点，于点，
∴，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴，（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等），
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：；；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；．
19．（8分）4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.
【答案】今年妹妹6岁，哥哥10岁．
【分析】设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，
根据题意得：

解得： ．
答：今年妹妹6岁，哥哥10岁．
20．（10分）如图，，，，分别是边上的点，，．
(1)求证：；
(2)若，，请直接写出的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由的对顶角+，可得，由平行线的性质，可得，，由平行线的判定定理即可得证，
（2）通过平行线的性质求出的度数，再结合，，可求的度数，最后求出的度数，
本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是：熟练掌握平行线的性质和判定定理，并通过等量代换进行求解．
【详解】（1）解：，，
，
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
又，
，
（同位角相等，两直线平行），
（2），
，
由，
，
故答案为：．
21．（10分）已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数．
(1)若是该方程的一个解，求的值；
(2)当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将方程的解代入方程中求解限可；
（2）方法一：取k的两个特殊值，得到二元一次方程组，解之即可；方法二：将原方程转化为，根据当每取一个不为零的值时所得方程都有一个公共解可得x+1=0，y-2=0，解之即可．
【详解】（1）解：将代入方程得，
解得；
（2）解法一：任取两个的值，不妨取，得到两个方程并组成方程组，
解得，
即这个方程的公共解是；
解法二：原方程可化为，当时，无论取任何一个不为0的值时，都有，
解得，，
即这个方程的公共解是．
22．（12分）定义：若，则称x与y是关于m的好数．
(1)若5与a是关于2的好数，则_____；
(2)若，，判断b与c是否是关于3的好数，并说明理由：
(3)若，，且e与d是关于3的好数，若x为正整数，求非负整数k的值．
【答案】(1)
(2)b与c是关于3的好数；
(3)k的值为0或1或3或7．
【分析】本题考查整式的加减，涉及新定义和一元一次方程．
（1）根据“关于2的好数”定义列式计算即可；
（2）求出，再根据“关于3的好数”的定义判断；
（3）根据已知列出方程，由x为正整数即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得，
故答案为：；
（2）解：
，
∴b与c是关于3的好数；
（3）解：∵e与d是关于3的好数，
∴，
∴，
∴，
∵x为正整数，k是非负整数，
∴或或或，
∴k的值为0或1或3或7．
23．（12分）现有一块含角的直角三角尺，是直角，其顶点在直线上，请你解决下列问题：
(1)如图1，请直接写出、的数量关系；
(2)如图2，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，请写出图中分别与、相等的角，并说明理由；
(3)如图3，平分，将直角三角尺绕着点旋转，当时，请直接写出与直线所成锐角的度数．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)，理由见解析；
(3)，理由见解析．
【分析】（1）由平角的定义可得、和的和为，可求得与的关系，
（2）由直角三角形的两锐角互余，再由（1）和结论可得出结论，
（3）由平行线的性质可得，再利用（1）中的关系可求出的大小即可，
【详解】（1），理由如下：
点在直线上，
，，
，
故答案为：．
（2），，理由如下：
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3），理由如下：
如图，

平分，，
，
，
，
由（1）可知，．
故答案为：