2023-2024学年浙江省宁波市海曙区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市海曙区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列运算正确的是( )
A. 2a+4=6aB. a2⋅a3=a5C. (2a)2=2a2D. a3÷a3=a
2.下列是二元一次方程的是( )
A. 2x=3B. 2x2=y−1C. y+1x=−5D. x−6y=0
3.宁波天一阁，是中国现存最古老的藏书阁，距今400余年间已藏书近30万书籍，将数据“30万”用科学记数法表示为( )
A. 3×103B. 3×104C. 3×105D. 3×106
4.下列式子变形是因式分解的是( )
A. x2−5x+6=x(x−5)+6B. x2−5x+5=x2−5(x−1)
C. (x−2)(x−3)=x2−5x+6D. x2−6x+9=(x−3)2
5.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行.若∠1=45∘，∠2=120∘，则∠3+∠4的度数是( )
A. 95∘B. 100∘C. 105∘D. 120∘
6.已知x=−1y=2是二元一次方程组3x+2y=mnx−y=1的解，则m+n的值是( )
A. 2B. −2C. 3D. −3
7.如图，AB//EF//CD，点G在AB上，GE//BC，GE的延长线交DC的延长线于点H，则图中与∠AGE相等的角(不含∠AGE)共有( )
A. 7 个B. 6 个C. 5 个D. 4个
8.在迎宾晚宴上，若每桌坐12人，则空出3张桌子；若每桌坐10人，则还有12人不能就坐．设有嘉宾x名，共准备了y张桌子．根据题意，下列方程组正确的是( )
A. x=12(y−3)x−12=10yB. x=12(y+3)x−12=10yC. x=12(y+3)x+12=10yD. x=12(y−3)x+12=10y
9.任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=s×t(s,t是正整数，且s≤t)，如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F(n)=pq.例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F(24)=46=23.给出下列关于F(n)的说法：①F(6)=23；②F(16)=1；③F(n2−n)=1−1n；④若n是一个完全平方数，F(n)=1.其中说法正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.已知EF，GH把长方形ABCD分割成四个小长方形，若已知长方形ABCD的面积，则要求阴影部分的面积，还需知道下列哪个图形的面积( )
A. 长方形GHCD
B. 长方形ABHG
C. 长方形EBHM
D. 长方形GMFD
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若代数式1x−3有意义，则实数x的取值范围为__________.
12.从m2、2mn、n2这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个这样的等式______.
13.若(x+m)2=x2+nx+49是一个完全平方式，则n的值是______.
14.若关于x，y的方程组x+y=c13x−4y=c2的解为x=2y=−3，则关于x，y的方程组x+1+y−1=c13(x+1)−4(y−1)=c2的解为______.
15.有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和70，则正方形A，B的面积之和为______.
16.若关于x的分式方程xx−3=1+mx−29−x2无解，则m的值为______.
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
(1)计算：(3−π)0−2−2−|−1|；
(2)化简：(2a−b)(2a+b)−(a−2b)2.
18.(本小题6分)
分解因式：
(1)a3−2a2.
(2)m2(n−3)+4(3−n).
19.(本小题6分)
解下列方程组：
(1)x+2y=−4x−y=5；
(2)x+y2+x−y3=64(x+y)−5(x−y)=2.
20.(本小题6分)
先化简，再求值：4−a2a2+2a+1÷a−2a+1+aa+1，并在−1，0，2中选一个合适的数作为a的值代入求值.
21.(本小题6分)
已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，AB//CD，∠D=2∠3+5∘，∠CBD=70∘.
(1)求证：∠1=∠2；
(2)求∠C的度数.
22.(本小题6分)
2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展.为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理.数据分成五组，A组：50≤x<60；B组：60≤x<70；C组：70≤x<80；D组：80≤x<90；E组：90≤x≤100.根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次随机抽查______名同学，并补全频数分布直方图；
(2)扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角为______度；
(3)规定本次航天知识竞赛活动成绩在80分及以上的成绩为优秀，全校共有1750名学生，请估计全校取得优秀成绩的同学共有多少？
23.(本小题8分)
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，请你帮助该公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在(2)中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
24.(本小题8分)
在学习“第9章整式乘法与因式分解”这一章内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式.借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点.这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法.请你根据已有的知识经验，解决以下问题：
【自主探究】
(1)用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：______；
(2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由；
【迁移应用】根据(1)、(2)中的结论，解决以下问题：
(3)在直角△ABC中，∠C=90∘，三边分别为a、b、c，a+b=14，ab=48，求c的值；
(4)如图3，五边形ABCDE中，AC⊥BD，垂足为N，AC=BD=2，CN=a，BN=b，△BCN周长为2，四边形AEDN为长方形，求四边形AEDN的面积.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，分别根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法逐项计算即可.
【解答】
解：A.2a与4不是同类项，所以不能合并，原式错误，不符合题意;
B.a2⋅a3=a5，计算正确，符合题意;
C.(2a)2=4a2，原式错误，不符合题意;
D.a3÷a3=1，原式错误，不符合题意.
2.【答案】D
【解析】解：A.2x=3，是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B.2x2=y−1，是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C.y+1x=−5，是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D.x−6y=0，是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D.
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
3.【答案】C
【解析】解：30万=300000=3×105.
故选：C.
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、x2−5x+6=x(x−5)+6右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；
B、x2−5x+5=x2−5(x−1)右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；
C、(x−2)(x−3)=x2−5x+6是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误；
D、x2−6x+9=(x−3)2，故本选项正确．
故选：D.
根据因式分解的定义：就是把整式变形成整式的积的形式，即可作出判断．
本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
5.【答案】C
【解析】解：如图：
∵AC//BD，
∴∠1=∠3=45∘，
∵CD//EF，
∴∠2+∠4=180∘，
∵∠2=120∘，
∴∠4=180∘−∠2=60∘，
∴∠3+∠4=105∘，
故选：C.
先利用平行线的性质可得：∠1=∠3=45∘，∠4=60∘，然后利用角的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：将x=−1y=2代入原方程组得：3×(−1)+2×2=m−n−2=1，
解得：m=1n=−3，
∴m+n=1−3=−2.
故选：B.
将x=−1y=2代入原方程组，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，再将其代入m+n中，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】【试题解析】
解：∵AB//EF//CD，
∴∠AGE=∠GEP=∠H，
又∵GE//BC，
∴∠AGE=∠ABP=∠BPF=∠CPE=∠DCP，
∴图中与∠AGE相等的角(不含∠AGE)共有6个，
故选：B.
依据平行线的性质，即可得到图中与∠AGE相等的角(不含∠AGE)共有6个．
此题考查了平行线的性质以及对顶角的性质．注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
8.【答案】A
【解析】解：设有嘉宾x名，共准备了y张桌子，
依题意，得：x=12(y−3)x−12=10y.
故选：A.
设有嘉宾x名，共准备了y张桌子．根据“若每桌坐12人，则空出3张桌子；若每桌坐10人，则还有12人不能就坐”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：①∵6=1×6=2×3，
∴F(6)=23，故本小题正确；
②∵16=1×16=2×8=4×4，
∴F(16)=44=1，故本小题正确；
③∵n2−n=n(n−1)，
∴F(n2−n)=n−1n=1−1n，故本小题正确；
④∵n是一个完全平方数，
∴n分解成两个完全相同的数时，差的绝对值最小，
∴F(n)=1，故本小题正确．
综上所述，说法正确的个数是4.
故选：D.
根据最优分解的定义，分别求出6、16、n2−n以及完全平方数n，然后对各小题求解即可作出判断．
本题考查了完全平方数，读懂题目信息，理解“最优分解”的定义是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：设长方形AEMG面积为a，长方形BHME面积为b，长方形CFMH面积为c，长方形GMFD的面积为d，长方形ABCD的面积S，
∵已知长方形ABCD的面积，当知道长方形GMFD的面积时，即知道了a+b+c的值，
由题得：阴影面积=S−12(a+d)−12b−12(c+d)=S−12(a+b+c+2d)，故阴影面积可求．
故选：D.
设长方形AEMG面积为a，长方形BHME面积为b，长方形CFMH面积为c，长方形GMFD的面积为d，长方形ABCD的面积S，当已知知道长方形GMFD的面积时，知道了a+b+c的值，即可推导出阴影面积．
本题考查了通过列代数式分析图形面积的应用，分析图形并解答是解题关键．
11.【答案】x≠3
【解析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
12.【答案】m2−2mn+n2=(m−n)2(答案不唯一)
【解析】解：m2−2mn+n2=(m−n)2，
故答案为：m2−2mn+n2=(m−n)2(答案不唯一).
利用提公因式法，运用公式法进行分解，即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
13.【答案】±14
【解析】解：∵(x+m)2=x2+2mx+m2，(x+m)2=x2+nx+49是一个完全平方式，
∴m2=49，n=±2m，
解得：m=±7，n=±14，
故答案为：±14.
先利用完全平方公式把已知等式的左边展开，然后根据完全平方式的结构特征，列出关于m，n的方程，解方程即可．
本题主要考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方式的结构特征．
14.【答案】x=1y=−2
【解析】解：∵关于x，y的方程组x+y=c13x−4y=c2的解为x=2y=−3，
∴关于x，y的方程组x+1+y−1=c13(x+1)−4(y−1)=c2中x+1=2，y−1=−3，
解得：x=1，y=−2，
∴关于x，y的方程组x+1+y−1=c13(x+1)−4(y−1)=c2的解为：x=1y=−2，
故答案为：x=1y=−2.
根据已知条件，利用换元法列出关于x，y的方程，解方程求出x，y即可．
本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用换元法解二元一次方程组．
15.【答案】74
【解析】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得a2−b2−2(a−b)b=4，
∴a2+b2−2ab=4，
由图乙得(a+b)2−a2−b2=70，
∴2ab=70，
所以a2+b2=74，
故答案为：74.
设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．
16.【答案】−3或−163或−23
【解析】解：去分母得：(m+3)x=−7，
当m+3=0，即m=−3时，方程无解；
当m+3≠0，即m≠−3时，
由分式方程无解，得到(x+3)(x−3)=0，即x=±3，
把x=±(3分)别代入整式方程得：3(m+3)=−7或−3(m+3)=−7，
解得：m=−163或m=−23，
综上，m的值为−3或−163或−23.
故答案为：−3或−163或−23.
将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．
17.【答案】解：(1)(3−π)0−2−2−|−1|
=1−0.25−1
=−0.25；
(2)(2a−b)(2a+b)−(a−2b)2
=(4a2−b2)−(a2−4ab+4b2)
=4a2−b2−a2+4ab−4b2
=3a2+4ab−5b2.
【解析】(1)先计算零次幂、负整数指数幂和绝对值，再计算减法；
(2)先运用平方差公式和完全平方公式计算多项式乘多项式，再合并同类项．
此题考查了实数及整式的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
18.【答案】解：(1)原式=a2(a−2)；
(2)原式=(n−3)(m2−4)
=(n−3)(m−2)(m+2).
【解析】(1)提取公因式即可得出答案；
(2)先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可得出答案．
本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
19.【答案】解：(1){x+2y=−4①x−y=5②，
①-②，得3y=−9，
解得y=−3，
把y=−3代入②，得x=2，
所以方程组的解是x=2y=−3；
(2)x+y2+x−y3=64(x+y)−5(x−y)=2，
方程组可化为{5x+y=36①−x+9y=2②，
②×5，得−5x+45y=10③，
①+③，得46y=46，
解得y=1，
把y=1代入②，得x=7，
所以原方程组的解是x=7y=1.
【解析】(1)利用加减消元法解二元一次方程组即可；
(2)先将方程组化简，然后利用加减消元法解二元一次方程组即可．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键．
20.【答案】解：4−a2a2+2a+1÷a−2a+1+aa+1
=−(a+2)(a−2)(a+1)2⋅a+1a−2+aa+1
=−a+2a+1+aa+1
=−a−2+aa+1
=−2a+1，
∵a+1≠0，a−2≠0，
∴a≠−1，a≠2，
∴a=0时，原式=−20+1=−2.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE//FG，
∴∠A=∠2，
∵AB//CD，
∴∠A=∠1，
∴∠1=∠2；
(2)解：设∠3=x度，则∠D=(2x+5)∘，∠ABD=∠3+∠CBD=(x+70)∘，
∵AB//CD，
∴∠D+∠ABD=180∘，
∴(2x+5)∘+(x+70)∘=180∘，
∴x=35，
∴∠3=35∘，
∵AB//CD，
∴∠C=∠3=35∘.
【解析】(1)先证明AE//FG，根据平行线的性质得出∠A=∠2，∠A=∠1，等量代换即可得出答案；
(2)设∠3=x度，则∠D=(2x+5)∘，∠ABD=∠3+∠CBD=(x+70)∘，根据平行线的性质得出∠D+∠ABD=180∘，进而列出(2x+5)∘+(x+70)∘=180∘，求出x=35，再根据平行线的性质即可得出答案．
本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题关键．
22.【答案】50 36
【解析】解：(1)根据题意得：15÷30%=50(名)，B组的学生为50×20%=10(名)，
补全条形统计图，如图所示：
故答案为：50；
(2)根据题意得：360∘×550=36∘，
则扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角为36度；
故答案为：36；
(3)根据题意得：1750×15+850=805(名)，
则全校取得优秀成绩的同学约有805名．
(1)根据D组的人数除以占的百分比，求出本次调查的学生总数，进而求出B组的学生数，补全条形统计图即可；
(2)求出A组占的百分比，乘以360求出A组在所在扇形的圆心角度数即可；
(3)根据样本中优秀的百分比，乘以1750估计出全校成绩优秀的学生数即可．
此题考查了频数(率)分布直方图，全面调查与抽样调查，用样本估计总体，扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：2x+3y=803x+2y=95，
解得：x=25y=10.
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．
(2)设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
依题意，得：25m+10n=200，
解得：m=8−25n.
∵m，n均为正整数，
∴m1=6n1=5，m2=4n2=10，m3=2n3=15，
∴共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车2辆，B型车15辆．
(3)方案一获得利润：8000×6+5000×5=73000(元)；
方案二获得利润：8000×4+5000×10=82000(元)；
方案三获得利润：8000×2+5000×15=91000(元).
∵73000<82000<91000，
∴购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
【解析】(1)设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论；
(3)利用总价=单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程；(3)利用总价=单价×数量求出三种购车方案获得的利润．
24.【答案】a2+b2=(a+b)2−2ab
【解析】解：(1)a2+b2=(a+b)2−2ab，
故答案为：a2+b2=(a+b)2−2ab；
(2)发现：a2+b2=c2，
理由：∵图2中图形的面积:2×12ab+12c2=12×(a+b)(a+b)，
∴ab+12c2=12(a+b)2，
∴2ab+c2=(a+b)2，
∴a2+b2=c2.
(3)在直角△ABC中，∠C=90∘，三边分别为a、b、c，
由(1)(2)结论可知：c2=a2+b2=(a+b)2−2ab，
∵a+b=14，ab=48，
∴c2=(14)2−2×48=100，
∴c=10.
(4)∵CN=a，BN=b，△BCN周长为2，
∴BC=2−CN−BN=2−a−b，
∵在Rt△BNC中，BC2=CN2+BN2，
∴(2−a−b)2=a2+b2，
∴4+a2+b2+2ab−4a−4b=a2+b2，
∴4+2ab−4a−4b=0，
∴ab−2(a+b)=−2，
∵AC=BD=2，CN=a，BN=b，
∴AN=AC−CN=2−a，DN=BD−BN=2−b，
∴长方形AEDN的面积为：AN⋅DN=(2−a)(2−b)=4+ab−2(a+b)=4−2=2.
(1)用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：a2+b2=(a+b)2−2ab；
(2)图2中图形的面积:2×12ab+12c2=12×(a+b)(a+b)，即可变形为a2+b2=c2；
(3)由(1)(2)结论可知：c2=a2+b2=(a+b)2−2ab，即c2=(14)2−2×48=100，求解即可；
(4)根据CN=a，BN=b，△BCN周长为2，可得：BC=2−CN−BN=2−a−b，因此(2−a−b)2=a2+b2，即ab−2(a+b)=−2，根据AN=AC−CN=2−a，DN=BD−BN=2−b，可知长方形AEDN的面积为：AN⋅DN=(2−a)(2−b)=4+ab−2(a+b)=4−2=2.
本题考查的是因式分解的应用和完全平方公式的几何背景，熟练掌握上述知识点是解题的关键．