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重庆市城口县2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷（原卷+解析版）
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这是一份重庆市城口县2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷（原卷+解析版），共24页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A．我B．爱C．飞D．中
2．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x≠3D．x＝3
3．（4分）点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，﹣2）
4．（4分）下列运算中正确的是（ ）
A．2a3﹣a3＝2B．2a3•a4＝2a7
C．（2a3）2＝4a5D．a8÷a2＝a4
5．（4分）如图，AB⊥CD，△ABC≌△ADE，∠C＝53°，则∠D＝（ ）
A．47°B．35°C．37°D．53°
6．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝B．＝3
C．3x﹣1＝D．＝3
7．（4分）数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导教材都安排了运用图形面积加以验证．如图图形中能验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（4分）若a+b＝5，ab＝1，则（a﹣b）2的值（ ）
A．1B．9C．16D．21
9．（4分）四边形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为（ ）
A．58°B．64°C．61°D．74°
10．（4分）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（a+b）n（n＝1，2，3，4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2的展开式a2+2ab+b2中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3的展开式a3+3a2b+3ab2+b3中各项的系数，等等．当n是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（ ）个
①的展开式中的系数是9
②（a﹣b）7的展开式为：a7﹣7a6b+21a5b2﹣35a4b3+35a3b4﹣21a2b5+7ab6﹣b7
③5810﹣16能被28整除
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．（4分）如图，已知∠1＝∠2，利用“SAS”加上条件 ，可以证明△ADB≌△ADC．
12．（4分）近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知7nm＝0.0000007cm，则0.0000007用科学记数法表示为 ．
13．（4分）抖空竹是我国独有的民族体育运动之一，作为一种中国古老的技艺，有着悠久的历史和传统，2006年，抖空竹被列入国家级非物质文化遗产代表性项目名录．如图1，小亮同学用数学抽象思维绘制出如图2，已知AB//CD，∠B＝21°，∠D＝37°，则∠E的度数是 ．
14．（4分）计算：＝ ．
15．（4分）一个多边形的每个外角都是40°，则这个多边形的内角和是 ．
16．（4分）已知4x2+ax+16是完全平方式，则a的值为 ．
17．（4分）若三角形三边长分别为3，4，|a|，且a满足关于x的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
18．（4分）设a为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于b，十位与个位的数字之和等于b﹣1，则称这样的数为“b级收缩数”．例如正整数2634中，因为2+6＝8，3+4＝7＝8﹣1，所以2634是“8级收缩数”，其中b＝8．最小的“4级收缩数”是 ；若一个“6级收缩数”的千位数字与十位数字之积为6，且这个数能被19整除，则满足条件的数是 ．
三、解答题（19题8分，20-26题每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为
A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，﹣2）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′，
并写出C′点的坐标；
（2）求△A′B′C′的面积．
20．（10分）（1）因式分解：9a﹣a3；
（2）解分式方程：．
21．（10分）计算：（1）（x﹣y）2﹣x（x﹣2y）；
（2）．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB上一点，满足BD＝BC．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线，交AC于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明：AD＝CE．
证明：∵ ，
∴∠CBE＝∠DBE，
在△BCE与△BDE中，
，
∴△BCE≌△BDE（SAS），
∴CE＝ ，∠BDE＝∠C＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠CBA＝∠A（ ），
∴∠CBA＝×90°＝45°，
∵∠A+∠DEA＝∠EDB＝90°，
∴∠A＝∠DEA＝45°，
∴ ，
∴AD＝CE．
23．（10分）如图是一块长为（2a+3b）厘米，宽为（2a+b）厘米的长方形纸片，将长方形纸片的四个角剪去边长为a厘米的小正方形．（a＞0，b＞0）．
（1）试用含a，b的代数式表示长方形纸片剩余面积是多少平方厘米？
（2）若a＝5，b＝10，请求出长方形纸片剩余面积．
24．（10分）今年我县腊肉一上市，腊肉店的王老板用3600元购进一批腊肉，很快售完；老板又用7800元购进第二批腊肉，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．
（1）第一批腊肉每件进价多少元？
（2）王老板以每件100元的价格销售第二批腊肉，售出70%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批腊肉的销售利润不少于3480元，剩余的腊肉每件售价最少打几折？（利润＝售价﹣进价）
25．（10分）小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接AO，CO，并分别延长至点B，点D，使OB＝OA，OD＝OC，连接BD，
（1）如图1，求证：AC＝BD；
（2）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长CO至点D，使OC＝OD，过点D作AC的平行线DE，延长AO至点F，连接EF，测得∠DEF＝120°，∠OFE＝90°，DE＝5m，EF＝9m，请求出池塘宽度AC．
26．（10分）将两个等腰直角△ABC与△EFC如图放置，AC＝BC，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝90°．
（1）如图1，若点A、E、F三点共线时，交线段BC于点G，点D是线段AB的点，满足AD＝DF，∠BDF＝30°，求∠BCF的度数；
（2）当△EFC绕着点C顺时针旋转至如图2时，分别连接AF，BE，若点M是线段AF的中点，连接MC，求证：BE＝2CM；
（3）当△EFC绕着点C顺时针旋转至如图3时，分别连接AF，BE，若点M是线段AF的中点，CE＝12，AC＝23，BE＝17，四边形ABEF面积为668时，直接写出点A到CM的距离．
参考答案与解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）。在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）下列四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A．我B．爱C．飞D．中
【解答】解：A，B、C选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
2．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x≠3D．x＝3
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣3≠0，
∴x的取值范围是：x≠3．
故选：C．
3．（4分）点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，﹣2）
【解答】解：根据轴对称的性质，得点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：C．
4．（4分）下列运算中正确的是（ ）
A．2a3﹣a3＝2B．2a3•a4＝2a7
C．（2a3）2＝4a5D．a8÷a2＝a4
【解答】解：A、2a3﹣a3＝a3，故此选项错误；
B、2a3•a4＝2a7，故此选项正确；
C、（2a3）2＝4a6，故此选项错误；
D、a8÷a2＝a6，故此选项错误；
故选：B．
5．（4分）如图，AB⊥CD，△ABC≌△ADE，∠C＝53°，则∠D＝（ ）
A．47°B．35°C．37°D．53°
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴∠CAB＝90°，
∵∠C＝53°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝37°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠D＝∠B＝37°．
故选：C．
6．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝B．＝3
C．3x﹣1＝D．＝3
【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）＝．
故选：A．
7．（4分）数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导教材都安排了运用图形面积加以验证．如图图形中能验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：A．大正方形面积为a2，小正方形面积为b2，大正方形减去小正方形的面积为a2﹣b2，两个长方形的面积之和为（a+b）（a﹣b），可以验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故A选项符合题意；
B．最大的正方形面积为（a+b）2，两个较小的正方形面积分别为a2、b2，两个长方形的面积之和为2ab，不能验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故B选项不符合题意；
C．最大的正方形面积为a2，两个较小的正方形面积分别为（a﹣b）2、b2，两个长方形的面积之和为2b（a﹣b），不能验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故C选项不符合题意；
D．大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，四个长方形的面积为4ab，不能验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故D选项不符合题意；
故选：A．
8．（4分）若a+b＝5，ab＝1，则（a﹣b）2的值（ ）
A．1B．9C．16D．21
【解答】解：∵a+b＝5，ab＝1，
∴（a﹣b）2
＝（a+b）2﹣4ab
＝52﹣4×1
＝25﹣4
＝21，
故选：D．
9．（4分）四边形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为（ ）
A．58°B．64°C．61°D．74°
【解答】解：如图，延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，
同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝122°，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝58°，
∴∠AMN+∠ANM＝2×58°＝116°．
∴∠MAN＝180°﹣116°＝64°，
故选：B．
10．（4分）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（a+b）n（n＝1，2，3，4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2的展开式a2+2ab+b2中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3的展开式a3+3a2b+3ab2+b3中各项的系数，等等．当n是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（ ）个
①的展开式中的系数是9
②（a﹣b）7的展开式为：a7﹣7a6b+21a5b2﹣35a4b3+35a3b4﹣21a2b5+7ab6﹣b7
③5810﹣16能被28整除
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：由（a+b）n计算规律可得，（m+）9＝（+m）9的展开式中，字母部分因式依次为，，，…，
∴含的为第二项，
又由“杨辉三角”可知，（a+b）n的展开式中第二项的系数为n，
∴（m+）9的展开式中含的项为，故①正确；
由（a+b）n计算规律可得，（a﹣b）7＝a7﹣7a6b+21a5b2﹣35a4b3+35a3b4﹣21a2b5+7ab6﹣b7，故②正确；
∵5810﹣16＝（585+4）（585﹣4），
而585﹣4
＝（56+2）5﹣4
＝565+5×564×2+10×563×22+10×562×23+5×56×24+25﹣4
＝565+5×564×2+10×563×22+10×562×23+5×56×24+28，
∴5810﹣16能被28整除，故③正确；
∴正确的有①②③，共3个；
故选：D．
二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．（4分）如图，已知∠1＝∠2，利用“SAS”加上条件 AB＝AC ，可以证明△ADB≌△ADC．
【解答】解：∵∠1＝∠2，AD＝AD，
∴当添加AB＝AC时，△ADB≌△ADC（SAS）．
故答案为：AB＝AC．
12．（4分）近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知7nm＝0.0000007cm，则0.0000007用科学记数法表示为 7×10﹣7 ．
【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7．
故答案为：7×10﹣7．
13．（4分）抖空竹是我国独有的民族体育运动之一，作为一种中国古老的技艺，有着悠久的历史和传统，2006年，抖空竹被列入国家级非物质文化遗产代表性项目名录．如图1，小亮同学用数学抽象思维绘制出如图2，已知AB//CD，∠B＝21°，∠D＝37°，则∠E的度数是 16° ．
【解答】解：∵AB//CD，
∴∠AFE＝∠D＝37°，
∵∠B＝21°，
∴∠E＝∠AFE﹣∠B＝16°．
故答案为：16°．
14．（4分）计算：＝ ﹣10 ．
【解答】解：原式＝﹣1﹣9＝﹣10．
故答案为：﹣10．
15．（4分）一个多边形的每个外角都是40°，则这个多边形的内角和是 1260° ．
【解答】解：设多边形的边数为n，
∵多边形的每个外角都等于40°，
∴n＝360÷40＝9，
∴这个多边形的内角和＝（9﹣2）×180°＝1260°．
故答案为1260°．
16．（4分）已知4x2+ax+16是完全平方式，则a的值为 ±16 ．
【解答】解：∵4x2+ax+16
＝（2x）2+ax+42，
∴ax＝±2×2×4x＝±16x，
解得m＝±16，
故答案为：±16．
17．（4分）若三角形三边长分别为3，4，|a|，且a满足关于x的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 8 ．
【解答】解：根据题意，得，
解不等式①，得﹣7＜a＜7，
解不等式②，得a＞1或a＜﹣1，
∴原不等式组的解集为﹣7＜a＜﹣1或1＜a＜7．
解分式方程，得x＝，
∵≥0，
∴a+4≥0，
∴a≥﹣4；
∵x＝1是原分式方程的增根，
∴a≠﹣2．
∵﹣7＜a＜﹣1或1＜a＜7，
∴﹣3＜a+4＜3或5＜a+4＜11，
综上，﹣3＜a+4＜3或5＜a+4＜11，且a+4是2的整数倍，且a+4≥0，且a+4≠2，
∴0≤a+4＜3或5＜a+4＜11，且a+4是2的整数倍，且a+4≠2，
∴a+4＝0、6、8或10，
∴a＝﹣4、2、4或6，
﹣4+2+4+6＝8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是8，
故答案为：8．
18．（4分）设a为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于b，十位与个位的数字之和等于b﹣1，则称这样的数为“b级收缩数”．例如正整数2634中，因为2+6＝8，3+4＝7＝8﹣1，所以2634是“8级收缩数”，其中b＝8．最小的“4级收缩数”是 1303 ；若一个“6级收缩数”的千位数字与十位数字之积为6，且这个数能被19整除，则满足条件的数是 2432 ．
【解答】解：∵是“4级收缩数”，
∴b＝4．
∵求最小的“4级收缩数”，
∴千位数字可选数字1，
∴百位数字为3．
∵十位与个位数字的和为3，
∴十位可选最小的数字0，
∴个位数字为3．
∴最小的“4级收缩数”为：1×1000+3×100+0×10+3＝1303；
设“6级收缩数”的千位数字为x，十位上的数字为y，则百位数字为6﹣x，个位上的数字为5﹣y．
∵千位数字与十位数字之积为6，
∴（不合题意，舍去）或或或．
∴“6级收缩数”为6014或2432或3323．
∵这个数能被19整除，上述3个数只有2432是19的整数倍，
∴“6级收缩数”为：2432．
故答案为：1303，2432．
三、解答题（19题8分，20-26题每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为
A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，﹣2）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′，
并写出C′点的坐标；
（2）求△A′B′C′的面积．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
C′点的坐标为（1，﹣2）．
（2）△A′B′C′的面积为＝＝．
20．（10分）（1）因式分解：9a﹣a3；
（2）解分式方程：．
【解答】解：（1）9a﹣a3
＝a（9﹣a2）
＝a（3+a）（3﹣a）；
（2）去分母得：a﹣2＝1+2（a﹣3）
解得：a＝3，
检验：把a＝3代入a﹣3＝0，
∴原方程无解．
21．（10分）计算：（1）（x﹣y）2﹣x（x﹣2y）；
（2）．
【解答】解：（1）（x﹣y）2﹣x（x﹣2y）
＝x2﹣2xy+y2﹣x2+2xy
＝y2；
（2）
＝[]
＝
＝
＝．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB上一点，满足BD＝BC．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线，交AC于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明：AD＝CE．
证明：∵ ①BE是∠ABC的角平分线， ，
∴∠CBE＝∠DBE，
在△BCE与△BDE中，
，
∴△BCE≌△BDE（SAS），
∴CE＝ ②DE ，∠BDE＝∠C＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠CBA＝∠A（ ③等边对等角 ），
∴∠CBA＝×90°＝45°，
∵∠A+∠DEA＝∠EDB＝90°，
∴∠A＝∠DEA＝45°，
∴ ④AD＝DE ，
∴AD＝CE．
【解答】（1）解：如图：AE即为所求；
（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠CBE＝∠DBE，
在△BCE与△BDE中，
，
∴△BCE≌△BDE（SAS），
∴CE＝DE，∠BDE＝∠C＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠CBA＝∠A（等边对等角），
∴∠CBA＝×90°＝45°，
∵∠A+∠DEA＝∠EDB＝90°，
∴∠A＝∠DEA＝45°，
∴AD＝DE，
∴AD＝CE．
故答案为：BE是∠ABC的角平分线，DE，等腰直角三角形的性质，AD＝DE．
23．（10分）如图是一块长为（2a+3b）厘米，宽为（2a+b）厘米的长方形纸片，将长方形纸片的四个角剪去边长为a厘米的小正方形．（a＞0，b＞0）．
（1）试用含a，b的代数式表示长方形纸片剩余面积是多少平方厘米？
（2）若a＝5，b＝10，请求出长方形纸片剩余面积．
【解答】解：（1）由题意得：
（2a+3b）（2a+b）﹣4a2
＝4a2+2ab+6ab+3b2﹣4a2
＝8ab+3b2（平方厘米），
答：长方形纸片剩余面积为（8ab+3b2）平方厘米；
（2）把a＝5，b＝10代入8ab+3b2得：
8×5×10+3×102
＝8×5×10+3×100
＝400+300
＝700（平方厘米），
答：当a＝5，b＝10，长方形纸片剩余面积为700平方厘米．
24．（10分）今年我县腊肉一上市，腊肉店的王老板用3600元购进一批腊肉，很快售完；老板又用7800元购进第二批腊肉，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．
（1）第一批腊肉每件进价多少元？
（2）王老板以每件100元的价格销售第二批腊肉，售出70%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批腊肉的销售利润不少于3480元，剩余的腊肉每件售价最少打几折？（利润＝售价﹣进价）
【解答】解：（1）设第一批腊肉每件进价为x元，则第二批腊肉每件进价为（x+5）元，
由题意得：×2＝，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
答：第一批腊肉每件进价为60元；
（2）设剩余的腊肉每件售价打y折．
根据题意得：×70%×100+×（1﹣70%）×100×0.1y﹣7800≥3480，
解得：y≥8，
答：剩余的腊肉每件售价最少打8折．
25．（10分）小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接AO，CO，并分别延长至点B，点D，使OB＝OA，OD＝OC，连接BD，
（1）如图1，求证：AC＝BD；
（2）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长CO至点D，使OC＝OD，过点D作AC的平行线DE，延长AO至点F，连接EF，测得∠DEF＝120°，∠OFE＝90°，DE＝5m，EF＝9m，请求出池塘宽度AC．
【解答】（1）证明：在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴AC＝BD；
（2）解：延长DE，AF交于点B，
∵DE∥AC，
∴∠C＝∠D，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（ASA），
∴AC＝BD，
∵∠DEF＝120°，∠OFE＝90°，
∴∠BFE＝90°，∠BEF＝60°，∠B＝30°，
∵EF＝9m，
∴BE＝2EF＝18m，
∵DE＝5m，
∴BD＝BE+DE＝23m，
∴AC＝23m，
答：池塘宽度AC为23m．
26．（10分）将两个等腰直角△ABC与△EFC如图放置，AC＝BC，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝90°．
（1）如图1，若点A、E、F三点共线时，交线段BC于点G，点D是线段AB的点，满足AD＝DF，∠BDF＝30°，求∠BCF的度数；
（2）当△EFC绕着点C顺时针旋转至如图2时，分别连接AF，BE，若点M是线段AF的中点，连接MC，求证：BE＝2CM；
（3）当△EFC绕着点C顺时针旋转至如图3时，分别连接AF，BE，若点M是线段AF的中点，CE＝12，AC＝23，BE＝17，四边形ABEF面积为668时，直接写出点A到CM的距离．
【解答】（1）解：如图1，∵AC＝BC，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝90°，
∴∠B＝∠CAB＝∠CFE＝∠CEF＝45°，
∵点A、E、F三点共线，
∴∠BCF＝∠AGC﹣∠CFE＝∠AGC﹣∠B＝∠BAF，
∵AD＝DF，∠BDF＝30°，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠BDF＝∠DFA+∠BAF＝2∠BAF＝30°，
∴∠BCF＝∠BAF＝15°，
∴∠BCF的度数是15°．
（2）证明：如图2，延长CM到点L，使LM＝CM，连接LA，
∵点M是线段AF的中点，
∴AM＝FM，
在△LMA和△CMF中，
，
∴△LMA≌△CMF（SAS），
∴LA＝CF，∠L＝∠FCM，
∴LA＝CE，AL∥CF，
∴∠CAL+∠ACF＝180°，
∵∠BCE+∠ACF＝360°﹣∠ACB﹣∠ECF＝180°，
∴∠CAL＝∠BCE，
在△CAL和△BCE中，
，
∴△CAL≌△BCE（SAS），
∴CL＝BE，
∴CL＝2CM，
∴BE＝2CM．
（3）解：点A到CM的距离是，
理由：如图3，延长CM到点K，使KM＝CM，连接AK，则S△AKM＝S△ACM，
∵点M是线段AF的中点，
∴AM＝FM，
∴S△FCM＝S△ACM，
∴S△AKM＝S△FCM，
∴S△ACF＝S△FCM+S△ACM＝S△AKM+S△ACM＝S△CAK，
由（2）得△CAK≌△BCE，
∴S△ACF＝S△CAK＝S△BCE，
∴S四边形ABEF＝S△ABC+S△EFC+S△ACF+S△BCE＝S△ABC+S△EFC+2S△CAK，
作AP⊥CM交CM的延长线于点P，
∵∠ACB＝∠ECF＝90°，CE＝CF＝12，AC＝BC＝23，BE＝17，S四边形ABEF＝668，
∴S△ABC＝AC•BC＝×23×23＝，S△EFC＝CE•CF＝×12×12＝72，CK＝BE＝17，
∴2S△CAK＝2×CK•AP＝2××17AP＝17AP，
∴+72+17AP＝668，
解得AP＝，
∴点A到CM的距离是．
1．（4分）下列四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A．我B．爱C．飞D．中
2．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x≠3D．x＝3
3．（4分）点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，﹣2）
4．（4分）下列运算中正确的是（ ）
A．2a3﹣a3＝2B．2a3•a4＝2a7
C．（2a3）2＝4a5D．a8÷a2＝a4
5．（4分）如图，AB⊥CD，△ABC≌△ADE，∠C＝53°，则∠D＝（ ）
A．47°B．35°C．37°D．53°
6．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝B．＝3
C．3x﹣1＝D．＝3
7．（4分）数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导教材都安排了运用图形面积加以验证．如图图形中能验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（4分）若a+b＝5，ab＝1，则（a﹣b）2的值（ ）
A．1B．9C．16D．21
9．（4分）四边形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为（ ）
A．58°B．64°C．61°D．74°
10．（4分）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（a+b）n（n＝1，2，3，4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2的展开式a2+2ab+b2中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3的展开式a3+3a2b+3ab2+b3中各项的系数，等等．当n是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（ ）个
①的展开式中的系数是9
②（a﹣b）7的展开式为：a7﹣7a6b+21a5b2﹣35a4b3+35a3b4﹣21a2b5+7ab6﹣b7
③5810﹣16能被28整除
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．（4分）如图，已知∠1＝∠2，利用“SAS”加上条件 ，可以证明△ADB≌△ADC．
12．（4分）近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知7nm＝0.0000007cm，则0.0000007用科学记数法表示为 ．
13．（4分）抖空竹是我国独有的民族体育运动之一，作为一种中国古老的技艺，有着悠久的历史和传统，2006年，抖空竹被列入国家级非物质文化遗产代表性项目名录．如图1，小亮同学用数学抽象思维绘制出如图2，已知AB//CD，∠B＝21°，∠D＝37°，则∠E的度数是 ．
14．（4分）计算：＝ ．
15．（4分）一个多边形的每个外角都是40°，则这个多边形的内角和是 ．
16．（4分）已知4x2+ax+16是完全平方式，则a的值为 ．
17．（4分）若三角形三边长分别为3，4，|a|，且a满足关于x的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
18．（4分）设a为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于b，十位与个位的数字之和等于b﹣1，则称这样的数为“b级收缩数”．例如正整数2634中，因为2+6＝8，3+4＝7＝8﹣1，所以2634是“8级收缩数”，其中b＝8．最小的“4级收缩数”是 ；若一个“6级收缩数”的千位数字与十位数字之积为6，且这个数能被19整除，则满足条件的数是 ．
三、解答题（19题8分，20-26题每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为
A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，﹣2）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′，
并写出C′点的坐标；
（2）求△A′B′C′的面积．
20．（10分）（1）因式分解：9a﹣a3；
（2）解分式方程：．
21．（10分）计算：（1）（x﹣y）2﹣x（x﹣2y）；
（2）．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB上一点，满足BD＝BC．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线，交AC于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明：AD＝CE．
证明：∵ ，
∴∠CBE＝∠DBE，
在△BCE与△BDE中，
，
∴△BCE≌△BDE（SAS），
∴CE＝ ，∠BDE＝∠C＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠CBA＝∠A（ ），
∴∠CBA＝×90°＝45°，
∵∠A+∠DEA＝∠EDB＝90°，
∴∠A＝∠DEA＝45°，
∴ ，
∴AD＝CE．
23．（10分）如图是一块长为（2a+3b）厘米，宽为（2a+b）厘米的长方形纸片，将长方形纸片的四个角剪去边长为a厘米的小正方形．（a＞0，b＞0）．
（1）试用含a，b的代数式表示长方形纸片剩余面积是多少平方厘米？
（2）若a＝5，b＝10，请求出长方形纸片剩余面积．
24．（10分）今年我县腊肉一上市，腊肉店的王老板用3600元购进一批腊肉，很快售完；老板又用7800元购进第二批腊肉，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．
（1）第一批腊肉每件进价多少元？
（2）王老板以每件100元的价格销售第二批腊肉，售出70%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批腊肉的销售利润不少于3480元，剩余的腊肉每件售价最少打几折？（利润＝售价﹣进价）
25．（10分）小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接AO，CO，并分别延长至点B，点D，使OB＝OA，OD＝OC，连接BD，
（1）如图1，求证：AC＝BD；
（2）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长CO至点D，使OC＝OD，过点D作AC的平行线DE，延长AO至点F，连接EF，测得∠DEF＝120°，∠OFE＝90°，DE＝5m，EF＝9m，请求出池塘宽度AC．
26．（10分）将两个等腰直角△ABC与△EFC如图放置，AC＝BC，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝90°．
（1）如图1，若点A、E、F三点共线时，交线段BC于点G，点D是线段AB的点，满足AD＝DF，∠BDF＝30°，求∠BCF的度数；
（2）当△EFC绕着点C顺时针旋转至如图2时，分别连接AF，BE，若点M是线段AF的中点，连接MC，求证：BE＝2CM；
（3）当△EFC绕着点C顺时针旋转至如图3时，分别连接AF，BE，若点M是线段AF的中点，CE＝12，AC＝23，BE＝17，四边形ABEF面积为668时，直接写出点A到CM的距离．
参考答案与解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）。在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）下列四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A．我B．爱C．飞D．中
【解答】解：A，B、C选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
2．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x≠3D．x＝3
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣3≠0，
∴x的取值范围是：x≠3．
故选：C．
3．（4分）点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，﹣2）
【解答】解：根据轴对称的性质，得点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：C．
4．（4分）下列运算中正确的是（ ）
A．2a3﹣a3＝2B．2a3•a4＝2a7
C．（2a3）2＝4a5D．a8÷a2＝a4
【解答】解：A、2a3﹣a3＝a3，故此选项错误；
B、2a3•a4＝2a7，故此选项正确；
C、（2a3）2＝4a6，故此选项错误；
D、a8÷a2＝a6，故此选项错误；
故选：B．
5．（4分）如图，AB⊥CD，△ABC≌△ADE，∠C＝53°，则∠D＝（ ）
A．47°B．35°C．37°D．53°
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴∠CAB＝90°，
∵∠C＝53°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝37°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠D＝∠B＝37°．
故选：C．
6．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝B．＝3
C．3x﹣1＝D．＝3
【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）＝．
故选：A．
7．（4分）数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导教材都安排了运用图形面积加以验证．如图图形中能验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：A．大正方形面积为a2，小正方形面积为b2，大正方形减去小正方形的面积为a2﹣b2，两个长方形的面积之和为（a+b）（a﹣b），可以验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故A选项符合题意；
B．最大的正方形面积为（a+b）2，两个较小的正方形面积分别为a2、b2，两个长方形的面积之和为2ab，不能验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故B选项不符合题意；
C．最大的正方形面积为a2，两个较小的正方形面积分别为（a﹣b）2、b2，两个长方形的面积之和为2b（a﹣b），不能验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故C选项不符合题意；
D．大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，四个长方形的面积为4ab，不能验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故D选项不符合题意；
故选：A．
8．（4分）若a+b＝5，ab＝1，则（a﹣b）2的值（ ）
A．1B．9C．16D．21
【解答】解：∵a+b＝5，ab＝1，
∴（a﹣b）2
＝（a+b）2﹣4ab
＝52﹣4×1
＝25﹣4
＝21，
故选：D．
9．（4分）四边形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为（ ）
A．58°B．64°C．61°D．74°
【解答】解：如图，延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，
同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝122°，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝58°，
∴∠AMN+∠ANM＝2×58°＝116°．
∴∠MAN＝180°﹣116°＝64°，
故选：B．
10．（4分）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（a+b）n（n＝1，2，3，4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2的展开式a2+2ab+b2中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3的展开式a3+3a2b+3ab2+b3中各项的系数，等等．当n是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（ ）个
①的展开式中的系数是9
②（a﹣b）7的展开式为：a7﹣7a6b+21a5b2﹣35a4b3+35a3b4﹣21a2b5+7ab6﹣b7
③5810﹣16能被28整除
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：由（a+b）n计算规律可得，（m+）9＝（+m）9的展开式中，字母部分因式依次为，，，…，
∴含的为第二项，
又由“杨辉三角”可知，（a+b）n的展开式中第二项的系数为n，
∴（m+）9的展开式中含的项为，故①正确；
由（a+b）n计算规律可得，（a﹣b）7＝a7﹣7a6b+21a5b2﹣35a4b3+35a3b4﹣21a2b5+7ab6﹣b7，故②正确；
∵5810﹣16＝（585+4）（585﹣4），
而585﹣4
＝（56+2）5﹣4
＝565+5×564×2+10×563×22+10×562×23+5×56×24+25﹣4
＝565+5×564×2+10×563×22+10×562×23+5×56×24+28，
∴5810﹣16能被28整除，故③正确；
∴正确的有①②③，共3个；
故选：D．
二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．（4分）如图，已知∠1＝∠2，利用“SAS”加上条件 AB＝AC ，可以证明△ADB≌△ADC．
【解答】解：∵∠1＝∠2，AD＝AD，
∴当添加AB＝AC时，△ADB≌△ADC（SAS）．
故答案为：AB＝AC．
12．（4分）近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知7nm＝0.0000007cm，则0.0000007用科学记数法表示为 7×10﹣7 ．
【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7．
故答案为：7×10﹣7．
13．（4分）抖空竹是我国独有的民族体育运动之一，作为一种中国古老的技艺，有着悠久的历史和传统，2006年，抖空竹被列入国家级非物质文化遗产代表性项目名录．如图1，小亮同学用数学抽象思维绘制出如图2，已知AB//CD，∠B＝21°，∠D＝37°，则∠E的度数是 16° ．
【解答】解：∵AB//CD，
∴∠AFE＝∠D＝37°，
∵∠B＝21°，
∴∠E＝∠AFE﹣∠B＝16°．
故答案为：16°．
14．（4分）计算：＝ ﹣10 ．
【解答】解：原式＝﹣1﹣9＝﹣10．
故答案为：﹣10．
15．（4分）一个多边形的每个外角都是40°，则这个多边形的内角和是 1260° ．
【解答】解：设多边形的边数为n，
∵多边形的每个外角都等于40°，
∴n＝360÷40＝9，
∴这个多边形的内角和＝（9﹣2）×180°＝1260°．
故答案为1260°．
16．（4分）已知4x2+ax+16是完全平方式，则a的值为 ±16 ．
【解答】解：∵4x2+ax+16
＝（2x）2+ax+42，
∴ax＝±2×2×4x＝±16x，
解得m＝±16，
故答案为：±16．
17．（4分）若三角形三边长分别为3，4，|a|，且a满足关于x的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 8 ．
【解答】解：根据题意，得，
解不等式①，得﹣7＜a＜7，
解不等式②，得a＞1或a＜﹣1，
∴原不等式组的解集为﹣7＜a＜﹣1或1＜a＜7．
解分式方程，得x＝，
∵≥0，
∴a+4≥0，
∴a≥﹣4；
∵x＝1是原分式方程的增根，
∴a≠﹣2．
∵﹣7＜a＜﹣1或1＜a＜7，
∴﹣3＜a+4＜3或5＜a+4＜11，
综上，﹣3＜a+4＜3或5＜a+4＜11，且a+4是2的整数倍，且a+4≥0，且a+4≠2，
∴0≤a+4＜3或5＜a+4＜11，且a+4是2的整数倍，且a+4≠2，
∴a+4＝0、6、8或10，
∴a＝﹣4、2、4或6，
﹣4+2+4+6＝8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是8，
故答案为：8．
18．（4分）设a为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于b，十位与个位的数字之和等于b﹣1，则称这样的数为“b级收缩数”．例如正整数2634中，因为2+6＝8，3+4＝7＝8﹣1，所以2634是“8级收缩数”，其中b＝8．最小的“4级收缩数”是 1303 ；若一个“6级收缩数”的千位数字与十位数字之积为6，且这个数能被19整除，则满足条件的数是 2432 ．
【解答】解：∵是“4级收缩数”，
∴b＝4．
∵求最小的“4级收缩数”，
∴千位数字可选数字1，
∴百位数字为3．
∵十位与个位数字的和为3，
∴十位可选最小的数字0，
∴个位数字为3．
∴最小的“4级收缩数”为：1×1000+3×100+0×10+3＝1303；
设“6级收缩数”的千位数字为x，十位上的数字为y，则百位数字为6﹣x，个位上的数字为5﹣y．
∵千位数字与十位数字之积为6，
∴（不合题意，舍去）或或或．
∴“6级收缩数”为6014或2432或3323．
∵这个数能被19整除，上述3个数只有2432是19的整数倍，
∴“6级收缩数”为：2432．
故答案为：1303，2432．
三、解答题（19题8分，20-26题每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为
A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，﹣2）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′，
并写出C′点的坐标；
（2）求△A′B′C′的面积．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
C′点的坐标为（1，﹣2）．
（2）△A′B′C′的面积为＝＝．
20．（10分）（1）因式分解：9a﹣a3；
（2）解分式方程：．
【解答】解：（1）9a﹣a3
＝a（9﹣a2）
＝a（3+a）（3﹣a）；
（2）去分母得：a﹣2＝1+2（a﹣3）
解得：a＝3，
检验：把a＝3代入a﹣3＝0，
∴原方程无解．
21．（10分）计算：（1）（x﹣y）2﹣x（x﹣2y）；
（2）．
【解答】解：（1）（x﹣y）2﹣x（x﹣2y）
＝x2﹣2xy+y2﹣x2+2xy
＝y2；
（2）
＝[]
＝
＝
＝．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB上一点，满足BD＝BC．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线，交AC于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明：AD＝CE．
证明：∵ ①BE是∠ABC的角平分线， ，
∴∠CBE＝∠DBE，
在△BCE与△BDE中，
，
∴△BCE≌△BDE（SAS），
∴CE＝ ②DE ，∠BDE＝∠C＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠CBA＝∠A（ ③等边对等角 ），
∴∠CBA＝×90°＝45°，
∵∠A+∠DEA＝∠EDB＝90°，
∴∠A＝∠DEA＝45°，
∴ ④AD＝DE ，
∴AD＝CE．
【解答】（1）解：如图：AE即为所求；
（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠CBE＝∠DBE，
在△BCE与△BDE中，
，
∴△BCE≌△BDE（SAS），
∴CE＝DE，∠BDE＝∠C＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠CBA＝∠A（等边对等角），
∴∠CBA＝×90°＝45°，
∵∠A+∠DEA＝∠EDB＝90°，
∴∠A＝∠DEA＝45°，
∴AD＝DE，
∴AD＝CE．
故答案为：BE是∠ABC的角平分线，DE，等腰直角三角形的性质，AD＝DE．
23．（10分）如图是一块长为（2a+3b）厘米，宽为（2a+b）厘米的长方形纸片，将长方形纸片的四个角剪去边长为a厘米的小正方形．（a＞0，b＞0）．
（1）试用含a，b的代数式表示长方形纸片剩余面积是多少平方厘米？
（2）若a＝5，b＝10，请求出长方形纸片剩余面积．
【解答】解：（1）由题意得：
（2a+3b）（2a+b）﹣4a2
＝4a2+2ab+6ab+3b2﹣4a2
＝8ab+3b2（平方厘米），
答：长方形纸片剩余面积为（8ab+3b2）平方厘米；
（2）把a＝5，b＝10代入8ab+3b2得：
8×5×10+3×102
＝8×5×10+3×100
＝400+300
＝700（平方厘米），
答：当a＝5，b＝10，长方形纸片剩余面积为700平方厘米．
24．（10分）今年我县腊肉一上市，腊肉店的王老板用3600元购进一批腊肉，很快售完；老板又用7800元购进第二批腊肉，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．
（1）第一批腊肉每件进价多少元？
（2）王老板以每件100元的价格销售第二批腊肉，售出70%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批腊肉的销售利润不少于3480元，剩余的腊肉每件售价最少打几折？（利润＝售价﹣进价）
【解答】解：（1）设第一批腊肉每件进价为x元，则第二批腊肉每件进价为（x+5）元，
由题意得：×2＝，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
答：第一批腊肉每件进价为60元；
（2）设剩余的腊肉每件售价打y折．
根据题意得：×70%×100+×（1﹣70%）×100×0.1y﹣7800≥3480，
解得：y≥8，
答：剩余的腊肉每件售价最少打8折．
25．（10分）小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接AO，CO，并分别延长至点B，点D，使OB＝OA，OD＝OC，连接BD，
（1）如图1，求证：AC＝BD；
（2）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长CO至点D，使OC＝OD，过点D作AC的平行线DE，延长AO至点F，连接EF，测得∠DEF＝120°，∠OFE＝90°，DE＝5m，EF＝9m，请求出池塘宽度AC．
【解答】（1）证明：在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴AC＝BD；
（2）解：延长DE，AF交于点B，
∵DE∥AC，
∴∠C＝∠D，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（ASA），
∴AC＝BD，
∵∠DEF＝120°，∠OFE＝90°，
∴∠BFE＝90°，∠BEF＝60°，∠B＝30°，
∵EF＝9m，
∴BE＝2EF＝18m，
∵DE＝5m，
∴BD＝BE+DE＝23m，
∴AC＝23m，
答：池塘宽度AC为23m．
26．（10分）将两个等腰直角△ABC与△EFC如图放置，AC＝BC，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝90°．
（1）如图1，若点A、E、F三点共线时，交线段BC于点G，点D是线段AB的点，满足AD＝DF，∠BDF＝30°，求∠BCF的度数；
（2）当△EFC绕着点C顺时针旋转至如图2时，分别连接AF，BE，若点M是线段AF的中点，连接MC，求证：BE＝2CM；
（3）当△EFC绕着点C顺时针旋转至如图3时，分别连接AF，BE，若点M是线段AF的中点，CE＝12，AC＝23，BE＝17，四边形ABEF面积为668时，直接写出点A到CM的距离．
【解答】（1）解：如图1，∵AC＝BC，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝90°，
∴∠B＝∠CAB＝∠CFE＝∠CEF＝45°，
∵点A、E、F三点共线，
∴∠BCF＝∠AGC﹣∠CFE＝∠AGC﹣∠B＝∠BAF，
∵AD＝DF，∠BDF＝30°，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠BDF＝∠DFA+∠BAF＝2∠BAF＝30°，
∴∠BCF＝∠BAF＝15°，
∴∠BCF的度数是15°．
（2）证明：如图2，延长CM到点L，使LM＝CM，连接LA，
∵点M是线段AF的中点，
∴AM＝FM，
在△LMA和△CMF中，
，
∴△LMA≌△CMF（SAS），
∴LA＝CF，∠L＝∠FCM，
∴LA＝CE，AL∥CF，
∴∠CAL+∠ACF＝180°，
∵∠BCE+∠ACF＝360°﹣∠ACB﹣∠ECF＝180°，
∴∠CAL＝∠BCE，
在△CAL和△BCE中，
，
∴△CAL≌△BCE（SAS），
∴CL＝BE，
∴CL＝2CM，
∴BE＝2CM．
（3）解：点A到CM的距离是，
理由：如图3，延长CM到点K，使KM＝CM，连接AK，则S△AKM＝S△ACM，
∵点M是线段AF的中点，
∴AM＝FM，
∴S△FCM＝S△ACM，
∴S△AKM＝S△FCM，
∴S△ACF＝S△FCM+S△ACM＝S△AKM+S△ACM＝S△CAK，
由（2）得△CAK≌△BCE，
∴S△ACF＝S△CAK＝S△BCE，
∴S四边形ABEF＝S△ABC+S△EFC+S△ACF+S△BCE＝S△ABC+S△EFC+2S△CAK，
作AP⊥CM交CM的延长线于点P，
∵∠ACB＝∠ECF＝90°，CE＝CF＝12，AC＝BC＝23，BE＝17，S四边形ABEF＝668，
∴S△ABC＝AC•BC＝×23×23＝，S△EFC＝CE•CF＝×12×12＝72，CK＝BE＝17，
∴2S△CAK＝2×CK•AP＝2××17AP＝17AP，
∴+72+17AP＝668，
解得AP＝，
∴点A到CM的距离是．
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