重庆市江北区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷+解析）

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（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成；
4.考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回.
参考公式：
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1. 5的相反数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的定义解答．
【详解】解：只有符号不同的两个数称为互为相反数，
则5的相反数为-5，
故选D.
【点睛】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从上面看到的视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查几何体的三视图，根据从上面看到的视图是俯视图进行判断即可．
【详解】解：根据题意，从上面看到的视图是
，
故选：C．
3. 反比例函数的图象一定不经过的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足解析式．据此判断逐项即可．
【详解】解：A、当时，，则反比例函数的图象一定经过的点，故此选项不符合题意；
B、当时，，则反比例函数的图象一定经过的点，故此选项不符合题意；
C、当时，，则反比例函数的图象一定经过的点，故此选项不符合题意；
D、当时，，则反比例函数的图象一定不经过的点，故此选项符合题意，
故选：D．
4. 如图，与位似，点O为位似中心.已知，则与面积比为（ ）
A. 1：3B. 1：4C. 1：6D. 1：9
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了图形的位似、相似三角形的性质等知识，根据位似比得相似比，由相似的性质即可得出答案，牢记位似比和相似比之间的关系是解题的关键．
【详解】解：与位似，
故选：．
5. 用相同小正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有个正方形，第②个图案中有个正方形，第③个图案中有个正方形，...按此规律排列下去，则第个图案中正方形的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得到规律．根据已知图形中正方形的个数得出第个图形正方形个数为个，即可求解．
【详解】解：解：图1中正方形的个数：，
图2中正方形的个数：，
图3中正方形的个数：，
第个图形正方形个数为个，
第个图案中正方形个数（个），
故选：B．
6. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，且于点E，则的度数为（ ）．
A. 60°B. 75°C. 45°D. 50°
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、三角形的内角和等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
由旋转的性质可得，进而得到，最后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选B．
7. 估计的值应在（ ）
A. 和之间B. 和之间C. 和之间D. 和之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先计算出原式等于 ，可得，即可求解．
【详解】解：，
，即，
，
的值应在和之间，
故选：C．
8. 如图，是的切线，B为切点，连接．若，，则的长度是（ ）
A. 3B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查切线性质、正切定义、勾股定理，连接，先根据切线性质得到，再利用正切定义求得，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
9. 已知二次函数图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据抛物线的与坐标轴的交点、开口方向、对称性以及当时对应的函数值逐项判断即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向上，与y轴的负半轴相交，与x轴有两个交点，
∴，，，故选项B错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，，故选项D正确；
∴，故选项A错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数有最小值，故选项C错误，
故选项D符合题意，
故选：D．
10. 有n个依次排列的整式：第一项是（是非零实数），第二项是，用第二项减去第一项，所得之差记为，将加记为，将第二项与相加作为第三项，将加记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到个结论：
①；②当时，第项为；
③若第项与第项之和为，则或；④第项为.
以上结论正确的个数是（ ）.
A. 3B. 4C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查整式规律，根据题目要求，通过前面几项找到一般项的规律是解决问题的关键．根据题目中的描述，按规律写出前几项验证相关选项，最后得到，，进一步验证即可得到结论．
【详解】解：第一项是，
第二项是，
用第二项减去第一项，所得之差记为，则，
将加记为，则，①正确；
将第二项与相加作为第三项，则第三项是，
当时，第三项是，②错误；
将加记为，则，第三项与相加作为第四项，则第四项是，
将加记为，则，
第四项与相加作为第五项，则第五项是，
第项与第项之和为，则，解得或，③正确；
综上所述：，第项为，第项为，④正确；
故选：A．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11. 计算：_______．
【答案】5
【解析】
【分析】先将零指数幂和负整数指数幂化简，再进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握任何非0数的0次幂都得1，以及．
12. 在桌面上放有四张背面朝上且完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字，，，，现随机抽取一张，则所抽取卡片上的数字为偶数的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查概率，概率所求情况数与总情况数之比．利用概率公式求解即可．
【详解】解：所抽取卡片上的数字为偶数的情况为：，，共两种情况，
，
故答案为：．
13. 抛物线先向左平移3个单位后，再向上平移2个单位后的解析式是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”求解即可．
【详解】解：抛物线先向左平移3个单位后，再向上平移2个单位后的解析式是，
故答案为：．
14. 某菜鸟驿站第一天揽件件，第三天揽件件，设该菜鸟驿站揽件日平均增长率为，根据题意所列方程为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．根据题意，第三天的揽件数量第一天的揽件数量，列方程即可．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
15. 如图，菱形的边长为6，现以顶点O为圆心作，点A、C在圆上，点B在圆外，若，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留）
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、扇形的面积公式，先求得菱形的面积，再利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解：过A作于D，
∵菱形的边长为6，，
∴，，即，
在中， ，
∴，，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形的边分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与矩形的边分别交于点E、F且，连接，若的面积5，则k值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形、矩形性质，巧妙设点B坐标是解答的关键．设，根据坐标与图形性质得到，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求得，，再利用割补法得到，进而可求解．
【详解】解：设，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵E、F在反比例函数的图象上，
∴，即，，
∵
∴由得，
故答案为：
17. 若实数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组、解分式方程组，先解不等式组的解集，再根据已知不等式组解确定a的取值范围；解分式方程得到
【详解】解：解不等式组，得，
∵该方程组有且仅有三个整数解，
∴，解得；
解分式方程得，
∵该分式方程的解为正数，且，
∴，且，解得且
∴且，
∵a为整数，
∴a的值为，，，，
∴所有满足条件的整数a的值之和为，
故答案为：．
18. 如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“会意数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴ 2335是“会意数”．则．那么“会意数”，则_____；已知四位自然数是“会意数”，（，，且a、b、c、d均为正整数），若恰好能被8整除，则满足条件的数S的最大值是______．
【答案】 ①. 21 ②. 4117
【解析】
【分析】本题考查新定义运算，涉及有理数的四则运算、整式的加减运算，理解新定义是解答的关键．根据新定义先求得，进而求得；根据新定义得到S各个数位上的数字，表示出S和，计算出，根据b、d的取值范围即可找到满足条件的S的最大值．
【详解】解：由“会意数”得，
∴；
∵四位自然数是“会意数”，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵恰好能被8整除，
∴是整数，
∴是8的倍数，
∵，，且b、d均为正整数，
∴要使S取最大值，则千位上的数字a取最大，则b取最小，则，，
∴满足是8的倍数，此时，
∴满足条件的数S的最大值是4117，
故答案为：21，4117．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19. （1）解方程：
（2）化简：
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，分式的混合计算，熟知相关计算方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）根据分式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：（1）
或
解得：，；
（2）
．
20. 已知四边形为正方形，点E在边上，连接．
（1）尺规作图：过点B作于点H，交于点F（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
（2）求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵正方形
∴， ①
∴
∵
∴
∴
∴ ②
在与中
∴
∴ ④ ．
通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且 ⑤ 的线段长相等．
【答案】20. 见解析
21. ，，，，垂直
【解析】
【分析】本题考查尺规作图-作垂线、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握基本作图和正方形的性质是解答的关键．
（1）根据尺规作垂线的方法作出即可；
（2）先根据正方形的性质得到，根据等角的余角相等得到，然后利用全等三角形的判定和性质证明得到，进而得出结论．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作：
【小问2详解】
证明：∵正方形
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
在与中
∴
∴．
通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且垂直的线段长相等．
故答案为：，，，，垂直．
21. “构建德智体美劳全面培养教育体系，加强新时代大中小学劳动教育”，某校开展了劳动实践知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，90 分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：， C：．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩为：86，75，97，84，84，74，86，95，95，84；
八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：81，84，82，88，88．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图：根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ______， ______， ______．
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该学校打算从七八两个年级竞赛成绩在A组的所有学生中随机抽取两名学生谈感想，请用画树状图或列表法求两名学生刚好来自同一年级的概率．
【答案】（1）86；84；30．
（2）八年级的成绩更好．理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据中位数、众数的定义可求出a,b的值；求出B等级的百分比，进而可得答案．
（2）根据平均数、中位数、众数以及方差的意义即可解答．
（3）由题意得八年级A等级的人数为2人，七年级A等级的人数为2人，画树状图得出所有等可能的结果数以及两名学生刚好来自同一年级的结果数，再利用概率公式即可解答．
【小问1详解】
解：由题意可得，八年级A等级的人数为（人），
将八年级10名同学的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第5和第6的为84和88，
∴．
由七年级10名学生的竞赛成绩可知，出现次数最多的为84，
∴b=84．
∵，
∴．
故答案为：86；84；30．
【小问2详解】
解：八年级的成绩更好．理由如下：
两个年级的成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数都高于七年级，所以八年级的成绩更好．
【小问3详解】
解：八年级A等级的人数为2人，分别记为甲、乙，
七年级A等级的人数为2人，分别记为丙，丁，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两名学生刚好来自同一年级的结果有：（甲，乙），（乙，甲），（丙，丁），（丁，丙），共4种，
∴两名学生刚好来自同一年级的概率为．
【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法、扇形统计图、平均数、中位数、众数、方差等知识点，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及平均数、中位数、众数、方差的意义是解答本题的关键．
22. 如图，在等腰中，于点D，，．动点E，F同时从点C出发，点E以每秒1个单位的速度沿线段运动．点F以每秒个单位的速度沿折线运动．当点E到达点B时，E、F两点同时停止运动．设点E的运动时间为t秒，的面积记为，的长度记为．

（1）请直接写出关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
（2）如图2，平面直角坐标系中已给出函数的图象，请在该坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，估计当时t的近似值．（近似值保留一位小数，误差不超过）
【答案】（1）
（2）画图见解析，函数的性质为函数有最大值，最大值为（答案不唯一）
（3）当时t的近似值为和
【解析】
【分析】（1）分两种情况，即在点的左边或右边两种情况，根据题意可得，再利用勾股定理求得的长，即可解答；
（2）根据描点法画出图象即可，再根据图象写出一条性质；
（3）根据图象得到的解析式，根据题意列方程即可解答．
【小问1详解】
解：是等腰三角形，,
，，
在中，，
当在点的左边时，此时，，
；
当在点的右边时，此时，，
，
综上所述，
【小问2详解】
解：的图象如图所示：

函数的性质：函数有最大值，最大值为；
【小问3详解】
根据图象可得：当时，，当时，，
可得方程和，
分别解得和，
当时t的近似值为和．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，函数的图象，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题．
23. 某鲜花店出售甲、乙两种艺术花篮，八月份时，每个乙花篮的单价比甲花篮单价低20元，一个甲花篮与两个乙花篮的售价之和为260元．
（1）八月份，甲、乙两种艺术花篮的销售单价分别是多少元？
（2）据统计八月份甲、乙两种艺术花篮分别销售了40个和50个；九月份，随着国庆节的即将到来，顾客对艺术花篮的需求量增大，店主决定对甲种花篮进行降价促销，经市场调研，甲种花篮单价每降低1元，预计销量比八月份增加3个；乙种花篮销售单价不变，但其销量相比八月份也有所增加，预计增加的销量是甲种花篮增加销量的．若预计九月份甲、乙两种花篮的销售总额是11100元，求甲花篮的应降价是多少元？
【答案】（1）甲、乙两种艺术花篮的销售单价分别是100元、80元
（2）甲花篮的应降价是10元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
（1）根据题意列出方程组，利用代入法解方程组即可；
（2）根据销售量×售价=销售额列方程求解即可．
【小问1详解】
解：设甲、乙两种艺术花篮的销售单价分别是x元，y元，
根据题意，得，
解得，
答：甲、乙两种艺术花篮的销售单价分别是100元、80元；
【小问2详解】
解：设甲花篮的应降价是a元，
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去），
答：甲花篮的应降价是10元．
24. 如图，四边形是一湿地公园的休闲步道.经测量，于点B，米，点D在C的北偏东方向，且点D在A的东北方向．
（1）求步道的长度；（精确到个位数）
（2）小庆以80米/分的速度沿B→C→D→A的方向步行，小渝骑自行车以200米/分的速度沿B→A→D→C的方向行驶．两人同时出发能否在9分钟内相遇？请说明理由．（参考数据：，，）
【答案】（1）848米
（2）能相遇，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数是求解关键．
（1）先证明是等腰直角三角形，求得米，，进而得到，，利用锐角三角函数求解即可；
（2）先求得，进而求得四边形的周长，求出两人跑一圈相遇的时间，进而可得结论．
【小问1详解】
解：∵米，，
∴是等腰直角三角形，
∴米，，
由题意，，，
∴（米），
答：步道的长度约为848米；
【小问2详解】
解：两人同时出发能在9分钟内相遇，理由：
在中，（米），
四边形的周长为
（米），
∴（分），
∵，
∴两人同时出发能在9分钟内相遇．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）点为直线下方抛物线上一动点，作轴交于点，轴交于点，当的值最大时，求点的坐标和的值最大；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新的抛物线 ，新抛物线与原抛物线交于点，点为抛物线对称轴上一点，点为平面内一点，当以点P，M，N，Q为顶点的四边形是菱形时，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）
（2）由最大值为，此时点
（3）点坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出点的坐标，进而可求出直线的表达式，由题意可得，推出，由即可求解；
（3）当是对角线时，由中点坐标公式和列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理即可求解．
【小问1详解】
解：将点、点代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
令，则，
点，
设直线的表达式为：，
将点，点，代入得：
，
解得：，
直线直线的表达式为：，，
，
设点，则，
则，
即，
，
由最大值为，此时点；
【小问3详解】
将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，向上平移个单位，
则新抛物线的表达式为：，对称轴为，
联立，
解得，
点，
由（2）知，点，
设点，点，
，
当是对角线时，由中点坐标公式和得：
，
解得：，
点；
当或为对角线时，由中点坐标公式和得：
或，
解得：或，
则点的坐标为或或；
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题为二次函数的综合题，涉及一次函数的性质，菱形的性质等，分类讨论是解题的关键．
26. 等边三角形，点D为线段上任意一点，连接，E为直线上一点．
图1 图2 图3
（1）如图1，当点D为中点时，点E在边上，连接．若，，求的长；
（2）如图2，若点E为延长线上一点，且，点F为延长线上一点，且．猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（1）的条件下，M为线段上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接．当的值最小时，直接写出的面积．
【答案】（1）
（2），利用见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）过点E作于F，根据等边三角形的性质得到，，利用锐角三角函数求得、、，进而求得，然后利用勾股定理求解即可；
（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质分别证明和得到即可得出结论；
（3）在上截取，连接，则是等边三角形，证明得到，，进而，则点N在过点G且垂直于的直线l上运动，作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于N，交于H，连接交直线l于O，此时的值最小，设直线l与相交于K，连接，利用锐角三角函数求得，，，证明是等边三角形和 ，进而求得，，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：过点E作于F，如图，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，点D为中点，
∴，，
∴，，，
在中，，
∴；
【小问2详解】
解：，理由为：
在上截取，连接，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：在上截取，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵线段绕点E顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴点N在过点G且垂直于的直线l上运动，
作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于N，交于H，连接交直线l于O，则，，，此时的值最小，
设直线l与相交于K，连接，
∵，，，
∴，，，
∴，又，
∴是等边三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∵是等边三角形，点D为中点，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、旋转性质、等腰三角形的性质、利用轴对称求最短路径问题等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识与联系，并添加辅助线构造等边三角形和全等三角形是解答的关键．学生
平均数
中位数
众数
方差
七年级
86
85
b
56
八年级
86
a
88
62.4