广东省江门市新会尚雅学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份广东省江门市新会尚雅学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 在实数，，，中，无理数是（ ）
A. B. C. D. 3.14
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的特征，即可解答．
【详解】解：在实数，，，中，无理数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的特征，即为无限不循环小数，熟知该概念是解题的关键．
2. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形，据此来分析判断即可得解．
【详解】解：A选项，是中心对称图形，故本选项符合题意；
B选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是求解关键．
3. 在下列二次根式中，x的取值范围是x＞3的是（ ）
A. B. C. D. 您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高【答案】D
【解析】
【分析】
分析：要使二次根式有意义，则必须满足二次根式的被开方数为非负数，要使分式有意义则必须满足分式的分母不为零．
【详解】根据二次根式的性质可得：A、x≤3；B、x≥－3；C、x≥3；D、x＞3，故选D．
【分析】本题主要考查的是二次根式的性质，属于基础题型．理解二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式分别判断即可．
【详解】解：A、，故选项错误；
B、，故选项正确；
C、，故选项错误；
D、，故选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方以及完全平方公式，正确掌握相关乘法公式是解题关键．
5. 不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，小明从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】可利用画树状图得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：设李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗分别为A、B、C，
画树状图为：

由图知，一共有6种等可能的结果，其中从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的有2种，
∴从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率为，
故选：A．
【点睛】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意题目中是放回试验还是不放回实验试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：

故选：B．
【点睛】此题考查不等式组的解法，解题关键是将解集表示在数轴上时，有等号即为实心点，无等号则为空心点．
7. 若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°，圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到2πr=，整理得l=r（r＞0），然后根据正比例函数图象求解．
【详解】解：根据题意得2πr=，所以l=r（r＞0），
即l与r为正比例函数关系，其图象在第一象限．
故选A．
【点睛】本题考查圆锥的计算；函数的图象．
8. 如下图，在长方形ABCD中，放入六个形状相同长方形，所标尺寸如图，图中阴影部分面积( )
A. 36cm2B. 96cm2C. 44cm2D. 84cm2
【答案】C
【解析】
【分析】首先设长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得等量关系：①1个长＋3个宽＝14；②2个宽＋6＝1个长＋1个宽，根据等量关系列出方程组，再解即可．
【详解】解：设长方形的长为xcm，宽为ycm，
由题意得： ，解得：，
∴阴影部分的面积为：（6＋4）×14−2×8×6＝44（cm2），
故选C．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
9. 在下列函数图象上任取不同两点、，定能使成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，根据各函数的增减性依次进行判断即可．
【详解】解：A、，
随x的增大而增大，即当时，必有，
当时，，故A选项不符合；
B、对称轴为直线，
当时y 随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小，
当时：当时，必有，
此时，故B选项不符合；
C、当时，y随x的增大而增大，
即当时，必有，
此时，故C选项不符合；
D、对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，
即当时，必有，
此时，
故D选项符合．
故选D．
10. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ）
A. 6B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长．
【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．
结合图象可知，当点在上运动时，，
∴，，
又∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，
∴，即，
∴，
过点作，
∴，则，
∴，
即：等边三角形的边长为6，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．
二、填空题
11. 嫦娥五号从月球风驰电掣般返回地球的速度接近第二宇宙速度，即112000米/秒，该速度112000用科学记数法表示为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义，即可求解．
【详解】解：，
故答案是：
【点睛】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的形式：a×10n（1≤|a|＜10，n为整数），是解题的关键．
12. 把多项式分解因式的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取，再根据平方差公式继续分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
13. 已知一元二次方程的一个根为．则另一个根__________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据根与系数的关系得：，求出即可．
【详解】解： 则根据根与系数关系得：，
解得：，
即方程的另一个根为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：当和是一元二次方程、、为常数，的两个根时，那么，．
14. 如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是________．

【答案】3
【解析】
【分析】设，则，将三角形面积用代数式的形式表示出来，然后根据二次函数的最值，即可求解．
【详解】解：依题意，设，则，
则
∴
∵，二次函数图象开口向下，有最大值，
∴当时面积的最大值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例数与一次函数的性质，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
15. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．已知，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】由于将△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C′，可见，阴影部分面积为扇形ACA′减扇形BCB′，分别计算两扇形面积，再计算其差即可．
【详解】解：如图：由旋转可得：
∠ACA′=∠BCB′=120°，又AC=3，BC=2，
S扇形ACA′==，
S扇形BCB′==，
则线段AB扫过的图形的面积为=，
故答案为：
【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的关键．
16. 对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：）9.9，10.1，10.0，若用作为这条线段长度的近以值，当______时，最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），若用作为这条线段长度的近似值，当_____时，最小．
【答案】 ①. 10.0； ②. ．
【解析】
【分析】（1）把整理得：，设，利用二次函数性质求出当时有最小值；
（2）把整理得：， 设，利用二次函数的性质即可求出当 取最小值时的值．
【详解】解：（1）整理得：，
设，
由二次函数的性质可知：当时，函数有最小值，
即：当时，的值最小，
故答案为：10.0；
（2）整理得：，
设，由二次函数性质可知：
当时，有最小值，
即：当时，的值最小，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，关键是设，整理成二次函数，利用二次函数的性质—何时取最小值来解决即可．
三、解答题（一）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，6
【解析】
【分析】先去括号、再合并同类项将原式进行化简，然后将代入计算即可解答．
【详解】解：，
，
；
当时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算、化简求值等知识点，正确利用整式混合运算法则化简成为解题的关键．
19. 如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）判断△BOC的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得结论．
【详解】证明：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）△BOC是等腰三角形，
理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE，
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO，
∴△BOC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键．
20. 尺规作图.已知，点是上一点.
（1）过点作；
（2）在直线上求作一点，使点到，的距离相等；
（3）求证：.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，做平行线与角平分线，角平分线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图是解题关键．
（1）先以O点为圆心，任意长为半径画弧交、于E、F，再以C点为圆心，为半径画弧交于M，然后分别以M、C为圆心，为半径画弧，两弧相交于点N，则直线满足条件；
（2）作的平分线交于点P，则点P满足条件；
（3）根据角平分线定理，平行线的性质可得到，再根据对角对等边即可得证．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
点P即为所求，
【小问3详解】
点到，的距离相等，
平分，
，
，
，
，
．
四、解答题（二）
21. 2022年7月19日亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”作为竞赛奖品某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．
（1）若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
（2）在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，并且总费用不得超过2400元，试求一下该校一共有多少种购买方案？
【答案】（1）甲规格吉祥物每套70元，乙规格吉祥物每套90元
（2）有6种，详情见解析
【解析】
【分析】（1）设甲规格吉祥物每套元，用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，列分式方程，求解即可：
（2）设乙规格吉祥物购买套，根据购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，并且总费用不得超过2400元，列出一元一次不等式组，求出的取值范围，再根据为正整数定出一共有6种购买方案．
【小问1详解】
设甲规格吉祥物每套元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
（元），
答：甲规格吉祥物每套70元，乙规格吉祥物每套90元；
【小问2详解】
设乙规格吉祥物购买套，根据题意，得，解得，

．解得，

因为为正整数，所以可以取10、11、12、13、14、15，故一共有6中购买方案．
答：方案一：甲买20套、乙买10套；方案二：甲买19套、乙买11套；方案三：甲买18套、乙买12套；
方案四：甲买17套、乙买13套；方案五：甲买16套、乙买14套；方案六：甲买15套，乙买15套．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意建立相应的关系式是解题的关键．
22. 如图，中，，D是边上的一点，且，E是上的一点，以为直径的经过点D．
（1）求证：是的切线；
（2）若圆心O到弦的距离为1，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，如图1所示，由OD＝OC，根据等边对等角得到一对角相等，再由∠DOB为△COD的外角，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，等量代换可得出∠DOB＝2∠DCB，又∠A＝2∠DCB，可得出∠A＝∠DOB，又∠ACB＝90°，可得出直角三角形ABC中两锐角互余，等量代换可得出∠B与∠DOB互余，即OD垂直于BD，确定出AB为圆O的切线，得证；
（2）过O作OM垂直于CD，如图2，根据垂径定理得到M为DC的中点，，得到，，是的切线，则∠DCB＝30°， ，得到，故，在Rt△OBD中，由勾股定理得到．
【小问1详解】
证明：连接OD，如图1所示：
∵OD＝OC，
∴∠DCB＝∠ODC，
又∠DOB为△COD的外角，
∴∠DOB＝∠DCB+∠ODC＝2∠DCB，
又∵∠A＝2∠DCB，
∴∠A＝∠DOB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠DOB+∠B＝90°，
∴∠BDO＝90°，
∴OD⊥AB，
又∵D在⊙O上，
∴AB是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：过点O作，垂足为M，如图2所示：
∴
∵，
∴，
∵是的切线
∴
∵，
∴
∴，
在Rt△OBD中，由勾股定理得到
【点睛】此题考查了切线的性质与判定，垂径定理，勾股定理，含30°直角三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
23. 如图1，已知排球场的长度为，宽，位于球场中线处的球网的高度为．一球员定点发球技术非常稳定，当他站在底线中点O处发球时，排球运动轨迹是如图2的抛物线，C点为击球点，，球飞行到达最高点F处时，其高度为，F与C的水平之距为，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系（排球大小忽略不计）．
（1）当他站在底线中点O处向正前方发球时，
①求排球飞行的高度y与水平距离x之间的函数关系式（不用写x的取值范围）．
②这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？并说明理由．
（2）假设该球员改变发球方向和击球点高度时球运动轨迹的抛物线形状不变，在点O处上方击球，要使球落在①号区域（以对方场地的边线底线交点M为圆心，半径为的扇形）内，球员跳起的高度范围是多少？（，结果保留两位小数）
【答案】（1）①；②当时，，所以能过网；当时，，所以不出界
（2）
【解析】
【分析】（1）①设抛物线解析式为：，直接利用待定系数法求解即可；
②根据题意得出，分别计算当时，当时的y值，进而与球网高度及0进行比较，即可求解；
（2）连接，先由勾股定理求出的长度，再分类讨论当球的落点在点M处时，设此时抛物线的解析式为，当球的落点在点N处时，设此时抛物线的解析式为，分别将M，N的坐标代入计算即可．
【小问1详解】
①由题意得，
设抛物线解析式为：，
将代入得，
解得，
∴抛物线解析式为：；
②当时，，所以能过网；当时，，所以不出界；理由如下：
∵排球场的长度为，
∴，即点A的横坐标为9，
当时，，
所以能过网；
当时，，
所以不出界；
【小问2详解】
如图，连接，
由题意得，，
∵，
∴，
当球的落点在点M处时，，
设此时抛物线的解析式为，
代入得，解得；
当球的落点在点N处时，，
设此时抛物线的解析式为，
代入得，解得;
综上，球员跳起的高度范围是．
【点睛】本题考查了二次函数的应用—投球问题，熟练掌握待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质是解题的关键．
五、解答题（三）
24. 【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．
【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．
【拓展提升】如图3，已知为的一条中线，．求证：．
【尝试应用】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为_______．
【答案】探究发现：结论依然成立，理由见解析；拓展提升：证明见解析；尝试应用：
【解析】
【分析】探究发现：作于点E，作交的延长线于点F，则，证明，，利用勾股定理进行计算即可得到答案；
拓展提升：延长到点C，使，证明四边形是平行四边形，由【探究发现】可知，，则，得到，即可得到结论；
尝试应用：由四边形是矩形，，得到，，设，，由勾股定理得到，根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】探究发现：结论依然成立，理由如下：
作于点E，作交的延长线于点F，则，

∵四边形为平行四边形，若，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
；
拓展提升：延长到点C，使，

∵为的一条中线，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵．
∴由【探究发现】可知，，
∴，
∴，
∴；
尝试应用：∵四边形是矩形，，
∴，，
设，则，
∴
，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，的最小值是
故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数的应用、勾股定理、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和数形结合是解题的关键．
25 综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．

（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．
【答案】（1），，直线的函数表达式为：；（2）当点是线段的三等分点时，点的坐标为或；（3）点的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）令可得两点的坐标，把的坐标代入一次函数解析式可得的解析式；
（2）根据题意画出图形，分别表示三点坐标，求解的长度，分两种情况讨论即可得到答案；
（3）根据题意画出图形，分情况讨论：①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为．再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案，②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为，再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案．
【详解】解：（1）令



，，
设直线的函数表达式为：，
把代入得：

解得：
直线的函数表达式为：．
（2）解：如图，根据题意可知，点与点的坐标分别为
，．
，
，
分两种情况：
①当时，得．
解得：，（舍去）
当时，．
点的坐标为
②当时，得．
解得：，（舍去）
当时，
点的坐标为．
当点是线段的三等分点时，点的坐标为或

（3）解：直线与轴交于点，
点坐标为．
分两种情况：
①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．
过点作直线，垂足为．则，
，
．
即
．
又，，
．
连接，点的坐标为，点的坐标为，
轴
．
，．
．
．
点的坐标为．
②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为，
则，
，．
．
即
．
又，，
．．
由①可知，．．
．
．
点的坐标为
点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中线段的长度的计算，同时考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，特别是分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键．