广东省江门市新会尚雅学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题

这是一份广东省江门市新会尚雅学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（ ）
A. 带①去B. 带②去C. 带③去D. 带①②去
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．
故选：C．
2. 在中，分式的个数是（ ）
A 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解决本题的关键．根据分式的定义与为整式，，且中含有字母，形如的式子称为分式），即可得出答案．
【详解】解：在中，分式分别是，共3个．
故选：A．
3. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 14，4，9D. 7，2，4您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形三边关系进行判定即可．
【详解】解：A、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意；
B、，成立，符合题意；
C、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意；
D、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查三角形三边关系，判定形成三角形的标准是两小边之和大于最大边，熟练掌握运用三角形三边关系是解题关键．
4. 如图，，，下列选项补充的条件中，能证明的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定，根据得到，根据得到，结合三角形全等判定即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
当符合角角边定理，
当，，均不满足三角形全等的判定，
故选：A．
5. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
6. 通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ）
图1 图2
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，需要利用图形的一些性质得出式子，考查学生观察图形的能力．要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解．
【详解】解：图1中，阴影部分长宽长方形面积，
阴影部分的面积，
图2中，阴影部分大长方形面积长宽长方形面积长宽长方形面积边长的正方形面积，
阴影部分的面积，
．
故选：B
7. 如图，中，点是和的平分线的交点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意易得∠ABP=∠PBC，∠ACP=∠PCB，然后根据三角形内角和可求解．
【详解】解：∵点是和的平分线的交点，
∴∠ABP=∠PBC，∠ACP=∠PCB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠PBC+∠PCB+∠P=180°，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义及三角形内角和，熟练掌握角平分线的定义及三角形内角和是解题的关键．
8. 如图，在中，，平分，交于点D．已知，，则的面积为（ ）
A. 80B. 40C. 20D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，过点D作于E，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
∵，平分，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
9. 设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值是（ ）
A. 0B. 1C. 3D. 条件不足，无法计算
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据二次根式的被开方数为非负数与x、y、z是两两不等的实数，即可求得：x为0，y与z互为相反数，据此即可求得代数式的值．
【详解】解：根据题意得：
，
，，
由可得，由可得，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了二次根式成立的条件与不等式组解集的求解方法，代数式求值问题，找到x，y，z的关系是求解本题的关键．
10. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是（ ）
A. ①②③B. ②③④C. ①④⑤D. ①②⑤
【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC+∠BAD＝180°，又BE、AE都是角平分线，可以推出∠ABE+∠BAE＝90°，从而得到∠AEB＝90°，然后延长AE交BC的延长线于点F，先证明△ABE与△FBE全等，再根据全等三角形对应边相等得到AE＝EF，然后证明△AED与△FEC全等，从而可以证明①②⑤正确，AB与CD不一定相等，所以③④不正确．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线，
∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAD+∠ABC）＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣90°＝90°，
故①小题正确；
如图，延长AE交BC延长线于F，
∵∠AEB＝90°，
∴BE⊥AF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AB＝BF，AE＝FE，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠F，
△ADE与△FCE中， ，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD，故②小题正确；
∵△ADE≌△FCE，
∴CE＝DE，即点E为CD的中点，
∵BE与CE不一定相等
∴BE与CD不一定相等，故③小题错误；
若AD＝BC，则CE是Rt△BEF斜边上的中线，则BC＝CE，
∵AD与BC不一定相等，
∴BC与CE不一定相等，故④小题错误；
∵BF＝AB＝x，BE⊥EF，
∴BE的取值范围为0＜BE＜x，故⑤小题正确．
综上所述，正确的有①②⑤．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明BE⊥AF并作出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们的能力要求较高．
二、填空题
11. 已知，则__________．
【答案】27
【解析】
【分析】根据幂的乘方变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出即可．
【详解】解：由，得,
，
故答案为：27．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，利用幂的乘方变形得出同底数幂的乘法是解题关键．
12. 多项式是完全平方式，则k＝___．
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
【详解】解：多项式是完全平方式，
，
故答案为：.
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
∴，
故答案是：．
14. 如图，________．
【答案】##360度
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理可得，再由对顶角相等，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．
15. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长等于__________．
【答案】17
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系，分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时；当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时，根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，再根据三角形周长计算即可，熟练掌握等腰三角形的定义、三角形三边关系是解此题的关键．
【详解】解：当等腰三角形腰长为3，底边长为7时，，不满足三角形三边关系，不符合题意；
当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时，，满足三角形三边关系，此时周长为；
综上所述，它的周长等于17，
故答案为：17．
16. 如图，，，若，则点的坐标为_________．

【答案】
【解析】
【分析】过点C作轴于点D，通过角的计算即可得出，再结合即可利用证出，由此即可得出的长度，进而可得出点的坐标．
【详解】解：过点作轴于点D，如图所示．

∵，
∴．
∵
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴点C的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题结合等腰直角三角形和坐标点综合考查，关键在于辅助线的作法，过点作垂直于轴的垂线还是垂直于y轴的垂线是解题关键．
17. 如图，在边长为2的等边中，D是的中点，点E在线段上，连接，在的下方作等边，连接．当的周长最小时，的度数是________．
【答案】##30度
【解析】
【分析】证明，得出，作点D关于的对称点G，连接，，则，得出当B，F，G在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小，根据三角形内角和求出结果即可．
【详解】解：如图，连接，如图所示：
∵、都是等边三角形，
∴，，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
如图，作点D关于的对称点G，连接，，则，
∴当B，F，G在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小，
∴此时，
由轴对称的性质，可得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，轴对称的性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，证明．
三、解答题（一）
18. （1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）；（2）无解
【解析】
【分析】本题考幂的混合运算及解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验．
（1）利用幂的混合运算法则计算即可；
（2）根据解分式方程的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）
原方程变形为：，
两边同乘，去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：将代入中可得：，
所以是增根，原方程无解
19. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣3，3），C（﹣1，2）．
（1）在平面直角坐标系中，画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A，B，C的对称点分别是点A1，B1，C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
【答案】（1）画图见解析，A1（﹣4，﹣1），B1（﹣3，﹣3），C1（﹣1，﹣2）；（2）
【解析】
【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）用长为3、宽为2的矩形面积减去四周三个三角形的面积即可．
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，
A1（﹣4，﹣1），B1（﹣3，﹣3），C1（﹣1，﹣2）；
（2）△A1B1C1的面积为2×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×1×2＝．
【点睛】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质．
20. 做一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体；求：
（1）长方体的表面积是多少？
（2）长方体的体积是多少？
【答案】（1）长方体的表面积是
（2）体积是
【解析】
【分析】此题考查二次根式的混合计算，掌握长方体的表面积和体积计算方法是解决问题的关键．
（1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可，再利用长方体的表面积计算公式计算即可；
（3）利用长方体的体积计算公式计算即可．
【小问1详解】
设长方体的高为，则长为，宽为，由题意得
解得，
则，
所以这个长方体的长、宽、高分别是、、．
答：长方体的表面积是．
【小问2详解】
答：体积是．
四、解答题（二）
21. 我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统燃油汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的行驶费用比燃油车平均每公里的行驶费用少0.6元．若两款车的行驶费用均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍．
（1）求这款电动汽车平均每公里的行驶费用；
（2）如果这两款电动汽车和燃油车每年的其它费用分别为7800元和4800元，那么当每年行驶里程为6000千米时，买哪款汽车更划算？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
【答案】（1）0.2元
（2）买电动汽车更划算
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用题，
（1）设这款电动汽车平均每公里的行驶费用为x元，根据电动汽车平均每公里的行驶费用比燃油车平均每公里的行驶费用少0.6元，得到这款燃油车平均每公里的行驶费用为元，结合两款车的行驶费用均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出这款电动汽车平均每公里的行驶费用；
（2）根据电动汽车和燃油车每年的其它费用分别为7800元和4800元，求出这款燃油车平均每公里的行驶费用，分别计算每年行驶里程为6000千米时，电动汽车的每年总费用为和燃油车每年的总费用进行比较，可得到买每年总费用比较少的一款汽车更划算．
解题的关键是熟练掌握行驶费用与平均每公里的行驶费用和行驶路程的关系．
【小问1详解】
设这款电动汽车平均每公里的行驶费用为x元，则这款燃油车平均每公里的行驶费用为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：电动汽车平均每公里行驶费用为0.2元；
【小问2详解】
∵电动汽车和燃油车每年其它费用分别为7800元和4800元，
由（1）知，这款燃油车平均每公里的行驶费用为，（元），
∴每年行驶里程为6000千米时，
电动汽车的每年总费用为，（元），
燃油车的每年总费用为，（元），
∵，
∴电动汽车的每年总费用较低．
故买电动汽车更划算．
22. 如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于F，AD交CE于H.
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：FH//BD.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)根据等边三角形性质得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，求出∠BCE=∠ACD，根据SAS推出两三角形全等即可；
(2)利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH进而得出△BCF≌△ACH，由此得CF=CH，结合∠ACH=60°可得△CFH是等边三角形，进而即证得结论.
【详解】(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
∵在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD(SAS)；
(2)由(1)知△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH，BC=AC，
又∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，
∴∠ACH=180°-∠ACB-∠HCD=60°=∠BCF，
∴在△BCF和△ACH中，
，
∴△BCF≌△ACH (ASA)
∴CF=CH，
又∵∠FCH=60°，
∴△CHF为等边三角形 ，
∴∠FHC=∠HCD=60°，
∴FH∥BD.
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．
23. 【知识链接】
（1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．
例如：的有理化因式是；1﹣的有理化因式是1+．
（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，．
【知识理解】
（1）填空：2的有理化因式是 ；
（2）直接写出下列各式分母有理化的结果：
①= ；②= ．
【启发运用】
（3）计算： ．
【答案】（1）（2）① ②（3）
【解析】
【详解】试题分析：（1）由2×=2x，即可找出2的有理化因式；
（2）①分式中分子、分母同时×（-），即可得出结论；②分式中分子、分母同时×（3-），即可得出结论；
（3）利用分母有理化将原式变形为-1+-+2-+…+-，合并同类项即可得出结论．
试题解析：（1）∵2×=2x，
∴2的有理化因式是．
（2）①；
②．
（3）原式==-1+-+2-+…+-
=-1．
五、解答题（三）
24. 【探究】若x满足，求的值．
设，
则，
；
【应用】请仿照上面方法求解下面问题：
（1）若x满足，求的值；
【拓展】
（2）如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是8，分别以为边作正方形和正方形．
①____________，____________；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
【答案】（1）5；（2）①，；②12
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
（1）仿照题中所给的解答方式进行求解即可；
（2）①分析图形可知，，从而可得解；
②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式、平方差公式求解即可．
【详解】解：（1）设，，
则，，
；
（2）①四边形是长方形，，四边形是正方形，
，，
，
，
故答案为：，；
②长方形的面积是8，
，
阴影部分的面积．
设，，则，，
，
，
又，
，
．
即阴影部分的面积12．
25. 如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，60°
【解析】
【分析】（1）根据∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，再结合∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，即可得出结论；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM＝AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
（3）运用截长法在CD上截取CP＝BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．
【详解】（1）证明：∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，
又∵∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．
则∠AMC＝∠ANB＝90°，
∵OB＝OC，OA⊥BC，
∴AB＝AC，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴△ACM≌△ABN （AAS），
∴AM＝AN，
∴AD平分∠CDE（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（3）∠BAC的度数不变化．
在CD上截取CP＝BD，连接AP．
∵CD＝AD＋BD，
∴AD＝PD，
∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，
∴△ABD≌△ACP，
∴AD＝AP，∠BAD＝∠CAP，
∴AD＝AP＝PD，
即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝60°，
∴∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAP＋∠BAD＝60°．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．