2024年高考数学小专题特训：指数函数与对数函数解答题

这是一份2024年高考数学小专题特训：指数函数与对数函数解答题，共25页。试卷主要包含了已知函数.，已知，为正整数，，已知函数，设函数， 已知函数，已知函数为偶函数.，设函数，其中.等内容，欢迎下载使用。
1．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若方程有两个不相等的实数根，，证明：.
2．已知，为正整数，。
（1）当时，设函数，，证明：有且仅有个零点；
（2）当时，证明：．
3．已知函数
（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（2）解不等式
4． 已知函数，若是定义在上的奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性，若在上有解，求实数的取值范围；
（3）若函数，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由．
5．设函数
（1）若，求的值；
（2）求函数在上的最小值；
（3）若方程在上有四个不相等的实数根，求a的取值范围．
6．已知函数，的导函数记为为自然对数的底数，约为2.718.
（1）判断函数的零点个数；
（2）设是函数的一个零点，是函数的一个极值点，证明：
①；
②.
7． 已知函数．
（1）当时，求的零点个数；
（2）若恒成立，求实数a的值．
8．已知函数为偶函数.
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式；
（3）设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围.
9．已知函数为偶函数.
（1）求实数的值；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）设函数的零点为，求证：.
10．设函数，其中.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若，
（i）证明恰有两个零点
（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.
11．已知函数（，常数）.
（1）求函数的零点；
（2）根据a的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）若函数在上单调递减，求实数a的取值范围，证明函数在上有且仅有1个零点.
12．已知函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）证明：对任意；
（3）讨论函数零点的个数．
13． 已知函数的单调递减区间为，函数.
（参考数据：，，.）
（1）求实数的值，并写出函数的单调递增区间（不用写出求解过程）；
（2）证明：方程在内有且仅有一个根；
（3）在条件（2）下，证明：.
14．已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”.
（1）判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由.
（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
（3）函数表示不超过的最大整数，如.若为的“5重覆盖函数”，求正实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由题可知，定义域为R，则有，
令，则，可知当，，则单调递减；
可知当，，则单调递增；
综上所述，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：等价于，
令，其中，则，显然，所以.
令，则，所以在，上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为.
因为方程有两个不相等的实数根，，
所以关于t的方程有两个不相等的实数根，，且，.
要证，
即证，即证，只需证.
因为所以整理可得
不妨设，则只需证，即证.
令，，，则只需证即可.
因为，所以在上单调递增，
所以，
故.
2．【答案】（1）证明：要证有且仅有个零点，即证仅有个实根，
即证，仅有个实根，
，
当时，，在区间上单调递增
又，， 所以在区间上有一个零点
当时，设
则，所以在区间上单调递增
又，，
所以存在，使得
所以，当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增；
又，，
所以在区间上无零点
综上所述，函数在内只有一个零点
（2）解：当时，，
要证，
只需证：，
令，则，所以在单调递减，
所以，所以
要证，只需证 ，
方法一，令，，则 ，
令，则 ，在单调递减，
，，
所以，，使，即 ，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
，所以原命题得证
方法二：令，则，
当时，当时，
在单调递减，在单调递增，
，
因为，，，
，
原命题得证
3．【答案】（1）解：判断：函数为奇函数，
证明如下：
对于函数，由，求得，故函数的定义域为，
关于原点对称，再根据，
可得为奇函数．
（2）解：不等式，即，
当时，可得，且，求得，
当时，可得，且，求得，
综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为
4．【答案】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以，，解得．
所以，，
对任意的，，即，
所以，函数的定义域为，则，
所以，，则，
故函数为奇函数，合乎题意，故
（2）解：因为，由复合函数的单调性易知在单调递减，
又因为是定义在上的奇函数，则的图象关于原点对称，
则函数在上单调递减，故函数在上单调递减，证明如下：
任取、，且，
，
又因为，则，所以，
则，即，所以，在上单调递减
又因为是定义在上的奇函数，则函数在上单调递减，
所以，在上单调递减．
由，可得，即，
也即有解，令，由可知，则，
因为函数在上单调递增，则，
所以，
（3）解：易知，，
当时，，
当时，，
所以，当时，，
所以，，，而．
如下图所示，则函数与的图象有四个公共点，
所以，函数在上有且只有四个零点．
5．【答案】（1）解：，
，，
（2）解：令，，则，对称轴为，
①当时，即，，
②当时，即，，
③当时，即，，
综上，
（3）解：令，，由题意，当时，有两个不等实数解，
原题可转化为在内有两个不等实数根，
，的取值范围为
6．【答案】（1）解：，
令，解得，
当时，，
当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
令，
时，可令.
此时，易知时，.
当时，，
，
，即在区间上无零点.
又，
，
使得，
即在区间上有一个零点，
函数的零点个数为1.
（2）①由(1)可知，函数有唯一零点，且.下面判断函数的极值点情况，，令，则，当时，，在区间上单调递增，当时，，
在区间上单调递增.
综上，当时，在区间上单调递增.
令
令，解得.
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又
使得，
即，
且当时，，
当时，，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，函数存在唯一的极值点，且.
综上，.
②，要证，即证，
令，
下证在区间上单调递增，即证恒成立，
令
则在区间[1，6]上单调递增，
令
则在区间上单调递增，且，
故在区间上单调递减，在区间，上单调递增，
当时，恒成立，
在区间上单调递增，
，原命题得证.
7．【答案】（1）解：当时，，则，
当，，函数在上单调递减；
当，，函数在上单调递增，
所以，
又，，所以存在，，
使得，即的零点个数为2．
（2）解：不等式即为，
设，，则，
设，，
当时，，可得，则单调递增，
此时当无限趋近时，无限趋近于负无穷大，不满足题意；
当时，由，单调递增，
当无限趋近时，无限趋近于负数，当无限趋近正无穷大时，无限趋近于正无穷大，故有唯一的零点，即，
当时，，可得，单调递减；
当时，，可得，单调递增，
所以，
因为，可得，
当且仅当时，等号成立，所以，
所以
因为恒成立，即恒成立，
令，，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以，即，
又由恒成立，则，所以.
8．【答案】（1）解：函数的定义或为，
函数为偶函数.
，即 ，
，
（2）解：，
当时，，单调递增，
在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
，
，
解得或，
所以所求不等式的解集为
（3）解：函数与图象有2个公共点，
，
即，，
设，则，即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
，
解得，即的取值范围为.
9．【答案】（1）解：，
由于为偶函数，
所以，即，
所以，.
（2）解：依题意关于的不等式恒成立，
即，
，
令，当时等号成立，
由于是单调递增函数，，即，
所以.
（3）解：函数的零点为，
即，
函数在上递增，，
，
所以，
对任意，
，
其中，所以，即在上递增，
所以，
即.
10．【答案】（1）解：由已知，的定义域为，
且，
因此当时，，从而，所以在内单调递增.
（2）证明：（i）由（i）知，，
令，由，可知在内单调递减，
又，且，
故在内有唯一解，
从而在内有唯一解，不妨设为，
则，当时，，所以在内单调递增；
当时，，所以在内单调递减，
因此是的唯一极值点.
令，则当时，，故在内单调递减，
从而当时，，所以，
从而，
又因为，所以在内有唯一零点，
又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.
（ii）由题意，即，
从而，即，
因为当时，，又，故，
两边取对数，得，
于是，整理得，
11．【答案】（1）解：当时，无零点：当时，的零点为；
（2）解：，
当时，且对任意，，因此是偶函数
当时，且，因此是非奇非偶函数；
（3）解：在上任取，恒成立，
即恒成立，∴，
时，在上严格递减，因此在该区间上至多1个零点……①，
又在上的图像是一条连续的曲线，
且，
由零点存在定理并结合①，在区间上有且仅有1个零点.
12．【答案】（1）解：求导可得：，
若，对任意的，，为减函数，所以，符合题意；
若，考查函数，
当，即时，，此时在上为减函数，有，符合题意；
当，即时，令可得：
，，
所以，当时，，为增函数，所以，不符题意，
综上可得：的取值范围为．
（2）解：由知当时，成立，即时，恒有，
即当时，成立．
取，有，
即，，
所以，，
将上述不等式相加可得：，
整理可得，
即成立；
（3）解：由，
当时，，为减函数，
又，，
此时在内有一个零点；
当时，令，可得或舍，
此时有一个零点，
当时，考查函数，
若，即时，，
所以为减函数，由，
，此时有一个零点在内；
若，时，有两解，
，，
此时在上为减函数，在上为增函数，
由可知，所以极小值，极大值，
由，
取，，
令，
，令，则，
由所以，所以为减函数，
所以，所以为减函数，
所以，所以，
可得，此时有三个零点，
综上可得：时，有一个零点，时，有三个零点．
13．【答案】（1）解：函数的单调递减区间为，故，，
，，
函数定义域满足：，解得或，
在上单调递增，在上单调递增，
故函数的单调递增区间为
（2）解：，即，即，
设，函数在上单调递增，
，，故在上有唯一零点，
即方程在内有且仅有一个根；
（3）证明：，要证，即，，
函数在上单调递增，
故，即，得证.
14．【答案】（1）解：由定义可得，对任意，恰好存在个不同的实数
，使得（其中），
即，
，且为增函数，
对于任意，都有唯一一个，使得，
是的“重覆盖函数”，；
（2）解：可得的定义域为，
即，存在2个不同的实数，使得，其中，
，
，即，
即对任意有2个实根，
当时，已有一个根，故只需时仅有1个根.
当时，，符合题意，
当时，若对称轴，
，且，
在上单调递减，上单调递增，
则一定存在使得有两个根，舍去；
若对称轴，则无解，舍去；
若对称轴，则在上必须单调递减，且，
，解得；
当时，对称轴，
且，
时，，无解；
当时，单调递减且，
因此仅有1个根，符合题意.
综上，实数的取值范围是；
（3）解：
对于任意要有5个根，
，作出函数的图象，如下图：
要使有5个根，需，
又，解得，
所以正实数的取值范围.