冲刺2024年高考数学：函数与导数小专题特训

这是一份冲刺2024年高考数学：函数与导数小专题特训，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（ ）
A．定义域为B．值域为
C．偶函数D．减函数
2．已知函数，且，那么等于（ ）
A．B．C．6D．10
3．若，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数的定义域为，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．5
6．已知函数是定义在上的偶函数．若对于任意两个不等实数、，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．或
7．已知函数，若且，则的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．
8．已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．为奇函数B．为周期函数
C．为奇函数D．为偶函数
10．已知函数，则（ ）
A．点是函数的图象的一个对称中心
B．直线是函数的图象的一条对称轴
C．区间是函数的一个单调增区间
D．区间是函数的一个单调增区间
11．定义在上的函数满足，当时，.当时，；当时，.若关于的方程的解构成递增数列，则（ ）
A．
B．若数列为等差数列，则公差为
C．若，则
D．若，则
三、填空题
12．已知，则 ．
13．已知函数，若存在且，使得，则的取值范围为 .
14．已知函数与的零点分别为和，若存在，使得，则实数a的取值范围是 ．（是自然对数的底数）
参考答案：
1．A
【分析】结合幂函数性质逐项判断即可得.
【详解】因为幂函数的图象过点，所以，
所以，所以，
对A、B：因为，定义域为，值域为，
故A正确、B错误；
对C：，且定义域为，故为奇函数，故C错误；
对D：在区间，上单调递减，
由可知在定义域上不是减函数，故D错误.
故选：A.
2．C
【分析】令，由可得答案.
【详解】，
令，
则，
即，可得，
即.
故选：C．
3．B
【分析】根据不等式的基本性质和幂函数和对数函数的性质即可判断．
【详解】，，函数在上为增函数，，A错误；
由，则函数在上为增函数，
所以，即，B正确；
由，C错误；
，
函数为上为增函数，则，
所以，即，D错误.
故选：．
4．A
【分析】由题意首先得，根据它的定义域、单调性以及它所过定点即可得解.
【详解】由题意函数 与函数 互为反函数，
所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点，
对比选项可知A符合题意.
故选：A.
5．C
【分析】根据函数定义域求出，利用基本不等式可求答案.
【详解】由题可知，且，即，所以，
当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为4.
故选：C.
6．C
【分析】由偶函数的性质可将所求不等式变形为，分析函数在上的单调性，可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为函数是R上的偶函数，则，
所以不等式可变形为，
因为对于任意两个不等实数、，
不等式恒成立，
所以不等式恒成立，
不妨设，则，可得，
则函数在上单调递增，
所以，，可得，即，解得或，
则原不等式的解集为．
故选：C．
7．A
【分析】作出的图像，可得，，，设，求得导数和单调性、最大值，从而得到答案.
【详解】当时，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，
在上单调递增，可得处取极小值为，从而作出的图像如下图：
由图像可得，，由得：，则，
设，则，当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，可得处取最大值且，则的最大值为.
故选：A
8．D
【分析】根据条件，利用导数的定义即可得到，再由导数的几何意义即可得出结果.
【详解】由，得到，
由导数的定义知，所以函数在点处的切线的方程为，
即，
故选：D.
9．BC
【分析】利用函数奇偶性定义可求得，即可判断A错误；B正确；再利用周期可得为奇函数，，即可知C正确，D错误.
【详解】根据题意由为奇函数可得，即；
由为奇函数可得，即；
所以可得，即，
即可得为周期是4的周期函数，且，
可得不是奇函数，即A错误；B正确；
由周期性可知，因为为奇函数，所以也为奇函数，即C正确；
因为，所以不是偶函数，即D.错误；
故选：BC
10．BD
【分析】A选项，计算出，故点不是函数的图象的一个对称中心；B选项，计算出，B正确；C选项，计算出，C错误；D选项，时，，得到，得到D正确.
【详解】A选项，
，
由于不恒成立，故点不是函数的图象的一个对称中心，A错误；
B选项，
，
故直线是函数的图象的一条对称轴，B正确；
C选项，，，
显然，故区间不是函数的一个单调递增区间，C错误；
D选项，时，恒成立，
故，
时，，
由于在上单调递增，
故是函数的一个单调增区间，D正确.
故选：BD
11．ACD
【分析】由周期性，对称性及等差数列的求和公式逐项判断即可.
【详解】因为，所以周期是，
，故A正确；
当时，
令，则，即，
时，，得或；
时，，得；
又当时，.故关于对称，
故时，的根为或，则函数在一个周期内有个根.
即当，在的根为，此时数列公差为，
，故B错误，C正确；
当得，对称轴为，
此时；
当，对称轴为，
此时；
故当时，
且
则
，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】易错点睛：本题考查函数对称性及应用，的根易忽略对称中心的位置.
12．
【分析】对函数求导，然后将代入导函数中，求得相应的导数值.
【详解】由已知得，
则，解得．
故答案为：．
13．
【分析】作出的图象，由二次函数对称性可知的值，然后根据对数运算可知的范围，由此可求的取值范围.
【详解】作出函数的图象，如图所示，
由图象可知，且，
所以，则，
所以，故的取值范围为．
故答案为：．
14．
【分析】先确定函数的单调性，然后观察其零点，进而求出的范围，再将方程的存在性问题转化为函数的值域问题求解即可.
【详解】对于函数，
明显函数在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，
所以函数在定义域上单调递增，
又，所以，
所以，即，
即函数在上存在零点.
令，得，
令，
对于函数，由对勾函数的性质可得其在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以的值域为，
所以.
故答案为：.