2024年高考数学小专题特训：直线和圆的方程解答题

这是一份2024年高考数学小专题特训：直线和圆的方程解答题，共14页。试卷主要包含了已知圆C，已知圆M经过A，B，C三点.，已知直线l，已知椭圆C， 已知圆C等内容，欢迎下载使用。
1．已知圆C：(x−1)2+(y+1)2=4.
（1）过点P(3，2)作C的切线l，求l的方程；
（2）若点Q为直线l′：3x−4y+13=0上的动点，过Q作圆C的切线，记切点为M，当|QM|取最小值时，求∠CQM的大小.
2．已知圆E经过点A(0，1)，B(1，4)，且与y轴相切.
（1）求圆E的方程；
（2）过点P(−7，6)且与直线x+y−3=0平行的光线经x轴反射后与圆E相交于MN，求△EMN的面积.
3．已知圆M经过A(1，5)，B(4，2)，C(5+1，0)三点.
（1）求圆M的方程；
（2）已知斜率为−12的直线l经过第三象限，且与圆M交于点E，F，求△EFM的面积的取值范围.
4．在平面直角坐标系xOy中，已知两点S(4，0)，T(1，0)，动点P满足|PS|=2|PT|，设点P的轨迹为C.如图，动直线l与曲线C交于不同的两点A，B（A，B均在x轴上方），且∠ATO+∠BTO=180∘.
（1）求曲线C的方程；
（2）当A为曲线C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；
（3）是否存在一个定点，使得直线l始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
5．已知直线l：ax−y−3+a2=0(a∈R).
（1）若l不经过第三象限，求a的取值范围；
（2）求坐标原点O到直线l距离的最小值，并求此时直线l的方程.
6．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上､下顶点分别为A，B，短轴长为2，P在C上（不与A，B重合），且kPA⋅kPB=−12.
（1）求C的标准方程；
（2）直线PA，PB分别交直线y=2于D，E两点，连接DB交C于另一点M，证明：直线ME过定点.
7． 已知圆C：(x−2)2+y2=25．
（1）设点M(−1，32)，过点M作直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|=8，求直线l的方程；
（2）设P是直线x+y+6=0上的点，过P点作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，求证：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
8．已知圆C经过点A(1，3)和B(5，1)，且圆心C在直线x−y+1=0上.
（1）求圆C的方程；
（2）设直线l经过点(0，3)，且l与圆C相切，求直线l的方程.
（3）P为圆上任意一点，在(1)的条件下，求(x+1)2+(y+2)2的最小值.
9．已知圆C的圆心为原点，且与直线3x+4y−10=0相切，直线l过点M(1，2).
（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）若直线l被圆C所截得的弦长为23，求直线l的方程.
10． 已知点P到A(−2，0)的距离是点P到B(1，0)的距离的2倍.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若点P与点Q关于点B对称，过B的直线与点Q的轨迹Γ交于E，F两点，则BE⋅BF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
11． 已知直线l：x−ay−2=0，a∈R．
（1）求证：直线l与圆x2+y2=4恒有公共点；
（2）若直线l与圆心为C的圆(x−a)2+(y−1)2=4相交于A、B两点，且△ABC为直角三角形，求a的值．
12．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点P是椭圆与x轴正半轴的交点，点Q是椭圆与y轴正半轴的交点，且|FQ|=2，|PF|=2−1.直线l过圆O：x2+y2=1的圆心，并与椭圆相交于A，B两点，过点A作圆O的一条切线，与椭圆的另一个交点为C，且S△ABC=43.
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线AC的斜率.
13．已知直线l：y=kx+1，l与圆C：(x−1)2+y2=4交于A，B两点，点Q在圆C上运动．
（1）当|AB|=23时，求k；
（2）已知点P(2，1)，求PQ的中点M的轨迹方程．
14．已知圆C：x2+y2−4x+2y−11=0，直线l：(2m+1)x−(m+2)y−4m+1=0，m∈R．
（1）判断直线l是否过定点，若过定点，请找出该定点；若不过定点，请说明理由．
（2）若直线l与圆C交于A、B两点，且|AB|=215，求该直线方程．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：当l的斜率不存在时，x=3满足条件.
当l的斜率存在时，不妨设其方程为y−2=k(x−3)，
即kx−y+2−3k=0，
圆心C(1，−1)到l的距离为|k+1+2−3k|k2+1=2，
解得k=512，
可得l的方程为5x−12y+9=0，
综上所述，l的方程为x=3，或5x−12y+9=0.
（2）解：∵|QM|2=|QC|2−|CM|2=|QC|2−4，
∴不难知道当|QC|最短时，即CQ⊥l′时，|QM|取得最小值，
此时|QC|=|3+4+13|32+(−4)2=4，
∴sin∠CQM=|MC||QC|=12，
∴∠CQM=30∘.
2．【答案】（1）解：设圆E的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，
由题可得a2+(1−b)2=r2，(1−a)2+(4−b)2=r2，r=|a|，
解得a=5，b=1，r=5，
故圆E的方程为(x−5)2+(y−1)2=25.
（2）解：设过点P(−7，6)且与直线x+y−3=0平行的光线所在直线为l1，
则斜率为k1=−1，故直线l1的方程为x+y+1=0，
设经x轴反射后为直线l2，斜率k2=−k1=1，
则直线l2的方程为x−y+1=0，
则圆心E到直线l2的距离为|5−1+1|1+1=522，
则|MN|=2R2−d2=225−252=52，
故△EMN的面积为12|MN|⋅d=252.
3．【答案】（1）设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A，B，C三点坐标代入，
则D+5E+F+26=04D+2E+F+20=0(5+1)D+F+(5+1)2=0，解得D=−2，E=−4，F=−4，
则圆M的方程为x2+y2−2x−4y−4=0；
（2）由（1）知圆M的方程为(x−1)2+(y−2)2=9，
即圆心M(1，2)，半径为r=3，
可设直线l方程：y=−12x+k，k