2022-2023学年黑龙江省哈工大附中高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年黑龙江省哈工大附中高二（下）开学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈Z|−1≤x<4}，B={x|x2−4x≤0}，则A∩B=( )
A. {1,2,3,4}B. {1,2,3}C. {0,1,2,3}D. (0,4)
2.下列命题中是真命题的是( )
A. “(x−1)(x+2)>0”是“x−1x+2≥0”的必要非充分条件
B. ∀x∈(0,π2),sinx+1sinx的最小值是2
C. 在△ABC中，“sinA>sinB”是“A>B”的充要条件
D. “若b2=ac，则a，b，c成等比数列”的逆否命题
3.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2−6x，则f(−1)=( )
A. −7B. −5C. 5D. 7
4.函数f(x)=(a−2)x+1,x≤1−x2,x>1是定义在R上的减函数的一个充分不必要条件是( )
A. a∈[0,2]B. a∈[0,1)C. a∈[1,2]D. a∈[2,+∞)
5.函数f(x)=x2sinx的图像大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知α，β是两个不同平面，a，b是两条不同直线，则下列命题正确的是( )
A. 若a⊥α，a⊥b，则b/​/α
B. 若a/​/β，α∩β=b，a⊥b，则α⊥β
C. 若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b
D. 若α⊥β，α∩β=b，a⊥b，则a⊥β
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A=60°，b=1，b+csinB+sinC=2 33，则△ABC的面积为( )
A. 32B. 34C. 12D. 14
8.直线l过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F，与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，O为原点，且OA⋅AF=0，3AF=FB，则双曲线C的离心率为( )
A. 2B. 3C. 52D. 62
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于函数f(x)=4cs(2x−π6)(x∈R)，下列命题正确的是( )
A. y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数
B. y=f(x)的表达式可改写为y=4sin(2x+π3)
C. y=f(x)的图象关于点(−π6,0)对称
D. y=f(x)的图象关于直线x=π3对称
10.下面结论正确的是( )
A. 若事件A与B是互斥事件，则A与B−也是互斥事件
B. 若事件A与B是相互独立事件，则A−与B−也是相互独立事件
C. 若P(A)=0.6，P(B)=0.2，A与B相互独立，那么P(A∪B)=0.68
D. 若P(A)=0.8，P(B)=0.7，A与B相互独立，那么P(A−B−)=0.06
11.下列推导过程，正确的是( )
A. 因为a，b为正实数，所以ba+ab≥2 ba⋅ab=2
B. 因为a>3，所以4a+a≥2 4a⋅a=4
C. 因为a<0，所以4a+a≥2 4a⋅a=4
D. 因为x，y∈R，xy<0，所以xy+yx=−[(−xy)+(−yx)]≤−2 (−xy)⋅(−yx)=−2，当且仅当x=−y时，等号成立
12.某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].若不低于80分的人数是35人，且同一组中的数据用该组区间的中点值代表，则下列说法中正确的是( )
A. 该班的学生人数是50
B. 成绩在[80,90)的学生人数是12
C. 估计该班成绩的平均分为85
D. 成绩的众数一定落在区间[90,100]内
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若复数z=i2−i(i是虚数单位)的共轭复数是z−，则z−z−的虚部是______．
14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4，S7=−7，则a6= ______．
15.已知数列{an}满足an+3an−1=0，a5=81，则S5的值是______．
16.若抛物线x2=28y上一点(x0,y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则y0= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知f(x)= 3sinxcsx−3cs2x+32．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若x∈[0,π2]，求f(x)的最大值和最小值．
18.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b2+2c2−2a2=0．
(1)若tanC=13，求A的大小；
(2)当A−C取得最大值时，试判断△ABC的形状．
19.(本小题12分)
记Sn为的等差数列{an}的前n项和，已知a1=−9，S3=−21．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn的最小值及取得最小值时n的值．
20.(本小题12分)
在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，在梯形ABEF中，AF/​/BE，AF⊥AB，AB=BE=2AF=2，平面ABEF⊥平面ABCD．
(1)证明：BD⊥平面ACF；
(2)若直线DA与平面ACF所成的角为60°，求平面ACF与平面CEF所成角的余弦值．
21.(本小题12分)
某中学为了解高中一年级学生对《生涯规划》读本学习情况，在该年级1500名学生中随机抽取了40名学生作为样本，对他们一周内对《生涯规划》读本学习时间进行调查，经统计，这些时间全部介于10至60(单位：分钟)之间.现将数据分组，并制成右图所示的频率分布直方图.为了研究的方便，该年级规定，若一周学习《生涯规划》读本时间多于50分钟的学生称为“精生涯生”，若一周学习《生涯规划》读本时间小于20分钟的学生称为“泛生涯生”．
(1)求图中a的值，并估计该年级学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的均值；
(2)用样本估计总体，估计该年级“精生涯生”和“泛生涯生”的数量各为多少人？
(3)从样本中的“精生涯生”和“泛生涯生”中任选2名学生，求这两名学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的差不超过10分钟的概率．
22.(本小题12分)
已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A、F分别为Γ的左顶点和右焦点，O为坐标原点，以OA为直径的圆与Γ交于M点(第二象限)，|OM|=a2．
(1)求椭圆Γ的离心率e；
(2)若b=2，直线l//AM，l交Γ于P、Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2．
(ⅰ)若l过F，求k1⋅k2的值；
(ⅱ)若l不过原点，求S△OPQ的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A={x∈Z|−1≤x<4}={−1,0,1,2,3}，B={x|0≤x≤4}，
所以A∩B={0,1,2,3}．
故选：C．
解一元二次不等式，化简集合，再求交集．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：对于A，解(x−1)(x+2)>0，可得x<−2或x>1，
解x−1x+2≥0，可得x<−2或x≥1，
故“(x−1)(x+2)>0”是“x−1x+2≥0”的充分非必要条件，故A错误；
对于B，令t=sinx，
因为x∈(0,π2)，
所以t∈(0,1)，
因为y=t+1t在(0,1)上单调递减，
故y=t+1t>2，故B错误；
对于C，△ABC中，sinA>sinB⇔2RsinA>2RsinB⇔a>b⇔A>B，其中R为△ABC外接圆的半径，故C正确；
对于D，取a=0，b=0，c=1，满足b2=ac，但a，b，c不成等比数列，
故命题“若b2=ac，则a，b，c成等比数列”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故D错误．
故选：C．
解不等式，根据充分条件与必要条件的定义可判断A；
令t=sinx，根据对勾函数的性质可判断B；
根据正弦定理可判断C；
取a=0，b=0，c=1，可得原命题为假命题，根据原命题与其逆否命题的真假性相同可判断D．
本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于中档题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，当x>0时，f(x)=x2−6x，则f(1)=1−6=−5，
又由f(x)为奇函数，则f(−1)=−f(1)=5，
故选：C．
根据题意，由函数的解析式求出f(1)的值，结合奇偶性分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为函数是定义在R上的减函数，
所以a−2<0a−2+1≥−1，解得0≤a<2，
所以a∈[0,2]是0≤a<2的必要不充分条件，a∈[0,1)是0≤a<2的充分不必要条件，a∈[1,2]，a∈[2,+∞)是0≤a<2的既不充分也不必要条件．
故选：B．
先利用减函数的定义求得a的范围，再根据充分性和必要性的定义求解即可．
本题主要考查了分段函数的单调性，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意，函数f(x)=x2sinx定义域为R，
又由f(−x)=(−x)2sin(−x)=−x2sinx=−f(x)，
故f(x)=x2sinx为奇函数，故它的图像关于原点对称，排除C和D；
又函数f(x)=x2sinx在x∈(0,π)时，函数f(x)=x2sinx>0，可以排除B．
故选：A．
根据题意，根据函数f(x)=x2sinx是奇函数，且函数在x∈(0,π)时函数值的正负，从而得出结论．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：对于A，若a⊥α，a⊥b，则b/​/α或b⊂α，故A错误；
对于B，若a/​/β，α∩β=b，a⊥b时，可能β与α相交，但不垂直，即不一定α⊥β，故B错误；
对于D，由平面与平面垂直的性质定理可知，
若α⊥β，α∩β=b，a⊥b，a⊂α时，则a⊥β，若a⊄α时，直线a与平面β不垂直，故D错误，
对于C.若α⊥β，则两平面的法向量互相垂直，因为a⊥α，b⊥β，所以a⊥b，∴C选项正确．
故选：C．
分别利用线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理判断，即可求解．
本题考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理判断，属中档题．
7.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，由正弦定理得：asinA=bsinB=csinC，因此asinA=b+csinB+sinC=2 33，
则a=2 33sinA=2 33sin60°=2 33× 32=1，而b=1，即有△ABC是正三角形，
所以△ABC的面积S△ABC=12absin60°= 34．
故选：B．
根据给定条件，利用正弦定理求出边长a，再判断三角形形状，求出面积作答．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：如图所示，设渐近线l1：y=bax，即bx−ay=0，
设渐近线线l1的倾斜角为θ，则tanθ=ba，∠AOF=∠BOF=θ，
∴双曲线的焦点F(c,0)到渐近线l1：bx−ay=0的距离为bc a2+b2=b，
∵OA⋅AF=0，∴OA⊥AF，
∴|AF|=b，又|OF|=c，∴|OA|=a，
又3AF=FB，∴|FB|=3|AF|=3b，
∴tan∠AOB=|AB||OA|=4ba=tan2θ=2tanθ1−tan2θ，又tanθ=ba，
∴4ba=2ba1−b2a2，
化简可得a2=2b2，∴b2a2=12，
∴双曲线C的离心率为 c2a2= a2+b2a2= 1+b2a2= 1+12= 62，
故选：D．
根据双曲线的几何性质，点到直线的距离公式，二倍角的正切公式，方程思想，化归转化思想，即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，点到直线的距离公式，二倍角的正切公式，方程思想，化归转化思想，属中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：f(x)=4cs(2x−π6)的最小正周期T=2π2=π，A错误；
4cs(2x−π6)=4cs(2x+π3−π2)=4sin(2x+π3)，B正确；
因为f(−π6)=4cs(−π2)=0，所以y=f(x)的图象关于点(−π6,0)对称，C正确；
因为f(π3)=4csπ2=0，所以y=f(x)的图象不关于直线x=π3对称，D错误．
故选：BC．
利用余弦函数的图象和性质判断ACD，利用诱导公式判断B即可．
本题主要考查余弦函数的性质，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，由互斥事件的定义可知，事件A，B互斥，
但是A与B−也是互斥事件不成立，故A错误；
对于B，若A与B相互独立，则A与B−，B与A−，A−与B−都是相互独立事件，故B正确；
对于C，如果A与B相互独立，则P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.6+0.2−P(AB)=0.8−P(A)P(B)=0.8−0.6×0.2=0.68，故C正确；
对于D，如果A与B相互独立，
则P(A−B−)=P(A−)⋅P(B−)=(1−P(A))(1−P(B))=(1−0.8)×(1−0.7)=0.06，故D正确．
故选：BCD．
由相互独立和互斥事件的定义可判断A、B；由相互独立的乘法公式和对立事件的定义可判断C，D．
本题主要考查了相互独立和互斥事件的定义，考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：对A，因为a，b为正实数，所以ba，ab均大于零，所以ba+ab≥2 ba⋅ab=2，当且仅当a=b时等号成立，故A正确；
对B，4a+a≥2 4a⋅a=4，当且仅当a=2时等号成立，不符合a>3，故B错误；
对C，当a<0时，4a+a<0，故C错误；
对D，由基本不等式推导过程知D正确．
故选：AD．
根据基本不等式的“一正：各项都是正数；二定：积或和是定值；三相等：等号能取到”逐个选项判断即可．
本题主要考查了基本不等式及应用条件的判断，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：由题图可知a=0.1−0.01−0.02−0.04=0.03，从而不低于80分的频率为(0.03+0.04)×10=0.7，所以该班的学生人数是350.7=50，所以A项正确；
成绩在[80,90)的频率为0.3，所以成绩在[80,90)的学生人数是50×0.3=15，所以B选项不正确；
因为x−=65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.4=85，所以C选项正确；
因为在区间[90,100]内的数据尽管频率最大，但也可能数据分散，众数不一定在区间[90,100]内，所以D选项不正确．
故选：AC．
根据频率之和为1可求出a=0.03，然后依次计算每个选项的数据特征，即可判断．
本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质，考查运算求解能力、数据分析能力，是基础题．
13.【答案】45
【解析】解：z=i2−i=i(2+i)(2−i)(2+i)=−15+25i，
则z−=−15−25i，
故z−z−=−15+25i−(−15−25i)=45i，即其虚部为45．
故答案为：45．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数、虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数、虚部的定义，属于基础题．
14.【答案】−6
【解析】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=4，S7=−7，
∴a1+d=47a1+21d=−7，
解得a1=132，d=−52，
∴a6=a1+5d=132−252=−6．
故答案为：−6．
利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出a1，d，由此能求出a6的值．
本题考查等差数列的第6项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
15.【答案】61
【解析】【分析】
本题主要考查等比数列的前n项和公式的计算，根据条件判断数列是等比数列是解决本题的关键．
根据条件得到数列是等比数列，结合等比数列的通项公式求出首项即可得到结论．
【解答】
解：由an+3an−1=0，得an=−3an−1，
即anan−1=−3，
则数列是公比q=−3的等比数列，
由a5=81，得a5=a1q4=a1×81=81，
则首项a1=1，
则S5=1×(1−(−3)5)1−(−3)=1+2434=61，
故答案为：61
16.【答案】72
【解析】解：由题知：p=14，
故由焦半径公式得：y0+p2=3y0⇒y0=72．
故答案为：72．
由题意列出方程，求出y0=72．
本题考查抛物线的定义及其性质，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)∵f(x)= 32sin2x−3×1+cs2x2+32= 3sin(2x−π3)，
令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2(k∈Z)，
得kπ−π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12](k∈Z)；
(2)∵x∈[0,π2]，
∴2x−π3∈[−π3,2π3]，
∴sin(2x−π3)∈[− 32,1]，
∴f(x)∈[−32, 3]，
∴f(x)的最大值为 3，最小值为−32．
【解析】(1)运用三角恒等变换化简得f(x)= 3sin(2x−π3)，利用正弦函数的单调性质可求得f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[0,π2]时，2x−π3∈[−π3,2π3]，由正弦函数的性质可得函数f(x)的最小值和最大值．
本题考查正弦函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵b2+2c2−2a2=0，
∴b2=2(b2+c2−a2)，根据余弦定理可得：
b2=4bccsA，
∴b=4ccsA，根据正弦定理可得：
4sinCcsA=sinB=sinAcsC+csAsinC，
∴3sinCcsA=sinAcsC，
∴tanA=3tanC，
当tanC=13时，则tanA=3tanC=1，
又A∈(0,π)，∴A=π4；
(2)由(1)知tanA=3tanC，∴0∴tan(A−C)=tanA−tanC1+tanA⋅tanC=2tanC1+3tan2C=21tanC+3tanC≤22 3= 33，
当且仅当1tanC=3tanC，即当tanC= 33，C=π6时，等号成立，
∴tan(A−C)的最大值为 33，
又0∴B=π−(A+C)=π2，
∴△ABC为直角三角形．
【解析】(1)根据题意利用正弦定理、余弦定理进行边化角结合三角恒等变换化简整理可得tanA=3tanC，运算求解即可得结果；
(2)根据题意结合tanA=3tanC化简整理得tan(A−C)=21tanC+3tanC，再利用基本不等式运算求解．
本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数公式的应用，基本不等式的应用，属中档题．
19.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为S3=3(a1+a3)2=3×2a22=3a2=−21，
所以a2=−7，即a1+d=−7，又因为a1=−9，
所以−9+d=−7，所以d=2，
故an=a1+(n−1)⋅d=−9+2(n−1)=2n−11；
(2)由(1)知：Sn=n(a1+an)2=n(−9+2n−11)2=n2−10n=(n−5)2−25，
所以当n=5时，Sn有最小值为−25．
【解析】(1)根据等差数列的通项公式及前n项和的基本量列方程组求解；
(2)求出数列{an}的前n项和Sn，再根据二次函数的性质求出最值．
本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查前n项和求最值，属基础题．
20.【答案】解：(1)证明：∵平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，AF⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴AF⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，
∴AF⊥BD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
又AF∩AC=A，AF，AC⊂平面ACF，
∴BD⊥平面ACF；
(2)设AC∩BD=O，由(1)可知，DO⊥平面ACF，则直线DA在面ACF内的射影为OA，
故直线DA与平面ACF所成的角为∠DAO，
∴∠DAO=60°，△ACD和△ACB均为边长为2的等边三角形，
以O为原点，OC，OB所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，如图，

由BD⊥平面ACF，可得平面ACF的法向量为n1=(0,1,0)，
而C(1,0,0)，F(−1,0,1)，E(0, 3,2)，
∴CF=(−2,0,1)，CE=(−1, 3,2)，
设平面CEF的法向量n2=(x,y,z)，
则n2⋅CF=−2x+z=0n2⋅CE=−x+ 3y+2z=0，取x=1，得n2=(1,− 3,2)，
∴平面ACF与平面CEF夹角的余弦值为|cs〈n1,n2〉|=|n1⋅n2||n1|⋅|n2|=|− 3|1⋅ 1+3+4= 64．
【解析】(1)由面面垂直得到线面垂直，从而得到AF⊥BD，结合BD⊥AC，得到线面垂直；
(2)在第一问的基础上，得到直线DA与平面ACF所成的角为∠DAO，故∠DAO=60°，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两平面夹角的余弦值．
本题考查面面垂直、线面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)由直方图可得10(0.035+0.030+a+0.010+0.005)=1，解得a=0.02；
由直方图可得样本均值为：x−=0.05×10+202+0.35×20+302+0.3×30+402+0.2×40+502+0.1×50+602=34.5，
所以该年级学生一周内对《生涯规划》读本学习时间的均值为34.5．
(2)由频率分布直方图可知，样本“精生涯生”的频率为0.1，
所以估计该年级学生中“精生涯生”的数量为1500×0.10=150(人)，
该年级学生中“泛生涯生”的数量为1500×0.05=75(人)．
(3)在这40名学生样本中有2名“泛生涯生”，分别记为A1，A2；
有4名“精生涯生”，分别记为B1，B2，B3，B4．
从这6人中选取2人的所有基本事件有：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，
(A1,B4)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,B4)，(B1,B2)，(B1,B3)，
(B1,B4)，(B2,B3)，(B2,B4)，(B3,B4)共15个．
这两名学生一周学习《生涯规划》的学习时间差不超过10分钟所含的基本事件为：
(A1,A2)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B1,B4)，(B2,B3)，(B2,B4)，(B3,B4)共7个，
故所求概率p=715．
【解析】(1)由各组概率之和为1求出图中a的值，再由频率分布直方图中均值的计算公式即可得出答案；
(2)由频率分布直方图求出样本“精生涯生”和“泛生涯生”的频率，求解即可；
(3)先求出6人中选取2人的所有基本事件和这两名学生一周学习《生涯规划》的学习时间差不超过10分钟所含的基本事件，由古典概率的计算公式代入即可得出答案．
本题主要考查频率分布直方图，古典概型概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由已知点M是以AO为直径的圆上的点，
∴∠AMO=π2，又∵|OA|=a，|OM|=a2，∴|AM|= 32a，∠AOM=π3，
∴M(−a4, 34a)，又∵点M在椭圆Γ上，∴(−a4)2a2+( 34a)2b2=1，整理得b2a2=15，
∴e= 1−b2a2=2 55．
(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
(ⅰ)由b=2，a=2 5，∴椭圆Γ的方程为：x220+y24=1，
在Rt△AOM中∠OAM=π6，∴直线l的斜率为k= 33，
∴直线l的方程为y= 33(x−4)，与椭圆方程联立得x220+y24=1y= 33(x−4)，
整理得：2x2−10x+5=0，∴x1+x2=5，x1x2=52，
∴k1k2=y1y2x1x2= 33(x1−4) 33(x2−4)x1x2=−15，
(ⅱ)设直线l的方程为y= 33(x−t)，t≠0与椭圆方程联立得x220+y24=1y= 33(x−t)，
消去x整理得：8y2+2 3ty+t2−20=0，当Δ>0得0≤t2<32，
∴y1+y2=− 34t，y1y2=t2−208，
∴S△POQ=12|t||y1−y2|=12|t| (y1+y2)2−4y1y2= 58 t2(32−t2)，
∴当且仅当t2=16时，S△POQ有最大值，此时最大值是2 5．
【解析】(1)根据所给条件求得点M坐标，代入椭圆方程结合离心率的定义，进行求解即可；
(2)设P，Q，坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，
(ⅰ)根据题意求得直线l的方程为y= 33(x−4)，联立椭圆方程利用韦达定理直接求k1k2=y1y2x1x2即可；
(ⅱ)设直线l的方程为y= 33(x−t)，(t≠0)与椭圆方程联立得8y2+2 3ty+t2−20=0，利用韦达定理得y1+y2=− 34t，y1y2=t2−208，由S△POQ=12|t||y1−y2|即可得解．
本题主要考查椭圆的性质与椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．