黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题

SL  2022～2023学年度下学期高二开学初考试卷

数学

2023.2

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

3．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第三章，选择性必修第二册第四、五章。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

2．已知数列的一个通项公式为，且，则等于（    ）

A． B． C．5 D．6

3．某质点的位移函数是（），则当时，它的速度对t的瞬时变化率（即加速度）是（    ）

A． B． C． D．

4．数列是等比数列，若、的等差中项为4，、的等差中项为，则的公比为（    ）

A．2 B．4 C． D．

5．数列，满足，，，则的前10项之和为（    ）

A． B． C． D．

6．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点P在C上，O为坐标原点，若满足的点P有四个，则m的取值范围为（    ）

A．  B．

C．  D．

7．已知函数，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知双曲线（，），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点M在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9．已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（    ）

A． B． C． D．

10．在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（    ）

A．  B．数列是等比数列

C．  D．数列是公差为2的等差数列

11．已知椭圆的左、右焦点为，，点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（    ）

A．的周长为

B．当时，的边

C．当时，的面积为

D．椭圆上有且仅有6个点P，使得为直角三角形

12．已知函数，若方程有3个不同的实根，，（），则的取值可以为（    ）

A． B． C． D．0

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数在区间上的平均变化率为________．

14．已知等比数列是递减数列，是的前n项和．若，是方程的两个根，则________．

15．已知函数，其导函数记为，则________．

16．已知抛物线上有，A，B三点，且直线过抛物线的焦点F，抛物线的准线与轴交于点C，若，则________，________．（第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

已知公差不为0的等差数列的前3项和，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设为数列的前n项和，求．

18．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求过点且与曲线相切的直线方程．

19．（本小题满分12分）

已知抛物线C：（）的焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线与抛物线C相交于P，Q两点，且线段被直线平分．

（1）求p的值；

（2）直线是抛物线C的切线，A为切点，且，求以A为圆心且与相切的圆的标准方程．

20．（本小题满分12分）

已知数列中，，（）．

（1）求的通项公式；

（2）数列满足，设为数列的前n项和，求使恒成立的最小的整数．

21．（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线E：（，）的左顶点为A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为．

（1）求双曲线E的方程；

（2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．

22．（本小题满分12分）

函数（）．

（1）试讨论函数的极值点的个数；

（2）若在定义域内恒成立，证明：

①；

②．

SL2022~2023学年度下学期高二开学初考试卷·数学

参考答案、提示及评分细则

1．A  ∵抛物线的方程化成标准形式，∴准线方程为．

2．B  ，，．

3．A  由题可得，即，∴，∴．故选A．

4．C  依题意，，，故，故．

5．D  因为，，故，故的前10项之和为，故选D．

6．A  由椭圆可知，，所以．又知，所以．设C的上顶点为A，要使满足条件的点P有四个，则，易知为等腰三角形，当时，则，即，要满足，则，所以，且．故选A．

7．D  因为，所以，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，又，，，即，所以，故选D．

8．B  易知直线方程为，其中，因此，设点，，所以，解得，得．因为双曲线的右顶点在以为直径的圆外部，所以，即，将代入，并化简整理，得，两边都除以，整理得，又，解得．

9．ACD  对于A，，，由，解得或2，因此此函数有“巧值点”0，2；

对于B，，，由，得，无解，因此此函数无“巧值点”；

对于C，，，由，分别画出，的图象，由图象可知两函数图象有交点，因此此函数有“巧值点”；

对于D，，，由解得，因此此函数有“巧值点”．故选ACD．

10．AC  ∵在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，，，解得，，∴，，故A正确，则，∴数列不是等比数列，故B不正确；，故C正确；∵，∴，∴数列不是公差为2的等差数列，故D错误．故选AC．

11．AD  根据椭圆方程可得，，．对于A，的周长为，故A正确；对于B，当时，的边，故B错误；对于C，当时，的面积，故C错误；对于D，设，，当时，则有解得，此时点P为上下顶点，当时，有两个点，当时，有两个点，故D正确．故选AD．

12．BC  ，当或时，；当时，，

所以在和上都递增，在上递减，

，，

当时，，时，，

所以当时，有3个不同的实根，

设3个不同的实根为，，（），则，．

．

设（），则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以，又，，

所以的取值范围是，即为的取值范围．故选BC．

13．  ．

14．  ∵，是方程的两根，且，∴，，则公比，因此．

15．2  函数，则，显然为偶函数，令，显然为奇函数，又为偶函数，所以，，所以．

16．8    由题意，将点代入，得，解得，所以抛物线的方程为．如图，过A作于M，过B作于N，过B作于，连接，设，则由，得，，，所以，所以，解得，所以，，，在中，由余弦定理得，所以．

17．解：（1）设等差数列的公差为（），

由题意知整理得·····································································3分

解得或0（舍去），故，所以．··························································6分

（2）设，

所以．···········································································10分

18．解：（1）由，，

则曲线在点处的切线方程为．···························································6分

（2）设切点的坐标为，则所求切线方程为，

代入点的坐标得，解得或，

当时，所求直线方程为．

由（1）知过点且与曲线相切的直线方程为或．··············································12分

19．解：由题意可知，································································1分

设，，则．·········································································2分

（1）由，得，∴，即．·······························································6分

（2）设直线的方程为，代入，

得，··············································································8分

∵为抛物线的切线，∴，

解得，∴．·········································································10分

∵A到直线的距离，··································································11分

∴所求圆的标准方程为．·····························································12分

20．解：（1）由（），得，

∴，

∴数列是以3为公比，以为首项的等比数列，···············································4分

∴，即．··········································································6分

（2）由题意得．

，

，················································································9分

两式相减得：

，

∴，·············································································11分

又∵，而，

∴，∴．··········································································12分

21．解：（1）因为双曲线E：（，）为等轴双曲线，可得．····································1分

设双曲线的焦距为，，故，即．

因为过右焦点F，且垂直于x轴，将代入双曲线的方程可得，故．·································3分

又的面积为，即，

解得．故双曲线的方程为．····························································5分

（2）由题意可得直线与双曲线的左右两支分别交于M，N两点，联立可得，所以，，可得，············7分

且，，所以

，

联立可得，同理可得，

所以，···········································································10分

所以，其中，

所以．···········································································12分

22．（1）解：由题意得，

所以，令，

当，即时，对恒成立，

即对恒成立，此时没有极值点；·························································2分

当，即或时，

1）时，设方程的两个不同实根为，，不妨设，

则，，故，

所以或时；在时，

故，是函数的两个极值点．

2）时，设方程的两个不同实根为，，

则，，故，，

所以时，，故函数没有极值点．·························································4分

综上，当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点．····································5分

（2）证明：①，

由，得对于恒成立，设，

，

∵，∴时，，单调递减，时，，单调递增，

∴，∴．··········································································9分

②由①知，当时有，即（*），当且仅当时取等号．·········································10分

以下证明：，设，，

∴当时，单调递减，时，单调递增，

∴，∴（**），当且仅当时取等号．

由于（*）（**）等号不同时成立，可得，

所以．···········································································12分