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2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高二（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高二（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在等差数列{an}中，若a2+a6=6，则a4=( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 在(x−2x)6的展开式中，含x2的项的系数是( )
A. −488 B. 60 C. 480 D. 45
3. 已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，则直线3x+4y−1=0被圆截得的弦的长度为( )
A. 2 B. 7 C. 21 D. 2 21
4. 已知平面α、β，直线m、n、l，则下列命题正确的个数是( )
①若m//α，m⊂β，α∩β=l，则m//l
②若m//α，m//β，则α//β
③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
④若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n//α
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为2，若存在两项am、an使得 aman=8a1，则m+n=( )
A. 3 B. 4 C. 8 D. 16
6. 今年“五一”期间人民群众出游热情高涨，某地为保障景区的安全有序，现增派6名警力去A、B两个景区执勤.要求A景区至少增派3名警力，B景区至少增派2名警力，则不同的分配方法的种数为( )
A. 35 B. 60 C. 70 D. 120
7. 牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义xk(k∈N)是函数f(x)零点近似解的初始值，在点Pk(xk,f(xk))处的切线方程为y=f′(xk)(x−xk)+f(xk)，切线与x轴交点的横坐标为xk+1，即为函数f(x)零点近似解的下一个初始值.以此类推，满足精度的初始值即为函数零点近似解.设函数f(x)=x3+x−1，满足x0=0，应用上述方法，则x2=( )
A. 1 B. 34 C. 1164 D. 5986
8. 现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差Xn∼N(0,2n)，要控制|Xn|⩾14的概率不大于0.0027，至少要测量的次数为[参考数据：P(μ−3σ⩽X⩽μ+3σ)=0.9973]( )
A. 141 B. 128 C. 288 D. 512
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列叙述正确的是( )
A. 若an=2n−1，则Sn=n2
B. 若an=1n(n+1)，则Sn=1−1n
C. 若{an}是等差数列，则数列{2an}是等比数列
D. 若Sn=n2+1，则数列{an}是等差数列
10. 伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆C的面积为12 5π，离心率为23,F1,F2是椭圆C的两个焦点，A为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆C的标准方程可以为x236+y220=1
B. 若∠F1AF2=π3，则S△F1AF2=20 3
C. 存在点A，使得∠F1AF2=π2
D. 2|AF1|+1|AF2|的最小值为14+ 26
11. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，哈尔滨市某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则下列说法不正确的是( )
参考公式：其中X2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值：
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A. 参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多
B. 从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为47
C. 依据α=0.1的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1
D. 若经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，则无论参与调查的男生、女生人数为多少，依据α=0.1的独立性检验，都可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性无关
12. 定义：在区间I上，若函数y=f(x)是减函数，且y=xf(x)是增函数，则称y=f(x)在区间I上是“弱减函数”.根据定义可得( )
A. f(x)=xex在(1,2)上是“弱减函数”
B. 若f(x)=lnxx在(m,+∞)上是“弱减函数”，则m>e
C. f(x)=sinxx在(0,π2)上是“弱减函数”
D. 若f(x)=cosx+kx2在(0,π2)上是“弱减函数”，则23π⩽k⩽1π
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在直角△ABC中，AC=BC= 2，将△ABC绕斜边AB旋转一周形成的几何体的体积是______ ．
14. 抛物线y2=8x上的点A(x0,2 2)到焦点的距离为______ ．
15. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限x(单位：年)与维护费用y(单位：千元)之间可以用模型y=c1ec2x(c1>0)去拟合，收集了4组数据，设z=lny，x与z的数据如表格所示：
x
4
6
8
10
z
2
3
5
6
利用最小二乘法得到x与z的线性回归方程z =0.6x+a ，则c1⋅c2= ______ ．
16. 函数f(x)=ex−ax−13，对于∀x∈(0,+∞),f(x)≥16x3−x恒成立，则a的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
某中学高二年级参加市数学联考，其中甲、乙两个班级优秀率分别为30%和40%，现在先从甲、乙两个班中选取一个班级，然后从选取的班级中再选出一名同学.选取甲、乙两个班级的规则如下：纸箱中有大小和质地完全相同的4个白球、2个黑球，从中摸出1个球，摸到白球就选甲班，摸到黑球就选乙班．
(1)分别求出选取甲班、乙班的概率；
(2)求选出的这名同学数学成绩优秀的概率．
18. (本小题12.0分)
如图所示，在直角梯形ABCD中，BC//AD，AD⊥CD，BC=2，AD=3,CD= 3，边AD上一点E满足DE=1.现将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使平面A1BE⊥平面BCDE，如图所示．
(1)求证：A1C⊥BE；
(2)求A1E与平面A1CD所成角的余弦值．
19. (本小题12.0分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0).四个点P1(3,1),P2(2,3),P3(−2,−3),P4(32, 152)中恰有三点在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y=kx+m与双曲线C交于M，N两点，且OM⊥ON，求原点O到直线l的距离．
20. (本小题12.0分)
某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量(单位：克)作为样本数据，质量的分组区间为[394,396]，(396,398]，⋯，(404,406].由此得到样本的频率分布直方图如图：
(1)求a的值；
(2)从该流水线上任取2袋食盐，设X为质量超过402g的食盐数量，求随机变量X的分布列及数学期望；
(3)在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设Y为质量超过402g的食盐数量，求随机变量Y的分布列．
21. (本小题12.0分)
已知数列{an}的首项a1=29，且满足an+1=2an3an+1,n∈N*．
(1)求证：数列{1an−3}是等比数列；
(2)若1a1+1a2+1a3+⋯+1an<99，求满足条件的最大的正整数n．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ae2x+2(a−1)ex−2x．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)和g(x)=aex−x有两个不同交点，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由等差中项的性质，知a2+a6=6=2a4，
所以a4=3．
故选：A．
利用等差中项的性质，即可得解．
本题考查等差中项的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：(x−2x)6的展开式通项公式为：Tr+1=C6rx6−r(−2)rx−r=(−2)rC6rx6−2r，
令6−2r=2，解得r=2，
故含x2的项的系数是(−2)2C62=60．
故选：B．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：设直线3x+4y−1=0被圆截得的弦为AB，
过圆心C(1,2)作AB的垂线CM，交AB于点M，如图：
则CM=|3+8−1| 32+42=2，又AC=5，∴AM= 52−22= 21，
则AB=2 21．
故选：D．
求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理即可得弦长．
本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：平面α、β，直线m、n、l，
对于①，若m//α，m⊂β，α∩β=l，则m//l，故①正确；
对于②，若m//α，m//β，则α与β相交或平行，故②错误；
对于③，若α⊥β，m⊂α，则m⊥β或m，β斜交，或m//β，故③错误；
对于④，若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n//α，故④正确．
故选：B．
根据线面平行的性质可判断①②；根据线面垂直可判断③④．
本题考查线面平行、线面垂直的判断与性质等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
5.【答案】C
【解析】解：因为 aman=8a1，
所以aman=64a12，即a1⋅2m−1⋅a1⋅2n−1=64a12，
所以2m+n−2=64=26，即m+n−2=6，
所以m+n=8．
故选：C．
利用等比数列的通项公式，即可得解．
本题考查等比数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：若A景区增派3名警力，B景区增派3名警力，有C63C332!×A22=20种方法；
若A景区增派4名警力，B景区增派2名警力，有C64=15种方法；
故共有10+15=35种方法．
故选：A．
分A景区增派3名警力，B景区增派3名警力和A景区增派4名警力，B景区增派2名警力，讨论即可．
本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=x3+x−1，∴f′(x)=3x2+1，
∵x0=0，f′(0)=1，
∴在点P0(0,−1)处的切线方程为y=x−1，
令y=0，解得x1=1，得P1(1,1)，f′(1)=4，
∴在点P1的切线方程为y−1=4(x−1)，
令y=0，得x2=34．
故选：B．
求出原函数的导函数，得到函数在点P0(0,−1)处的切线方程，可得P1(1,1)，再由导数求出函数在P1处的切线方程，即可求解x2的值．
本题考查利用导数研究函数的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，要求P(|Xn|⩾14)≤0.0027，
则有P(|Xn|<14)=1−P(|Xn|⩾14)≥1−0.0027=0.9973，
而误差Xn∼N(0,2n)，且P(μ−3σ⩽X⩽μ+3σ)=0.9973，
必有3σ=3 2n≤14，解可得n≥288，即至少要测量288次．
故选：C．
根据题意，分析可得P(|Xn|<14)=1−P(|Xn|⩾14)≥1−0.0027=0.9973，结合正态分布的性质可得3σ=3 2n≤14，解可得n的范围，即可得答案．
本题考查正态分布的特点，注意正态分布中3σ原则，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于选项A：若an=2n−1，
则an=2n−1=1+2⋅(n−1)，
故数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴Sn=1⋅n+n(n−1)2⋅2=n2，故选项A正确；
对于选项B：若an=1n(n+1)，
则an=1n(n+1)=1n−1n+1，
∴Sn=a1+a2+⋅⋅⋅+an
=1−12+12−13+⋅⋅⋅+1n−1n+1
=1−1n+1，故选项B错误；
对于选项C：若{an}是等差数列，
设等差数列{an}的公差为d，
则an+1=an+d，
∴2an+1=2an+d=2d⋅2an，
∴数列{2an}是以2a1为首项，2d为公比的等比数列，故选项C正确；
对于选项D：若Sn=n2+1，
则当n=1时，a1=S1=12+1=2，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1
=n2+1−(n−1)2−1
=2n−1，
∵当n=1时，a1=2不满足上式，
∴an=2,n=12n−1,n≥2，
∴数列{an}不是等差数列，故选项D错误．
故选：AC．
对于选项A：根据数列{an}的通项公式判断出数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式即可计算出Sn的表达式，即可判断选项A的正确性，对于选项B：根据数列{an}的通项公式的特点运用裂项相消法即可计算出前n项和Sn的表达式，即可判断选项B的正确性，对于选项C：根据{an}是等差数列，设等差数列{an}的公差为d，进一步根据等比数列的定义即可判断数列{2an}是否为等比数列，判断选项C的正确性，对于选项D：根据已知条件并结合公式an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2计算出数列{an}的通项公式，进一步判断选项D的正确性．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，等差数列与等比数列的定义与求和公式的运用，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于A：由ab=12 5ca=23a2=b2+c2，解得a=6,b=2 5,c=4，
则椭圆C的标准方程为x236+y220=1，故A正确；
对于B：由定义可知|AF1|+|AF2|=12，
由余弦定理可得，cos∠F1AF2=|AF1|2+|AF2|2−|F1F2|22|AF1||AF2|=(|AF1|+|AF2|)2−2|AF1||AF2|−|F1F2|22|AF1||AF2|=122−2|AF1||AF2|−642|AF1||AF2|=12，
解得|AF1||AF2|=803，
则S△F1AF2=12|AF1||AF2|sin∠F1AF2=12×803× 32=20 33，故B错误；
对于C：当点A为短轴的一个端点时，∠F1AF2最大，
此时cos∠F1AF2=62+62−822×62=19>0,∠F1AF2为锐角，
则不存在点A，使得∠F1AF2=π2，故C错误；
对于D：2|AF1|+1|AF2|=112(2|AF1|+1|AF2|)(|AF1|+|AF2|)
=112(2+2|AF2||AF1|+1+|AF1||AF2|)≥112(3+2 2)=14+ 26，
当且仅当2|AF2||AF1|=|AF1||AF2|，即|AF1|= 2|AF2时，等号成立，故D正确；
故选：AD．
由椭圆的性质判断A；由定义结合余弦定理、三角形面积公式判断B；由余弦定理得出∠F1AF2的最大角为锐角，从而判断C；由基本不等式判断D．
本题主要考查了椭圆的方程和简单几何性质，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，由题意知经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，故经常锻炼人数为200人，不经常锻炼人数为100人，
故男生中经常锻炼的人数为200×0.5=100人，不经常锻炼的人数为100×0.6=60人，
故男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多，A正确；
对于B，经常级炼的女生人数为200×0.5=100人，不经常锻炼的人数为100×0.4=40人，
故从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为100100+40=57，B错误；
对于C，由题意结合男女生中经常锻炼和不经常锻炼的人数，可得列联表：
经常锻炼
不经常锻炼
合计
男
100
60
160
女
100
40
140
合计
200
100
300
K2=300×(100×60−40×100)2140×160×200×100≈2.679<2.706，
故依据α=0.1的独立性检验，认为性别因素与学生休育锻炼的经常性无关，该推所犯错的概率不超过0.1，C错误；
对于D，假设抽取600名学生，由题意可得：
经常锻炼
不经需量练
合计
男
200
120
320
女
200
80
280
合计
400
200
600
则此时K2=600×(200×80−200×120)2400×320×200×280≈5.357>3.841，
故依据α=0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05，D错误．
故选：BCD．
根据数表计算人数判断A选项，根据古典概型公式判断B选项，根据K2的值及独立性检验判断C，D选项．
本题考查根据统计图表获取信息，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)=xex，其导数f′(x)=ex−x⋅ex(ex)2=1−xex，在区间(1,2)上，有f′(x)<0，f(x)为减函数，
设g(x)=xf(x)=x2ex，其导数g′(x)=(x2)′⋅ex−x2⋅(ex)°(ex)2=2x−x2ex=x(2−x)ex，在区间(1,2)上，有g′(x)>0，xf(x)为增函数，
故f(x)=xex在(1,2)上是“弱减函数”，A正确；
对于B，f(x)=lnxx，其导数f′(x)=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，
若f(x)在(m,+∞)上递减，则有f′(x)≤0，必有m≥e，
xf(x)=lnx，在(0,+∞)上递增，
综合可得：m≥e，B错误；
对于C，f(x)=sinxx，其导数f′(x)=cosx⋅x−sinxx2，
再设g(x)=cosx⋅x−sinx，则有g′(x)=−sinx⋅x+cosx−cosx=−sinx⋅x，
在区间(0,π2)上，有g′(x)<0，则g(x)
xf(x)=sinx，在区间(0,π2)上为增函数，
故f(x)=sinxx在(0,π2)上是“弱减函数”，C正确；
对于D，若f(x)=cosx+kx2在(0,π2)上是“弱减函数”，
则f′(x)=−sinx+2kx≤0在(0,π2)上恒成立，则有2k≤sinxx在(0,π2)上恒成立，
由C的结论，必有2k≤2π成立，即k≤1π，
设h(x)=xf(x)=xcosx+kx3，则h(x)在(0,π2)上为增函数，
则h′(x)=cosx−xsinx+3kx2，则h′(x)=cosx−xsinx+3kx2≥0在(0,π2)上恒成立，
变形可得k≥xsinx−cosx3x2在(0,π2)上恒成立，
设s(x)=xsinx−cosx3x2，则s′(x)=(x2+2)cosx3x3，
在区间(0,π2)上，有s′(x)>0恒成立，则s(x)=xsinx−cosx3x2在(0,π2)上为增函数，
则有s(x)≤s(π2)=23π，必有k≥23π，
综合可得：23π⩽k⩽1π，D正确．
故选：ACD．
根据题意，分别判断选项中函数f(x)与xf(x)的单调性，结合“弱减函数”的定义，分析可得答案．
本题考查函数单调性的判断，注意导数与函数单调性的关系，属于中档题．
13.【答案】2π3
【解析】解：根据题意，在直角△ABC中，AC=BC= 2，
设D为斜边AB的中点，易得AB⊥CD，且CD=12AB=1，
将△ABC绕斜边AB旋转一周形成的几何体为两个圆锥，
两个圆锥的底面半径都为CD=1，高相等，为12AB=1，
则形成的几何体的体积V=2×(13×π×12×1)=2π3．
故答案为：2π3．
根据题意，在直角△ABC中，设D为斜边AB的中点，求出CD和AD的长，由圆锥的定义可知形成的几何体为两个圆锥，结合圆锥的体积公式计算可得答案．
本题考查旋转体的体积计算，注意圆锥的定义，属于基础题．
14.【答案】3
【解析】解：因为点A(x0,2 2)在抛物线y2=8x上，所以8=8x0，
解得x0=1，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|AF|=x0+p2=1+2=3．
故答案为：3．
先求A的横坐标，再由抛物线定义可知|AF|=x0+p2，即可求解．
本题考查了抛物线的标准方程、几何性质、定义，属于基础题．
15.【答案】0.6e−0.2
【解析】解：x−=4+6+8+104=7,z−=2+3+5+64=4，
代入z =0.6x+a 可得a =4−0.6×7=−0.2，
由y=c1ec2x(c1>0)得lny=lnc1+c2x，即z=lnc1+c2x，
而z =0.6x−0.2，所以lnc1=−0.2，c2=0.6，得c1=e−0.2，
则c1⋅c2=0.6e−0.2．
故答案为：0.6e−0.2．
求出x−、z−代入z =0.6x+a 可得a ，由y=c1ec2x(c1>0)得z=lnc1+c2x，与z =0.6x−0.2比较可得答案．
本题考查了回归方程的应用计算，属于中档题．
16.【答案】(−∞,e+12]
【解析】解：对于∀x∈(0,+∞),f(x)≥16x3−x恒成立，转化为ax≤ex−16x3+x−13在(0,+∞)上恒成立，
∴a≤exx−16x2−13x+1在(0,+∞)上恒成立，
令g(x)=exx−16x2−13x+1，x∈(0,+∞)，
则g′(x)=ex(x−1)−13x3+13x2，
令h(x)=ex(x−1)−13x3+13，x∈(0,+∞)，
则h′(x)=x(ex−x)，x∈(0,+∞)，
令t(x)=ex−x，x∈(0,+∞)，则t′(x)=ex−1>0在(0,+∞)上恒成立，
∴t(x)>t(0)=1，即h′(x)>0，
∴h(x)在(0,+∞)上单调递增，即g′(x)在(0,+∞)上单调递增，
由g′(x)=0得x=1，由g′(x)>0得x>1，由g′(x)<0得0
∴当x=1时，g(x)取得极小值也是最小值，g(1)=e+12，
∴a≤e+12，即a的取值范围是(−∞,e+12]．
故答案为：(−∞,e+12]．
题意转化为ax≤ex−16x3+x−13在(0,+∞)上恒成立，即a≤exx−16x2−13x+1在(0,+∞)上恒成立，构造函数g(x)=exx−16x2−13x+1，x∈(0,+∞)，利用导数求出g(x)的最小值，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)记事件A1=“选取甲班”，事件A2=“选取乙班”
P(A1)=C41C61=46=23，P(A2)=C21C61=26=13，
故选取甲、乙两个班的概率分别为23和13；
(2)由(1)可知A1=“选取甲班”，A2=“选取乙班”，B=“这名同学数学成绩优秀”，
则Ω=A1∪A2，且A1与A2互斥，
根据题意得，P(A1)=23，P(A2)=13,P(B|A1)=30%=310，P(B|A2)=40%=25，
由全概率公式得P(B)=P(A1)⋅P(B|A1)+P(A2)⋅P(B|A2)=23×310+13×25=13，
因此，选出的这名同学数学成绩优秀的概率为13．
【解析】(1)根据古典概型的概率公式计算出选取甲班、乙班的概率；
(2)利用全概率公式计算出选出的这名同学数学成绩优秀的概率．
本题考查古典概型概率公式的应用，考查全概率公式的计算，属于中档题．
18.【答案】(1)证明：在图1中，连接CE，
易求得CE=BC=BE=AE=AB=2，
所以四边形ABCE为菱形．连接AC交BE于点O，则AC⊥BE，
所以在图2中，A1O⊥BE，OC⊥BE，AlO∩OC=O，所以BE⊥面A1OC，
所以B1E⊥A1C.
(2)解：因为平面A1BE⊥平面BCDE，平面A1BE∩平面BCDE=BE，
A1O⊂平面A1BE且A1O⊥BE，
所以A1O⊥平面BCDE，
因为OC⊂平面BCDE，
所以A1O⊥OC，
即OB、OC、OA1两两垂直，
以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则A1(0,0, 3),C(0, 3,0),D(−32, 32,0),E(−1,0,0)．
A1C=(0, 3,− 3),A1E=(−1,0,− 3),|A1E|=2，
CD=(−32,− 32,0)，
设平面A1CD的法向量为n=(x,y,z)．
n⋅A1C= 3y− 3z=0n⋅CD=−32x− 32y=0，令x=−1，则n=(−1, 3, 3)，
设A1E与平面A1CD所成的角为θ，
sinθ=|cosA1E,n|=|A1E⋅n||A1E||n|=|1−3|2 7=1 7，
所以cosθ= 427，
所以A1E与平面A1CD所成角的余弦值为 427．
【解析】(1)在图1中，连接CE，得到四边形ABCE是菱形，连接AC，交BE于O，则AC⊥BE，在图2中，A1O⊥BE，OC⊥BE，从而BE⊥平面A1OC，由此能证明A1C⊥BE．
(2)推出OB、OC、OA1两两垂直，从而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．
本题考查线线垂直的证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)∵P2，P3关于原点对称，
∴P2，P3一定在双曲线上，根据双曲线在第一象限图象，
而P1(3,1)和P2(2,3)坐标的数中，3>2，但1<3，
∴点P1不在双曲线上，即P2，P3、P4在双曲线上，
点P2，P4坐标代入双曲线方程，得4a2−9b2=194a2−154b2=1，
解得a=1,b= 3，
∴双曲线C的方程为x2−y23=1；
(2)直线MN的方程为y=kx+m，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立方程y=kx+m3x2−y2=3，化简得(3−k2)x2−2kmx−m2−3=0，
∴3−k2≠0,Δ=12(m2−k2+3)>0,x1+x2=2km3−k2,x1⋅x2=−m2−33−k2，
∵OM⊥ON，∴OM⋅ON=0，即x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，
∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
即(1+k2)⋅−m2−33−k2+km⋅2km3−k2+m2=0，
则−m2−3−k2m2−3k2+2k2m2+3m2−k2m2=0，
化简得2m2=3k2+3，
∴O到l的距离d=|m| k2+1= m2k2+1= 3k2+32k2+1= 3(k2+1)2(k2+1)= 62．
【解析】(1)根据双曲线的几何性质可知点P1不在双曲线上，即P2，P3、P4在双曲线上，把点P2，P4坐标代入双曲线方程，解出a，b的值，从而求出双曲线C的方程；
(2)联立直线l与双曲线方程，利用韦达定理代入x1x2+y1y2=0，求出m与k的关系式，再利用点到直线距离公式求解即可．
本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为2(0.025+0.050+a+0.125+0.175+0.025)=1，
解得a=0.1；
(2)易知食盐的质量超过402g的概率为2(0.125+0.025)=0.3，
若任取2袋食盐，且互不影响，
可得X∼B(2,0.3)，
则X的所有取值为0，1，2，
此时P(X=0)=C20(0.3)0(1−0.3)2=0.49，P(X=1)=C21(0.3)1(1−0.3)1=0.42，P(X=2)=C22(0.3)2(1−0.3)0=0.09，
则X的分布列为：
X
0
1
2
P
0.49
0.42
0.09
可得E(X)=2×0.3=0.6，
(3)易知质量超过402g的食盐数量为0.3×100=30袋，
则Y的所有取值为0，1，2，
此时P(Y=0)=C300C702C1002=161330，P(Y=1)=C301C701C1002=1433，P(Y=2)=C302C700C1002=29330，
则Y的分布列为：
Y
0
1
2
P
161330
1433
29330
【解析】(1)根据频率之和为1，列出等式即可求出a的值；
(2)先求出食盐的质量超过402g的概率，得到X的所有取值，求出相对应的概率，进而可得分布列，代入期望公式中进行求解即可；
(3)先求出量超过402g的食盐数量，得到Y的所有取值，求出相对应的概率，进而可得分布列．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了数据分析和运算能力．
21.【答案】证明：(1)由an+1=2an3an+1，得1an+1=3an+12an，
则1an+1−3=12(1an−3)，
又∵a1=29,1a1−3=32≠0，
∴1an+1−31an−3=12，
∴数列{1an−3}是首项为32，公比为12的等比数列．
(2)由(1)得1an−3=32(12)n−1，
∴1an=32(12)n−1+3=3(12)n+3，
则1a1+1a2+1a3+…+1an=3(12+122+123+…+12n)+3n
=3×12(1−12n)1−12+3n=3(1−12n)+3n
=3−3(12)n+3n<99，
即−(12)n+n<32，
又∵y=−(12)x+x是增函数，
∴满足n−(12)n<32的最大正整数n为32即满足条件的，
最大整数n=32．
【解析】(1)直接利用关系式的恒等变换和等比数列的定义的应用求出结果；
(2)利用(1)的结论，进一步求出数列的和和数列的通项公式，最后利用函数的单调性的应用求出n的最大值．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)的定义域(−∞,+∞)，
f′(x)=2ae2x+2(a−1)ex−2=(2ex+2)(aex−1)，
(i)当a≤0时，在(−∞,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
(ii)当a>0时，令f′(x)=0得x=−lna，
所以在(−∞,−lna)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(−lna,+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
综上所述，当a≤0时，f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，
当a>0时，f(x)在(−∞,−lna)单调递减，在(−lna,+∞)单调递增．
(2)若f(x)=ae2x+2(a−1)ex−2x和g(x)=aex−x有两个不同交点，
则ae2x+2(a−1)ex−2x=aex−x，即ae2x+(a−2)ex−x=0有两个不同实根，
设h(x)=ae2x+(a−2)ex−x，
则h′(x)=2ae2x+(a−2)ex−1=(aex−1)(2ex+1)，
(i)若a≤0，h(x)在R上单调递减，
所以h(x)至多有一个零点．不符合题意；
(ii)若a>0，h(x)在(−∞,−lna)单调递减，在(−lna,+∞)单调递增，
当x=−lna时，h(x)取得最小值，最小值为h(−lna)=1−1a+lna，
①当a=1时，由于h(−lna)=0，，
所以h(x)只有一个零点，舍去，
②当a∈(1,+∞)时，由于1−1a+lna>0，即h(−lna)>0，
所以h(x)没有零点，舍去，
③当a∈(0,1)时，h(−lna)=1−1a+lna<0，即h(−lna)<0，
又h(−2)=ae−4+(a−2)e−2+2>−2e−2+2>0，
所以h(x)在(−∞,−lna)有一个零点，
令p(x)=x−lnx(x>0)，则p′(x)=1−1x=x−1x，
令p′(x)=0得x=1，
所以在(0,1)上p′(x)<0，p(x)单调递减，
在(1,+∞)上p′(x)>0，p(x)单调递增，
所以p(x)≥p(1)=1>0，即x>lnx，
因为h(ln(3a−1))=ae2ln(3a−1)+(a−2)eln(3a−1)−ln(3a−1)=3−aa−ln3−aa，
又因为当00，
因为x>lnx，
所以3−aa−ln3−aa>0，
所以h(ln(3a−1))>0，
由于ln3−aa>−lna，且h(−lna)<0，
所以h(x)在(−lna,+∞)上有一个零点，
所以h(x)在(−∞,+∞)上有两个零点，
综上所述，a的取值范围为(0,1)．
【解析】(1)求导得f′(x)=(2ex+2)(aex−1)，分两种情况：当a≤0时，当a>0时，f′(x)的符号，f(x)的单调性．
(2)若f(x)=ae2x+2(a−1)ex−2x和g(x)=aex−x有两个不同交点，则ae2x+(a−2)ex−x=0有两个不同实根，设h(x)=ae2x+(a−2)ex−x，求导分析单调性，极值，只需使得h(x)在(−∞,+∞)上有两个零点，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在等差数列{an}中，若a2+a6=6，则a4=( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 在(x−2x)6的展开式中，含x2的项的系数是( )
A. −488 B. 60 C. 480 D. 45
3. 已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，则直线3x+4y−1=0被圆截得的弦的长度为( )
A. 2 B. 7 C. 21 D. 2 21
4. 已知平面α、β，直线m、n、l，则下列命题正确的个数是( )
①若m//α，m⊂β，α∩β=l，则m//l
②若m//α，m//β，则α//β
③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
④若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n//α
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为2，若存在两项am、an使得 aman=8a1，则m+n=( )
A. 3 B. 4 C. 8 D. 16
6. 今年“五一”期间人民群众出游热情高涨，某地为保障景区的安全有序，现增派6名警力去A、B两个景区执勤.要求A景区至少增派3名警力，B景区至少增派2名警力，则不同的分配方法的种数为( )
A. 35 B. 60 C. 70 D. 120
7. 牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义xk(k∈N)是函数f(x)零点近似解的初始值，在点Pk(xk,f(xk))处的切线方程为y=f′(xk)(x−xk)+f(xk)，切线与x轴交点的横坐标为xk+1，即为函数f(x)零点近似解的下一个初始值.以此类推，满足精度的初始值即为函数零点近似解.设函数f(x)=x3+x−1，满足x0=0，应用上述方法，则x2=( )
A. 1 B. 34 C. 1164 D. 5986
8. 现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差Xn∼N(0,2n)，要控制|Xn|⩾14的概率不大于0.0027，至少要测量的次数为[参考数据：P(μ−3σ⩽X⩽μ+3σ)=0.9973]( )
A. 141 B. 128 C. 288 D. 512
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列叙述正确的是( )
A. 若an=2n−1，则Sn=n2
B. 若an=1n(n+1)，则Sn=1−1n
C. 若{an}是等差数列，则数列{2an}是等比数列
D. 若Sn=n2+1，则数列{an}是等差数列
10. 伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆C的面积为12 5π，离心率为23,F1,F2是椭圆C的两个焦点，A为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆C的标准方程可以为x236+y220=1
B. 若∠F1AF2=π3，则S△F1AF2=20 3
C. 存在点A，使得∠F1AF2=π2
D. 2|AF1|+1|AF2|的最小值为14+ 26
11. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，哈尔滨市某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则下列说法不正确的是( )
参考公式：其中X2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值：
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A. 参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多
B. 从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为47
C. 依据α=0.1的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1
D. 若经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，则无论参与调查的男生、女生人数为多少，依据α=0.1的独立性检验，都可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性无关
12. 定义：在区间I上，若函数y=f(x)是减函数，且y=xf(x)是增函数，则称y=f(x)在区间I上是“弱减函数”.根据定义可得( )
A. f(x)=xex在(1,2)上是“弱减函数”
B. 若f(x)=lnxx在(m,+∞)上是“弱减函数”，则m>e
C. f(x)=sinxx在(0,π2)上是“弱减函数”
D. 若f(x)=cosx+kx2在(0,π2)上是“弱减函数”，则23π⩽k⩽1π
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在直角△ABC中，AC=BC= 2，将△ABC绕斜边AB旋转一周形成的几何体的体积是______ ．
14. 抛物线y2=8x上的点A(x0,2 2)到焦点的距离为______ ．
15. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限x(单位：年)与维护费用y(单位：千元)之间可以用模型y=c1ec2x(c1>0)去拟合，收集了4组数据，设z=lny，x与z的数据如表格所示：
x
4
6
8
10
z
2
3
5
6
利用最小二乘法得到x与z的线性回归方程z =0.6x+a ，则c1⋅c2= ______ ．
16. 函数f(x)=ex−ax−13，对于∀x∈(0,+∞),f(x)≥16x3−x恒成立，则a的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
某中学高二年级参加市数学联考，其中甲、乙两个班级优秀率分别为30%和40%，现在先从甲、乙两个班中选取一个班级，然后从选取的班级中再选出一名同学.选取甲、乙两个班级的规则如下：纸箱中有大小和质地完全相同的4个白球、2个黑球，从中摸出1个球，摸到白球就选甲班，摸到黑球就选乙班．
(1)分别求出选取甲班、乙班的概率；
(2)求选出的这名同学数学成绩优秀的概率．
18. (本小题12.0分)
如图所示，在直角梯形ABCD中，BC//AD，AD⊥CD，BC=2，AD=3,CD= 3，边AD上一点E满足DE=1.现将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使平面A1BE⊥平面BCDE，如图所示．
(1)求证：A1C⊥BE；
(2)求A1E与平面A1CD所成角的余弦值．
19. (本小题12.0分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0).四个点P1(3,1),P2(2,3),P3(−2,−3),P4(32, 152)中恰有三点在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y=kx+m与双曲线C交于M，N两点，且OM⊥ON，求原点O到直线l的距离．
20. (本小题12.0分)
某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量(单位：克)作为样本数据，质量的分组区间为[394,396]，(396,398]，⋯，(404,406].由此得到样本的频率分布直方图如图：
(1)求a的值；
(2)从该流水线上任取2袋食盐，设X为质量超过402g的食盐数量，求随机变量X的分布列及数学期望；
(3)在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设Y为质量超过402g的食盐数量，求随机变量Y的分布列．
21. (本小题12.0分)
已知数列{an}的首项a1=29，且满足an+1=2an3an+1,n∈N*．
(1)求证：数列{1an−3}是等比数列；
(2)若1a1+1a2+1a3+⋯+1an<99，求满足条件的最大的正整数n．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ae2x+2(a−1)ex−2x．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)和g(x)=aex−x有两个不同交点，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由等差中项的性质，知a2+a6=6=2a4，
所以a4=3．
故选：A．
利用等差中项的性质，即可得解．
本题考查等差中项的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：(x−2x)6的展开式通项公式为：Tr+1=C6rx6−r(−2)rx−r=(−2)rC6rx6−2r，
令6−2r=2，解得r=2，
故含x2的项的系数是(−2)2C62=60．
故选：B．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：设直线3x+4y−1=0被圆截得的弦为AB，
过圆心C(1,2)作AB的垂线CM，交AB于点M，如图：
则CM=|3+8−1| 32+42=2，又AC=5，∴AM= 52−22= 21，
则AB=2 21．
故选：D．
求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理即可得弦长．
本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：平面α、β，直线m、n、l，
对于①，若m//α，m⊂β，α∩β=l，则m//l，故①正确；
对于②，若m//α，m//β，则α与β相交或平行，故②错误；
对于③，若α⊥β，m⊂α，则m⊥β或m，β斜交，或m//β，故③错误；
对于④，若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n//α，故④正确．
故选：B．
根据线面平行的性质可判断①②；根据线面垂直可判断③④．
本题考查线面平行、线面垂直的判断与性质等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
5.【答案】C
【解析】解：因为 aman=8a1，
所以aman=64a12，即a1⋅2m−1⋅a1⋅2n−1=64a12，
所以2m+n−2=64=26，即m+n−2=6，
所以m+n=8．
故选：C．
利用等比数列的通项公式，即可得解．
本题考查等比数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：若A景区增派3名警力，B景区增派3名警力，有C63C332!×A22=20种方法；
若A景区增派4名警力，B景区增派2名警力，有C64=15种方法；
故共有10+15=35种方法．
故选：A．
分A景区增派3名警力，B景区增派3名警力和A景区增派4名警力，B景区增派2名警力，讨论即可．
本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=x3+x−1，∴f′(x)=3x2+1，
∵x0=0，f′(0)=1，
∴在点P0(0,−1)处的切线方程为y=x−1，
令y=0，解得x1=1，得P1(1,1)，f′(1)=4，
∴在点P1的切线方程为y−1=4(x−1)，
令y=0，得x2=34．
故选：B．
求出原函数的导函数，得到函数在点P0(0,−1)处的切线方程，可得P1(1,1)，再由导数求出函数在P1处的切线方程，即可求解x2的值．
本题考查利用导数研究函数的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，要求P(|Xn|⩾14)≤0.0027，
则有P(|Xn|<14)=1−P(|Xn|⩾14)≥1−0.0027=0.9973，
而误差Xn∼N(0,2n)，且P(μ−3σ⩽X⩽μ+3σ)=0.9973，
必有3σ=3 2n≤14，解可得n≥288，即至少要测量288次．
故选：C．
根据题意，分析可得P(|Xn|<14)=1−P(|Xn|⩾14)≥1−0.0027=0.9973，结合正态分布的性质可得3σ=3 2n≤14，解可得n的范围，即可得答案．
本题考查正态分布的特点，注意正态分布中3σ原则，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于选项A：若an=2n−1，
则an=2n−1=1+2⋅(n−1)，
故数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴Sn=1⋅n+n(n−1)2⋅2=n2，故选项A正确；
对于选项B：若an=1n(n+1)，
则an=1n(n+1)=1n−1n+1，
∴Sn=a1+a2+⋅⋅⋅+an
=1−12+12−13+⋅⋅⋅+1n−1n+1
=1−1n+1，故选项B错误；
对于选项C：若{an}是等差数列，
设等差数列{an}的公差为d，
则an+1=an+d，
∴2an+1=2an+d=2d⋅2an，
∴数列{2an}是以2a1为首项，2d为公比的等比数列，故选项C正确；
对于选项D：若Sn=n2+1，
则当n=1时，a1=S1=12+1=2，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1
=n2+1−(n−1)2−1
=2n−1，
∵当n=1时，a1=2不满足上式，
∴an=2,n=12n−1,n≥2，
∴数列{an}不是等差数列，故选项D错误．
故选：AC．
对于选项A：根据数列{an}的通项公式判断出数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式即可计算出Sn的表达式，即可判断选项A的正确性，对于选项B：根据数列{an}的通项公式的特点运用裂项相消法即可计算出前n项和Sn的表达式，即可判断选项B的正确性，对于选项C：根据{an}是等差数列，设等差数列{an}的公差为d，进一步根据等比数列的定义即可判断数列{2an}是否为等比数列，判断选项C的正确性，对于选项D：根据已知条件并结合公式an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2计算出数列{an}的通项公式，进一步判断选项D的正确性．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，等差数列与等比数列的定义与求和公式的运用，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于A：由ab=12 5ca=23a2=b2+c2，解得a=6,b=2 5,c=4，
则椭圆C的标准方程为x236+y220=1，故A正确；
对于B：由定义可知|AF1|+|AF2|=12，
由余弦定理可得，cos∠F1AF2=|AF1|2+|AF2|2−|F1F2|22|AF1||AF2|=(|AF1|+|AF2|)2−2|AF1||AF2|−|F1F2|22|AF1||AF2|=122−2|AF1||AF2|−642|AF1||AF2|=12，
解得|AF1||AF2|=803，
则S△F1AF2=12|AF1||AF2|sin∠F1AF2=12×803× 32=20 33，故B错误；
对于C：当点A为短轴的一个端点时，∠F1AF2最大，
此时cos∠F1AF2=62+62−822×62=19>0,∠F1AF2为锐角，
则不存在点A，使得∠F1AF2=π2，故C错误；
对于D：2|AF1|+1|AF2|=112(2|AF1|+1|AF2|)(|AF1|+|AF2|)
=112(2+2|AF2||AF1|+1+|AF1||AF2|)≥112(3+2 2)=14+ 26，
当且仅当2|AF2||AF1|=|AF1||AF2|，即|AF1|= 2|AF2时，等号成立，故D正确；
故选：AD．
由椭圆的性质判断A；由定义结合余弦定理、三角形面积公式判断B；由余弦定理得出∠F1AF2的最大角为锐角，从而判断C；由基本不等式判断D．
本题主要考查了椭圆的方程和简单几何性质，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，由题意知经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，故经常锻炼人数为200人，不经常锻炼人数为100人，
故男生中经常锻炼的人数为200×0.5=100人，不经常锻炼的人数为100×0.6=60人，
故男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多，A正确；
对于B，经常级炼的女生人数为200×0.5=100人，不经常锻炼的人数为100×0.4=40人，
故从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为100100+40=57，B错误；
对于C，由题意结合男女生中经常锻炼和不经常锻炼的人数，可得列联表：
经常锻炼
不经常锻炼
合计
男
100
60
160
女
100
40
140
合计
200
100
300
K2=300×(100×60−40×100)2140×160×200×100≈2.679<2.706，
故依据α=0.1的独立性检验，认为性别因素与学生休育锻炼的经常性无关，该推所犯错的概率不超过0.1，C错误；
对于D，假设抽取600名学生，由题意可得：
经常锻炼
不经需量练
合计
男
200
120
320
女
200
80
280
合计
400
200
600
则此时K2=600×(200×80−200×120)2400×320×200×280≈5.357>3.841，
故依据α=0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05，D错误．
故选：BCD．
根据数表计算人数判断A选项，根据古典概型公式判断B选项，根据K2的值及独立性检验判断C，D选项．
本题考查根据统计图表获取信息，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)=xex，其导数f′(x)=ex−x⋅ex(ex)2=1−xex，在区间(1,2)上，有f′(x)<0，f(x)为减函数，
设g(x)=xf(x)=x2ex，其导数g′(x)=(x2)′⋅ex−x2⋅(ex)°(ex)2=2x−x2ex=x(2−x)ex，在区间(1,2)上，有g′(x)>0，xf(x)为增函数，
故f(x)=xex在(1,2)上是“弱减函数”，A正确；
对于B，f(x)=lnxx，其导数f′(x)=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，
若f(x)在(m,+∞)上递减，则有f′(x)≤0，必有m≥e，
xf(x)=lnx，在(0,+∞)上递增，
综合可得：m≥e，B错误；
对于C，f(x)=sinxx，其导数f′(x)=cosx⋅x−sinxx2，
再设g(x)=cosx⋅x−sinx，则有g′(x)=−sinx⋅x+cosx−cosx=−sinx⋅x，
在区间(0,π2)上，有g′(x)<0，则g(x)
xf(x)=sinx，在区间(0,π2)上为增函数，
故f(x)=sinxx在(0,π2)上是“弱减函数”，C正确；
对于D，若f(x)=cosx+kx2在(0,π2)上是“弱减函数”，
则f′(x)=−sinx+2kx≤0在(0,π2)上恒成立，则有2k≤sinxx在(0,π2)上恒成立，
由C的结论，必有2k≤2π成立，即k≤1π，
设h(x)=xf(x)=xcosx+kx3，则h(x)在(0,π2)上为增函数，
则h′(x)=cosx−xsinx+3kx2，则h′(x)=cosx−xsinx+3kx2≥0在(0,π2)上恒成立，
变形可得k≥xsinx−cosx3x2在(0,π2)上恒成立，
设s(x)=xsinx−cosx3x2，则s′(x)=(x2+2)cosx3x3，
在区间(0,π2)上，有s′(x)>0恒成立，则s(x)=xsinx−cosx3x2在(0,π2)上为增函数，
则有s(x)≤s(π2)=23π，必有k≥23π，
综合可得：23π⩽k⩽1π，D正确．
故选：ACD．
根据题意，分别判断选项中函数f(x)与xf(x)的单调性，结合“弱减函数”的定义，分析可得答案．
本题考查函数单调性的判断，注意导数与函数单调性的关系，属于中档题．
13.【答案】2π3
【解析】解：根据题意，在直角△ABC中，AC=BC= 2，
设D为斜边AB的中点，易得AB⊥CD，且CD=12AB=1，
将△ABC绕斜边AB旋转一周形成的几何体为两个圆锥，
两个圆锥的底面半径都为CD=1，高相等，为12AB=1，
则形成的几何体的体积V=2×(13×π×12×1)=2π3．
故答案为：2π3．
根据题意，在直角△ABC中，设D为斜边AB的中点，求出CD和AD的长，由圆锥的定义可知形成的几何体为两个圆锥，结合圆锥的体积公式计算可得答案．
本题考查旋转体的体积计算，注意圆锥的定义，属于基础题．
14.【答案】3
【解析】解：因为点A(x0,2 2)在抛物线y2=8x上，所以8=8x0，
解得x0=1，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|AF|=x0+p2=1+2=3．
故答案为：3．
先求A的横坐标，再由抛物线定义可知|AF|=x0+p2，即可求解．
本题考查了抛物线的标准方程、几何性质、定义，属于基础题．
15.【答案】0.6e−0.2
【解析】解：x−=4+6+8+104=7,z−=2+3+5+64=4，
代入z =0.6x+a 可得a =4−0.6×7=−0.2，
由y=c1ec2x(c1>0)得lny=lnc1+c2x，即z=lnc1+c2x，
而z =0.6x−0.2，所以lnc1=−0.2，c2=0.6，得c1=e−0.2，
则c1⋅c2=0.6e−0.2．
故答案为：0.6e−0.2．
求出x−、z−代入z =0.6x+a 可得a ，由y=c1ec2x(c1>0)得z=lnc1+c2x，与z =0.6x−0.2比较可得答案．
本题考查了回归方程的应用计算，属于中档题．
16.【答案】(−∞,e+12]
【解析】解：对于∀x∈(0,+∞),f(x)≥16x3−x恒成立，转化为ax≤ex−16x3+x−13在(0,+∞)上恒成立，
∴a≤exx−16x2−13x+1在(0,+∞)上恒成立，
令g(x)=exx−16x2−13x+1，x∈(0,+∞)，
则g′(x)=ex(x−1)−13x3+13x2，
令h(x)=ex(x−1)−13x3+13，x∈(0,+∞)，
则h′(x)=x(ex−x)，x∈(0,+∞)，
令t(x)=ex−x，x∈(0,+∞)，则t′(x)=ex−1>0在(0,+∞)上恒成立，
∴t(x)>t(0)=1，即h′(x)>0，
∴h(x)在(0,+∞)上单调递增，即g′(x)在(0,+∞)上单调递增，
由g′(x)=0得x=1，由g′(x)>0得x>1，由g′(x)<0得0
∴当x=1时，g(x)取得极小值也是最小值，g(1)=e+12，
∴a≤e+12，即a的取值范围是(−∞,e+12]．
故答案为：(−∞,e+12]．
题意转化为ax≤ex−16x3+x−13在(0,+∞)上恒成立，即a≤exx−16x2−13x+1在(0,+∞)上恒成立，构造函数g(x)=exx−16x2−13x+1，x∈(0,+∞)，利用导数求出g(x)的最小值，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)记事件A1=“选取甲班”，事件A2=“选取乙班”
P(A1)=C41C61=46=23，P(A2)=C21C61=26=13，
故选取甲、乙两个班的概率分别为23和13；
(2)由(1)可知A1=“选取甲班”，A2=“选取乙班”，B=“这名同学数学成绩优秀”，
则Ω=A1∪A2，且A1与A2互斥，
根据题意得，P(A1)=23，P(A2)=13,P(B|A1)=30%=310，P(B|A2)=40%=25，
由全概率公式得P(B)=P(A1)⋅P(B|A1)+P(A2)⋅P(B|A2)=23×310+13×25=13，
因此，选出的这名同学数学成绩优秀的概率为13．
【解析】(1)根据古典概型的概率公式计算出选取甲班、乙班的概率；
(2)利用全概率公式计算出选出的这名同学数学成绩优秀的概率．
本题考查古典概型概率公式的应用，考查全概率公式的计算，属于中档题．
18.【答案】(1)证明：在图1中，连接CE，
易求得CE=BC=BE=AE=AB=2，
所以四边形ABCE为菱形．连接AC交BE于点O，则AC⊥BE，
所以在图2中，A1O⊥BE，OC⊥BE，AlO∩OC=O，所以BE⊥面A1OC，
所以B1E⊥A1C.
(2)解：因为平面A1BE⊥平面BCDE，平面A1BE∩平面BCDE=BE，
A1O⊂平面A1BE且A1O⊥BE，
所以A1O⊥平面BCDE，
因为OC⊂平面BCDE，
所以A1O⊥OC，
即OB、OC、OA1两两垂直，
以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则A1(0,0, 3),C(0, 3,0),D(−32, 32,0),E(−1,0,0)．
A1C=(0, 3,− 3),A1E=(−1,0,− 3),|A1E|=2，
CD=(−32,− 32,0)，
设平面A1CD的法向量为n=(x,y,z)．
n⋅A1C= 3y− 3z=0n⋅CD=−32x− 32y=0，令x=−1，则n=(−1, 3, 3)，
设A1E与平面A1CD所成的角为θ，
sinθ=|cosA1E,n|=|A1E⋅n||A1E||n|=|1−3|2 7=1 7，
所以cosθ= 427，
所以A1E与平面A1CD所成角的余弦值为 427．
【解析】(1)在图1中，连接CE，得到四边形ABCE是菱形，连接AC，交BE于O，则AC⊥BE，在图2中，A1O⊥BE，OC⊥BE，从而BE⊥平面A1OC，由此能证明A1C⊥BE．
(2)推出OB、OC、OA1两两垂直，从而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．
本题考查线线垂直的证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)∵P2，P3关于原点对称，
∴P2，P3一定在双曲线上，根据双曲线在第一象限图象，
而P1(3,1)和P2(2,3)坐标的数中，3>2，但1<3，
∴点P1不在双曲线上，即P2，P3、P4在双曲线上，
点P2，P4坐标代入双曲线方程，得4a2−9b2=194a2−154b2=1，
解得a=1,b= 3，
∴双曲线C的方程为x2−y23=1；
(2)直线MN的方程为y=kx+m，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立方程y=kx+m3x2−y2=3，化简得(3−k2)x2−2kmx−m2−3=0，
∴3−k2≠0,Δ=12(m2−k2+3)>0,x1+x2=2km3−k2,x1⋅x2=−m2−33−k2，
∵OM⊥ON，∴OM⋅ON=0，即x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，
∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
即(1+k2)⋅−m2−33−k2+km⋅2km3−k2+m2=0，
则−m2−3−k2m2−3k2+2k2m2+3m2−k2m2=0，
化简得2m2=3k2+3，
∴O到l的距离d=|m| k2+1= m2k2+1= 3k2+32k2+1= 3(k2+1)2(k2+1)= 62．
【解析】(1)根据双曲线的几何性质可知点P1不在双曲线上，即P2，P3、P4在双曲线上，把点P2，P4坐标代入双曲线方程，解出a，b的值，从而求出双曲线C的方程；
(2)联立直线l与双曲线方程，利用韦达定理代入x1x2+y1y2=0，求出m与k的关系式，再利用点到直线距离公式求解即可．
本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为2(0.025+0.050+a+0.125+0.175+0.025)=1，
解得a=0.1；
(2)易知食盐的质量超过402g的概率为2(0.125+0.025)=0.3，
若任取2袋食盐，且互不影响，
可得X∼B(2,0.3)，
则X的所有取值为0，1，2，
此时P(X=0)=C20(0.3)0(1−0.3)2=0.49，P(X=1)=C21(0.3)1(1−0.3)1=0.42，P(X=2)=C22(0.3)2(1−0.3)0=0.09，
则X的分布列为：
X
0
1
2
P
0.49
0.42
0.09
可得E(X)=2×0.3=0.6，
(3)易知质量超过402g的食盐数量为0.3×100=30袋，
则Y的所有取值为0，1，2，
此时P(Y=0)=C300C702C1002=161330，P(Y=1)=C301C701C1002=1433，P(Y=2)=C302C700C1002=29330，
则Y的分布列为：
Y
0
1
2
P
161330
1433
29330
【解析】(1)根据频率之和为1，列出等式即可求出a的值；
(2)先求出食盐的质量超过402g的概率，得到X的所有取值，求出相对应的概率，进而可得分布列，代入期望公式中进行求解即可；
(3)先求出量超过402g的食盐数量，得到Y的所有取值，求出相对应的概率，进而可得分布列．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了数据分析和运算能力．
21.【答案】证明：(1)由an+1=2an3an+1，得1an+1=3an+12an，
则1an+1−3=12(1an−3)，
又∵a1=29,1a1−3=32≠0，
∴1an+1−31an−3=12，
∴数列{1an−3}是首项为32，公比为12的等比数列．
(2)由(1)得1an−3=32(12)n−1，
∴1an=32(12)n−1+3=3(12)n+3，
则1a1+1a2+1a3+…+1an=3(12+122+123+…+12n)+3n
=3×12(1−12n)1−12+3n=3(1−12n)+3n
=3−3(12)n+3n<99，
即−(12)n+n<32，
又∵y=−(12)x+x是增函数，
∴满足n−(12)n<32的最大正整数n为32即满足条件的，
最大整数n=32．
【解析】(1)直接利用关系式的恒等变换和等比数列的定义的应用求出结果；
(2)利用(1)的结论，进一步求出数列的和和数列的通项公式，最后利用函数的单调性的应用求出n的最大值．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)的定义域(−∞,+∞)，
f′(x)=2ae2x+2(a−1)ex−2=(2ex+2)(aex−1)，
(i)当a≤0时，在(−∞,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
(ii)当a>0时，令f′(x)=0得x=−lna，
所以在(−∞,−lna)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(−lna,+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
综上所述，当a≤0时，f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，
当a>0时，f(x)在(−∞,−lna)单调递减，在(−lna,+∞)单调递增．
(2)若f(x)=ae2x+2(a−1)ex−2x和g(x)=aex−x有两个不同交点，
则ae2x+2(a−1)ex−2x=aex−x，即ae2x+(a−2)ex−x=0有两个不同实根，
设h(x)=ae2x+(a−2)ex−x，
则h′(x)=2ae2x+(a−2)ex−1=(aex−1)(2ex+1)，
(i)若a≤0，h(x)在R上单调递减，
所以h(x)至多有一个零点．不符合题意；
(ii)若a>0，h(x)在(−∞,−lna)单调递减，在(−lna,+∞)单调递增，
当x=−lna时，h(x)取得最小值，最小值为h(−lna)=1−1a+lna，
①当a=1时，由于h(−lna)=0，，
所以h(x)只有一个零点，舍去，
②当a∈(1,+∞)时，由于1−1a+lna>0，即h(−lna)>0，
所以h(x)没有零点，舍去，
③当a∈(0,1)时，h(−lna)=1−1a+lna<0，即h(−lna)<0，
又h(−2)=ae−4+(a−2)e−2+2>−2e−2+2>0，
所以h(x)在(−∞,−lna)有一个零点，
令p(x)=x−lnx(x>0)，则p′(x)=1−1x=x−1x，
令p′(x)=0得x=1，
所以在(0,1)上p′(x)<0，p(x)单调递减，
在(1,+∞)上p′(x)>0，p(x)单调递增，
所以p(x)≥p(1)=1>0，即x>lnx，
因为h(ln(3a−1))=ae2ln(3a−1)+(a−2)eln(3a−1)−ln(3a−1)=3−aa−ln3−aa，
又因为当0
因为x>lnx，
所以3−aa−ln3−aa>0，
所以h(ln(3a−1))>0，
由于ln3−aa>−lna，且h(−lna)<0，
所以h(x)在(−lna,+∞)上有一个零点，
所以h(x)在(−∞,+∞)上有两个零点，
综上所述，a的取值范围为(0,1)．
【解析】(1)求导得f′(x)=(2ex+2)(aex−1)，分两种情况：当a≤0时，当a>0时，f′(x)的符号，f(x)的单调性．
(2)若f(x)=ae2x+2(a−1)ex−2x和g(x)=aex−x有两个不同交点，则ae2x+(a−2)ex−x=0有两个不同实根，设h(x)=ae2x+(a−2)ex−x，求导分析单调性，极值，只需使得h(x)在(−∞,+∞)上有两个零点，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
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