专题17 平面直角坐标系中的旋转变换-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版）

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点与点分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
（2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求，的值．
（3）求图中的面积．
【解答】解：（1）与；与；与．
对应点的坐标的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；
（2）由（1）可得，．解得，；
（3）三角形的面积．
2．与△在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）分别写出△各点的坐标： ； ；
（2）若点是△内部一点，则其图形变换后的对应点的坐标为 ；
（3）说明△是由经过怎样的图形变换得到的？ ；
（4）的面积 ．
【解答】解：（1）观察图象可知，，，
故答案为，，．
（2）点向左平移4个单位向下平移2个单位得到，
．
故答案为．
（3）向左平移4个单位向下平移2个单位得到△，
故答案为：向左平移4个单位向下平移2个单位得到△．
（4）．
故答案为2．
3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，等边三角形经过平移或轴对称或旋转都可以得到．
（1）沿轴向右平移可得到，则平移的距离是 2 个单位长度；与关于某直线对称，则对称轴是 ；
绕原点顺时针旋转可得到，则旋转角至少是 ．
（2）连接，交于点，求的度数．
【解答】解：（1）点的坐标为，
沿轴向右平移2个单位得到；
与关于轴对称；
为等边三角形，
，
，
绕原点顺时针旋转得到．
（2）如图，等边绕原点顺时针旋转得到，
，
，
，
即为等腰的顶角的平分线，
垂直平分，
．
故答案为；2；轴；120．
4．如图，三角形是三角形经过某种变换得到的图形，点与点，点与点，点与点分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
（2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求，的值．
【解答】解：（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，对应点的横、纵坐标分别互为相反数；
（2）由（1）得，，
解得，，
答：，．
5．如图，在直角坐标系中，边长为2的等边三角形的顶点、都在轴上，顶点在第二象限内，经过平移或轴对称或旋转都可以得到．
（1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是 2 个长度单位；与关于直线对称，则对称轴是 ；绕原点顺时针方向旋转得到，则旋转角度可以是 度．
（2）连接，交于点，求的度数．
【解答】解：（1）沿数轴向右平移得到，则平移的距离是2个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是轴；绕原点顺时针旋转得到，则旋转角度至少是度，
故答案为：2；轴；120；
（2）和是能够重合的等边三角形，
，，
，
．
6．如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴上，连接、．
（1）若、，，直接写出点的坐标；
（2）如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点、．请你探索是否存在以两个动点、为端点的线段平行于线段且等于线段，若存在，求点、的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，在直线上有两点、，分别引两条射线、．，，射线、分别绕点，点以1度秒和3度秒的速度同时顺时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间．
【解答】解：（1）设，
将线段平移至线段，、，，
，，
，，
；
（2）存在，理由：
，
，，，，
点与的纵坐标相等，横坐标的差的绝对值为2，四边形是平行四边形，
即，，
解得：，或，，
点的坐标为，，的坐标为，或点的坐标为，，的坐标为，，
当，，，时，、、、四点均在轴上，不能构成平行四边形，舍去；
，，，；
（3）存在．
分三种情况：
，
如图①，与在的两侧时，
，，
，，
要使，则，即，
解得，
此时，
，
②旋转到与都在的右侧时，
，，
，，
要使，则，即，
解得，
此时，
；
③旋转到与都在的左侧时，
，，
，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
，
此情况不存在．
综上所述，为5秒或95秒时，与平行．
7．如图，是经过某种变换得到的图形，点与点，点与点，点与点分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
（2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求、的值．
【解答】解：（1）由图象可知，点，点，点，点，点，
点；
对应点的坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数；
（2）由（1）可知，，，解得，．
8．如图，点为平面直角坐标系的原点，点在轴上，是边长为2的等边三角形．
（1）写出各顶点的坐标；
（2）以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到△，写出，的坐标．
【解答】解：（1）如图1，过作于，
是等边三角形，且，
，
由勾股定理得：，
，，；
（2）如图2，，，
与重合，
，
由旋转得：，，
，
，
，
，，
．
9．如图，在平面直角坐标系中，有，，，点、均在轴上，边与轴交于点，连接，且是的角平分线，若点的坐标为，．
（1）如图1，求点的横坐标；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转一个角度得到△，直线交直线于点，直线交轴于点，是否存在点、，使为等腰三角形？若存在，直接写出的度数；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1中，过点作于．
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，．
（2）如图2，连接，
是等腰三角形，，
当时，，
当时，，
当时，，
当点在轴的负半轴上时，等腰三角形的顶角为，此时，
综上所述，满足条件的的值为或或或．
10．在平面直角坐标系中，已知、，直线是绕着的顶点旋转，与轴相交于点，探究解决下列问题：
（1）如图1所示，当直线旋转到与边相交时，试用无刻度的直尺和圆规确定点的位置，使顶点、到直线的距离之和最大（保留作图痕迹）；
（2）当直线旋转到与轴的负半轴相交时，使顶点、到直线的距离之和最大，请直接写出点的坐标是 ．（可在图2中分析）
【解答】解：（1）如图1，过点作直线于点，与轴的交点即为所确定的点位置．
理由如下：如图2所示，过点作于，过点作于．
为定值．
要使点、到直线的距离之和最大，即最大，只要使最小，
过点作直线于点，此时即为最小值（此时，点、、重合）．
与轴的交点即为所确定的点位置；
（2）由（1）的解题过程知，如图2所示，延长到点，使，连接，则，
旋转直线至于点，与轴的交点即为所确定的点，过点作于点，
，，
，
过点作轴于点，
，
，
，
，
又直线于点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
11．如图①，将边长为2的正方形如图①放置，为原点．
（Ⅰ）若将正方形绕点逆时针旋转时，如图②，求点的坐标；
（Ⅱ）如图③，若将图①中的正方形绕点逆时针旋转时，求点的坐标．
【解答】解：（1）过点作轴的垂线，垂足为，，
旋转角为，
，
，，
，；
（2）连接，过作轴于，
旋转角为，，
，
，，
，
中，，，
，．
12．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，、，的对称中心的坐标为，．
观察应用：
（1）如图，在平面直角坐标系中，若点、的对称中心是点，则点的坐标为 ；
（2）另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，则点、的坐标分别为 、 ．
拓展延伸：
（3）求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标．
【解答】解：（1）点的坐标为；
（2）、的坐标分别为，；
（3），，，，，，，；
的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环．
．
的坐标与的坐标相同，为；
在轴上与点、点构成等腰三角形的点的坐标为，，，，，．
故答案为：；，．
13．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得△，点、旋转后的对应点为、，记旋转角为．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若，求点的坐标．
【解答】解：（1）点，点，
，．
在中，由勾股定理得．
根据题意，△是绕点逆时针旋转得到的，
由旋转是性质可得：，，
．
（2）如图，根据题意，由旋转是性质可得：，
过点作轴，垂足为，
则．
在△中，由，．
．
由勾股定理，
．
点的坐标为，．
14．（1）如图，在方格纸中先通过 向上平移4个单位长 ，由图形得到图形，再由图形先 （怎样平移），再 （怎样旋转）得到图形（对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度）；
（2）如图，如果点、的坐标分别为、，写出点的坐标是 ；
（3）图形能绕某点顺时针旋转得到图形，则点的坐标是 ；
（4）图形能绕某点顺时针旋转得到图形，则点的坐标是 ；
注：方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度．
【解答】解：（1）根据题意可知，向上平移4个单位长度图形得到图形，图形向右平移4个单位长度，再绕点顺时针旋转得到图形．
故答案为向上平移4个单位长，向右平移4个单位长度，绕点顺时针旋转．
（2）根据题意建立如图坐标系，根据图象可知．
故答案为．
（3）观察图形可知旋转中心．
故答案为．
（4）观察图形可知旋转中心．
故答案为．
15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为等边经过平移或轴对称或旋转都可以得到．
（1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是 3 个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是 ；绕点顺时针旋转得到，则旋转角度可以是 度．
（2）连接，交于点，求的度数．
【解答】解：（1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是3个单位长度；
与关于直线对称，则对称轴是轴；
绕点顺时针旋转得到，则旋转角度可以是120度；
故答案为：3，轴，120；
（2）连接，交于点，
由（1）得：，，，
故，
则．
16．在平面直角坐标系中，，，
（1）将绕点顺时针旋转，得△，则点的坐标为 ．
（2）将△向右平移6个单位得△，则点的坐标为 ．
（3）从到△能否看作是绕某一点作旋转变换？若能，则旋转中心坐标为 在旋转变换中所扫过的面积为 ．
【解答】解：（1）取点，可知，，三点同一直线上，所以为直角三角形，绕点旋转，易知与轴重合，轴，即横坐标的数值等于的长度加上的长度，纵坐标等于的长度，又位于第二象限，故的坐标为．；
（2）由（1）可知，的坐标为，向右平移6个单位得△，的横坐标向右平移6个单位，即的横坐标为，即点的坐标为．；
（3）连接，，易知的斜率为，其中点的坐标为，，所以其中垂线的方程为，的中垂线为，与联立，解得交点坐标为．
扫过的面积．
17．如图，三角形是由三角形经过某种变换后得到的图形．
①分别写出点与点，点与点，点与点的坐标，从中你发现了什么特征？请你用文字语言表达出来．
②根据你发现的特征，解答下列问题：若三角形内有一点经过变换后，在三角形内的对称坐标为，求关于的方程的解．
【解答】解：①；；；
；；；
对应点的连线的垂直平分线为一条直线，那么这两个图形关于某条直线对称；
②由①得；；
解得：；；
代入方程可得：，
解得：．
18．今后你将大量遇到用坐标的方法研究图形的运动变换．
如图1，在已建立直角坐标系的方格纸中，图形的顶点为，，，要将它平移旋转到图（变换过程中图形的顶点必须在格点上，且不能超出方格纸的边界）．
例如：将图形做如下变换（见图．
第一步：平移，使顶点移至点，得图；
第二步：绕着点旋转，得图；
第三步：平移，使点移至点，得图．
（1）写出，两点的坐标；
（2）从，，三点中选取你要的点，仿照例题格式描述出另一种与上例不同的路线的图形变换．
【解答】解：（1）根据的坐标变化可得到点的坐标变化规律为：，，关于点中心对称平移后的坐标．根据此规律或结合坐标系可求得：，；
（2）平移，使顶点移至点绕着点旋转得到点．