专题22 网格中求正弦-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

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【法一讲解】转移角后求正弦
如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
解：取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，
则，，，
∵，，∴，
∴，在中，，
由题意知，，∴，∴，
∴，故选：
【法二讲解】等面积法求正弦
如图，在网格中，小正方形的边长为1，点都在格点上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
解：过点B作于点D，连接BC，如下图，
∵小正方形的边长为1，∴，
∵，
∴，∴，
∴．故选：C．
【法三讲解】构造直角三角形求正弦
如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
解：如图，连接格点CD，设1个网格的边长为x，则 ，
∴∴∠BDC＝∠ADC＝90°，∴sin∠A=
又∴sin∠A= ＝
故选：C
【综合演练】
1．如图，由6个形状、大小完全相同的小矩形组成矩形网络，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知小矩形较短边长为1，点，，，都在格点上，则的值（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】先证明∠ABD=90°，再求出BD=,AD=,根据三角函数的定义即可得到答案.
【详解】解：如图，
∵小矩形较短边长为1，有图可知，小矩形较长边长为2，
∴AE=BE=2,BF=DF=1,
∴∠ABE=45°,∠DBF=45°
∴∠ABD=90°,
∵AB=,BD=,AD=,
∴===,
故选A.
【点睛】此题主要考查了勾股定理和三角函数的定义，正确应用勾股定理是解题关键．
2．如图，的顶点都在方格纸的格点上，则sinC为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据网格结构连接格点AD、BD，利用勾股定理列式求出AC2、AD2、CD2，再利用勾股定理逆定理判断出△ACD是直角三角形，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【详解】解：如图，连接格点AD、BD，
由勾股定理得，AC2=22+42=20，
AD2=12+12=2，
CD2=32+32=18，
∵AD2+CD2=AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴sinC==．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构，作辅助线构造成直角三角形是解题的关键．
3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点A作于点D，在中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点A作于点D，则，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
4．如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，格点A、B、C、D都在同一个圆上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据圆周角的推论得出，再利用勾股定理计算AC即可得出结果
【详解】
连接AD、DC、AC
由题意可知：∠ADC=90°
∵∠AED=∠DCA
∴在Rt△ADC中，
∵
故选：C
【点睛】本题考查正弦值的计算、勾股定理、同弧所对的圆周角相等、熟练掌握圆周角的推论是关键
5．如图，小正方形的边长均为1，、、分别是小正方形的三个顶点，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】连接，先根据勾股定理求得AB、BC、AC的长，然后再利用勾股定理逆定理证得是直角三角形，最后根据正弦的定义解答即可
【详解】解：如图：连接，
每个小正方形的边长均为1，
，，，
，
是直角三角形，
．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及正弦的定义，根据题意证得是直角三角形是解答本题的关键．
6．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为_____．
【答案】．
【分析】利用网格构造直角三角形，再根据勾股定理、逆定理求出三角形的边长，最后根据三角函数的意义求解即可．
【详解】解：如图，连接格点BD，
∵BD2＝12+12＝2，CD2＝12+12＝2，BC2＝22＝4，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°＝∠ADB，
由勾股定理得，
AB＝＝，BD＝＝，
∴sin∠BAC＝＝＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理和正弦的定义是解决此题的关键．
7．如图，在的正方形网格中，以格点为顶点的的面积等于，则的值是________．
【答案】
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据勾股定理即可求出AB和AC，然后根据三角形的面积求出CD，再根据正弦值的定义即可得出结论．
【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D
根据勾股定理可得AB=，AC=
∵的面积等于
∴
解得：CD=
在Rt△ACD中，=
故答案为：．
【点睛】此题考查的是勾股定理和求一个角的锐角三角函数，掌握勾股定理和构造直角三角形求一个角的正弦值是解决此题的关键．
8．如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则__________．
【答案】
【分析】根据所给图形可得出，再求正弦值即可．
【详解】解：根据网格所示，可得出，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是用格点解直角三角形，根据格点找出是解此题的关键．
9．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD都交于O，则sin∠AOD＝_____．
【答案】．
【分析】直接利用网格结合锐角三角函数关系得出sin∠AOD＝sin∠ABE，即可得出答案．
【详解】解：如图，
由网格可得： AE＝，AB＝，BE=，
∵，
∴，
∴∠AEB=90°，
又DC∥BE，且∠AOD＝∠ABE，
故sin∠AOD＝sin∠ABE＝；
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，掌握勾股定理，解直角三角形是解题的关键.
10．如图，在正方形网格图中，每个小正方形的边长均为，则的正弦值是_______．
【答案】
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠1=∠A，在直角△ABC中，利用三角函数的定义即可求解．
【详解】解：如图：
由勾股定理，得：，
∵∠1=∠A，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，正确根据圆周角定理，把所求角的三角函数转化为∠A的三角函数是解题的关键．
11．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，，，，都在格点处，与相交于，则的值等于_________．
【答案】
【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得sin∠BOD的值，本题得以解决．
【详解】解：连接AE、EF，如图所示，
则AE∥CD， ∴∠FAE=∠BOD，
设每个小正方形的边长为a，
则AE=，AF=，EF=，
∵，
∴△FAE是直角三角形，∠FEA=90°，
∴sin∠FAE=
即sin∠BOD= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定理和等积法解答．
12．如图，在4×5的网格图中，每个小正方形边长均为1，点A、O、B均在格点上，则
(1)△AOB的面积是_____________； (2) ______________
【答案】 4
【分析】（1）利用正方形的面积减去各顶点上三角形的面积即可得到结果；
（2）作OB边上的高AC，算出AC，再利用正弦的定义求解．
【详解】解：（1）S△AOB=
=
=4；
（2）作OB边上的高AC，
∵AO=，BO=，AB=，
∴AC= S△AOB×2÷OB=4×2÷=，
∴sin∠AOB==，
故答案为：4；．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，正弦的定义，解题的关键是掌握网格的特点．
13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为_______．
【答案】
【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
【详解】在网格上取个点D，得
∵CD=4，AD=3
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理逆定理，勾股定理，锐角三角函数，属于学生灵活运用所学知识．
14．如图，正方形网格中，每个正方形边长都相等，A、O、B在如图的格点上，则_____．
【答案】
【分析】根据三角形的面积计算公式求出边OA上的高BC即可得出答案．
【详解】解：如图，过点B作，垂足为C，
，
，
即，
，
在中，，
在中，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查网格与勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15．如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为______．
【答案】
【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得,的邻边与斜边之比即可．
【详解】解：如图所示，作AD⊥BC，垂足为D，AD=3，BD=4，
∵∠ADB=
∴利用勾股定理可得 ，
∴csB=＝，
∴=+=．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，根据题意得出cs∠ABC, 是解决问题的关键．
三、解答题
16．如图所示的方格纸是由9个大小完全一样的小正方形组成的．点A、B、C、D均在方格纸的格点(即图中小正方形的顶点)上，线段AB与线段CD相交于点E．设图中每个小正方形的边长均为1．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求sin∠BCD的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）证明，可得，根据同角的余角相等可得结论；
（2）根据勾股定理先计算和的长，根据面积法可得的长，最后由三角函数定义可得结论．
【详解】（1）证明：如图，
，， ，
，
，
又，
，
，
；
（2）解：在中， ，，
，
同理，，
，
，
，
解得，
．
【点睛】本题考查网格型问题，还考查了三角形全等的性质和判定，勾股定理和三角函数，解题的关键是根据面积法和数形结合的思想解决问题．
17．图①、图②均是边上为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点均在格点上．
（1）在图①中作正方形；
（2）在图②中作，使点在格点上，且．

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【分析】（1）确定AB=，再根据正方形的四边相等，四个角是直角即可作图；
（2）根据锐角三角函数的定义即可作图．
【详解】解：（1）如图所示，正方形ABCD为所求；
（2）如图所示，为所求，且．
【点睛】本题考查了网格图中的创新作图问题，设计了正方形的性质以及锐角三角函数的定义，解题的关键是熟悉正方形的性质及锐角三角函数的定义．
18．如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为6，△ABC的顶点都在格点．
（1）求每个小矩形的长与宽；
（2）在矩形网格中找一格点E，使△ABE为直角三角形，求出所有满足条件的线段AE的长度．
（3）求sin∠BAC的值．
【答案】（1）每个小矩形的长为3，宽为1.5；（2）3或3或；（3）．
【详解】分析：（1）设每个小矩形的长为x，宽为y，根据图形可知小矩形的长与宽间的数量关系有两个：2个矩形的宽=矩形的长；两个矩形的宽+1个矩形的长=6，据此列出方程组，并解答即可；
（2）利用图形和勾股定理逆定理进行解答；
（3）过B作BP⊥AC于P，则BM=MN=y，AM=2y， AB=AN= ．由S△ABN=BN×AM=AN×BP，得到BP的长．在Rt△ABP中， 利用正弦的定义求解即可．
详解：（1）设每个小矩形的长为x，宽为y，依题意得：，解得：，所以每个小矩形的长为3，宽为1.5；
（2）如图所示：

AE=3或3或；
（3）如图，过B作BP⊥AC于P，则BM=MN=y，AM=2y．
∵AM⊥BN，∴AB=AN== ．
∵S△ABN=BN×AM=AN×BP，∴BP===．在Rt△ABP中， sin∠BAC =sin∠BAP==÷=．
点睛：本题考查了四边形综合题，需要掌握二元一次方程组的应用、勾股定理、勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力，求三角函数值需构建直角三角形是解此类题的常用作法．