专题05 基本初等函数-【名校汇编】2022年高中数学名校模拟题考点汇编（新高考专用）

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1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率C会提升到原来的（ ）参考数据： ．
A．2.4倍B．2.5倍C．2.6倍D．2.7倍
【答案】B
【分析】
设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，
在根据题意用，利用指数、对数的运算性质化简即可求解.
【详解】
设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，则
由题意可知，，
，
所以
倍.
所以最大信息传递率C会提升到原来的倍.
故选：B.
2．（2022·广东·模拟预测）声音大小(单位为分贝)取决于声波通过介质时，所产生的压力变化(简称声压，单位为 ).已知声音大小与声压 的关系式为，且根据我国《城市区域环境噪音标准》规定，在居民区内，户外白昼噪声容许标为50分贝，夜间噪声容许 标准为40分贝，则居民区内，户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的（ ）倍
A．B．C．10D．20
【答案】A
【分析】
利用指数与对数的互化以及指数的运算性质即可求解.
【详解】
声音大小与声压 的关系式为，
当时，，即，
解得，
当时，，即，
解得，
所以户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压比为
故选：A
3．（2022·河北衡水中学一模）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用对数的运算性质求出，由此可得答案.
【详解】
,
所以.
故选：C
4．（2022·福建·厦门一中模拟预测）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1000的基础上，将带宽W增大到原来的2倍，信号功率S增大到原来的10倍，噪声功率N减小到原来的，则信息传递速度C大约增加了（ ）（参考数据：）
A．87%B．123%C．156%D．213%
【答案】D
【分析】
先求得提升前的信息传递速度，然后求得提升后的信息传播速度，由此求得正确答案.
【详解】
提升前的信息传递速度，
提升后的信息传递速度，
所以信息传递速度C大约增加了.
故选：D
5．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为（ ）
A．28hB．28.5hC．29hD．29.5h
【答案】B
【分析】
根据题意求出蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.
【详解】
解：根据题意可得，
则当时，
，
所以，
即当放电电流，放电时间为28.5h.
故选：B.
6．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（ ）（参考数据：，）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据题意所求时间为，利用对数的运算进行求解即可.
【详解】
设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为秒，则有；
两边取常用对数，得；
；
所以.
故选：D.
7．（2022·湖南·雅礼中学二模）有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，…，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知，．用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（ ）
A．0.003B．0.096C．0.121D．0.216
【答案】B
【分析】
直接通过两种方法求出，作差取绝对值即可求出结果.
【详解】
，
又
与实际的的误差绝对值近似为.
故选：B.
8．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米/秒．在保持不变的情况下，若吨，假设要使超过第一宇宙速度达到千米/秒，则至少约为（结果精确到，参考数据：，）（ ）
A．吨B．吨C．吨D．吨
【答案】B
【分析】
根据所给条件先求出，再由千米/秒列方程求解即可.
【详解】
因为当时，，
所以，
由，
得，
所以，
解得（吨），
即至少约为吨.
故选：B
9．（2022·广东汕头·二模）（多选题）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】
设，根据指数与对数的关系，利用换底公式及指数幂的运算法则，逐一验证四个选项得答案．
【详解】
解：设，则，，，
所以
，
即，所以，所以，故D正确；
由，所以，故A正确，B错误；
因为，，
又，所以，即，故C正确；
故选：ACD
考点二：指对幂函数的基本性质
10．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）若函数满足：（1）对于任意实数，当时，都有；（2），则___________.(答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可)
【答案】型的都对
【分析】
本题属于开放性题，只需填写符合题意的答案即可，依题意可以判断函数在上单调递增，又，（且，）即可得解；
【详解】
解：对于任意实数，，当时，都有，说明该函数在上单调递增，
又对数函数满足运算性质：，
故可选一个递增的对数函数：．
故答案为：．
11．（2022·山东菏泽·二模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数的解析式______．
①；②是偶函数；③在上单调递增．
【答案】（满足条件即可）
【分析】
根据函数的三个性质，列出符合条件的函数即可》
【详解】
解：如，
，，故，
是偶函数，
又在上单调递增，
故答案为：（满足条件即可）
12．（2022·湖南·岳阳市教育科学技术研究院三模）已知函数，，若，，使得，则______．
【答案】78
【分析】
根据题意可知，y＝f(x)的值域应该是y＝值域的子集，据此即可求解m﹒
【详解】
时，，
时，，
∵，，
由题意可知，，
∴，，∴，∴﹒
故答案为：78．
13．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）（多选题）已知函数，，则（ ）
A．函数为偶函数
B．函数为奇函数
C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0
D．设，则的解集为
【答案】BCD
【分析】
根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案
【详解】
对于A：，定义域为，，
则为奇函数，故A错误；
对于B：，定义域为，
，
则为奇函数，故B正确；
对于C：，，都为奇函数，
则为奇函数，
在区间上的最大值与最小值互为相反数，
必有在区间上的最大值与最小值之和为0，故C正确；
对于D：，则在上为减函数，
，则在上为减函数，
则在上为减函数，
若即，
则必有，解得，
即的解集为，故D正确；
故选：BCD
考点三：指对幂比大小基础
14．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）若，，，则它们的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先判断大小，再分别判断和的大小即可
【详解】
因为，故.又，，故.再分析和的大小，因为，，故，又，故，故.综上有
故选：D
15．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
利用指数函数的性质及对数函数的性质即可得到.
【详解】
∵，，，
∴．
故选：C.
16．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用三角函数、对数、指数函数的单调性判断可得答案.
【详解】
，
，
，
所以．
故选：C．
17．（2022·湖北·黄冈中学二模）已知，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
试题分析：因为所以选C．
考点：比较大小
18．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据对数函数与指数函数的性质判断．
【详解】
由对数函数和指数函数性质得：
，，，
所以．
故选：D．
19．（2022·湖南师大附中二模）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
比较、、的大小关系，利用指数函数和对数函数的单调性可判断各选项的正误.
【详解】
，，
，即，
所以，，，则，即A错误；
，，所以，，，，即BC都错误，D正确.
故选：D.
20．（2022·湖南·岳阳一中一模）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据指数函数与对数函数的性质判断．
【详解】
,
所以，
，而，
所以．
故选：A．
21．（2022·湖南·长郡中学一模）已知，，，则下列关系正确的是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
首先将进行变形可得，，无法直接比较与或与，故需要借助于中间量0或1，根据指数性质可得，，所以可以得到，进而可以得到正确答案.
【详解】
，，所以；
，所以；
，所以.
综上，.
故选：D.
【点睛】
指数与对数比较大小时，需要选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数做比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小.
22．（2022·湖南·模拟预测）（多选题）已知，，，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】
根据求出，，，借助指数函数与对数函数的单调性分别判断选项即可.
【详解】
因为，所以，，，且，所以，故A错误；
因为，，即，故B错误，C正确；
因为，，即，故D正确.
故选：CD.
23．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知，，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据题意不妨设，利用对数的运算性质化简x，利用指数函数的单调性求出y的取值范围，利用指数幂的运算求出z，进而得出结果.
【详解】
由，不妨设，
则，
，
，
所以，
故选：B
24．（2022·湖北·武汉二中模拟预测）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
分别判断出，，，即可得到答案.
【详解】
.
因为，所以.
所以；
因为在R上为增函数，所以；
因为在上为增函数，且所以，即；
所以.
故选：D
25．（2022·湖南·雅礼中学模拟预测）已知，记，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据，利用指数函数和对数函数的单调性求解.
【详解】
解：因为，
所以，
所以，
故选：A
26．（2022·河北·模拟预测）已知一组数据：，则下列各数与的差的绝对值最小的是（ ）
A．0.83B．0.84C．0.85D．0.86
【答案】C
【分析】
由以及解出的范围即可求解.
【详解】
由可得，解得，
由可得，解得，
故，0.85与的差的绝对值最小.
故选：C.
考点四：指对幂比大小提升
27．（2022·湖南·一模）设，，则
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
分析：求出，得到的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选B.
点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．
28．（2022·广东韶关·二模）（多选题）已知 则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】
由题意可知，，根据对数函数的单调性可知D错误；，可知A正确；利用基本不等式可知，化简整理可知B正确；在根据，利用不等式的性质，即可判断C正确.
【详解】
由题可知，，又，所以 ，D错误；
因为，有．所以A正确；
由基本不等式得，所以，当且仅当时，取等号；
又因为，，所以，故，B正确；
由于，，所以，C正确.
故选：ABC．
29．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）（多选题）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】
利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断.
【详解】
因为，且，对A，，所以，故A正确；对B，取，所以，故B错误；对C，，当且仅当取等号，又因为，当且仅当取等号，所以，当且仅当取等号，因为，所以不能取等号，故C正确；对D，当，，所以；当，，所以，当且仅当取等号，因为，所以不能取等号，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
30．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）（多选题）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】
利用基本不等式判断AB，由不等式性质和指数函数性质判断C．由基本不等式结合对数运算法则判断D．
【详解】
对于A，，则，当且仅当，时，等号成立．
对于B，变形得，所以，当且仅当，即时，等号成立，故B错误．
对于C，因为，所以，即，则．
对于D，由可得，，，当且仅当，即，时等号成立．
故选：ACD．
考点五：指对幂比大小综合
31．（2022·河北邯郸·一模）（多选题）下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】
A、B选项画出和的图象，数形结合进行比较，C选项构造函数，借助单调性进行判断，D选项作减法，借助对数运算及基本不等式进行比较.
【详解】
作出和的图象，如图所示，由图象可得，当时，，
当时，，，，故A，B正确.
令，则，在上单调递减，所以，故C错误.
，所以，故D正确.
故选：ABD.
32．（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）已知，，为正实数，满足，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
设， ，，，在同一坐标系中作出函数 的图象，可得答案.
【详解】
设， ，，
在同一坐标系中作出函数 的图象，如图
为函数的交点的横坐标
为函数的交点的横坐标
为函数的交点的横坐标
根据图像可得：
故选：D
33．（2022·江苏·二模）已知实数，，满足，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
设，，则，，，在同一坐标系中分别画出函数，，的图象，由此判断答案．
【详解】
设，，
则，，，
在同一坐标系中分别画出函数，，的图象，
当时，，
当时，，
当时，，
由此可以看出，不可能出现这种情况，
故选：．
34．（2022·山东·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先将式子变形为，然后题中四个选项都除以b，最后对进行分类讨论求解即可.
【详解】
由题设：且，
所以，
由于，所以题中四个选项都除以b，得四个选项化为
A. B. C. D.
故从入手：
当时，，所以，则，所以，与矛盾；所以选项A､D错误；
当时，，所以，则，显然与矛盾；
所以时，，所以，即，故选项B符合要求；此时令，则选项C错误.
故选：B.
35．（2022·山东枣庄·一模）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
化简后，用作差法比较与，再利用作差法比较与后可求解.
【详解】
，
，
所以
，
所以，
又，因为，所以，所以，所以，
又
，
所以，所以，又
所以.
故选：C
36．（2022·广东佛山·模拟预测）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据对数和指数的单调性可判断，；在构造函数，，再根据换元法和不等式放缩，可证明当时，，由此即可判断的大小.
【详解】
因为
，所以；
由且，所以，所以，
令，，
令 ，则，
则，等价于，；
又，
所以当时，，
故，所以．
故选：C．
37．（2022·广东佛山·三模）（多选题）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】
作差法判断选项A；利用对数函数单调性判断选项B；利用幂函数指数函数对数函数的单调性去判断选项C；举反例排除选项D.
【详解】
选项A：
由，可得，
则，，
则，则.判断错误；
选项B：由，可得为上减函数，
又，则.判断正确；
选项C：由，可知为R上减函数，又，则
由，可知为上增函数，又，则，则
又为上增函数，则，则.判断正确；
选项D：令，则，
，
则，即.判断错误.
故选：BC
考点六：函数零点求解
38．（2022·山东·模拟预测）函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A．0B．3C．6D．12
【答案】C
【分析】
由题意得函数的零点就是函数与的图象公共点的横坐标.再根据函数与的图象均关于点成中心对称，由交点的个数可得答案.
【详解】
解：函数的零点就是函数与的图象公共点的横坐标.
如图，因为函数与的图象均关于点成中心对称，且函数与的图象在区间上共有6个公共点，它们关于点对称，
所以函数在区间上共有6个零点，它们的和为.
故选：C.
39．（2022·广东广州·二模）函数的所有零点之和为__________．
【答案】9
【分析】
根据给定条件，构造函数，，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答.
【详解】
由，令，，
显然与的图象都关于直线对称，
在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，
观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，
这6个点两两关于直线对称，有，则，
所以函数的所有零点之和为9.
故答案为：9
40．（2022·山东省实验中学模拟预测）（多选题）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，那么函数在定义域内的零点个数可能是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】BC
【解析】【分析】
函数在定义域的零点个数可转化成的根的个数，根据偶函数的图像关于轴对称，只需考虑时的根的个数，从而可得结论.
【详解】
当时，
当时，令，解得或2共有两个解；
当时，令，即，当时，方程无解；
当时，，符合题意，方程有1解；
当时，，不符合题意，方程无解；
所以当时，有2个或3个根，而函数是定义在R上的偶函数，所以函数在定义域内的零点个数可能是4或6.
故选：BC
41．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】
令，根据分别求出函数的零点或零点所在区间，再作出函数的图象，根据数形结合即可求出函数的零点个数；
【详解】
令．
①当时，，则函数在上单调递增，
由于，由零点存在定理可知，存在，使得；
②当时，，由，解得．
作出函数，直线的图象如下图所示：
由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；
直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有且只有一个交点．综上所述，函数的零点个数为5．
故选：D．
42．（2022·江苏江苏·三模）（多选题）已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】
将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可.
【详解】
分别为直线与和的交点的横坐标，
因为函数与函数互为反函数，
所们这两个函数的图象关于直线，
而直线、的交点是坐标原点，
故，，，，
，
，故
故选：BCD.
【点睛】
关键点睛：利用反函数的性质是解题的关键.
43．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）（多选题）设函数，若关于的方程有四个实数解，且，则的值可能是（ ）
A．0B．1C．99D．100
【答案】BC
【分析】
首先根据题意画出图象，根据二次函数的性质得到，根据对数函数的性质得到，从而得到，再根据函数单调性求解即可.
【详解】
如图所示：
因为关于的方程有四个实数解，且，
所以.
的对称轴为，所以.
因为，所以，即，.
因为，所以.
所以，
因为，为减函数，
所以.
故选：BC
44．（2022·湖南衡阳·二模）已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（ ）
A．4个B．5个C．3个或4个D．4个或5个
【答案】D
【分析】
利用奇函数性质和关系式转化求出的关系式并利用单调性画出简图，再利用数形结合思想根据的取值范围求出零点个数.
【详解】
因为，所以的周期为2，
又因为为奇函数，，
令，得，又，所以，
当时，，
由单调递减得函数在上单调递增，
所以，得，
作出函数图象如图所示，
由图象可知当过点时，，此时在上只有3个零点.
当经过点时，，此时有5个零点.
当时，有4个零点.
当经过点时，，此时有5个零点.
当时，有4个零点.
当经过点时，，此时在上只有3个零点.
当时，有4个零点.
所以当时，函数在上有4个或5个零点.
故选：D
45．（2022·江苏江苏·一模）已知是定义在上的奇函数，且.若当时，，则在区间上的值域为____________，在区间内的所有零点之和为__________
【答案】
【分析】
第一空先求出函数在上的解析式，结合奇函数画出的图像，再由得到，
进而得到函数在上的图像，即可求得值域；
第二空画出将零点转化为的交点，再画出的图像即可求解.
【详解】
由当时，，可得当时，，当时，，
又是奇函数，可得函数图像关于原点对称.又当时，即，即，
即函数右移两个单位，函数值变为原来的2倍，由此可得函数在上的图像如图所示：
结合图像可知在区间上的值域为；，即，即的交点，
画出的图像，由图像可知4个交点的横坐标依次为，又均是奇函数，故，
故.
故答案为：；.
考点七：函数与方程综合
46．（2022·湖南师大附中一模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
将方程，转化为，在同一坐标系中作出函数与的图象，利用数形结合法求解.
【详解】
方程，即为，
因为方程有两个不相等的实数根，
所以函数与的图象有两不同的交点，
在同一坐标系中作出函数与的图象如图所示：
由图象知：当直线过点时，，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即，
解得，
所以实数的取值范围是，
故选：D．
【点睛】
方法点睛：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
47．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数．
（1）不等式的解集为____________；
（2）若关于的方程有两个不等实数根，则实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】
由图像可知函数为“不增”函数，利用函数的单调性即可解出不等式；根据函数图像可得，由换元法可得一元二次方程在上有两个不等实数根，
结合二次函数的性质即可得出结果.
【详解】
作出函数图像，该函数为“不增”函数，
所以，解得，
所以解集为；
由函数图像可得，
令，在区间上有两个不等实数根，
则有解得．
故答案为：；.
48．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知函数，，用表示m，n中的最小值，设函数，若恰有3个零点，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
分析函数的零点情况，可确定符合题意的情况，从而得到不等式组，解得答案.
【详解】
函数恒过点 ，且其图象开口向上，的零点为1，
当的零点至少有一个大于或等于1时，如图示：
函数的零点至多有两个，不符合题意，
故要使恰有3个零点，则函数在区间上存在两个零点，如图示，
故
解得，
故答案为：
49．（2022·广东汕头·一模）定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据条件可得出函数是以4为周期的周期函数，作出，的图象，根据函数为偶函数，原问题可转化为当时两函数图象至少有4个交点，根据数形结合求解即可.
【详解】
因为，且为偶函数
所以，即，
所以函数是以4为周期的周期函数，
作出，在同一坐标系的图象，如图，
因为方程至少有8个实数解，
所以，图象至少有8个交点，
根据，的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点，
由图可知，当时，只需，即，
当时，只需，即，
当时，由图可知显然成立，
综上可知，.
故选：B
50．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足，已知当时，，若恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据已知求出，再分析出函数的周期性和对称性，作出函数的图象分析即得解.
【详解】
解：因为是定义在R上的奇函数，所以.
所以当时，.
因为，则关于对称，
因为关于对称，有6个不相同的根，
∴在有三个不同的根，
表示过定点的直线系，
.
作出在上的图象,如图所示，
时，，又,
则；
时，;
时，显然不满足题意.
∴m的取值范围.
故选：D．
51．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数，若关于的方程有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
化简函数解析式，分析可知关于的方程、共有个不同的实数解，利用代数法可知方程有两个根，分析可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
因为，
由可得，
所以，关于的方程、共有个不同的实数解.
①先讨论方程的解的个数.
当时，由，可得，
当时，由，可得，
当时，由，可得，
所以，方程只有两解和；
②下面讨论方程的解的个数.
当时，由可得，可得或，
当时，由，可得，此时方程有无数个解，不合乎题意，
当时，由可得，
因为，由题意可得或或，
解得或.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
52．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数f（x）满足f（x）＝f（3x），当x∈[1，3），f（x）＝lnx，若在区间[1，9）内，函数g（x）＝f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据题意得到画出函数图像，计算直线与函数相切和过点时的斜率，根据图像得到答案.
【详解】
函数f（x）满足f（x）＝f（3x），当x∈[1，3），f（x）＝lnx
故，
画出函数图像，如图所示：
当直线与相切时：
，设切点为则
此时
当直线经过点时：
综上所述：
故选：
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.
53．（2022·河北·模拟预测）已知函数若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
当时利用辅助角公式化简函数解析，再画出函数图象，不妨令，则，且与关于对称，再根据对数的运算得到，最后转化为关于的函数，结合对勾函数的性质计算可得；
【详解】
解：，
当时
令，解得，当时，
当时，令，解得或，
令，解得或，
函数的图象如下所示：
因为方程恰有四个不同的实数解，即与恰有四个交点，所以，
不妨令，则，且与关于对称，所以，
又，即，所以，即，
所以，
所以，
因为在上单调递增，所以，
所以；
故选：A
54．（2022·湖南师大附中三模）（多选题）已知函数对定义域内任意x，都有，若函数在[0，+∞）上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k的可能取值为（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】ABD
【分析】
结合周期性和函数在的解析式画出的图象，将的零点转化为函数图象交点问题，分情况讨论的零点即可.
【详解】
由已知，，则的周期为2.其大数图象如图所示，由图可知，
①当时，零点为1、3、5、7、…，满足题意；
②当时，零点为0、2、4、6、…，满足题意；
③当时，若零点从小到大构成等差数列，公差只能为1.
由，得，此时；
④当时，函数无零点，不符合题意.
故选：ABD.
55．（2022·江苏南京·模拟预测）（多选题）已知函数fx=2x−1,x≤1,x−22,x>1,函数有四个不同的零点，，，，且，则（ ）
A．的取值范围是B．的取值范围是
C．D．
【答案】AC
【分析】
结合的图象，由图可知，，，由二次函数的对称性，可得，可得答案.
【详解】
有四个不同的零点，，，，即方程有四个不同的解．
的图象如图所示，由图可知，，，所以，
即的取值范围是，
由二次函数的对称性，可得．因为，所以，故．
故选：AC.