专题04 函数初步-【名校汇编】2022年高中数学名校模拟题考点汇编（新高考专用）

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1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用换元法求解函数解析式即可求解.
【详解】
因为，所以，令，则，
所以，因此，.
故选：B.
2．（2022·山东济南·二模）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据题意列出不等式组，通过解不等式组即可求出答案.
【详解】
由，得，且，
所以函数的定义域是.
故选：A.
3．（2022·湖北武汉·模拟预测）函数的定义域为______.
【答案】
【分析】
结合分式型，二次根号型函数的定义即可求解.
【详解】
由题知，，所以的定义域为，
故答案为：.
4．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．B．的值域为
C．的解集为D．若，则x的值是1或
【答案】B
【分析】
根据函数解析式，画出函数图象，结合图象一一判断即可；
【详解】
解：因为，函数图象如下所示：
由图可知，故A错误；
的值域为，故B正确；
由解得，故C错误；
，即，解得，故D错误；
故选：B
5．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知函数与函数的值域相同，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由分析知的值域为，当时，，要使的值域为，则，且，即可求出a的取值范围.
【详解】
因为的值域为，所以的值域为.
当时，.
当时，①若，即，，此时不满足条件.
②若，即，，此时的值域不可能为.
③若，即，，要使的值域为，则，即
解得：或，又因为，所以.
故选：B.
6．（2022·江苏·华罗庚中学三模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
首先得到函数的定义域，再分析当时的取值，即可得到，再对时分和两种情况讨论，求出此时的取值，即可得到的值域，从而得到不等式，解得即可；
【详解】
解：因为，所以的定义域为，，
当时，则在上单调递增，所以；
要使定义域和值域的交集为空集，显然，
当时，
若则，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若时在上单调递减，此时，
则，
所以，解得，即
故选：B
考点二：分段函数
7．（2022·福建厦门·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
求得后，代入解析式即可得到结果.
【详解】
，.
故选：D.
8．（2022·山东潍坊·模拟预测）设函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用函数的解析式可计算出的值.
【详解】
因为，则.
故选：C.
9．（2022·广东·模拟预测）若函数，则________．
【答案】
【分析】
先根据时，得，进而得函数是以为周期的周期函数，再根据函数周期性求值即可得答案.
【详解】
因为时，，所以，
即，故.
.
故答案为：
10．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数 ，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据分段函数的解析式，分段求解，即可求得答案.
【详解】
∵，,
∴当时， ，解得；
当时，，解得,即（舍去），
∴,
故选:C
11．（2022·河北·模拟预测）已知函数且，则___________.
【答案】
【分析】
利用可求得，将代入解析式即可推导得到结果.
【详解】
恒成立，，解得：，
.
故答案为：.
12．（2022·湖北·荆州中学模拟预测）设，函数．若，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【分析】
根据分段函数的定义和指数的运算性质即可得到结果
【详解】
，
所以即
故答案为：
13．（2022·河北·模拟预测）设函数则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由函数解析式可得，，画出函数图象，则原不等式等价于，结合函数的单调性，即可得到，解得即可；
【详解】
解：因为，所以，，
则，即，
的函数图象如下所示：
由函数图象可知当时且在上单调递减，所以等价于，即，解得，即；
故选：A
考点三：函数单调性
14．（2022·湖南·雅礼中学二模）下列函数中，在R上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
对于A，，在R上是减函数；对于B，在上是减函数，在上是增函数；对于C，当时，是增函数，当时，是增函数；对于D，的定义域是.
【详解】
解：对于A，，在R上是减函数，故A不正确；
对于B，在上是减函数，在上是增函数，故B不正确；
对于C，当时，是增函数，当时，是增函数，所以函数在R上是增函数，故C正确；
对于D，的定义域是 ，故不满足在R上为增函数，故D不正确，
故选：C.
15．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数在上是减函数，则实数的范围是_______.
【答案】
【分析】
转化原函数为，利用反比例函数的单调性结合定义域，即得解
【详解】
函数，定义域为，
又，
因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数，
因此，解得.
故答案为：
16．（2022·江苏江苏·一模）已知，则当时，与的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．不确定
【答案】B
【分析】
求出函数的单调区间，令，得或，结合图像可得，，三段和的大小关系，再根据函数的单调性即可得出与的大小关系.
【详解】
解：由函数，
得函数在上递增，在上递减，在上递增，
作出函数和的图像，如图所示，
令，得或，
结合图像可知，当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
综上所述，当时，.
故选：B.
17．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围______．
【答案】
【分析】
先判断函数在上为增函数，然后求得，所以原不等式可化为，从而得对恒成立，即对恒成立，然后利用基本不等式求出的最小值即可
【详解】
，
因为在上为增函数，
所以在上为增函数，
因为，
所以可化为，
因为在上为增函数，
所以对恒成立，
所以对恒成立，
因为，所以，当且仅当，即时取等号，
所以，即实数的取值范围，
故答案为：
18．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知定义在上的单调递增函数，对于任意的，都有，且恒成立，则______．
【答案】9
【分析】
令，根据函数的性质结合已知，求出的值，通过归纳的思想求出时，的表达式，最后代入求值即可.
【详解】
令，则有，若，则有，显然矛盾；
若，则有，显然与已知矛盾，当大于3的整数时，与已知函数是单调递增相矛盾，故，所以有；
令时，；
令时，，根据函数的性质可知：；
令时，；
令时，；
令时，；
令时，；根据函数的性质可知：；
令时，；根据函数的性质可知：；
令时，；根据函数的性质可知：，
令时，；
令时，；
令时，；
令时，；
所以归纳得到当时，
所以
故答案为：9
考点四：函数最值
19．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
当时，结合不等式求得其最小值为，当时，，根据函数的最小值为，列出不等式组，即可求解.
【详解】
当时，，
当且仅当时，等号成立；
即当时，函数的最小值为，
当时，，
要使得函数的最小值为，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A.
20．（2022·湖北·一模）已知函数（x>0），若的最大值为，则正实数a=___________.
【答案】1
【分析】
依据题意列出关于a的方程即可求得正实数a的值.
【详解】
令，则，则
令
当时，在上单调递增，
则，即的最大值为
则，解之得.
当时，（当且仅当时等号成立）
则，即的最大值为
则，解之得（舍）
综上，所求正实数
故答案为：1
21．（2022·山东济南·一模）已知函数，对任意非零实数x，均满足.则的值为___________；函数的最小值为___________.
【答案】 0
【分析】
根据给定条件求出待定系数a，b，进而求出的解析式，代值计算可得，变形函数式并借助二次函数求解最值作答.
【详解】
函数，因对任意非零实数x，均满足，
则，有，
即，由等式两边展开式最高次项系数得：，即，
当时，，解得，经检验得，，，对任意非零实数x成立，
因此，
，
，当即时，，
所以的值为0，函数的最小值为.
故答案为：0；
【点睛】
思路点睛：两边是一元高次多项式的等式恒成立问题，可以借助特殊项（如最高次项、常数项等）及取特值求出待定系数，然后验证即可.
考点五：函数奇偶性
22．（2022·湖北·黄冈中学二模）已知函数，，则的值为（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】B
【分析】
构造函数，判断函数为奇函数，即得解.
【详解】
解：构造函数，则，故函数为奇函数.
又，∴，∴.
故选：B
23．（2022·湖南湖南·二模）已知函数是R上的奇函数，当时，，若，是自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
依题意根据奇函数的性质得到，即可得到，代入函数解析求出，最后根据计算可得；
【详解】
解：依题意得，，由，即，得，所以当时，所以.
故选：D
24．（2022·山东济南·二模）已知函数，则______．
【答案】
【分析】
代入函数解析式计算即可.
【详解】
解：因为，所以，
.
故答案为：.
25．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则______.
【答案】
【分析】
根据奇函数的知识求得，由此求得.
【详解】
依题意函数是定义在上的奇函数，
所以，
，
，
恒成立，所以，
所以.
故答案为：
26．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知函数是奇函数，则实数a的值为__________．
【答案】1
【分析】
根据奇函数的定义即可求解；
【详解】
因为函数是奇函数，所以，
即，化简整理，得，即，
所以，解得.
所以实数a的值为.
故答案为：.
27．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知函数是奇函数，则__________.
【答案】1
【分析】
根据函数奇偶性的性质进行求解即可.
【详解】
设，因为是奇函数，
所以，
即，
整理得到，故.
故答案为：1.
28．（2022·湖南·一模）已知是奇函数，且，若，则___．
【答案】1
【分析】
根据是奇函数及求出f(－1)，由此可求g(－1).
【详解】
是奇函数，
∴h(1)＋h(－1)＝0
即f(1)＋1＋f(－1)＋1＝0，
∵f(1)＝－1，
∴f(－1)＝－1，
∴g(－1)＝f(－1)＋2＝1.
故答案为：1.
29．（2022·广东佛山·模拟预测）已知函数是偶函数，则______．
【答案】－1
【分析】
由为偶函数，则，又，可得，从而求出答案.
【详解】
由为偶函数，则
即
即
所以，则，故
故答案为：
30．（2022·广东·华南师大附中模拟预测）已知函数为偶函数，则______.
【答案】
【解析】
根据题意，由函数奇偶性的定义可得，即，据此变形分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，函数，其定义域为，
若为偶函数，则，
则有，
变形可得：，
必有；
故答案为：．
【点睛】
本题考查函数的性质以及判断，关键是掌握偶函数的定义，属于基础题．
31．（2022·江苏·一模）若是奇函数，则___________.
【答案】
【分析】
根据奇函数的性质，结合奇函数的定义进行求解即可.
【详解】
因为是奇函数，
所以有，即，即，
因为，
所以函数是奇函数，
故答案为：
32．（2022·湖南·雅礼中学二模）函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．D．
【答案】B
【分析】
根据奇偶函数的定义，结合函数的周期性、对称性，整理化简，即可得答案.
【详解】
因为是奇函数，
∴，
∵是偶函数，
∴，即，
，
则，即周期为8；
另一方面，
∴，即是偶函数.
故选：B.
考点六：函数单调性与奇偶性综合
33．（2022·河北·模拟预测）设偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
由函数为偶函数化简不等式，再由函数的单调性列出不等式组求解即可.
【详解】
因为是偶函数，所以等价于．
又在上单调递增，所以在上单调递减．
由，得或
又，解得或．
故选：D
34．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据偶函数的对称性，得到的取值情况，原不等式等价于或，根据正弦函数的性质，分别求出的取值范围，即可得解；
【详解】
解：因为为偶函数，所以函数图象关于轴对称，
由图可得时，时，时；
又当时，时，时，时，
不等式等价于或，
所以或或，即不等式的解集为；
故选：A
35．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）定义在上的偶函数在上单调递减，且，若不等式的解集为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由为偶函数，得，不等式可转化为，即可得出，解不等式即可得出答案.
【详解】
因为为偶函数，，在单调递减，若，则，不等式可转化为，所以，解得：，所以且，即.
故选:B.
36．（2022·湖南·模拟预测）已知，则的解集是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】
首先谈论，利用导数研究的单调性，进而确定出所在的区间，再根据偶函数的性质，求出的解集.
【详解】
当时，，在恒成立，
∴在单调递增，且，
∴当时，，
，
是偶函数，
∴的解集是或，
故选：B.
37．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知是奇函数，当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
先求出函数的解析式，令，把原不等式转化为，利用单调性法解不等式即可得到答案.
【详解】
因为是奇函数，当时，；
所以当时，；
当时，则，所以.
因为是奇函数，所以，所以.即当时，.
综上所述：.
令，则，所以不等式可化为：.
当时，不合题意舍去.
当时，对于.
因为在上递增，在上递增，所以在上递增.
又，
所以由可解得：，即，解得：.
故选：C
38．（2022·山东菏泽·一模）已知奇函数在区间上是增函数，且，，当，时，都有，则不等式的解集为______．
【答案】
【分析】
根据函数的单调性将不等式进行转化，根据函数奇偶性和单调性的关系以及抽象函数关系判断出函数在区间上也是增函数 ，利用赋值法求得特殊值，再根据函数的单调性进行求解即可．
【详解】
不等式等价为，
即或，
即或，
是奇函数，且，
，
故 ，则 ，
，
，
又奇函数在区间上是增函数 ，故在区间上也是增函数，
故即或，
此时 ；
而即 或，
此时 ；
故不等式的解集为，
故答案为：
39．（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数，若，，（e为自然对数的底数），则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用函数的奇偶性与单调性判断大小.
【详解】
由题意可知，函数为偶函数，且在上单调递增，又，，，所以，故．
故选：D
40．（2022·广东·模拟预测）已知，且，则之间的大小关系是__________.（用“”连接）
【答案】
【分析】
易得函数为偶函数，且在上递增，再利用中间量法比较的大小关系，根据函数的单调性即可得出答案.
【详解】
解：函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，
因为函数在上递增，
所以函数在上递增，
则，
因为，所以，
，
所以，
所以，
即.
故答案为：.
41．（2022·湖南·一模）已如函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据函数的奇偶性以及单调性进行判断即可.
【详解】
由题，所以是奇函数，所以，故A，B错误，
又因为，且，即，解得，
根据单调性的结论可知为上的单调递增函数，所有当，，当，；
所以，C错误，
，D正确.
故选：D
42．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先判断函数的奇偶性和单调性，再分析得解.
【详解】
由题得函数的定义域为R.
,
所以函数是偶函数.
当时，，
因为，所以，所以函数在上单调递增，
因为函数是偶函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增.
如果，则，
因为，所以，与已知相符；
如果，则，所以,与已知相符；
如果，因为，所以，
所以，与已知矛盾；
如果，因为，所以，
所以，与已知矛盾；
当之中有一个为零时，不妨设， ，
，显然不成立.
故选：A
【点睛】
方法点睛：对于函数的问题，要灵活利用函数的奇偶性和单调性分析函数的问题，利用函数的图象和性质分析函数的问题.
43．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知定义在D的上函数满足下列条件：①函数为偶函数，②存在，在上为单调函数. 则函数可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
分析函数的奇偶性判断A；求出函数的零点判断B；分析函数的奇偶性，借助导数求出单调区间判断C；求出函数的定义域判断D作答.
【详解】
对于A，定义域为，，即为奇函数，A不是；
对于B，定义域为R，由得，即对任意的正整数k，都是的零点，显然不能满足条件②，B不是；
对于C，，必有，则且，即定义域为且，
，则函数为偶函数，满足条件①，
设，其导数，由得，
令，当时，，即在上为增函数，
而，在上为减函数，因此在上为减函数，
即存在，在上为减函数，满足条件②，C是；
对于D，定义域为，不能满足条件②，D不是.
故选：C
考点七：函数对称性
44．（2022·河北保定·一模）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据对称性可得，由此可构造方程求得结果.
【详解】
图象关于点对称，，
又，
，
，解得：，.
故选：C.
45．（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）设函数的图象与的图象关于直线对称，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
利用反函数的知识列方程，化简求得的值.
【详解】
依题意函数的图象与的图象关于直线对称，
，
，
由于，
所以.
故选：B
46．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）设函数y=的图象与的图象关于直线y=x对称，若，实数m的值为________．
【答案】1
【分析】
根据题意求出，从而列出方程，求出.
【详解】
∵，函数y=的图象与的图象关于直线y=x对称
∴，
∴
∴
∴．
故答案为：1
47．（2022·山东日照·模拟预测）已知定义在R上的函数，（e为自然对数的底数，），则（ ）
A．3B．6
C．3eD．与实数m的取值有关
【答案】B
【分析】
可证，从而可得正确的选项.
【详解】
因为，
故，
故，
故选：B
48．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数有唯一零点，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】
设，由函数奇偶性定义得到为偶函数，所以函数的图象关于直线对称，由零点唯一性得到，求出的值.
【详解】
设，定义域为R,
∴，
故函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称，
故函数的图象关于直线对称，
∵有唯一零点，
∴，即．
故选：D．
49．（2022·湖北·模拟预测）已知函数，.若与的图象在区间上的交点分别为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用整体对应法可求得的对称中心为，由可得的对称中心；根据对称性可知若为满足题意的交点，则也为满足题意的交点，由此可将所求式子化为，进而求得结果.
【详解】
令，解得：，关于对称；
当时，，关于对称；
，，
若为与在的交点，则也为与在的交点，
.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数对称性的应用，解题关键是能够利用正切型函数对称中心的求法和函数对称性的判断确定两函数的对称中心，由对称性得到交点坐标所满足的关系.
50．（2022·广东深圳·一模）已知函数，其中，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．曲线是轴对称图形D．曲线是中心对称图形
【答案】C
【分析】
由解析式易得且定义域为且即可判断C；对求导，并讨论、研究在上的符号判断A、B；根据是否为定值判断D.
【详解】
由题设，，定义域为且，
所以关于对称，C正确；
又，
当时，不妨假设，则，显然，此时在上有递减区间，A错误；
当时，在上，即在上递增，B错误；
由，不可能为定值，故D错误.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：利用导数结合分类讨论研究函数的区间单调性，根据、是否成立判断对称性(为常数).
考点八：函数周期性
51．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）写出一个最小正周期为3的偶函数___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】
利用余弦函数的性质，结合已知函数性质写出满足要求的函数解析式即可.
【详解】
由余弦函数性质知：为偶函数且为常数，
又最小正周期为3，则，即，
所以满足要求.
故答案为：(答案不唯一)
52．（2022·福建·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，，且，则（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】D
【分析】
根据奇函数的概念和性质可得f（x）是周期为4的函数，将f（2021）化为f（1）即可.
【详解】
因为f（x）为奇函数，
所以f（x＋1）＝f（1－x）＝－f（x－1），
所以f（x＋3）＝f（x＋2＋1）＝－f（x＋2－1）＝f（x－1），
所以，
即f（x）是周期为4的函数，
故f（2021）＝f（1）＝－f（－1）＝－1.
故选：D
53．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且 ，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先根据得到是周期函数，由对数的运算性质可以得到 ，再根据是奇函数得到，再代入解析式计算即可得到答案
【详解】
，是周期为的函数

又是定义在上的奇函数

当时，

故选：A
54．（2022·江苏·南京市宁海中学二模）已知奇函数满足条件，且当 时，，则 ______ ．
【答案】
【分析】
首先得到函数的周期，再利用函数的周期和奇偶性，化简求值.
【详解】
，，且函数是奇函数，所以化简
，
，，
.
故答案为：-2
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是利用函数的周期性和奇函数的性质化简.
55．（2022·山东·胜利一中模拟预测）已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则_________．
【答案】
【分析】
根据题意先求出，再根据条件分析得到函数的周期，再求解计算即可.
【详解】
因为函数满足对任意恒成立，
所以令，即，解得，所以对任意恒成立，
又函数的图象关于点对称，将函数向右平移个单位得到，
所以关于点，即为上的奇函数，所以，
又对任意恒成立，令，得，
即，再令，得，分析得，
所以函数的周期为，因为，所以在中，
令，得，所以.
故答案为：.
56．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图像关于直线对称，，则_______.
【答案】3
【分析】
先由函数的图像关于直线对称，得到函数是偶函数，则有；
又令代入，求得函数的周期为，利用函数周期化简即可求值.
【详解】
因为函数的图像关于直线对称，所以函数的图像关于直线对称，即函数是偶函数，则有；
因为对任意，都有，
令，得，
所以对任意，都有，即函数的周期为，
则，
故答案为：.
57．（2022·河北·模拟预测）（多选题）若函数（）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．2是函数的一个周期
C．
D．
【答案】AC
【分析】
本题考查抽象函数的对称性与周期性，利用函数是奇函数得到关系式和，即可逐个判断出选项.
【详解】
函数是奇函数，，函数图象关于点对称，故A正确；
函数是周期为2，所以的周期为4，故B错误；
函数是周期为2的奇函数， ，故C正确；
，无法判断的值，故D错误.
故选：AC.
58．（多选题）（2022·江苏·华罗庚中学三模）是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．D．
【答案】AD
【分析】
先求出，对四个选项一一一验证：
对于A、B：利用代入法求解析式,即可判断；对于C:分别求出和，求出.即可判断;对于D：由，利用等比数列的求和公式即可求得.
【详解】
因为是奇函数,是偶函数,则有，解得.
对于A：任取，则，所以.故A正确；
对于B：任取，则，所以.故B错误；
对于C:当x∈(2,3)时,有x-1∈(1,2),x-2∈(0,1).所以，则有，，故.故C错误;
对于D：由C的结论, ，则.故D正确.
故选：AD
考点九：函数性质综合
59．（2022·山东·烟台二中模拟预测）请写出一个定义在R上的函数，其图象关于y轴对称，无最小值，且最大值为2．其解析式可以为______．
【答案】或（，等）（答案不唯一）
【分析】
根据所给函数性质写出一个函数即可.
【详解】
根据题中的条件可知函数是偶函数，最大值为2，所以满足题中的条件，再如，再如等等（答案不唯一）.
故答案为：或（，等）（答案不唯一）.
60．（2022·湖南·长沙一中一模）若函数为偶函数，对任意，且，都有，则有
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由已知可知的对称轴为，且在上为单调递减函数.由，可确定，从而可选择正确选项.
【详解】
解：因为函数为偶函数，所以的对称轴为；
又对任意，且有，则
在上为单调递减函数.因为，
，，所以，
即.
故选:A.
【点睛】
本题考查了函数的对称性，考查了函数的单调性.本题的关键是由已知条件分析出函数的对称轴以及函数的单调区间.
61．（2022·湖南衡阳·三模）定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据奇函数满足为偶函数可知是一个周期函数，根据可判断单调性，利用周期性将自变量都转化到上，再利用单调性即可得大小关系.
【详解】
因为为偶函数,所以满足,又因为是奇函数,所以故
因此即是以4为周期的周期函数.
，
当时，，在单调递增，在单调递减，故在单调递增.所以
故选：A
62．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）（多选题）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A．是以2为周期的周期函数
B．点是函数的一个对称中心
C．
D．函数有3个零点
【答案】BD
【分析】
首先根据函数的对称性求出的周期和对称中心，然后求得.利用图象法即可判断D.
【详解】
依题意，为偶函数，
且，有，即关于对称，
则
，
所以是周期为4的周期函数，故A错误；
因为的周期为4，关于对称，
所以是函数的一个对称中心，故B正确；
因为的周期为4，则，，
所以，故C错误；
作函数和的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有3个交点，
所以函数有3个零点，故D正确.
故选：BD.
考点十：函数新定义问题
63．（2022·湖北·荆州中学三模）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．已知在R上为“局部奇函数”，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据“局部奇函数”的定义由已知可得在R上有解，由此可求的取值范围.
【详解】
因为在R上为“局部奇函数”，
所以存在实数，使得，
所以方程在R上有解，
所以方程在R上有解，
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以的取值范围是，
故选：C.
64．（2022·湖北武汉·模拟预测）（多选题）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间（）上单调递增
B．若函数，则的值域为
C．若函数，则的值域为
D．，
【答案】AC
【分析】
求出函数式确定单调性判断A；举特例说明判断B，D；变形函数式，分析计算判断C作答.
【详解】
对于A，，，有，则函数在上单调递增，A正确；
对于B，，则，B不正确；
对于C，，
当时，，，有，
当时，，，有，的值域为，C正确；
对于D，当时，，有，D不正确.
故选：AC
65．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）（多选题）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）
A．若为的跟随区间，则
B．函数存在跟随区间
C．若函数存在跟随区间，则
D．二次函数存在“3倍跟随区间”
【答案】ACD
【分析】
A，由已知可得函数在区间上单调递增，进而可以求解的值；
B，假设存在跟随区间，则根据跟随区间的条件求解，的值，结合函数图象进行判断；
C，先设跟随区间为，，则根据跟随区间满足的条件建立方程组，找出，的关系，然后统一变量表示出，列出关于的关系式，利用方程思想求解的取值范围，
D，若存在3倍跟随区间，则设定义域为，，值域为，，由此建立方程组，再等价转化为一个方程有两个不相等的实数根，进而可以求解．
【详解】
选项：由已知可得函数在区间，上单调递增，则有 ，
解得或1（舍，所以，正确；
选项：若存在跟随区间，，又因为函数在单调区间上递减，图象如图示，

则区间，一定是函数的单调区间，即 或,
则有，解得，此时异号，
故函数不存在跟随区间，不正确；
选项：由已知函数可得：函数在定义域上单调递减，
若存在跟随区间，，
则有，即，两式作差得：，
即，
又，所以，得，
所以，设，，则，
即在区间，上有两个不相等的实数根，
只需：，解得，正确；
选项：若函数存在3倍跟随区间，设定义域为，，值域为，，
当时，函数在定义域上单调递增，
则，是方程的两个不相等的实数根，解得或，
故存在定义域为，使得值域为，，正确，
故选：．
【点睛】
本题是根据新的定义求解参数或者是判断函数是否符合新定义，考查学生的理解新知识运用新知识的能力，解答时要能根据新定义，灵活求解，综合性较强.
66．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）（多选题）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于R，令，若存在正整数k使得，且当0