11，甘肃省陇南市西和县洛峪镇喜集九年制学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

这是一份11，甘肃省陇南市西和县洛峪镇喜集九年制学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题，共22页。试卷主要包含了 如图，在中，，，，则等于， 下列命题， 定义等内容，欢迎下载使用。

一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分）
1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称的定义判断即可．
【详解】解：全面发展四个字中，可以看作是轴对称图形的是全．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴：掌握定义是解题关键．
2. 如果一个三角形的两边长分别是和，则第三边长可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据在三角形中任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边；可求第三边长的范围，再选出答案．
【详解】设第三边长为x，则
由三角形三边关系定理得3−1故选：C.
【点睛】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边是解题的关键.
3. 如图，在中，，，，则等于（ ）
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【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握“在含角的直角三角形的中，所对直角边等于斜边的一半”，是解此题的关键．
【详解】解：在中，，，，
，
故选：C．
4. 十边形的外角和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形外角和，解题的关键是熟练掌握“多边形的外角和为”．
【详解】解：十边形的外角和为，
故选：A．
5. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了坐标与轴对称，关于x轴对称的两点，其纵坐标互为相反数，横坐标不变，据此即可求解．
【详解】点关于x轴对称的点的坐标为，
故选B
6. 如图，在中，，，是边上的高，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等边对等角求出，再用三角形内角和定理求出，由高的定义得到，由直角三角形两锐角互余即可得到的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
故选：C．
7. 如图，，垂足为，，垂足为，，，依据上述条件可以判定，这种判定三角形全等的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定，三角形全等的判定有：、、、，选择合适的方法进行证明是解此题的关键．
【详解】解：，垂足为，，垂足为，
，
在和中，
，
，
∴这种判定三角形全等的依据是，
故选：D．
8. 下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是轴对称图形；③正六边形的每个外角均为；④正n边形有条对角线．其中真命题的个数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握正多边形的定义和性质，正多边形的内角和对角线条数问题，掌握“各边都相等，各个内角都相等的多边形是正多边形”．根据正多边形的定义和性质，正多边形的内角和对角线条数问题，逐项判断即可．
【详解】解：①各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②正多边形是轴对称图形，正确，是真命题，符合题意；
③正六边形的每个外角均为，正确，是真命题，符合题意；
④正n边形每个顶点引出有条对角线，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
综上分析可知，真命题有2个，
故选：C．
9. 如图，等边中，，垂足为，点在线段上，，则下列结论不正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质可判断选项A；判断出为等腰直角三角形，进而求出，可判断选项B；根据角的和差计算得出，可判断选项C；利用勾股定理表示出，又，据此计算，即可判断选项D．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，故选项B正确，不符合题意；
∵，
∴，故选项C正确，不符合题意；
由（1）正确可知：，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴选项D不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，得出为等腰直角三角形是解本题的关键．
10. 定义：过△ABC的一个顶点作一条直线m，若直线m能将△ABC恰好分成两个等腰三角形，则称△ABC为“奇妙三角形”．如图，下列标有度数的四个三角形中，不是“奇妙三角形”的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据①一个角是另一个角的2倍．②一个角是另一个角的3倍．③三角形是直角三角形解答．
【详解】解：A.如图：
B如图：
C.不能
D.如图：
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题．（每题4分，共24分）
11. 在中，，则的度数为______．
【答案】##34度
【解析】
【分析】根据直角三角形两锐角互余即可求出答案，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：
12. 如图，点在一块直角三角板上，平分，于点，于点，若，则_____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握“角平分线上的点到角的两边的距相等”，是解此题的关键．
【详解】解：平分，于点，于点，，
，
故答案为：2．
13. 如图，在中，，于点，若，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质可知是的中点，即可求出的长．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．
14. 如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小敏从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是___________．
【答案】90cm
【解析】
【详解】∵O是CD和FG的中点，
∴FO=OG，CO=DO，
又∠FOC=∠GOD，
∴△FOC≌△GOD，
∴FC=GD=40cm，
∴小明离地面的高度是：50+40=90cm.
故答案为：90cm
15. 如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，交于点E，连接BD．若，，，则的周长为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得：垂直平分，则，即可求解．
【详解】解：由题意可得：垂直平分，则，
的周长
故答案为：
【点睛】此题考查了垂直平分线的尺规作图以及性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
16. 如图，点E在等边的边上，于点C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，如图，作点E关于的对称点G，过点G作于点F，交于点P，此时的值最小，根据直角三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
【详解】解：如图，作点E关于的对称点G，过点G作于点F，交于点P，此时的值最小，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三．解答题：本大题6个小题，共46分
17. 如图，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：，
即．
在和中，
．
【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
18. 随着新能源共享汽车的普及，某新能源共享汽车公司计划在M区建立一个集中充电点P，按照设计要求：集中充电点P到公路OA、OB的距离相等，并且到两个小区C、D的距离也相等．请在图上标出点P（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据题意，充电点P到公路OA、OB的距离相等，所以作OM平分；充电点P到两个小区C、D的距离也相等，所以作CD的垂直平分线EF，EF与OM交于点P，点P即为所作．
【详解】如图，点P即为所作．
【点睛】本题考查应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19. 如图，，是上的一点，且，．求证：．

【答案】见解析．
【解析】
【分析】利用等角对等边，推出，再根据即可证明．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴．
【点睛】此题考查直角三角形的判定、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，灵活运用全等三角形的判定解决问题．
20. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知三个顶点的坐标分别为，，．画出关于x轴对称的，点A、B、C的对称点分别是点、，，直接写出点、，的坐标：
（ ， ），（ ， ），（ ， ）．
【答案】图见解析，；；
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称作图，关于x轴对称点的特点，解题的关键是数形结合，先作出点A、B、C的对称点分别是点、，．
【详解】解：如图所示，即为所求，

由图得：，，；
故答案为：；；；；；．
21. 如图，，点C在上，．
（1）求的度数；
（2）图中一共有多少个等腰三角形？请直接写出所有的结果．
【答案】（1）
（2）个等腰三角形：
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明
（1）先根据等腰三角形的性质证明，利用证明 ，可得 ；
（2）根据等腰三角形的判定可得图中一共有个等腰三角形，
【小问1详解】
∵，
，
∵，
∴，
∴，
在和中,
，
∴，
∴，
∴的度数为；
【小问2详解】
一共有个等腰三角形：，理由如下：
为等腰三角形，理由如下：
∵，
∴为等腰三角形；
为等腰三角形，理由如下：
∵，
∴为等腰三角形；
为等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰三角形;
为等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
，
∴，
∴为等腰三角形；
为等腰三角形，理由如下：
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
为等腰三角形．
22. 如图，在中，，点D、点E在边上，且满足，平分，若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
由直角三角形的性质可求出的度数，设，由等腰三角形的性质得出，则可求出，则可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
四．解答题：本大题5小题，共50分
23. 如图，四边形中，，平分，．求证：是等边三角形．
【答案】见详解
【解析】
【分析】由平行线的性质可得，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握等边三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．
24. 如图，在中，是边上的中线，．
（1）求证：点D在的垂直平分线上；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据的等角对等边得到，再根据中线得到，即可得以证明结论；
（2）利用三角形的外角性质和等边对等角即可证明结论．
【小问1详解】
证明：∵是边上的中线，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴点D在的垂直平分线上；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∴．
25. 如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
（1）图中点的对应点是点 ，的对应角是 ；
（2）若，，则的长为 ；
（3）若，，求度数．
【答案】（1）E，
（2）3 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称，成轴对称的两个图形的全等性：
（1）观察图形可直接得出答案；
（2）根据成轴对称的两个图形的全等性可得，根据全等三角形对应边相等即可求解；
（3）根据，，推出，根据对称性得到，推出．
【小问1详解】
解：∵和关于直线对称，
∴图中点C的对应点是点E，的对应角是；
故答案为：E，．
【小问2详解】
解：∵和关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案：3．
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
根据对称性知，，
∴．
26. 如图，中，为上一点，，于点，于点，相交于点，．

（1）求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含含30°角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握以上知识是解的关键．
（1）根据，，在在中可求出的度数，由此可求出，在中可求出的值；
（2）根据直角三角形的性质可得，可证，可得，根据含角的直角三角形的性质即可求解；
【小问1详解】
解：∵，，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴中，．
【小问2详解】
证明：由（1）可知，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∴．
27. 小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；
（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为 ；线段BE与AD之间的数量关系是 ；
（3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）60°，BE＝AD；（3）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，最后用角的差，即可得出结论；
（3）同（2）的方法，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ABC和△ADE均是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵∠CDE＝60°，
∴∠BEC＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，
∵∠CED＝60°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，
故答案为：60°，BE＝AD；
（3）AE＝BE+2CM，理由：
同（1）（2）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝45°，
∴∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME，
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM．
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．