2023-2024学年甘肃省武威重点中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省武威重点中学八年级（上）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称美惊艳了千年的时光.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列四组图形中，是全等形的一组是( )
A. B.
C. D.
3.下面各组线段中，能组成三角形的是( )
A. 5，11，6B. 8，8，16C. 10，5，4D. 6，9，14
4.一个多边形的每一个内角都是135°，则这个多边形是( )
A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形
5.已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在( )
A. ∠A的平分线上B. AC边的高上
C. BC边的垂直平分线上D. AB边的中线上
6.等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( )
A. 12B. 15C. 12或15D. 18
7.如图，已知△ABC≌△BAD，线段AD与BC交于点O，则下面的结论中不正确的是( )
A. AC=BD
B. BC=AD
C. ∠CAO=∠BOD
D. ∠CAB=∠DBA
8.如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是( )
A. 20°B. 40°C. 50°D. 60°
9.将一个正方形纸片依次按图(1)，图(2)方式对折，然后沿图(3)中的虚线裁剪，最后将图(4)的纸再展开铺平，所看到的图案是( )
A. B. C. D.
10.如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG/​/BC，且CG⊥EG于G，下列结论：
①∠CEG=2∠DCB；②∠ADC=∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB=12∠CGE．
其中正确的结论的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a−2|+(b−5)2=0，c为奇数，则c=______．
12.如图，AD是△ABC的对称轴，点E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为30cm2，则图中阴影部分的面积是______ cm2．
13.若点P(5,b−1)，Q(a+2,−1)关于x轴对称，则a−b= ______ ．
14.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C=______度．
15.如图三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为______cm．
16.已知等腰三角形的两边为4cm，8cm，则等腰三角形的周长为______．
17.如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为______．
18.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC−CD−DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为______秒时，△ABP和△DCE全等．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，电信部门要在S区修建一座发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应建在什么位置？在图上标出它的位置．(尺规作图)
20.(本小题8分)
如图所示，在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24和30的两部分，求三角形各边的长．
21.(本小题8分)
如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，DF/​/BE，∠B=∠D，求证：AD=BC．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，
求证：BE+DE=AC．
23.(本小题10分)
如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，试说明：△ABC≌△ADE的理由．
24.(本小题12分)
如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
(1)求证：OE是CD的垂直平分线．
(2)若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
25.(本小题12分)
探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连接DE．
(1)当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
(2)当点D在BC(点B、C除外)上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
(3)深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：A.不是全等形，故此选项不合题意；
B.不是全等形，故此选项不合题意；
C.是全等形，故此选项符合题意；
D.不是全等形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而分别判断得出答案．
本题考查的是全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形．
3.【答案】D
【解析】解：A、∵5+6=11，∴不能组成三角形，故A选项错误；
B、∵8+8=16，∴不能组成三角形，故B选项错误；
C、∵5+4<10，∴不能组成三角形，故C选项错误；
D、∵6+9>14，∴能组成三角形，故D选项正确．
故选：D．
根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：多边形的边数是：n=360°÷(180°−135°)=8．
故选：B．
已知每一个内角都等于135°，就可以知道每个外角是45度，根据多边形的外角和是360度就可以求出多边形的边数．
通过本题要理解已知内角或外角求边数的方法．
5.【答案】A
【解析】【分析】
作射线AM，根据角平分线的判定定理得到AM平分∠BAC，得到答案．
本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键．
【解答】
解：作射线AM，如图所示：
由题意得，MG=MH，MG⊥AB，MH⊥AC，
∴AM平分∠BAC，
∴点M在∠A的平分线上
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】
解：①当3为底时，其它两边都为6，
3、6、6可以构成三角形，
周长为15；
②当3为腰时，
其它两边为3和6，
∵3+3=6，
∴不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有15．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：∵△ABC≌△BAD，
∴AC=BD，BC=AD，∠CAB=∠DBA，
故A、B、D正确，不符合题意；
根据题意，无法判定∠CAO=∠BOD，
故C错误，符合题意，
故选：C．
根据全等三角形的性质求解即可．
此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等、对应角相等”是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质；要熟练掌握垂线段直平分线的性质，能够求解一些简单的计算问题．
由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由线段垂直平分线，可得∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，进而可得∠PAQ的大小．
【解答】
解：∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=70°，
又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，
∴∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，
∴∠BAP+∠CAQ=70°，
∴∠PAQ=∠BAC−∠BAP−∠CAQ=110°−70°=40°．
故选B．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．严格按照图中的顺序亲自动手操作一下即可．
【解答】
解：严格按照图中的顺序向上对折，向右对折，从右下角剪去一个四分之一圆，从左上角和左下角各剪去一个直角三角形，展开得到
10.【答案】C
【解析】解：∵EG/​/BC，
∴∠CEG=∠ACB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCB，
∴∠CEG=2∠DCB，故①正确；
∵∠A=90°，
∴∠ACD+∠ADC=90°，
∵EG/​/BC，且CG⊥EG于G，
∴∠CGE=∠GCB=90°，
∴∠GCD+∠BCD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC=∠GCD，故②正确；
无法证明CA平分∠BCG，故③错误；
∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC=90°+12(∠ABC+∠ACB)=135°，
∴∠DFE=360°−135°−90°=135°，
∴∠DFB=45°=12∠CGE，故④正确；
所以其中正确的结论为①②④共3个，
故选：C．
根据平行线的性质，结合角平分线的定义计算可判定①；根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义可判定②；根据已知条件无法推知③；由角平分线的定义结合周角的定义可判定④．
本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，灵活运用角平分线的定义及三角形的内角和定理是解题的关键．
11.【答案】5
【解析】解：∵a，b满足|a−2|+(b−5)2=0，
∴a−2=0，b−5=0，
解得a=2，b=5，
∵5−2=3，5+2=7，
∴3又∵c为奇数，
∴c=5，
故答案是：5．
根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
本题主要考查三角形三边关系和非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．
12.【答案】15
【解析】解：∵S△ABC=30cm2，AD是△ABC的对称轴，点E，F是AD的三等分点，
∴阴影部分面积=30÷2=15(cm2).
故答案为：15．
根据轴对称的性质可得△CEF和△BEF的面积相等，所以阴影部分的面积是△ABC面积的一半．
本题考查了轴对称性质；利用对称发现并利用△CEF和△BEF的面积相等是正确解答本题的关键．
13.【答案】1
【解析】解：∵点P(5,b−1)，Q(a+2,−1)关于x轴对称，
∴a+2=5，b−1=1，
∴a=3，b=2，
∴a−b=3−2=1，
故答案为：1．
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出a、b的值即可．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标．
14.【答案】25
【解析】解：∵∠BAD=80°，AB=AD=DC，
∴∠ABD=∠ADB=50°，
由三角形外角与外角性质可得∠ADC=180°−∠ADB=130°，
又∵AD=DC，
∴∠C=∠DAC=12(180°−∠ADC)=25°，
∴∠C=25°．
本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性质．由AB=AD=DC可得∠DAC=∠C，易求解．
此类题目考查学生分析各角之间关系的能力，运用所学的三角形知识点求解．
15.【答案】7
【解析】解：由折叠的性质得：BE=BC=6cm，DE=DC，
∴AE=AB−BE=AB−BC=8−6=2(cm)，
∴△AED的周长=AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=5+2=7(cm)，
故答案为：7．
先根据折叠的性质可得BE=BC，DE=CD，再求出AE的长，然后求出△ADE的周长=AC+AE，即可得出答案．
本题考查了翻折变换的性质以及三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键．
16.【答案】20cm
【解析】解：①8cm为腰，4cm为底，此时周长为20cm；
②8cm为底，4cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
则等腰三角形的周长为20cm．
故答案为：20cm．
题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和8cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
17.【答案】45°
【解析】解：如图，连接AC．
根据勾股定理可以得到：AC2=BC2=5，AB2=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故答案为：45°．
分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠ABC的度数．
本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．
18.【答案】1或7
【解析】解：设点P的运动时间为t秒，则BP=2t，
当点P在线段BC上时，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AB=CD，∠B=∠DCE=90°，
若△ABP≌△DCE，
则BP=CE，即2t=2，解得t=1；
当点P在线段AD上时，
∵AB=4，AD=6，
∴BC=6，CD=4，
∴BC+CD+DA=6+4+6=16，
∴AP=16−2t，
若△ABP≌△CDE，
则AP=CE，即16−2t=2，解得t=7；
综上可知当t为1秒或7秒时，△ABP和△CDE全等．
故答案为：1或7．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
由条件可知BP=2t，当点P在线段BC上时可知BP=CE，当点P在线段DA上时，则有AP=CE，分别可得到关于t的方程，可求得t的值．
19.【答案】解：作∠MON的角平分线，作AB的垂直平分线，得
，
∠MON的角平分线与AB的垂直平分线的交点C即为所求得点．
【解析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得答案．
本题考查了作图，画出角平分线与线段的垂直平分线是解题关键．
20.【答案】解：设AB=AC=2x，BC=y，
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD=12AC=x，
∵AC边上的中线把三角形的周长分为24和30的两部分，
∴①2x+x=24x+y=30，解得，x=8y=22，
∴AB=AC=2x=16，BC=22，能构成三角形，
②2x+x=30x+y=24，解得，x=10y=14，
∴AB=AC=2x=20，BC=14，能构成三角形，
即：三角形的各边是16，16，22或20，20，14．
【解析】此题主要考查了三角形的周长和三边关系，分类讨论的思想，解本题的关键是建立方程组求解．
设AB=AC=2x，BC=y，进而得出AD=CD=12AC=x，再分两种情况，建立方程组求解，最后判定能否构成三角形．
21.【答案】证明：∵AE=CF，
∴AF=CE，
∵AD/​/BC，
∴∠A=∠C，
在△ADF和△CBE中，∠D=∠B∠A=∠CAF=CE，
∴△ADF≌△CBE(AAS)，
∴AD=BC．
【解析】由AAS证明△ADF≌△CBE，即可得出结论．
本题考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
22.【答案】证明：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵ED⊥AB，BE平分∠ABC，
∴CE=DE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵AC=AE+CE，
∴BE+DE=AC．
【解析】根据角平分线性质得出CE=DE，根据线段垂直平分线性质得出AE=BE，代入AC=AE+CE求出即可．
本题考查了角平分线性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
23.【答案】证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，
∵∠B+∠1=∠ADE+∠3，且∠1=∠3，
∴∠B=∠ADE，
在△ABC和△ADE中
∠BAC=∠DAE∠B=∠ADEAC=AE
∴△ABC≌△ADE(AAS)．
【解析】由条件可证得∠B=∠ADE，∠BAC=∠DAE，结合AC=AE，可证明△ABC≌△ADE．
本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
24.【答案】解：(1)∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE=CE，OE=OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；
(2)∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF，
∴OE=4EF．
【解析】(1)先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；
(2)先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
25.【答案】解：(1)∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED=∠C=30°；
(2)设∠BAD=x，
∴∠CAD=90°−x，
∵AE=AD，
∴∠AED=45°+12x，
∴∠CDE=12x；
(3)设∠BAD=x，∠C=y，
∵AB=AC，∠C=y，
∴∠BAC=180°−2y，
∵∠BAD=x，
∴∠AED=y+12x，
∴∠CDE=∠AED−∠C=12x.
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠BAD=60°，由于AD=AE，于是得到∠ADE=60°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE=75°−45°=30°；
(2)设∠BAD=x，于是得到∠CAD=90°−x，根据等腰三角形的性质得到∠AED=45°+12x，于是得到结论；
(3)设∠BAD=x，∠C=y，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=180°−2y，由∠BAD=x，于是得到∠DAE=y+12x，即可得到结论．
本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．