高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列练习题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若数列的通项公式为，则（ ）
A．B．C．D．
2．若直线l与三次函数有三个公共点且公共点的横坐标成等差数列，则直线l （ ）
A．经过定点B．不经过定点C．斜率为定值D．斜率可为任意实数
3．已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（ ）
A．9B．C．D．
4．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前60项和（ ）
A．B．5C．59D．60
5．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰:“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂,遂千百五二十岁”，即1遂为1520岁.某疗养中心恰有57人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为三遂，则最年轻者的年龄为（ ）
A．52B．54C．58D．60
6．设等差数列的前项和为，已知：，，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．已知正项等差数列的前项和为，且，．则（ ）
A．B．
C．D．
8．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第6个叠放的图形中小正方体木块的总数是（ ）
A．61B．66C．90D．91
二、多选题
9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列是等差数列
C．当时，D．当或4时，取得最大值
10．已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．数列为单调递减数列D．取得最大值时，
11．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．若，则
12．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．已知各项均为正数的数列的前n项和为，满足，且，，则数列的通项公式 ．
14．在等差数列中，，则 .
15．已知正项数列的前项和为，若，则的最小值为 ．
16．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则 ，数列的前50项和为 ．
四、解答题
17．已知等差数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，且，若，求正整数的最小值．
18．已知等差数列的前3项和是24，前5项和是30.
(1)求这个等差数列的通项公式；
(2)若是的前n项和，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
19．已知正项数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和，求满足的正整数n的集合．
20．已知为数列的前项和，且.
(1)证明：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
21．已知等差数列的前项和为，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求证：.
参考答案：
1．A
【分析】利用裂项相消求和可得答案.
【详解】，
则.
故选：A.
2．A
【分析】先设三个交点，由题意得出,再得出定点即可.
【详解】设这三个交点的坐标分别为，，由题意可得，
由于三次函数的图像是中心对称图形，由可知，为对称中心，
即直线l经过定点是三次函数的对称中心.
故选:A．
3．B
【分析】先通过等差数列的性质得到，再利用基本不等式中1的妙用来求解最值即可.
【详解】根据等差数列性质可得，则，
，
当且仅当，即时，取“”号.
故选：B.
4．B
【分析】先由等方差数列的定义得到是公差为2的等差数列并求出，进而求出，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】因为是方公差为2的等方差数列，
所以是公差为2的等差数列，
所以，解得，
又，所以，
所以，
所以
所以．
故选：B．
5．A
【分析】由等差数列性质以及求和公式即可得解.
【详解】将他们的年龄从小到大依次排列为，
所以，，解得.
故选：A.
6．D
【分析】由题设，构造函数，分析的奇偶性和单调性，结合等差数列的性质及前n项和公式，求解即可.
【详解】设函数，易知的定义域为，
且，
所以是上的奇函数，由单调性的性质知在上单调递增，
由题意：，，两式相加得：，
因为是上的奇函数，所以，
又在上单调递增，所以，即，
等差数列的前项和为，则，
因为，，所以，
又在上单调递增，所以，所以.
故选：D.
7．C
【分析】由等差数列的关系结合已知等式化简，可得，结合，求出首项，即可得等差数列的通项公式以及前n项和公式，由此一一判断各选项，即可得解.
【详解】设正项等差数列的公差为d，因为，，
所以两式相减得，可得，
即，所以，
因为是正项等差数列，则，则，
所以，由，得，
得，即，所以，
所以，，得，，A，B错误；
，C正确；
，D错误，
故选：C.
8．B
【分析】归纳可知，第个叠放图形中共有层，且各层的小正方体木块个数构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，再结合等差数列的前项和公式求解即可．
【详解】分别观察各图中小正方体木块的个数为1，，，，
归纳可知，第个叠放图形中共有层，且各层的小正方体木块个数构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，
所以，
所以．
故第6个叠放的图形中，小正方体木块的总数为66．
故选：B．
9．ABD
【分析】利用的关系式可求得，即可判断AB正确，由数列单调性即可判断C错误，再由前项和的函数性质可判断D正确.
【详解】由可得，当时，，
两式相减即，
即时，
又当时，符合，
所以可得，即可得AB正确；
易知数列为递减数列，当时，，所以C错误；
由利用二次函数性质以及可得，
当或4时，取得最大值.
故选：ABD
10．BCD
【分析】由已知条件求出等差数列的首项和公差，通过计算验证各选项的结论即可.
【详解】设等差数列的公差为，由，
得，解得，故A选项错误；
，B选项正确；
由，，等差数列为单调递减数列，C选项正确；
，由二次函数的性质可知，取得最大值时，，D选项正确.
故选：BCD
11．ABD
【分析】求得中的一些元素，结合等差数列的定义、通项公式、求和公式，对选项逐一判断即可.
【详解】由题意可得：,
可得，
则
对于选项A:易得，故A正确；
对于选项B:易得，故B正确；
对于选项C:由，可得，故C错误；
对于选项D:易得数列每隔四个一组求和，可构成等差数列，其首项为，公差为，
由，
，则，此时有，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：关键是通过找到，由此借助等差数列的相关知识，进而求解即可.
12．ACD
【分析】利用观察归纳法，结合等差数列前n项和公式求出，再逐项判断即得.
【详解】依题意，，，AD正确；
，，B错误；
，，C正确.
故选：ACD
13．
【分析】由，知，两式作差，即可证明为等差数列，从而求出.
【详解】由题意,则，
又，
，
，
，，为等差数列，
，，
，，，
故答案为：
14．9
【分析】根据等差数列的性质可得的值.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：9
15．
【分析】由的关系得，由等差数列求和公式结合对勾函数性质即可得解.
【详解】由题意，因为数列是正项数列，
所以解得，
当时，有，，
两式相减得，
整理得，
因为数列是正项数列，
所以，即数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以，，
，
又在单调递减，在单调递增，
而，
所以当且仅当时，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：关键是首先得出，，由此即可顺利得解.
16．
【分析】当时，，当时，，推出，利用累加法可得，从而求得，即可求解，根据，即可求解.
【详解】当时，①，当时，②，
由①②可得，，
所以，
累加可得，，
所以，
令且为奇数)，，当时，成立，
所以当为奇数，，
当为奇数，，
所以当为偶数，，
所以
故；
根据
所以的前项的和.
故答案为：；
17．(1)
(2)11
【分析】（1）由等差数列基本量的关系列方程组即可求解.
（2）首先得，由等差数列求和公式求，列不等式组即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，，
故．
（2）由（1）可得，则，
所以，则数列是等差数列，
故．
因为，所以，所以，
所以或．
因为，所以的最小值是11．
18．(1)
(2)当或时，的最大值为.
【分析】（1）由等差数列求和公式基本量的计算即可求解.
（2）由等差数列求和公式结合二次函数性质即可求解.
【详解】（1）由题意设等差数列的首项、公差分别为，
则由题意，解得，
所以这个等差数列的通项公式为.
（2）由（1），所以，
而二次函数的对称轴为，开口向下，
所以当或时，的最大值为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由题意，可得到数列是公差为1的等差数列，进而得到数列的通项公式；
（2）由（1）可得数列的通项公式，利用裂项相消法即可求出，进而解不等式.
【详解】（1）由，有，
即，
因为数列是正项数列，
所以，即，
可得数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，
故数列的通项公式为；
（2）由（1）可得．
所以，
故不等式可化为，解得，
所以满足的正整数n的集合为.
20．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）利用前项和和通项公式的关系结合等差数列的定义处理即可.
（2）先求出，后运用裂项相消法求即可.
【详解】（1）对任意的，
则，
所以数列为等差数列，且其首项为，公差为1，
所以，
故.
（2）当时，，
也满足，
故对任意的.
所以，
故.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）求出的表达式，利用裂项相消法求出，结合放缩法可证得结论成立.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，解得，
所以.
（2）证明：由（1）可得，
则，
所以
，所以.